2017-2018学年高中物理人教版选修3-3教学案：第八章第1节气体的等温变化Word版含解析正式版.doc

第1节气体的等温变化

1.一定质量的气体，在温度不变的条件下，其压强与体积变化时的关系，叫做气体的等温变化。
2．玻意耳定律：一定质量的某种气体，在温度不变的情况下，压强p与体积V成反比，即pV＝C。
3．等温线：在p ­V图像中，用来表示温度不变时，压强和体积关系的图像，它们是一些双曲线。在p ­图像中，等温线是倾斜直线。

一、探究气体等温变化的规律
1．状态参量
研究气体性质时，常用气体的温度、体积、压强来描述气体的状态。
2．实验探究
实验器材
铁架台、注射器、气压计等
研究对象(系统)
注射器内被封闭的空气柱
数据收集
压强由气压计读出，空气柱体积(长度)由刻度尺读出
数据处理
以压强p为纵坐标，以体积的倒数为横坐标作出p­图像
图像结果
p­图像是一条过原点的直线
实验结论
压强跟体积的倒数成正比，即压强与体积成反比

二、玻意耳定律
1．内容
一定质量的某种气体，在温度不变的情况下，压强与体积成反比。
2．公式
pV＝C或p1V1＝p2V2。
3．条件
气体的质量一定，温度不变。
4．气体等温变化的p ­V图像
气体的压强p随体积V的变化关系如图8­1­1所示，图线的形状为双曲线，它描述的是温度不变时的p ­V关系，称为等温线。一定质量的气体，不同温度下的等温线是不同的。

图8­1­1

1．自主思考——判一判
(1)一定质量的气体压强跟体积成反比。(×)
(2)一定质量的气体压强跟体积成正比。(×)
(3)一定质量的气体在温度不变时，压强跟体积成反比。(√)
(4)在探究气体压强、体积、温度三个状态参量之间关系时采用控制变量法。(√)
(5)玻意耳定律适用于质量不变、温度变化的气体。(×)
(6)在公式pV＝C中，C是一个与气体无关的参量。(×)
2．合作探究——议一议
(1)用注射器对封闭气体进行等温变化的实验时，在改变封闭气体的体积时为什么要缓慢进行？
提示：该实验的条件是气体的质量一定，温度不变，体积变化时封闭气体自身的温度会发生变化，为保证温度不变，应给封闭气体以足够的时间进行热交换，以保证气体的温度不变。
(2)玻意耳定律成立的条件是气体的温度不太低、压强不太大，那么为什么在压强很大、温度很低的情况下玻意耳定律就不成立了呢？
提示：①在气体的温度不太低、压强不太大时，气体分子之间的距离很大，气体分子之间除碰撞外可以认为无作用力，并且气体分子本身的大小也可以忽略不计，这样由玻意耳定律计算得到的结果与实际的实验结果基本吻合，玻意耳定律成立。②当压强很大、温度很低时，气体分子之间的距离很小，此时气体分子之间的分子力引起的效果就比较明显，同时气体分子本身占据的体积也不能忽略，并且压强越大，温度越低，由玻意耳定律计算得到的结果与实际的实验结果之间差别越大，因此在温度很低、压强很大的情况下玻意耳定律也就不成立了。
(3)如图8­1­2所示，p­图像是一条过原点的直线，更能直观描述压强与体积的关系，为什么直线在原点附近要画成虚线？

图8­1­2
提示：在等温变化过程中，体积不可能无限大，故和p不可能为零，所以图线在原点附近要画成虚线表示过原点，但此处实际不存在。

封闭气体压强的计算

1．系统处于静止或匀速直线运动状态时，求封闭气体的压强
(1)连通器原理：在连通器中，同一液体(中间液体不间断)的同一水平液面上的压强是相等的。
(2)在考虑与气体接触的液柱所产生的附加压强p＝ρgh时，应特别注意h是表示液面间竖直高度，不一定是液柱长度。
(3)求由液体封闭的气体压强，应选择最低液面列平衡方程。
(4)求由固体封闭(如汽缸或活塞封闭)的气体压强，应对此固体(如汽缸或活塞)进行受力分析，列出力的平衡方程。
2．容器加速运动时，求封闭气体的压强
(1)当容器加速运动时，通常选择与气体相关联的液柱、固体活塞等作为研究对象，进行受力分析，画出分析图示。
(2)根据牛顿第二定律列出方程。
(3)结合相关原理解方程，求出封闭气体的压强。
(4)根据实际情况进行讨论，得出结论。

[典例]　在竖直放置的U形管内由密度为ρ的两部分液体封闭着两段空气柱。大气压强为p0，各部分尺寸如图8­1­3所示。求A、B气体的压强。

图8­1­3
[思路点拨]

[解析]方法一　受力平衡法
选与气体接触的液柱为研究对象。进行受力分析，利用平衡条件求解。
求pA：取液柱h1为研究对象，设管的横截面积为S，大气压力和液柱重力方向向下，A气体产生的压力方向向上，因液柱h1静止，则p0S＋ρgh1S＝pAS，得pA＝p0＋ρgh1；
求pB：取液柱h2为研究对象，由于h2的下端以下液体的对称性，下端液体产生的压强可以不予考虑，A气体的压强由液体传递后对h2的压力方向向上，B气体压力、液体h2的重力方向向下，液柱受力平衡。则pBS＋ρgh2S＝pAS，得pB＝p0＋ρgh1－ρgh2。
方法二　取等压面法
根据同种液体在同一液面处压强相等，在连通器内灵活选取等压面。由两侧压强相等列方程求解压强。求pB时从A气体下端选取等压面，则有pB＋ρgh2＝pA＝p0＋ρgh1，所以pA＝p0＋ρgh1；pB＝p0＋ρg(h1－h2)。
[答案]p0＋ρgh1p0＋ρg(h1－h2)

封闭气体压强的求解方法

图8­1­4
(1)容器静止或匀速运动时封闭气体压强的计算：
①取等压面法。
根据同种液体在同一水平液面处压强相等，在连通器内灵活选取等压面。由两侧压强相等列方程求解压强。
例如，图8­1­4中同一液面C、D处压强相等，则pA＝p0＋ph。　　　　　　
②力平衡法。
选与封闭气体接触的液柱(或活塞、汽缸)为研究对象进行受力分析，由F合＝0列式求气体压强。
(2)容器加速运动时封闭气体压强的计算：

图8­1­5
当容器加速运动时，通常选与气体相关联的液柱、汽缸或活塞为研究对象，并对其进行受力分析，然后由牛顿第二定律列方程，求出封闭气体的压强。
如图8­1­5所示，当竖直放置的玻璃管向上加速运动时，对液柱受力分析有：
pS－p0S－mg＝ma
得p＝p0＋。

1．求图8­1­6中被封闭气体A的压强，图中的玻璃管内都灌有水银。大气压强p0＝76 cmHg。(p0＝1.01×105 Pa，g＝10 m/s2)

图8­1­6
解析：(1)pA＝p0－ph＝76 cmHg－10 cmHg
＝66 cmHg
(2)pA＝p0－ph＝76 cmHg－10×sin 30° cmHg
＝71 cmHg
(3)pB＝p0＋ph2＝76 cmHg＋10 cmHg＝86 cmHg
pA＝pB－ph1＝86 cmHg－5 cmHg＝81 cmHg。
答案：(1)66 cmHg　(2)71 cmHg　(3)81 cmHg
2．一圆形气缸静置于地面上，如图8­1­7所示。气缸筒的质量为M，活塞的质量为m，活塞的面积为S，大气压强为p0。现将活塞缓慢向上提，求气缸刚离开地面时气缸内气体的压强。(忽略气缸壁与活塞间的摩擦)

图8­1­7
解析：法一：题目中的活塞和气缸均处于平衡状态，以活塞为研究对象，受力分析如图甲，由平衡条件，得F＋pS＝mg＋p0S。以活塞和气缸整体为研究对象，受力分析如图乙，有F＝(M＋m)g，由以上两个方程式，得pS＋Mg＝p0S，解得p＝p0－。

法二：以汽缸为研究对象，有：pS＋Mg＝p0S，也可得：p＝p0－。
答案：p0－

玻意耳定律的理解及应用

应用玻意耳定律的思路与方法
(1)选取一定质量、温度不变的气体为研究对象，确定研究对象的始末两个状态。
(2)表示或计算出初态压强p1、体积V1；末态压强p2、体积V2，对未知量用字母表示。
(3)根据玻意耳定律列方程p1V1＝p2V2，并代入数值求解。
(4)有时要检验结果是否符合实际，对不符合实际的结果要删去。

[典例]
如图8­1­8所示，一个上下都与大气相通的直圆筒，筒内横截面积S＝0.01 m2，中间用两个活塞A与B封住一定量的气体。A、B都可以无摩擦地滑动，A的质量不计，B的质量为M，并与一劲度系数k＝5×103 N/m的弹簧相连，已知大气压强p0＝1×105 Pa，平衡时两活塞间距离为L0＝0.6 m。现用力压A，使之缓慢向下移动一定距离后保持平衡，此时用于压A的力F＝500 N，求活塞A向下移动的距离。

图8­1­8
[思路点拨]

[解析]先以圆筒内封闭气体为研究对象，
初态：p1＝p0，V1＝L0S，
末态：p2＝？，V2＝LS。
对活塞A，受力情况如图所示，有：
F＋p0S＝p2S，所以：
p2＝p0＋，
由玻意耳定律得：
p0·L0S＝·LS，
解得L＝0.4 m。
以A、B及封闭气体系统整体为研究对象，则施加力F后B下移的距离Δx＝＝0.1 m，
故活塞A下移的距离：ΔL＝(L0－L)＋Δx＝0.3 m。
[答案]0.3 m

应用玻意耳定律解题时应注意的两个问题：
(1)应用玻意耳定律解决问题时，一定要先确定好两个状态的体积和压强。
(2)确定气体压强或体积时，只要初末状态的单位统一即可，没有必要都化成国际单位制。　　　

1．一定质量的气体发生等温变化时，若体积增大n倍，则压强变为原来的(　　)
A．n倍　　　　　　　　 B.倍
C．n＋1倍 D.倍
解析：选D　体积增大n倍，则体积增大为原来的n＋1倍，由玻意耳定律p1V1＝p2V2得p2＝p1，即D正确。
2.如图8­1­9所示，在一根一端封闭且粗细均匀的长玻璃管中，用长为h＝10 cm的水银柱将管内一部分空气密封，当管开口向上竖直放置时，管内空气柱的长度L1＝0.3 m；若温度保持不变，玻璃管开口向下放置，水银没有溢出。待水银柱稳定后，空气柱的长度L2为多少米？(大气压强p0＝76 cmHg)

图8­1­9
解析：以管内封闭的气体为研究对象。玻璃管开口向上时，管内的压强p1＝p0＋h，气体的体积V1＝L1S(S为玻璃管的横截面积)。
当玻璃管开口向下时，管内的压强p2＝p0－h，这时气体的体积V2＝L2S。
温度不变，由玻意耳定律得：(p0＋h)L1S＝(p0－h)L2S
所以L2＝L1＝×0.3 m＝0.39 m。
答案：0.39 m

等温线的理解及应用

p­图像
p ­V图像
图像特点

物理意义
一定质量的气体，温度不变时，p与成正比，在p ­图上的等温线应是过原点的直线
一定质量的气体，在温度不变的情况下，p与V成反比，因此等温过程的p­V图像是双曲线的一支
温度高低
直线的斜率为p与V的乘积，斜率越大，pV乘积越大，温度就越高，图中t2＞t1
一定质量的气体，温度越高，气体压强与体积的乘积必然越大，在p ­V图上的等温线就越高，图中t2＞t1

[典例]
如图8­1­10所示是一定质量的某种气体状态变化的p ­V图像，气体由状态A变化到状态B的过程中，气体分子平均速率的变化情况是(　　)

图8­1­10
A．一直保持不变
B．一直增大
C．先减小后增大
D．先增大后减小
[思路点拨]
(1)温度是分子平均动能的标志，同种气体温度越高，分子平均动能越大，分子平均速率越大。
(2)温度越高，pV值越大，p­V图像中等温线离坐标原点越远。
[解析]由图像可知，pAVA＝pBVB，所以A、B两状态的温度相等，在同一等温线上，可在p­V图上作出几条等温线，如图所示。由于离原点越远的等温线温度越高，所以从状态A到状态B温度应先升高后降低，分子平均速率先增大后减小。
[答案]D

(1)在p­V图像中，不同的等温线对应的温度不同。
(2)在p­V图像中，并不是随意画一条线就叫等温线，如典例图8­1­10。　　　　

1. (多选)如图8­1­11所示为一定质量的气体在不同温度下的两条等温线，则下列说法正确的是(　　)

图8­1­11
A．从等温线可以看出，一定质量的气体在发生等温变化时，其压强与体积成反比
B．一定质量的气体，在不同温度下的等温线是不同的
C．由图可知T1>T2
D．由图可知T1<T2
解析：选ABD　根据等温图线的物理意义可知A、B选项对。气体的温度越高时，等温图线的位置就越高，所以C错，D对。
2．(多选)如图8­1­12所示为一定质量的气体在不同温度下的两条p ­图线。由图可知(　　)

图8­1­12
A．一定质量的气体在发生等温变化时，其压强与体积成正比
B．一定质量的气体在发生等温变化时，其p ­图线的延长线是经过坐标原点的
C．T1＞T2
D．T1＜T2
解析：选BD　由玻意耳定律pV＝C知，压强与体积成反比，故A错误。p∝，所以p ­图线的延长线经过坐标原点，故B正确。p ­图线的斜率越大，对应的温度越高，所以T1＜T2，故C错误，D正确。

1．描述气体状态的参量是指(　　)
A．质量、温度、密度　　　 B．温度、体积、压强
C．质量、压强、温度 D．密度、压强、温度
解析：选B　气体状态参量是指温度、压强和体积，B对。
2．(多选)一定质量的气体，在温度不变的条件下，将其压强变为原来的2倍，则(　　)
A．气体分子的平均动能增大
B．气体的密度变为原来的2倍
C．气体的体积变为原来的一半
D．气体的分子总数变为原来的2倍
解析：选BC　温度是分子平均动能的标志，由于温度T不变，故分子的平均动能不变，
据玻意耳定律得p1V1＝2p1V2，V2＝V1。
ρ1＝，ρ2＝，
即ρ2＝2ρ1，故B、C正确。
3．一定质量的气体，压强为3 atm，保持温度不变，当压强减小2 atm时，体积变化4 L，则该气体原来的体积为(　　)
A. L B．2 L
C. L D．8 L
解析：选B　由题意知p1＝3 atm，p2＝1 atm，当温度不变时，一定质量气体的压强减小则体积变大，所以V2＝V1＋4 L，根据玻意耳定律得p1V1＝p2V2，解得V1＝2 L，故B正确。
4.如图1所示，某种自动洗衣机进水时，与洗衣缸相连的细管中会封闭一定质量的空气，通过压力传感器感知管中的空气压力，从而控制进水量。设温度不变，洗衣缸内水位升高。则细管中被封闭的空气 (　　)

图1
A．体积不变，压强变小 B．体积变小，压强变大
C．体积不变，压强变大 D．体积变小，压强变小
解析：选B　由题图可知空气被封闭在细管内，缸内水位升高时，气体体积减小；根据玻意耳定律，气体压强增大，B选项正确。
5. (多选)如图2所示，是某气体状态变化的p­V图像，则下列说法正确的是(　　)

图2
A．气体做的是等温变化
B．从A到B气体的压强一直减小
C．从A到B气体的体积一直增大
D．气体的三个状态参量一直都在变
解析：选BCD　一定质量的气体的等温过程的p­V图像即等温曲线是双曲线，显然图中所示AB图线不是等温线，AB过程不是等温变化，A选项不正确。从AB图线可知气体从A状态变为B状态的过程中，压强p在逐渐减小，体积V在不断增大，则B、C选项正确。又因为该过程不是等温过程，所以气体的三个状态参量一直都在变化，D选项正确。
6.如图3所示，一圆筒形汽缸静置于地面上，汽缸筒的质量为M，活塞(连同手柄)的质量为m，汽缸内部的横截面积为S，大气压强为p0。现用手握住活塞手柄缓慢向上提，不计汽缸内气体的重量及活塞与汽缸壁间的摩擦，若将汽缸刚提离地面时汽缸内气体的压强为p、手对活塞手柄竖直向上的作用力为F，则(　　)

图3
A．p＝p0＋，F＝mg
B．p＝p0＋，F＝p0S＋(m＋M)g
C．p＝p0－，F＝(m＋M)g
D．p＝p0－，F＝Mg
解析：选C　对整体有F＝(M＋m)g；
对汽缸有Mg＋pS＝p0S，p＝p0－，选C。

7.长为100 cm的、内径均匀的细玻璃管，一端封闭、一端开口，当开口竖直向上时，用20 cm 水银柱封住l1＝49 cm长的空气柱，如图4所示。当开口竖直向下时(设当时大气压强为76 cmHg，即1×105 Pa)，管内被封闭的空气柱长为多少？

图4
解析：设玻璃管的横截面积为S，初状态：p1＝(76＋20) cmHg，V1＝l1S；设末状态时(管口向下)无水银溢出，管内被封闭的空气柱长为l2，有p2＝(76－20) cmHg，V2＝l2S，根据玻意耳定律有p1V1＝p2V2，解得l2＝84 cm
因84 cm＋20 cm＝104 cm＞100 cm(管长)，这说明水银将要溢出一部分，原假设末状态时(管口向下)无水银溢出，不合理，求出的结果是错误的，故必须重新计算。
设末状态管内剩余的水银柱长为x cm则p2＝(76－x) cmHg，
V2＝(100－x)S
根据玻意耳定律p1V1＝p2V2
得(76＋20)×49 S＝(76－x)(100－x)S
即x2－176 x＋2 896＝0，
解得x＝18.4，
x′＝157.7(舍去)
所求空气柱长度为100 cm－x cm＝81.6 cm。
答案：81.6 cm
8.如图5，一汽缸水平固定在静止的小车上，一质量为m、面积为S的活塞将一定量的气体封闭在汽缸内，平衡时活塞与汽缸底相距L。现让小车以一较小的水平恒定加速度向右运动 ，稳定时发现活塞相对于汽缸移动了距离d。已知大气压强为p0，不计汽缸和活塞间的摩擦，且小车运动时，大气对活塞的压强仍可视为p0，整个过程中温度保持不变。求小车的加速度的大小。

图5
解析：设小车加速度大小为a，稳定时汽缸内气体的压强为p1，活塞受到汽缸内外气体的压力分别为，f1＝p1S，f0＝p0S，
由牛顿第二定律得：f1－f0＝ma，
小车静止时，在平衡情况下，汽缸内气体的压强应为p0，由玻意耳定律得：p1V1＝p0V，式中V＝SL，V1＝S(L－d)，
联立解得：a＝。
答案：a＝