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第二十一至第二十五章
(120分钟 120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2013·呼和浩特中考)观察下列图形,既是轴对称图形又是中心对称图形的有
( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选C.轴对称图形有:从左到右第2,3,4个图形;中心对称图形有:从左到右第1,2,3,4个图形,所以既是轴对称图形又是中心对称图形的有:从左到右第2,3,4个图形,共3个.
2.一个正多边形的每个外角都等于30°,那么这个正多边形的中心角为( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
【解析】选B.因为正多边形的外角和为360°,所以360°÷30°=12,即该多边形为正十二边形,正十二边形的中心角为:360°÷12=30°.
3.要得到y=-2(x+2)2-3的图象,需将抛物线y=-2x2作如下平移( )
A.向右平移2个单位,再向上平移3个单位
B.向右平移2个单位,再向下平移3个单位
C.向左平移2个单位,再向上平移3个单位
D.向左平移2个单位,再向下平移3个单位
【解析】选D.抛物线y=-2(x+2)2-3的顶点为(-2,-3),抛物线y=-2x2的顶点坐标为(0,0),点(0,0)向左平移2个单位,再向下平移3个单位可得点(-2,-3),所以y=-2(x+2)2-3的图象可以看作将抛物线y=-2x2向左平移2个单位,再向下平移3个单位得到的.
4.一个不透明的袋子中有3个红球和2个黄球,这些球除颜色外完全相同.从袋子中随机摸出1个球,这个球是黄球的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】选B.从袋子中随机摸出1个球,一共有5种可能性的结果,符合条件的有2种结果,即概率为.
5.某药品经过两次降价,每瓶零售价由168元降为108元,已知两次降价的百分率相同,设每次降价的百分率为x,根据题意列方程得( )
A.168(1+x)2=108 B.168(1-x)2=108
C.168(1-2x)=108 D.168(1-x2)=108
【解析】选B.一次降价后的价格是168(1-x),两次降价后的价格是168(1-x)2,故根据题意得168(1-x)2=108.
【易错提醒】增长(降低)率是列方程解实际问题最常见的题型之一,对于平均增长率问题,正确理解有关“增长”问题的一些词语的含义是解答这类问题的关键,常见的词语有:“增加”“增加到”“增加了几倍”“增长到几倍”“增长率”等.弄清基数、增长(减少)后的量及增长(减少)次数.
6.(2013·呼和浩特中考)在同一平面直角坐标系中,函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是( )
【解析】选D.当m>0时,直线y=mx+m图象经过第一、二、三象限,二次函数图象开口方向向下,所以C错误;当m<0时,直线y=mx+m图象经过第二、三、四象限,二次函数图象开口方向向上,且对称轴x=<0,所以A,B错误,D正确.故选D.
7.(2013·呼和浩特中考)已知α,β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足+=-1,则m的值是( )
A.3 B.1 C.3或-1 D.-3或1
【解析】选A.由题意,α+β=-(2m+3),αβ=m2,因为+=-1,所以=-1,即=-1,解得m=-1或m=3.因为α,β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,所以(2m+3)2-4m2=12m+9>0,m>-,所以m=3.
【知识归纳】应用一元二次方程根与系数关系的解题技巧
(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则x1+x2=-,x1·x2=,解题时先把代数式变形成两根和与积的形式.
(2)常见的变形有:①+=(x1+x2)2-2x1x2;
②(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;③+=.
【易错提醒】利用一元二次方程根与系数的关系的前提条件是:方程有两个实数根,即判别式大于或等于0.
8.在学校组织的实践活动中,小新同学用纸板制作了一个圆锥模型,它的底面半径为1,高为2,则这个圆锥的侧面积是( )
A.4π B.3π C.2π D.2π
【解析】选B.∵圆锥的底面半径为r=1,高为2,
∴圆锥的母线长l==3,
∴圆锥的侧面积=πrl=π×1×3=3π.
9.(2013·义乌中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点),则下列结论:①当x>3时,y<0;②3a+b>0;③-1≤a≤-;④3≤n≤4中,正确的是( )
A.①② B.③④ C.①④ D.①③
【解析】选D.∵A(-1,0)在抛物线上,
∴a-b+c=0,
∵顶点坐标为(1,n),∴b=-2a,抛物线与x轴的另外一个交点坐标为(3,0),
∵开口方向向下,∴a<0,[来源:学科网ZXXK]
∴x>3时,y<0,故①正确;
∵b=-2a,∴b+2a=0,
∴b+3a=a<0,②错误;
∵a-b+c=0,b=-2a,∴c=-3a,
∵抛物线与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点),
∴2≤c≤3,∴2≤-3a≤3,
∴-1≤a≤-,③正确;
∵a+b+c=n,b=-2a,∴c-a=n,
∵c=-3a,∴n=-4a,
∴-1≤-≤-,
∴≤n≤4,④错误.
【知识归纳】抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用
①a决定开口方向.a>0,抛物线开口向上;a<0,抛物线开口向下;
②a和b共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-,故b=0时,对称轴为y轴;>0时,对称轴在y轴左侧;<0时,对称轴在y轴右侧;③c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置,当x=0时,y=c,所以抛物线与y轴有且只有一个交点(0,c).c=0,抛物线经过原点;c>0,抛物线与y轴交于正半轴;c<0,抛物线与y轴交于负半轴.
10.如图☉O中,半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交☉O于点E,连接EC,若AB=8,CD=2,则EC的长度为( )
A.2 B.8 C.2 D.2
【解析】选D.∵☉O的半径OD⊥弦AB于点C,AB=8,∴AC=AB=4,
设☉O的半径为r,则OC=r-2,在Rt△AOC中,
∵AC=4,OC=r-2,∴OA2=AC2+OC2,即r2=42+(r-2)2,解得r=5,∴AE=2r=10,连接BE,
∵AE是☉O的直径,∴∠ABE=90°,
在Rt△ABE中,∵AE=10,AB=8,
∴BE===6,
在Rt△BCE中,∵BE=6,BC=4,
∴CE===2.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.从1～9这9个自然数中,任取一个,是4的倍数的概率是 .
【解析】因为1～9这9个自然数中,任取一个数,一共有9种可能性,符合条件的有2种可能性,即概率是.
答案:
12.(2013·龙岩中考)如图,PA是☉O的切线,A为切点,B是☉O上一点,BC⊥AP于点C,且OB=BP=6,则BC= .
【解析】∵PA是☉O的切线,∴OA⊥PA,
∵BC⊥AP,∴BC∥OA,
∵OB=BP=6,∴OA=6,
∴BC=OA=3.
答案:3
13.(2013·绵阳中考)已知整数k<5,若△ABC的边长均满足关于x的方程x2-3x+8=0,则△ABC的周长是 .
【解析】根据题意得(3)2-4×8≥0,解得k≥,
∵整数k<5,∴k=4,∴方程变形为x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4,∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2-6x+8=0,∴△ABC的边长为2,2,2或4,4,4或4,4,2,∴△ABC的周长为6或12或10.
答案:6或12或10
【知识归纳】解一元二次方程的方法
一元二次方程的解法常用的有4种:直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法.
(1)当方程缺少一次项时并且方程的一边是平方的形式、另一边是常数时,可以选择直接开平方法.
(2)当方程的一边为0,另一边的多项式能够因式分解时,可以选择因式分解法.
(3)当方程各项的系数比较小且便于配方的时候,可以选择配方法;配方法的五个步骤:①转化:将此一元二次方程化为一般形式;②移项:常数项移到等号右边;③系数化1:二次项系数化为1;④配方:等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方;⑤求解:用直接开平方法求解.
(4)公式法:求根公式x=(b2-4ac≥0).
14.(2013·盐城中考)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=5cm,AC=2cm,将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A1B1C的位置,则线段AB扫过区域(图中阴影部分)的面积为 cm2.
【解析】∵∠BAC=90°,∴BC2=AB2+AC2=52+22=29,
∴S阴影=+-S△ABC-.
∵△ABC旋转得到△A1B1C,∴S△ABC=,
∴S阴影=-=-=π(cm2).
答案:π
15.(2013·荆门中考)若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,且过点A(m,n),B(m+6,n),则n= .
【解析】抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,则关于x的方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根,Δ=b2-4ac=0,a=1,b2-4c=0,c=,因此抛物线解析式为y=x2+bx+=,抛物线经过点A(m,n),B(m+6,n),由于这两点的纵坐标相同,因此抛物线的对称轴是直线x=m+3,由于抛物线对称轴是x=-,则b=-2m-6,所以抛物线为y=(x-m-3)2,把点A(m,n)坐标代入解析式,则n=9.
答案:9
16.(2013·广州中考)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,☉P与x轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),☉P的半径为,则点P的坐标为 .
【解析】如图,作PB⊥OA于点B,连接PO,
∵点A的坐标为(6,0),∴OB=3,在Rt△POB中,PO=,OB=3,∴由勾股定理求得PB=2,所以点P的坐标是(3,2).
答案:(3,2)
17.(2013·临沂中考)对于实数a,b,定义运算“*”:a*b=例如:4*2,因为4>2,所以4*2=42-4×2=8.若x1,x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根,则x1*x2= .
【解题指南】解决新定义运算的关键是要通过阅读,把新定义的运算转化为已有的运算.
【解析】因为x2-5x+6=0的两个根为x1=2,x2=3或x1=3,x2=2.当x1=2,x2=3时,x1*x2=2×3-32=-3;当x1=3,x2=2时,x1*x2=32-3×2=3.
答案:-3或3
18.(2013·牡丹江中考)菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,A(0,6),D(4,0),将菱形ABCD先向左平移5个单位长度,再向下平移8个单位长度,然后在坐标平面内绕点O旋转90°,则边AB中点的对应点的坐标为 .
【解析】∵A(0,6),D(4,0),
∴OA=6,OD=4.
∵四边形ABCD是菱形,∴OB=OD=4.
设AB的中点为E,过点E作EF⊥x轴于点F,如图,
则BF=OB=2,EF=OA=3,∴E(-2,3).将点E向左平移5个单位长度,再向下平移8个单位长度后的点E'坐标为(-2-5,3-8),即(-7,-5),再将点E'绕点O顺时针旋转90°后的点的坐标为(-5,7),或将点E'绕点O逆时针旋转90°后的点的坐标为(5,-7).
答案:(-5,7)或(5,-7)
三、解答题(共66分)
19.(6分)先化简,再求值:(x-1)÷,其中x为方程x2+3x+2=0的根.
【解题指南】首先将括号内的分式通分,然后将除法转化为乘法,再将分子、分母中的公因式约去,得出最简式子,再解一元二次方程,选择合适的数值代入求值即可.
【解析】原式=(x-1)÷=(x-1)·=-x-1.由x2+3x+2=0,得x1=-1,x2=-2.当x=-1时,原式无意义;当x=-2时,原式=1.
20.(8分)如图,抛物线y=-x2+5x+n经过点A(1,0),与y轴交于点B.
(1)求抛物线的解析式.
(2)P是y轴正半轴上一点,且△PAB是以AB为腰的等腰三角形,试求点P的坐标.
【解析】(1)因为点A(1,0)在抛物线上,[来源:学#科#网Z#X#X#K]
即0=-12+5+n,解得n=-4,
即抛物线的解析式为y=-x2+5x-4.
(2)点B为(0,-4),
所以AB==;
设点P的坐标为(0,m),若AP=AB,即点O是PB的中点,所以OP=OB,即m=4,点P的坐标为(0,4);若PB=AB,即OP=PB-OB=-4,所以点P的坐标为(0,-4).
【方法技巧】求二次函数解析式的技巧
灵活设二次函数解析式的形式,是快速、准确求解析式的关键,一般有如下规律:
(1)已知三点的坐标,一般设为一般形式y=ax2+bx+c.
(2)已知顶点坐标,一般设为顶点形式y=a(x+h)2+m.
(3)已知抛物线与x轴的两个交点的坐标(x1,0),(x2,0),一般设为交点形式:y=a(x-x1)(x-x2).
21.(8分)一透明的口袋中装有3个球,这3个球分别标有1,2,3,这些球除了数字外都相同.
(1)如果从袋子中任意摸出一个球,那么摸到标有数字是2的球的概率是多少?
(2)小明和小亮玩摸球游戏,游戏的规则如下:先由小明随机摸出一个球,记下球的数字后放回,搅匀后再由小亮随机摸出一个球,记下数字.谁摸出的球的数字大,谁获胜.请你用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平?并说明理由.
【解析】(1)从袋子中任意摸出一个球,可能有3种情况,可能标有1,或2,或3,符合条件的有1种可能性,即摸到标有数字是2的球的概率是.
(2)列表如下:[来源:学科网ZXXK]
小亮
小明
1
2
3
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
3[来源:学科网ZXXK]
(3,1)
(3,2)
(3,3)
从表格可以看出,一共有9种可能性,小明获胜的可能性有3种,小亮获胜的可能性有3种,所以两个人获胜的概率都是,即游戏规则对双方是公平的.
22.(8分)已知抛物线的对称轴为直线x=-2,且抛物线过点(-1,-1),(-4,0),求该抛物线的解析式.
【解析】因为抛物线的对称轴为直线x=-2,,所以设抛物线的解析式为y=a(x+2)2+b,分别把点(-1,-1)和(-4,0)代入解析式,得
解得
即该抛物线的解析式为y=(x+2)2-.
23.(8分)(2013·武汉中考)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(-3,2),B(0,4),C(0,2).
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A1B1C;平移△ABC,若点A的对应点A2的坐标为(0,-4),画出平移后对应的△A2B2C2.
(2)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2;请直接写出旋转中心的坐标.
(3)在x轴上有一点P,使得PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标.
【解析】(1)如图所示:
(2)旋转中心的坐标为:.
(3)点P的坐标为(-2,0).
24.(9分)如图,AB是☉O的切线,B为切点,圆心在AC上,∠A=30°,D为的中点.
(1)求证:AB=BC.(2)求证:四边形BOCD是菱形.
【证明】(1)∵AB是☉O的切线,
∴∠OBA=90°,∠AOB=90°-30°=60°,
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,
∵∠AOB=∠OBC+∠OCB,
∴∠OCB=30°=∠A,∴AB=BC.
(2)连接OD交BC于点M,
∵D是的中点,
∴OD垂直平分BC,在直角△OMC中,
∵∠OCM=30°,
∴OC=2OM=OD,∴OM=DM,
∴四边形BOCD是平行四边形,
又因为OC=OB,
∴四边形BOCD是菱形.
25.(9分)(2013·长沙中考)如图,△ABC中,以AB为直径的☉O交AC于点D,
∠DBC=∠BAC.
(1)求证:BC是☉O的切线.
(2)若☉O的半径为2,∠BAC=30°,求图中阴影部分的面积.
【解析】(1)∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ABD+∠BAC=90°,
∵∠DBC=∠BAC,
∴∠ABD+∠DBC=90°,[来源:学+科+网Z+X+X+K]
∴BC是☉O的切线.
(2)连接OD,∵∠BAC=30°,
∴∠BOD=60°,
∵OB=OD,
∴△OBD是等边三角形,
∴S阴影=S扇形OBD-S△OBD=-×2×=-.
【知识归纳】与切线有关的辅助线
与切线有关的辅助线,大致分两类:一是连半径证垂直,二是作垂直证半径.这里“连半径、作垂直”不仅仅表示是要添加辅助线,更确切地说是题目中的已知条件.
26.(10分)(2013·青岛中考)某商场要经营一种新上市的文具,进价为20元/件.试营销阶段发现:当销售单价25元/件时,每天的销售量是250件;销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件.
(1)写出商场销售这种文具,每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式.
(2)求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大?
(3)商场的营销部结合上述情况,提出了A,B两种营销方案:
方案A:该文具的销售单价高于进价且不超过30元;
方案B:每天销售量不少于10件,且每件文具的利润至少为25元.
请比较哪种方案的最大利润更高,并说明理由.
【解析】(1)w=(x-20)[250-10(x-25)]=-10(x-20)(x-50)=-10x2+700x-10000.
(2)∵w=-10x2+700x-10000
=-10(x-35)2+2250,
∴当x=35时,w取到最大值2250,
即销售单价为35元时,每天销售利润最大,最大利润为2250元.
(3)∵w=-10(x-35)2+2250,
∴函数图象是以x=35为对称轴且开口向下的抛物线.
∴对于方案A,需20<x≤30,此时图象在对称轴左侧(如图),w随x的增大而增大,
∴x=30时,w取到最大值2000.
∴当采用方案A时,销售单价为30元可获得最大利润为2000元;
对于方案B,则有
解得45≤x<49,此时图象位于对称轴右侧(如图),
∴w随x的增大而减小,故当x=45时,w取到最大值1250,
∴当采用方案B时,销售单价为45元可获得最大利润为1250元.
两者比较,还是方案A的最大利润更高.
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