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柯西收敛准则的一个新证明

杨 进
（重庆师范大学数学学院2007级，重庆400047）

摘要：在这篇短文里，通过构造两个新数列，利用单调有界原理，我们给出了柯西收敛准则的一个新证明。证明方法新颖，具有借鉴意义。
关键词：利用单调有界原理；柯西收敛准则；新证明；夹值性。
中图分类号：O17

在数学分析中，柯西收敛准则是一个最基础，又非常重要的结果，是判断一个数列是否收敛用的最多工具。尽管我们已经知道实数完备性的八大基本定理是等价，即单调有界原理与柯西收敛准则是等价。但我们注意到实数完备性的八大基本定理的等价是通过循环方式给出的证明，且到目前为止我们还没有见到直接用单调有界原理证明柯西收敛准则的文献。在这篇短文里，通过构造两个新数列，利用单调有界原理，我们给出了柯西收敛准则的一个新证明。本文的证明方法不同于文献【3】的证明，具有新颖性，对学习数学分析有借鉴意义。
单调有界原理：单调有界数列必有极限。
下面我们用单调有界原理证明柯西收敛准则。
柯西收敛准则：数列收敛的充要条件是是柯西数列。
证明：必要性显然。下证充分性。
设是柯西数列，即，，当时，有
(1)
令：

显然：是单调递减数列，是单调递增数列。
取
由(1)，不难知.
于是，和都是有界数列。
根据单调有界原理，和都是收敛数列。不妨设：
(2)
由和的构造以及（1），我们有
(3)
(4)
于是由(4)，有。而是任意正数，因此
。 (5)
最后，根据(2)，(3)和(5)，我们有：

这就完成了证明。

参考文献：
1. 严子谦，尹景学，张然：《数学分析的方法与技巧》，高等教育出版社，2009，pp.13—17.
2. 华东师范大学数学系编：《数学分析》，高等教育出版社，2001.
3. 许祥鸿，用单调有界原理证明几个分析定理，《无锡教育学院学报》，1998年4期，4—8.