抛物线历年高考题.doc

抛物线历年高考题精选（2004-2009）1.（2009湖南卷文）抛物线的焦点坐标是（ ）2.（04安徽春季理13）抛物线的准线方程为 3.（2009四川卷文）抛物线的焦点到准线的距离是 .4.（04上海理2）设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=1,则它的焦点坐标为 .5.（05江苏6）抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是6.（07宁夏里6）已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且 则有（）7.（07陕西理3）抛物线y=x2的准线方程是（A）4y+1=0(B)4x+1=0 (C)2y+1=0 (D)2x+1=08.（2009天津卷理）设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的面积之比=( )A. B. C. D.9.（2009四川卷理）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）A.2 B.3 C. D.10.（2009宁夏海南卷理）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为_.11.（2009全国卷文）已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点。若,则k=(). . . .12.（2009全国卷理）已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则( )A. B. C. D.13.（2009福建卷理）过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则_ 14.（2009宁夏海南卷文）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若为的中点，则抛物线C的方程为 15、(2008海南、宁夏理)已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（A）A（，1）B（，1）C（1，2）D（1，2）16(2008辽宁理) 已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） ABCD17(2008四川理) 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为( B )（） （） （）（）18(2008江西理)过抛物线的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧)，则 19(2008全国卷文、理)已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 2 20(2008全国卷理)已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于点设，则与的比值等于 21(2008全国卷文)已知是抛物线的焦点，是上的两个点，线段AB的中点为，则的面积等于 2 22(2008上海文)若直线经过抛物线的焦点，则实数 -1.23.(2008天津理)已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称.直线圆C相交于两点，且,则圆C的方程为 .24（2008北京理）若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ D ） A圆B椭圆C双曲线D抛物线25.(04全国理8)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是A，B2，2C1，1D4，426.(04湖北理1)与直线的平行的抛物线的切线方程是（ ）ABCD27.（05上海理15）过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线( )(A)有且仅有一条 (B) 有且仅有两条 (C) 有无穷多条 (D)不存在28.（06山东文15）已知抛物线，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(两点，则y的最小值是29.(06四川文10) 直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线垂足分别为，则梯形的面积为（A） （B） （C） （D）30.（07广东理11）在平面直角坐标系中，有一定点（2，1），若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是 .31.（07全国理11）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，垂足为，则的面积是ABCD32.（07全国2理12）设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若，则(A)9(B)6 (C) 4 (D) 333.（07四川理8）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点A、B，则|AB|等于（A）3（B）4（C）（D）34.(04上海春理4)过抛物线的焦点作垂直于轴的直线，交抛物线于、两点，则以为圆心、为直径的圆方程是_.7.（04北京理17）如图，过抛物线上一定点P（）（），作两条直线分别交抛物线于A（），B（）（I）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数8.(04福建理22)P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.（）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；(）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.10.(04湖南文22)（本小题满分14分）如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m0)作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点（I）设点P分有向线段所成的比为，证明:（II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.12.（04重庆理21）设是一常数，过点的直线与抛物线交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程13.（05全国理21）设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。（）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；（）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围。14.（05广东17）在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足（如图所示）（）求得重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由xyOAB15.(05天津理21）抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x 00)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足.（）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；（）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；（）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.21.(06全国理21)已知抛物线的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（I）证明为定值；（II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。17.(05江西理22)如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求APB的重心G的轨迹方程.（2）证明PFA=PFB.2.(04全国21)给定抛物线C：y24x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点()设l的斜率为1，求与夹角的大小；()设，若4，9，求l在y轴上截距的变化范围4.(04安徽春季理22)已知抛物线C：，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线.（）若C在点M的法线的斜率为，求点M的坐标（x0，y0）；（）设P（2，a）为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.5.(04北京春理18.)已知点A（2，8），在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）（I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；（II）求线段BC中点M的坐标； （III）求BC所在直线的方程24.（07湖北理19）在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2=2px(p0)相交于A、B两点.（）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值；（）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.（此题不要求在答题卡上画图）25.(07江苏19)如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，（1）若，求的值；（5分）（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）26.（07辽宁理20）已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）（I）求圆的方程；（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值4.解:（）M（1，）；（）当a0时，在C上有三个点（2，），（2，）及（2，），在这三点的法线过点P（2，a），其方程分别为：x2y22a0，x2y22a0，x2.当a0时，在C上有一个点（2，），在这点的法线过点P（2，a），其方程为：x2.5.解：（I）由点A（2，8）在抛物线上，有 解得 所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）（II）如图，由F（8，0）是的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且 设点M的坐标为，则 解得 所以点M的坐标为（III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴 设BC所成直线的方程为 由消x得 所以 由（II）的结论得 解得因此BC所在直线的方程为 即7.解：（I）当时， 又抛物线的准线方程为 由抛物线定义得，所求距离为 （2）设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为 由， 相减得 故 同理可得 由PA，PB倾斜角互补知 即 所以 故 设直线AB的斜率为 由， 相减得 所以 将代入得，所以是非零常数8.本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.解：（）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x10，y10，y20.由y=x2， 得y=x.过点P的切线的斜率k切= x1，直线l的斜率kl=-，直线l的方程为yx12= (xx1)，方法一：联立消去y，得x2+xx122=0.M是PQ的中点 x0=-，y0=x12(x0x1)消去x1，得y0=x02+1(x00)，PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0).方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1y2=x12x22=(x1+x2)(x1x2)=x0(x1x2)，则x0=kl=-，x1=，将上式代入并整理，得y0=x02+1(x00)，PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0).（）设直线l:y=kx+b，依题意k0，b0，则T(0，b).分别过P、Q作PPx轴，QQy轴，垂足分别为P、Q，则. 由 y=x2 ， y=kx+b 消去x，得y22(k2+b)y+b2=0. 则y1+y2=2(k2+b)，y1y2=b2.方法一：|b|()2|b|=2|b|=2.y1、y2可取一切不相等的正数，的取值范围是（2，+）.方法二：=|b|=|b|.当b0时，=b=+22；当b0，于是k2+2b0，即k22b.所以=2.当b0时，可取一切正数，的取值范围是（2，+）.方法三：由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP，即=.则x1y2bx1=x2y1bx2，即b(x2x1)=(x2y1x1y2).于是b=x1x2.22=+=+2.可取一切不等于1的正数，的取值范围是（2，+）.10.解：（）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得 设A、B两点的坐标分别是 、x2是方程的两根.所以 由点P（0，m）分有向线段所成的比为，得又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，m），从而. 所以 （）由 得点A、B的坐标分别是（6，9）、（4，4）.由 得 所以抛物线 在点A处切线的斜率为设圆C的方程是则解之得 所以圆C的方程是 即 12.解法一：由题意，直线AB不能是水平线， 故可设直线方程为：.又设，则其坐标满足消去x得 由此得 因此.故O必在圆H的圆周上.又由题意圆心H（）是AB的中点，故由前已证，OH应是圆H的半径，且.从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.此时，直线AB的方程为：x=2p.解法二：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：ky=x2p又设，则其坐标满足分别消去x，y得故得A、B所在圆的方程明显地，O（0，0）满足上面方程所表示的圆上，又知A、B中点H的坐标为故 而前面圆的方程可表示为故|OH|为上面圆的半径R，从而以AB为直径的圆必过点O（0，0）.又，故当k=0时，R2最小，从而圆的面积最小，此时直线AB的方程为：x=2p.解法三：同解法一得O必在圆H的圆周上又直径|AB|=上式当时，等号成立，直径|AB|最小，从而圆面积最小.此时直线AB的方程为x=2p.13.解：（）两点到抛物线的准线的距离相等， 抛物线的准线是轴的平行线，依题意不同时为0上述条件等价于上述条件等价于即当且仅当时，经过抛物线的焦点。（）设在轴上的截距为，依题意得的方程为；过点的直线方程可写为，所以满足方程 得 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式，即设的中点的坐标为，则，由，得，于是即得在轴上截距的取值范围为14.解：（I）设AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 （1）OAOB ,即，(2)又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得所以重心为G的轨迹方程为（II）由（I）得当且仅当即时，等号成立。所以AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；17.解：（1）设切点A、B坐标分别为，切线AP的方程为： 切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以APB的重心G的坐标为 ，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： （2）方法1：因为由于P点在抛物线外，则同理有AFP=PFB.方法2：当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：即所以P点到直线BF的距离为：所以d1=d2，即得AFP=PFB.当时，直线AF的方程：直线BF的方程：所以P点到直线AF的距离为：，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.24.本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.解法1：（）依题意，点N的坐标为N(0,-p),可设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是.()假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则.= =令，得为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线.解法2：（）前同解法1，再由弦长公式得又由点到直线的距离公式得.从而，得可取于是.即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为（0，）.25.解：（1）设过C点的直线为，所以，即，设A，=，因为，所以，即，所以，即所以（2）设过Q的切线为，所以，即，它与的交点为M，又，所以Q，因为,所以，所以M,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q，因为PQ轴，所以因为，所以P为AB的中点。