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抛物线历年高考题精选（2004-2009）
1.（2009湖南卷文）抛物线的焦点坐标是（ ）
2.（04安徽春季理13）抛物线的准线方程为
3.（2009四川卷文）抛物线的焦点到准线的距离是 .
4.（04上海理2）设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=－1,则它的焦点坐标为 .
5.（05江苏6）抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是
6.（07宁夏里6）已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且 则有（　　）Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
7.（07陕西理3）抛物线y=x2的准线方程是（A）4y+1=0(B)4x+1=0 (C)2y+1=0 (D)2x+1=0
8.（2009天津卷理）设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的面积之比=( )
A. B. C. D.
9.（2009四川卷理）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）A.2 B.3 C. D.
10.（2009宁夏海南卷理）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为_____________.
11.（2009全国卷Ⅱ文）已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点。若,则k=　(　　)Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
12.（2009全国卷Ⅱ理）已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则( )A. B. C. D.
13.（2009福建卷理）过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则________________
14.（2009宁夏海南卷文）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若为的中点，则抛物线C的方程为
15、(2008海南、宁夏理)已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（A）A（，－1）B（，1）C（1，2）D（1，－2）
16．(2008辽宁理) 已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A． B． C． D．
17．(2008四川理) 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为( B )（Ａ）　 （Ｂ）　 （Ｃ）　　（Ｄ）
18．(2008江西理)过抛物线的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧)，则＝ ．
19．(2008全国Ⅰ卷文、理)已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 2 ．
20．(2008全国Ⅱ卷理)已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于点．设，则与的比值等于 ．
21．(2008全国Ⅱ卷文)已知是抛物线的焦点，是上的两个点，线段AB的中点为，则的面积等于 2 ．
22．(2008上海文)若直线经过抛物线的焦点，则实数 -1. ．
23.(2008天津理)已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称.直线圆C相交于两点，且,则圆C的方程为 .
24．（2008北京理）若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ D ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
25.(04全国Ⅰ理8)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是A．[－，] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]
26.(04湖北理1)与直线的平行的抛物线的切线方程是 （ ）
A． B．C． D．
27.（05上海理15）过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线( )(A)有且仅有一条 (B) 有且仅有两条 (C) 有无穷多条 (D)不存在
28.（06山东文15）已知抛物线，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(两点，则y的最小值是
29.(06四川文10) 直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线垂足分别为，则梯形的面积为（A） （B） （C） （D）
30.（07广东理11）在平面直角坐标系中，有一定点（2，1），若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是 .
31.（07全国理11）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是AB． C． D．
32.（07全国2理12）设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若，
则(A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3
33.（07四川理8）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点A、B，则|AB|等于
（A）3 （B）4 （C） （D）
34.(04上海春理4)过抛物线的焦点作垂直于轴的直线，交抛物线于、两点，则以为圆心、为直径的圆方程是________________.

7.（04北京理17）如图，过抛物线上一定点P（）（），作两条直线分别交抛物线于A（），B（）
（I）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离
（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数

8.(04福建理22)P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.
（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；(Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.

10.(04湖南文22)（本小题满分14分）
如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点
（I）设点P分有向线段所成的比为，证明:
（II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.

12.（04重庆理21）设是一常数，过点的直线与抛物线交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程

13.（05全国Ⅲ理21）设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。
（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；
（Ⅱ）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围。
14.（05广东17）在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足（如图４所示）．
（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
x
y
O
A
B

15.(05天津理21）抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足.
（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；
（Ⅲ）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.
21.(06全国Ⅱ理21)已知抛物线的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。
（I）证明为定值；
（II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。
17.(05江西理22)如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.
（1）求△APB的重心G的轨迹方程.
（2）证明∠PFA=∠PFB.
2.(04全国Ⅱ21)给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．
(Ⅰ)设l的斜率为1，求与夹角的大小；
(Ⅱ)设＝，若∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．
4.(04安徽春季理22)已知抛物线C：，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线.
（Ⅰ）若C在点M的法线的斜率为－，求点M的坐标（x0，y0）；
（Ⅱ）设P（－2，a）为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.
5.(04北京春理18.)已知点A（2，8），在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）

（I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（II）求线段BC中点M的坐标； （III）求BC所在直线的方程

24.（07湖北理19）在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2=2px(p>0)相交于A、B两点.
（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，
求△ANB面积的最小值；
（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.（此题不要求在答题卡上画图）
25.(07江苏19)如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，

（1）若，求的值；（5分）
（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（5分）
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）

26.（07辽宁理20）已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）
（I）求圆的方程；
（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值
4.解:（Ⅰ）M（－1，）；
（Ⅱ）当a＞0时，在C上有三个点（－2＋，），（－2－，）及
（－2，－），在这三点的法线过点P（－2，a），其方程分别为：
x＋2y＋2－2a＝0，
x－2y＋2＋2a＝0，
x＝－2.
当a≤0时，在C上有一个点（－2，－），在这点的法线过点P（－2，a），其方程为：x＝－2.
5.解：（I）由点A（2，8）在抛物线上，有 解得
所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）
（II）如图，由F（8，0）是的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且 设点M的坐标为，则
解得 所以点M的坐标为

（III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴
设BC所成直线的方程为
由消x得
所以 由（II）的结论得 解得
因此BC所在直线的方程为 即
7.解：（I）当时，
又抛物线的准线方程为
由抛物线定义得，所求距离为

（2）设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为
由，
相减得
故
同理可得
由PA，PB倾斜角互补知
即
所以
故
设直线AB的斜率为
由，
相减得
所以
将代入得
，所以是非零常数
8.本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.
解：（Ⅰ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x1≠0，y1>0，y2>0.
由y=x2， ①
得y＇=x.
∴过点P的切线的斜率k切= x1，
∴直线l的斜率kl=－=-，
∴直线l的方程为y－x12=－ (x－x1)，
方法一：
联立①②消去y，得x2+x－x12－2=0.
∵M是PQ的中点
∴ x0==-，y0=x12－(x0－x1)
消去x1，得y0=x02++1(x0≠0)，
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).
方法二：
由y1=x12，y2=x22，x0=，
得y1－y2=x12－x22=(x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)，
则x0==kl=-，
∴x1=－，
将上式代入②并整理，得
y0=x02++1(x0≠0)，
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).
（Ⅱ）设直线l:y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b).
分别过P、Q作PP＇⊥x轴，QQ＇⊥y轴，垂足分别为P＇、Q＇，则
.

由 y=x2 ， y=kx+b 消去x，得y2－2(k2+b)y+b2=0. ③
则y1+y2=2(k2+b)，y1y2=b2.
方法一：
∴|b|()≥2|b|=2|b|=2.
∵y1、y2可取一切不相等的正数，
∴的取值范围是（2，+）.
方法二：
∴=|b|=|b|.
当b>0时，=b==+2>2；
当b<0时，=－b=.
又由方程③有两个相异实根，得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0，
于是k2+2b>0，即k2>－2b.
所以>=2.
∵当b>0时，可取一切正数，
∴的取值范围是（2，+）.
方法三：
由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP，
即=.
则x1y2－bx1=x2y1－bx2，即b(x2－x1)=(x2y1－x1y2).
于是b==－x1x2.
2
2
∴==+=+≥2.
∵可取一切不等于1的正数，
∴的取值范围是（2，+）.
10.．解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得
①
设A、B两点的坐标分别是 、、x2是方程①的两根.
所以
由点P（0，m）分有向线段所成的比为，
得
又点Q是点P关于原点的对称点，
故点Q的坐标是（0，－m），从而.

所以
（Ⅱ）由 得点A、B的坐标分别是（6，9）、（－4，4）.
由 得
所以抛物线 在点A处切线的斜率为
设圆C的方程是
则
解之得
所以圆C的方程是
即
12.解法一：由题意，直线AB不能是水平线， 故可设直线方程为：.
又设，则其坐标满足

消去x得
由此得

因此.
故O必在圆H的圆周上.
又由题意圆心H（）是AB的中点，故

由前已证，OH应是圆H的半径，且.
从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.
此时，直线AB的方程为：x=2p.
解法二：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：ky=x－2p
又设，则其坐标满足
分别消去x，y得
故得A、B所在圆的方程
明显地，O（0，0）满足上面方程所表示的圆上，
又知A、B中点H的坐标为
故
而前面圆的方程可表示为
故|OH|为上面圆的半径R，从而以AB为直径的圆必过点O（0，0）.
又，
故当k=0时，R2最小，从而圆的面积最小，此时直线AB的方程为：x=2p.
解法三：同解法一得O必在圆H的圆周上
又直径|AB|=

上式当时，等号成立，直径|AB|最小，从而圆面积最小.
此时直线AB的方程为x=2p.
13.解：（Ⅰ）两点到抛物线的准线的距离相等，
∵抛物线的准线是轴的平行线，，依题意不同时为0
∴上述条件等价于
∵
∴上述条件等价于
即当且仅当时，经过抛物线的焦点。
（Ⅱ）设在轴上的截距为，依题意得的方程为；过点的直线方程可写为，所以满足方程
得
为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式，即
设的中点的坐标为，则
，
由，得，于是
即得在轴上截距的取值范围为
14.解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 …（1）
∵OA⊥OB ∴,即，……(2)
又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得
∴
所以重心为G的轨迹方程为
（II）
由（I）得
当且仅当即时，等号成立。
所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；
17.解：（1）设切点A、B坐标分别为，
∴切线AP的方程为：
切线BP的方程为：
解得P点的坐标为：
所以△APB的重心G的坐标为 ，

所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

（2）方法1：因为
由于P点在抛物线外，则
∴
同理有
∴∠AFP=∠PFB.
方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：
即
所以P点到直线BF的距离为：
所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.
②当时，直线AF的方程：
直线BF的方程：
所以P点到直线AF的距离为：
，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.
24.本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.
解法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N(0,-p),可设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.
由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.
于是
　　　　　＝
　　　　　＝

.
(Ⅱ)假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则

＝.

=
＝

=
令，得为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，
即抛物线的通径所在的直线.
解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得

＝
又由点到直线的距离公式得.
从而，

得

可取
于是
.
即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为（0，）.
25.解：（1）设过C点的直线为，所以，即，设A，=，，因为，所以
，即，
所以，即所以
（2）设过Q的切线为，，所以，即，它与的交点为M，又，所以Q，因为,所以，所以M,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。
（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q，因为PQ轴，所以
因为，所以P为AB的中点。