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(第17题图)
2012.南安卷
17.已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，
以△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰
直角三角形ACD，再以△ACD的斜边AD为直角边，
画第三个等腰直角三角形ADE，…，依此类推，则△ABC 的面积为： ，第8个等腰直角三角形的面积是 ．
25．（13分）如图，在矩形ABCD中，.
（1）求的长;
（2）设为上一动点,
①当运动至何处时,线段的长度最短,试在图1中画出符合要求的线段，并求此时的长;
②如图2，当点运动至中点处时，另一动点从点出发，以每秒1cm的速度沿 向点运动，设点的运动时间为t秒. 求当t 为何值时，将矩形ABCD沿直线折叠,可使得点恰与点A重合？
26．（13分）如图，△ABP中，，把△ABP绕点A逆时针旋转后得到△ACE.
连结BC、PE、PC，测量得.
⑴ 请找出图中的两个等边三角形： （不再添加其它点或线）
备用图
⑵若，试判断△PEC的形状，并说明你的理由;
⑶若△CPE为等腰三角形，求的度数.
丰泽：
D
C
E
B
A
C1
25.（10 分）如图，把矩形ABCD沿对角线BD折叠，交AD于E，点C落在点C1处，AB=4，BC=8．
（1）试说明：BE=ED；
（2）求DE的长．
26. （14 分）如图，点是等边内一点，．将绕点按顺时针方向旋转得，连接．
A
B
C
D
O
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形？
A
B
C
D
E
第17题图
2012.晋江
17. 如图，已知□，与的平分线交于点.
（1）= （度）；
（2）当□满足条件 时，点刚好落在上.
25.(12分) 我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A
可以用来解释，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以
对某些二次三项式进行因式分解.
n
n
图B
n
n
a
b
a
b
图A
a
a
1
b
b
2
a
b
3
图C
（1）图B可以解释的代数恒等式是_____________ ；
（2）现有足够多的正方形和矩形卡片，如图C：
①.若要拼出一个面积为的矩形，则需要1号卡片 张，2号卡片 张，
3号卡片 张；
②.试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形，使该矩形的面积为，并利用你画的图形面积对进行因式分解.
26.(14分)如图，在直角梯形中，∥，，,，
=，点在上，=4.
（1）线段= ；
（2）试判断△的形状，并说明理由；
（3）现有一动点在线段上从点开始以每秒1个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒（＞0）.问是否存在的值使得△为直角三角形?若存在直接写出的值；若不存在，请说明理由.
A
B
C
D
E
P
A
B
C
D
E
P
备用图
洛江：
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8。
将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对
角线AC上的点F处。
（1）求EF的长； （2）求梯形ABCE的面积。
26．（13分）
（1）操作发现：
如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．
（2）类比探究：
如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
A
B
E
F
G
C
D
C
E
D
F
B
A
G
图1 图2
2012.石狮
25．（13分）如图，在△AOB中，∠O=90°，AB=5，OA=4.
（1）（3分）填空：OB= ；
（2）现将△AOB沿射线OB的方向平行移动后得到△DEF.
①（5分）当移动的距离为多少时，线段AB所扫过部分的面积是△AOB面积的4倍？
O
A
B
D
E
F
②（5分）当移动的距离为多少时，∠ABD是直角？
26．(13分)已知，矩形ABCD中.
（1）（3分）如图1，分别沿AF、CE将AC两侧纸片折叠，使点B、D分别落在AC上的G、H处，则四边形AFCE为 形；
（2）如图2，在矩形ABCD中，△ABF≌△CDE，AB=4，BC=8，BF=3，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止.
①（4分）若点P的速度为每秒5，点Q的速度为每秒4，设运动时间为秒. 当点P在FB上运动，而点Q在DE上运动时，若四边形APCQ是平行四边形，求此时的值.
图1
A
B
D
C
E
F
G
H
A
B
D
C
E
F
备用图
A
B
D
C
E
F
P
Q
图2
·
·
②（6分）若点P、Q的运动路程分别为、(单位：，)，若四边形APCQ是平行四边形，求与满足的数量关系式.
德化：
南安： 17．, 64；
25. （本小题13分）
解：（1）在矩形ABCD中，∠B=90°
∴AB2+BC2=AC2………………………………………………………………………………（2分）
62+82=AC2
AC=10…………………………………………………………………………………………(3分)
（2）①如图，作DE⊥AC于点E,此时，当M点运动到E点时DM长度最短 ………（4分）
在矩形ABCD中，AD=BC=8,CD=AB=6…………………………………………………（5分）
……………………………………………………（7分）
∴
∴DE=…………………………………………………………………………………（8分）
②当N点运动到使MN⊥AC于点M时，矩形ABCD沿直线MN折叠,折叠后点C恰与点A重合，连结AN.设CN=x……………………………………………………………………（9分）
∵点A、C关于直线MN对称 ∴AN=NC＝x
∴BN=BC-CN=8-x………………………………………………………………………（10分）
在Rt⊿ABN中由勾股定理得
AB2+BN2=AN2…………………………………………………………………………（11分）
故62+(8-x)2=x2
解得x＝…………………………………………………………………………（12分）
所以t＝÷1＝(秒)……………………………………………………………（13分）
26.（本小题13分）
解：（1）⊿ABC，⊿APE……………………………………………………………………（4分）
(2)由（1）得⊿APE是等边三角形
∴∠APE=∠AEP=60°…………………………………………………………………(5分）
由题意得：⊿APB≌⊿AEC
∴∠AEC=∠APB=150°………………………………………………………………（6分）
∴∠CEP=∠AEC-∠AEP=150°-60°=90°…………………………………………（7分）
又∵∠CPE=360°-∠APB-∠BPC-∠APE=50°
∴⊿PEC是直角三角形………………………………………………………………（8分）
（3）∠CPE=360°-∠APB-∠BPC-∠APE =200°-
∠CEP=∠AEC-∠AEP=-60°
∠PCE=180°-∠CPE-∠CEP=40°……………………………………………（9分）
∵△CPE为等腰三角形,下面分三种情况讨论:
①当∠CPE＝∠CEP时,
200°-＝-60°
＝130°………………………………………………………………………（10分）
②当∠CPE＝∠PCE时,
200°-＝40°
＝160°…………………………………………………………………………（11分）
③当∠PCE＝∠CEP时,
-60°＝40°
＝100°…………………………………………………………………………（12分）
综上所述,若△CPE为等腰三角形,则＝100°, 130°, 160°……………（13分）
丰泽：25.（11 分）解：（1）由题意知，……………………… 1分
∵是矩形∴
从而，
∴……………………………………… 4分
从而，……………………………………………………5分
（2）设，则 ……………7分
在中，
…………………… 9 分
解之，得，即……………………………………… 11分
26. （14 分）（1）证明：，，
是等边三角形． 4分
（2）解：当，即时，是直角三角形． 6分
，
．
又是等边三角形，
．
．
即是直角三角形． 8分
（3）解：①要使，需．
，，
． ．
②要使，需．
，
． ．
③要使，需．
． ．
综上所述：
当的度数为，或，或时，是等腰三角形．…14分
说明：第（3）小题考生答对1种得2分，答对2种得5分．
晋江：17．⑴ 90 ⑵ CD=2AD
25．（12分）解：
⑴. --------------------3分
⑵ ①. 1 ， 2 ， 3-------------------------6分
②.如图；-----------------------------9分
=-----12分
26．（14分）解：⑴. 10-------------------------3分
⑵. △CDE的形状是等腰直角三角形，理由如下：------------------4分
∵在△BEC中∠B=90°
∴=-----------------5分
∵在△AED中，∠A=90°，AD=4 AE=AB-BE=6
∴-----------------6分
∴CE=DE----------------------------------------------------------7分
∵
∴-------------------------------8分
∴∠DEC=90°
∴△CDE的形状是等腰直角三角形-----------------10分
⑶.t=2或t=5.2-----------------14分
洛江：25．解：(1)在矩形中，，
由折叠可知
∴
在中，…………2分
∴………………………………3分
在中，
即 解得……………………6分
(2)…………………8分
……………………………………10分
26．（13分）解：（1）连接FC，……………………………………1分
由折叠知：BE＝EF ∠AFE＝∠B＝90°
∴∠EFG＝∠C＝90°…………………………………2分
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE ……………………………………………3分
∴CE＝EF………………………………………………4分
C
E
D
F
B
A
G
1
2
3
4
∴∠1＝∠2…………………………………5分
∵∠EFG＝∠C
∴∠3＝∠4……………………6分
∴FG＝CG……………………7分
（2）连接CF，由折叠知：BE＝EF ，∠AFE＝∠B
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE ……………………………………8分
∴CE＝EF ………………………………………9分
∴∠1＝∠2………………………………………10分
又∵∠AFE＋∠EFG＝180° ∠B＋∠ECG＝180°
∴∠EFG＝∠ECG………………………………11分
∴∠3＝∠4………………………………………12分
∴FG＝CG………………………………………13分
石狮：
25．解：
（1）3；……………………………………………………… 3分
（2） ①∵AD∥BF，AB∥DF，
∴线段AB所扫过的部分是平行四边形(如图中的□ABFD)，………………… 5分
O
A
B
D
E
F
设移动的距离为，则AD=BF=，
∴，
即：，………… 7分
解得. ……………………… 8分
②如图，在Rt△AOB中，∠O=90°，OA=4，AB=5，
∴OB=，………………………… 9分
设移动的距离为，则AD=OE=，BE=()，
在Rt△BDE中，∠DEB=90°，DE=4，
∴，………………………… 10分
当时，∠ABD=90°，
即：，……………………………… 11分
解得. …………………………………………… 13分
所以当△AOB移动的距离为时，∠ABD是直角.
26．解：
（1）平行四边形； …………………………………… 3分
（2）①在Rt△ABF中，AB=4，BF=3，
由勾股定理得，.…4分
∵△ABF≌△CDE，
∴AB=CD=4，DE=BF=3，CE=AF=5，…… 5分
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PC=QA，
∵点P的速度为每秒5，点Q的速度为每秒4，运动时间为秒，
∴PC=PF+CF=PF+AF=，QA=，
∴， ……………………………………… 7分
解得. …………………………………………… 8分(将第②步中的1分移到这里)
∴当四边形APCQ是平行四边形时，秒.
②∵△ABF≌△CDE，
∴∠BAF=∠DCE，
∵∠BAF+∠BFA=90°，∠DCE+∠BCE=90°，
∴∠BFA=∠BCE，
∴AF∥CE，………………………………… 9分
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴点P、Q在互相平行的对应边上.
图(2)
图(3)
图(1)
分三种情况:
ⅰ) 如图(1)，当点P在AF上、点Q在CE上时，AP=CQ，
即，得；…………………………… 10分
ⅱ) 如图(2)，当点P在FB上、点Q在DE上时，AQ=CP，
即，得；………………………… 11分
ⅲ) 如图(3)，当点P在AB上、点Q在CD上时，AP=CQ，
即，得；………………………… 12分
综上所述，与满足的数量关系式是. … 13分
德化：
25. 解：(1) 在RtAOB中, ∠AOB=90°，BO=10，AB=8
∴== ……3分
(2)如图，由己知得∠COB=α，OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB．
在△OBC中，∠OBC+∠OCB+∠COB=180°，
∴α=180°—2∠OBC……①
又∵BC∥OA，∠BAO=90° ∴∠ABC=90°，
∴∠OBC=90°—∠OBA=90°—β……②
∴把②代入①得，α=2β． ………………8分
(3)连结、，过C点作于H
由已知可得=α=90°，∠CDO=90°，OA=OD=6
∴DC∥OA ∴====，∠DOH=90°
又∵CH⊥AH ∴CH∥DO ∴四边形DOHC是平行四边形
∴四边形DOHC是矩形
∴==，===
∴=
在中，===
∴点O到CA的距离是 ……………13分
26. (1)证明：∵矩形ABDC≌矩形AEFG
∴，
∴，即 ………………4分
（2）解：由（1）可知：△ADC≌△AFG ∴，∠DAC=∠FAG
在矩形AEFG中，∠EAG=90° ∴∠DAF=90°
∴S△DAF=，即，∴
S△ABD=，∴……①
在中，，∴……②
由①+②得；，∴
∴的周长= ………………………8分 （3）解：依题意可得：，
由(1)可知：
∴=
∴=-
=
==
又∵ ∴` ∴
即 ………………………………………………13分
15
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