初二四边形部分较难题汇总.doc

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四边形复习

第I卷（选择题）
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评卷人
得分

一、选择题（题型注释）
1．正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（　　）

A．10 B．12 C．14 D．16
2．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．
根据两人的作法可判断（　　）

A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
3．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝6，则BC的长为( )
A．1 B．2 C．2 D．12

4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D、E分别是AB、BC的中点，F在CA的延长线上，∠FDA=∠B，AC=6，AB=8，则四边形AEDF的周长为（ ）

A．22 B．20 C．18 D．16
5．如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是（　　）

6．在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过C点作CEBD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②B0=BF；③CA=CH；④BE=3ED；正确的个数为( )

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
7．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A 的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是

A． B．
C． D．

第II卷（非选择题）
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评卷人
得分

二、填空题（题型注释）
8．已知菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=　  　．

9．按如图方式作正方形和等腰直角三角形．若第一个正方形的边长AB=1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2，…，则第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn=　　．

10．如图，矩形ABCD中，AD＝2AB，E、F分别是AD、BC上的点，且线段EF过矩形对角线AC的中点O，且EF⊥AC，PF∥AC，则EF：PE的值是

11．如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置上．若OB=,,则点A′的坐标 ．

12．如图，矩形的面积为6，它的两条对角线交于点，以、为两邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以、 为两邻边作平行四边形，……，依次类推，则平行四边形的面积为 .

……

13．如图，五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥CD，∠A=∠E=120°，AB=CD=1，AE=2，则五边形ABCDE的面积等于　_________　．

14．如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF∶CF＝ ．

15．七巧板被西方人称为“东方魔板”．下面的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形（如图a）的边长为8，则“一帆风顺”（如图b）阴影部分的面积为_______．

图a 图b
16．如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°．顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…．则四边形A2B2C2D2的周长是　 　；四边形A2013B2013C2013D2013的周长是　 　．

17．如图，将边长为2的正方形纸片ABCD折叠，使点B 落在CD上，落点记为E（不与点C，D重合），点A落在点F处，折痕MN交AD于点M，交BC于点N．若，则BN的长是 ，的值等于 ；若（，且为整数），则的值等于 （用含的式子表示）．

18．矩形中，对角线、交于点，于若 则 ．

19．如图，正方形ABCD的面积为18 ，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的最小值为__________．

20．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，EB= ，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（　　）

21．正方形ABCD，矩形EFGH均位于第一象限内，它们的边平行于x轴或y轴，其中，点A，E在直线OM上，点C，G在直线ON上，O为坐标原点，点A的坐标为（3，3），正方形ABCD的边长为1．若矩形EFGH的周长为10，面积为6，则点F的坐标为 .

22．由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的“赵爽弦图”．若这四个全等的直角三角形有一个角为30°，顶点B1，B2，B3，…，Bn和C1，C2，C3，…，Cn分别在直线和x轴上，则第一个阴影正方形的面积为 ▲ ，第n个阴影正方形的面积为 ▲ .

评卷人
得分

三、计算题（题型注释）
23．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．
如图，在筝形中，，，，相交于点，

（1）求证：①；
②，；
（2）如果，，求筝形的面积．（8分）
24．（本题满分12分）
已知：如图，为平行四边形ABCD的对角线，为的中点，于点，与，分别交于点．
D
C
F
B
A
E
O

求证：⑴．
⑵
25．如图，E是矩形ABCE的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H。

（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；
（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长。

评卷人
得分

四、解答题（题型注释）
26．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°，点P、Q分别是边BC、CD上的动点（不与端点重合），且BP=CQ．

（1）图中除了△ABC与△ADC外，还有哪些三角形全等，请写出来；
（2）点P、Q在运动过程中，四边形APCQ的面积是否变化，如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积；
（3）当点P在什么位置时，△PCQ的面积最大，并请说明理由．

27．如图①，在平行四边形ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A﹣D﹣A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．
（1）当点P沿A﹣D﹣A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．
（2）连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式．
（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值．
（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．

28．正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P在DB所在的直线上，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．
（1）如图1，当点P与点O重合时，延长FP交AB于点M，求证：AP=EF；
（2）如图2，当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时，延长FP交AB于点M，求证：AP=EF；
（3）如图3，当点P在DB的延长线上时，请你猜想AP与EF的数量关系及位置关系，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．

29．如图，直角梯形OABC中，OC∥AB，C(0，3)，B(4，1)，以BC为直径的圆交x轴于D、E两点(点D在点E的右方)求点E、D的坐标．

30．如图，在菱形ABCD中，E为AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于F.求证：AB与EF互相平分.
D
C
F
E
B
A
H
G

31．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D.

（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；
（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由.

32．如图,在矩形ABCD中,点O是边AD上的中点,点E是边BC上的一个动点,延长EO到F,使得OE=OF.
（1）当点E运动到什么位置时,四边形AEDF是菱形？（直接写出答案）
（2）若矩形ABCD的周长为20,四边形AEDF的面积是否存在最大值？如果存在,请求出最大值;如果不存在,请说明理由．
（3）若AB=,BC=,当.满足什么条件时,四边形AEDF能成为一个矩形？（不必说明理由）
33．已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（21，0），C（0，6），动点D在线段AO上从点A以每秒2个单位向点O运动，动点P在线段BC上从点C以每秒1个单位向点B运动．若点D点P同时运动，当其中一个动点到达线段另一个端点时，另一个动点也随之停止.

（1）求点B的坐标（1分）；
（2）设点P运动了t秒，用含t的代数式表示△ODP的面积S（3分）；
（3）当P点运动某一点时，是否存在使△ODP为直角三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由（8分）.

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参考答案
1．D
【解析】连接DB、GE、FK，则DB∥GE∥FK，再由平行线间的距离相等及同底等高的两三角形面积相等得出S△DGE=S△GEB，S△GKE=S△GFE，进而把阴影部分面积转化为正方形GBEF的面积，即S阴影=S正方形GBEF．
解：如图，连接DB、GE、FK，则DB∥GE∥FK，

在梯形GDBE中，S△DGE=S△GEB（同底等高的两三角形面积相等），
同理S△GKE=S△GFE．
∴S阴影=S△DGE+S△GKE，
=S△GEB+S△GEF，
=S正方形GBEF，
=4×4
=16
故选D．
2．C
【解析】首先证明△AOM≌△CON（ASA），可得MO=NO，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定判定四边形ANCM是平行四边形，再由AC⊥MN，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出ANCM是菱形；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得AB=AF，所以四边形ABEF是菱形．
解：甲的作法正确；

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACN，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AO=CO，
在△AOM和△CON中，,
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴MO=NO，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∵AC⊥MN，
∴四边形ANCM是菱形；
乙的作法正确；

∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠6=∠7，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∴∠1=∠3，∠5=∠7，
∴AB=AF，AB=BE，
∴AF=BE.
∵AF∥BE，且AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴平行四边形ABEF是菱形；
故选：C．
3．C．
【解析】
试题分析：：∵菱形AECF，AB=6，
∴假设BE=x，
∴AE=6-x，
∴CE=6-x，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠FCO=∠ECO，
∵∠ECO=∠ECB，
∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°，
2BE=CE，
∴CE=2x，
∴2x=6-x，
解得：x=2，
∴CE=4，利用勾股定理得出：
BC2+BE2=EC2，
，
故选：C．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．菱形的性质；3．矩形的性质．
4．D．
【解析】
试题分析：：在Rt△ABC中，
∵AC=6，AB=8，
∴BC=10，
∵E是BC的中点，
∴AE=BE=5，
∴∠BAE=∠B，
∵∠FDA=∠B，
∴∠FDA=∠BAE，
∴DF∥AE，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，DE=AC=3
∴四边形AEDF是平行四边形
∴四边形AEDF的周长=2×（3+5）=16．
故选D．
考点1.平行四边形的判定与性质2.勾股定理3.三角形中位线定理．
5．B
【解析】如图，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，

∵点E是正方形的对称中心，
∴EN＝EM，
由旋转的性质可得∠NEK＝∠MEL，
在Rt△ENK和Rt△EML中，

故可得△ENK≌△EML，即阴影部分的面积始终等于正方形面积的.
6．C
【解析】
试题分析：根据矩形的性质可得OA=OB=OC=OD，由AD=，AB=1根据特殊角的锐角三角函数值可求出∠ADB=30°，即得∠ABO=60°，从而可证得△ABO是等边三角形，即得AB=BO=AO=OD=OC=DC，推出BF=AB，求出∠H=∠CAH=15°，求出DE=EO，再依次分析各小题即可作出判断．
根据已知条件不能推出AF=FH，故①错误；
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AD=，AB=1，
∴tan∠ADB=，
∴∠ADB=30°，
∴∠ABO=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，
∴AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=BO，∠AOB=∠BAO=60°=∠COE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∵AB=BO，
∴BF=BO，故②正确；
∵∠BAO=60°，∠BAF=45°，
∴∠CAH=15°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEO=90°，
∵∠EOC=60°，
∴∠ECO=30°，
∴∠H=∠ECO-∠CAH=30°-15°=15°=∠CAH，
∴AC=CH，故③正确；
∵△AOB是等边三角形，
∴AO=OB=AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，
∴DC=OC=OD，
∵CE⊥BD，
∴DE=EO=DO=BD，
∴BE=3ED，故④正确；
∴正确的有3个，
故选C．
考点：矩形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定
点评：本题知识点较多，综合性强，是中考常见题，一般是中考压轴题，难度较大，需特别注意.
7．B。
【解析】当点P由点A向点D运动时，y的值为0；
当点p在DC上运动时，y随着x的增大而增大；
当点p在CB上运动时，y不变；
当点P在BA上运动时，y随x的增大而减小。
故选B。　
8．5
【解析】如图，设线段AB的中点为Q，由菱形的对称性可知，点Q与点M关于直线BD对称，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，证出MP+NP=QN=BC；如图2，连接AC，设对角线AC、BD相交于点O，求出CO、BO，根据勾股定理求出BC长，即可得出答案．
解：如图，设线段AB的中点为Q，由菱形的对称性可知，点Q与点M关于直线BD对称，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小．

∵N为CD中点，Q为AB中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CN，BQ=CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ=BC，
如图，连接AC，设对角线AC、BD相交于点O．

∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=AC=3，OB=BD=4，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=5，
即图1中QN=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
故答案为：5．
9．
【解析】观察图形，根据正方形的四条边相等和等腰直角三角形的腰长为斜边长的倍，分别求得每个正方形的边长，从而发现规律，再根据规律求出第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和即可．
解：∵第一个正方形的边长为1，
第2个正方形的边长为（）1=，
第3个正方形的边长为（）2=，
…，
第n个正方形的边长为（）n﹣1，
∴第n个正方形的面积为：[（）2]n﹣1=，
则第n个等腰直角三角形的面积为：×=，
故第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn=+=．
故答案为：．
10．.
【解析】
试题分析：设AB=1，则AD=2，AE=x，
∵矩形ABCD，∴AC=.
∵点O是矩形对角线AC的中点，∴AO=.∴OE=.
∵EF⊥AC，∴△AEO∽△ACD.∴.
∴
易证△AEO≌△CFO，∴OE=OD，AE=CF=.
∴EF=，BF=.
∵PF∥AC，∴△BPF∽△BCA.∴.
∵EF⊥AC，PF∥AC，∴△PEF是直角三角形.
∴.
∴EF：PE=.
考点：1. 矩形的性质；2.勾股定理；3.相似三角形的判定和性质；4.全等三角形的判定和性质；5.待定系数法和特殊元素法的应用.
11．（−，）．
【解析】
试题分析：由已知条件可得：BC=1，OC=2．设OC与A′B交于点F，作A′E⊥OC于点E，易得△BCF≌△OA′F，那么OA′=BC=1，设A′F=x，则OF=2-x．利用勾股定理可得A′F=，OF=，利用面积可得A′E=A′F×OA′÷OF=，利用勾股定理可得OE=，所以点A’的坐标为（−，）．
试题解析：：∵OB= OB=,,
∴BC=1，OC=2
设OC与A′B交于点F，作A′E⊥OC于点E

∵纸片OABC沿OB折叠
∴OA=OA′，∠BAO=∠BA′O=90°
∵BC∥A′E
∴∠CBF=∠FA′E
∵∠AOE=∠FA′O
∴∠A′OE=∠CBF
∴△BCF≌△OA′F
∴OA′=BC=1，设A′F=x
∴OF=2-x∴x2+1=（2-x）2，
解得x=
∴A′F=，OF=
∵A′E=A′F×OA′÷OF=
∴OE=
∴点A’的坐标为（−，）．
考点：1．坐标与图形性质；2．矩形的性质；3．翻折变换（折叠问题）．
12．6×．
【解析】
试题分析：根据矩形的对角线相等且互相平分，
平行四边形ABC1O1底边AB上的高为BC，
平行四边形ABC2O2底边AB上的高为×BC=BC，
所以平行四边形ABCnOn底边AB上的高为BC，
∵S矩形ABCD=AB•BC=6，
∴S平行四边形ABCaOa=AB•BC=6×．
故答案是6×．
考点：矩形的性质．
13．.
【解析】
试题分析：延长DC，AB交于点F，作AG∥DE交DF于点G，四边形AFDE是等腰梯形，且∠F=∠D=60°，△AFG是等边三角形，四边形AGDE是平行四边形，求得等腰梯形AFDE的面积和△BCF的面积，二者的差就是所求五边形的面积．
试题解析：延长DC，AB交于点F，作AG∥DE交DF于点G．

∵AE∥CD，∠A=∠E=120°，
∴四边形AFDE是等腰梯形，且∠F=∠D=60°，△AFG是等边三角形，四边形AGDE是平行四边形．设BF=x，
∵在直角△BCF中，∠BCF=90°-∠F=30°
∴FC=2x，
∴FD=2x+1．
∵平行四边形AGDE中，DG=AE=2，
∴FG=2x-1，
∵△AFG是等边三角形中，AF=FG，
∴x+1=2x-1，
解得：x=2．
在直角△BCF中，BC=BF•tanF=2，
则S△BCF=BF•BC=×2×2=2．
作AH⊥DF于点H．则AH=AF•sinF=3×=，
则S梯形AFDE=（AE+DF）•AH=×（2+5）•=．
∴S五边形ABCDE=S梯形AFDE-S△BCF=-．
考点: 1.等腰梯形的性质；2.含30度角的直角三角形；3.勾股定理.
14．．
【解析】
试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△AEF∽△BCF，
∴，
∵点E为AD的中点，
∴，
∴．
故答案是．
考点：1.相似三角形的判定与性质，2.平行四边形的性质．
15．4
【解析】
试题分析：

由图可知“一帆风顺”图中阴影部分与正方形中“1”和“2”两个三角形全等，是等腰直角三角形，根据梯形在图b中与三角形2的直角边相等，而小正方形的边长与三角形2直角边相等。
则在图a中可识别出大正方形的对角线等于4个阴影部分直角三角形边长和。
已知大正方形边长为8，则对角线=，
所以阴影三角形边长=
面积为：．
考点：等腰直角三角形和正方形性质
点评：本题难度中等，主要考查学生对七巧板中等腰直角三角形和正方形性质知识点的掌握。抓住两图示中三角形对应相等边的图形关系为解题关键。
16．20；。
【解析】根据菱形、矩形的判定和性质以及三角形中位线的性质以及锐角三角函数定义求出四边形各边长得出规律求出即可：
∵菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°，顺次连结菱形ABCD各边中点，
∴△AA1D1是等边三角形，四边形A1B1C1D1是菱形，四边形A2B2C2D2是菱形。
∴A1D1=5，AC=，C1D1=AC=，A2B2=C2D2=C2B2=A2D2=5。
∴四边形A2B2C2D2的周长是：5×4=20。
同理可得出：A3D3=，C3D3=；
A5D5=，C5D5=；
……
A2013D2013=，C2013D2013=。
∴四边形（矩形）A2013B2013C2013D2013的周长是：。
17．，，
【解析】
试题分析：连接BM，EM，BE，由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称，即可到得MN垂直平分BE，则BM=EM，BN=EN．根据正方形的性质可得∠A=∠D=∠C=90°，设AB=BC=CD=DA=2，由可得CE=DE=1，设BN=x，则NE=x，NC=2-x，在Rt△CNE中，根据勾股定理即可列方程求得x的值，从而得到BN的长，在Rt△ABM和在Rt△DEM中，根据勾股定理可得AM2+AB2=BM2，DM2+DE2=EM2，则AM2+AB2=DM2+DE2．设AM=y，则DM=2-y，
即可列方程求得的值；当四边形ABCD为正方形时，连接BE，，不妨令CD=CB=n，则CE=1，设BN=x，则EN=x，EN2=NC2+CE2，x2=（n-x）2+12，x=；作MH⊥BC于H，则MH=BC，又点B，E关于MN对称，则MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；而∠NMH+∠BNM=90°，故∠EBC=∠NMH，则△EBC≌△NMH，则NH=EC=1，AM=BH=BN-NH=，从而可以求得结果.
连接BM，EM，BE

由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．
∴MN垂直平分BE，
∴BM=EM，BN=EN．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，设AB=BC=CD=DA=2．
∵，
∴CE=DE=1．
设BN=x，则NE=x，NC=2-x．
在Rt△CNE中，NE2=CN2+CE2．
∴x2=（2-x）2+12，
解得，即
在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM2+AB2=BM2，DM2+DE2=EM2，
∴AM2+AB2=DM2+DE2．
设AM=y，则DM=2-y，
∴y2+22=（2-y）2+12，
解得，即
∴
当四边形ABCD为正方形时，连接BE，，
不妨令CD=CB=n，则CE=1，设BN=x，则EN=x，EN2=NC2+CE2，x2=（n-x）2+12，x=；
作MH⊥BC于H，则MH=BC，

又点B，E关于MN对称，则MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；
而∠NMH+∠BNM=90°，故∠EBC=∠NMH，则△EBC≌△NMH，
∴NH=EC=1，AM=BH=BN-NH=
则：．
考点：折叠的性质，正方形和矩形的性质，勾股定理
点评：折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
18．4
【解析】解：∵OE：ED=1：3
∴OD=2OE
∵矩形ABCD
∴OD=OB=OA=OC
∴OE=BO
∵AE⊥BD
∴∴OB=2
∴BD=4．
19．
【解析】解：设BE与AC交于点P'，连接BD．

∵点B与D关于AC对称，
∴P'D=P'B，
∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为18，
∴AB=．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=．
故所求最小值为．
【答案】3
【解析】解：由题意得：∠AEB=∠AEC1，EC=EC1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B=90°，
∵∠BAE=30°，
∴∠AEB=60°，
∴∠DAE=∠AEB=60°，
∴∠AEC1=∠AEB=60°，
∴△AEC1是等边三角形，
∴AE=EC1，
∴在Rt△ABE中，∠BAE=30°，BE=
∴AE=2BE=2
∴EC=2
∴BC=BE+EC=3
21．（7，5），（8，5）
【解析】（2）设矩形EFGH的宽为a，则长为5-a，
∵矩形EFGH的面积为6，
∴a（5-a）=6，
解得a=2或a=3，
当a=2即EF=2时，EH=5-2=3，
∵点E在直线OM上，设点E的坐标为（e，e），
∴F（e，e-2），G（e+3，e-2），
∵点G在直线ON上，
∴e-2=1/2 （e+3），解得e=7，
∴F（7，5）；
当a=3即EF=3时，EH=5-3=2，
∵点E在直线OM上，设点E的坐标为（e，e），
∴F（e，e-3），G（e+2，e-3），
∵点G在直线ON上，
∴e-3=1/2（e+2），
解得e=8，
∴F（8，5）．
22．,
【解析】解：因为由题意可知，全等的直角三角形有一个角为30°则斜边为其对应直角边的二倍，
令OC1=1，则B1C1=1, P1C1=1/2, 顶点B1，B2，B3，…，Bn和C1，C2，C3，…，Cn分别在直线和x轴上，而第一个阴影部分的正方形的边长为直角边的差，得到其面积，同理依次得到第二个正方形边长为第一个正方形边长的2/3,依次类推，得到第n个阴影正方形的面积。
23．三边相等求证全等；12
【解析】
试题分析：证明：（1）①在和中，
，，， 2分
． 3分
②，
． 4分
，
，． 6分
（2）筝形的面积
的面积＋的面积

． 8分
考点：全等三角形的性质和判定
点评：解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
24．（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠OED=∠OFB ∠EDO=∠FBO
又∵OB=OD
∴△BOF≌△DOE
（2）、∵△BOF≌△DOE∴OE=OF
∵BD⊥EF，∴DE=DF
【解析】
试题分析：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠OED=∠OFB ∠EDO=∠FBO
又∵OB=OD
∴△BOF≌△DOE
（2）、∵△BOF≌△DOE∴OE=OF
∵BD⊥EF，∴DE=DF
考点：全等三角形判定与性质
点评：本题难度较低。运用全等三角形的判定性质证明即可。
25．（1）可证明△ABE中，△ECF∠ABE=∠ECF，∠BAE=∠CEF，所以△ABE∽△ECF
（2）△ABH∽△ECM：由BG⊥AC可得∠ABG+∠BAG=90°，则有∠ABH=∠ECM，又∠BAH=∠CEM。
（3）
【解析】
试题分析：（1）由四边形ABCD是矩形，可得∠ABE=∠ECF=90°，由AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°，可得∠BAE=∠CEF，即可证得△ABE∽△ECF.
（2）由BG⊥AC可得∠ABG+∠BAG=90°，则有∠ABH=∠ECM，又∠BAH=∠CEM，
则可证得△ABH∽△ECM.
（3）作MR⊥BC，垂足为R，由AB=BE=EC=2，

因为AB∥MR。则可证明Rt△ABC∽Rt△MRC。所以CR=2MR
且AB：BC=MR：RC=1：2，且∠AEB=45°，则通过平角性质可得∠MER=90°-∠AEB=45°，从而可得MR=ER=RC=，所以EM=.
考点：相似三角形性质与判定
点评：本题难度中等，主要考查学生对相似三角形性质与判定知识点的掌握。为中考常考题型，要求学生培养数形结合思想，运用到考试中去。
26．（1）△ABP≌△ACQ，△APC≌△AQD；（2）不变，；（3）点P是BC的中点时.
【解析】
试题分析：（2）根据三角形全等的条件进行判定；
（2）因为△ABP≌△ACQ，所以四边形APCQ的面积与△ABC的面积相等，没有发生变化；
（3）当点P是BC的中点时，△PCQ的面积最大.
（1）△ABP≌△ACQ，△APC≌△AQD．
（2）面积不变(1分)．因为△ABP≌△ACQ，所以四边形APCQ的面积与△ABC的面积相等，即四边形APCQ的面积为．
（3）当点P是BC的中点时，△PCQ的面积最大．先说明△APQ是等边三角形，当点P是BC的中点时，AP垂直于BC，AP最小，此时△APQ的面积也就最小．故在四边形APCQ的面积一定，△APQ面积最小时，△PCQ的面积最大.
考点：1.全等三角形；2.面积最大值.
27．（1）当点P沿A﹣D运动时，AP=8（t﹣1）=8t﹣8．
当点P沿D﹣A运动时，AP=50×2﹣8（t﹣1）=108﹣8t．
（2）S=48t﹣48 （3）t=1或 （4）t=7，t=，t=
【解析】解：（1）当点P沿A﹣D运动时，AP=8（t﹣1）=8t﹣8．
当点P沿D﹣A运动时，AP=50×2﹣8（t﹣1）=108﹣8t．
（2）当点P与点A重合时，BP=AB，t=1．
当点P与点D重合时，AP=AD，8t﹣8=50，t=．
当0＜t＜1时，如图①．

过点Q作QE⊥AB于E．
S△ABQ==，
∴QE===．
∴S△APQ=AP×EQ=(13-13t）×=﹣30t2+30t．
当1＜t≤时，如图②．

S==，
∴S=48t﹣48；
（3）当点P与点R重合时，
AP=BQ，8t﹣8=5t，t=．
当0＜t≤1时，如图③．

∵S△BPM=S△BQM，
∴PM=QM．
∵AB∥QR，
∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR，
在△BPM和△RQM中

∴△BPM≌△RQM．
∴BP=RQ，
∵RQ=AB，
∴BP=AB
∴13t=13，
解得：t=1
当1＜t≤时，如图④．

∵BR平分阴影部分面积，
∴P与点R重合．
∴t=．
当＜t≤时，如图⑤．

∵S△ABR=S△QBR，
∴S△ABR＜S四边形BQPR．
∴BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分．
综上所述，当t=1或时，线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分．
（4）如图⑥，当P在A﹣D之间或D﹣A之间时，C′D′在BC上方且C′D′∥BC时，

∴∠C′OQ=∠OQC．
∵△C′OQ≌△COQ，
∴∠C′OQ=∠COQ，
∴∠CQO=∠COQ，
∴QC=OC，
∴50﹣5t=50﹣8（t﹣1）+13，或50﹣5t=8（t﹣1）﹣50+13，
解得：t=7或t=．
当P在A﹣D之间或D﹣A之间，C′D′在BC下方且C′D′∥BC时，如图⑦．

同理由菱形的性质可以得出：OD=PD，
∴50﹣5t+13=8（t﹣1）﹣50，
解得：t=．
∴当t=7，t=，t=时，点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，且C′D′∥BC．
（1）分情况讨论，当点P沿A﹣D运动时，当点P沿D﹣A运动时分别可以表示出AP的值；
（2）分类讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，根据三角形的面积公式分别求出S与t的函数关系式；
（3）分情况讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，当＜t＜时，利用三角形的面积相等建立方程求出其解即可；
（4）分情况讨论当P在A﹣D之间或D﹣A之间时，如图⑥，根据轴对称的性质可以知道四边形QCOC′为菱形，根据其性质建立方程求出其解，当P在D﹣A之间如图⑦，根据菱形的性质建立方程求出其解即可．
28．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AP=EF，且AP⊥EF．
【解析】
试题分析：（1）连接AC，则AC必过O点，延长FO交AB于M，由于O是BD中点，易证得△AOM≌△FOE，则AO=EF．
（2）方法与①类似，延长FP交AB于M，延长AP交BC于N，易证得四边形MBEP是正方形，可证得△APM≌△FEP，则AP=EF．
（3）解题思路和方法同（2）．
试题解析：（1）如图1,

证明：连接AC，则AC必过点O，
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线.
∵OF⊥CD，FOM共线，
∵OM⊥AB，OE⊥BC.
∴∠ABE=∠BEO=∠BMO=90°
∴四边形OEBM是矩形.
∵AC平分∠BCD且OE⊥BC，OF⊥CD，
∴OF= OE
∴矩形OECF是正方形
∴∠MAO