教学案四边形.习题集B(2013-2014).doc

学案提升

考点一：四边形综合
【例1】 如图，已知：在平行四边形中，的平分线交边于，的平分线交于，交于．求证：．

【答案】⑴ ①（答案不惟一）
⑵ ∵四边形是平行四边形（已知）
∴，（平行四边形的对边平行且相等）
∴，（两直线平行，内错角相等）
又∵平分，平分（已知）
∴，（角平分线定义）
∴，．
∴，（在同一个三角形中，等角对等边）
∴
∴，即
【例2】 如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点.
（1）求证：△BCF≌△DCE.
（2）若BC=5，CF=3，∠BFC=900，求DG：GC的值.

【答案】（1）∵四边形 ABCD是正方形
∴∠BCF+∠FCD=90°，BC=CD
∵△ECF是等腰直角三角形，
∴∠ECD+∠FCD=90. CF=CE
∴∠BCF=∠ECD.
∴△BCF≌△DCE
(2)在△BFC中，BC=5，CF=3，∠BFC=900.∴BF=
∵△BCF≌△DCE，∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=900.∴DE∥FC
∴△DGE∽△CGF∴DG：GC=DE：CF=4：3
【例3】 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF平分∠ABC，AF∥DC，
连接AC，CF. 求证：（1）AF=CF；（2）CA平分∠DCF.

【答案】（1）∵ 平分，
∴ ．
在△ABF与△CBF中，

∴ △ABF≌△CBF．
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ．
∵ ∥，
∴ ．
∴ ，即平分．
【例4】 如图，在梯形中，∥，，，，连结并延长到，使，作，交的延长线于点．（1）求的值；（2）求的长．

【答案】（1）作DM⊥AB于点M，CN⊥AB于点N．（如图3）
∵∥，DM⊥AB，CN⊥AB，
∴ ∠DMN=∠CNM=∠MDC=．
∴ 四边形MNCD是矩形.
∵，
∴ MN=CD= 4．
∵ 在梯形中，∥，，

∴ ∠DAB=∠CBA，DM=CN．
∴ △ADM≌△BCN．
又∵，
∴ AM=BN=．
∴ MB=BN+MN=7．
∵ 在中，∠AMD=，AD=5，AM=3，
∴．
∴
（2）∵，
∴ ∠F=．
∵∠DMN=，
∴ ∠F=∠DMN.
∴ DM∥EF．
∴ △BDM∽△BEF．
∵ ，
∴ ．
∴BF=2BM=14
∴AF=BFAB=1410=4
【例5】 梯形ABCD中DC∥AB， AB =2DC，对角线AC、BD相交于点O， BD=4，过AC的中点H作EF∥BD分别交AB、AD于点E、F，求EF的长.

【答案】过点C作CP∥BD交AB的延长线于P
∵DC∥AB，
∴四边形BPCD是平行四边形.

∴ DB∥CP, DC=BP.
∵AB =2DC，设DC=x，
∴BP=x,AB=2x.
∴AP=3x.
∵EF∥BD，CP∥BD，
∴EF∥CP.
又∵点H为AC的中点，
∴.
∴AE=AP=x.
∴
∵EF∥BD，
∴.
∵BD=4，
∴.
∴EF=3
【例6】 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.作△ADE，使得D、E、B三点共线，且，点F为BD中点，如图所示．
求证：BE-DE=2CF；

【解析】利用中位线构造辅助线
【答案】方法一，倍长到点，在上截取，连接、，,故，

方法二，如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q.
由题意，tan∠BAC=，
∴ .
∵ D、E、B三点共线，
∴ AE⊥DB.
∵ ∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°,
∴ ∠QBC=∠EAQ.
∵ ∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，
∴ ∠ECA=∠BCG.
∴ .
∴ .
∴ GB=DE.
∵ F是BD中点，
∴ F是EG中点.
在中，,
∴ .

【例7】 如图，在中，，，矩形CDEF的顶点C、D、F分别在边AO、OB、AB上。
（1）若C、D恰好是边AO，OB的中点，求矩形CDEF的面积；
（2）若，求矩形CDEF面积的最大值。

【答案】（1）如图，当C、D是边AO,OB的中点时，
点E、F都在边AB上，且.
∵OA=OB=8，
∴OC=AC=OD=4.
∵,
∴.
在中，
∵,∴.
∴.
（2）设.过F作于H. 在中，
∵,∴.
∴.
∵,
∴.
∴
∴.
∵是等腰直角三角形,
∴.∴.∴.
∴.
易知,
∴当时，矩形CDEF面积的最大值为.
【例8】 如图1，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1.她分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形.设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.
（1）请你帮小萍求出x的值.
（2）参考小萍的思路，探究并解答新问题：
如图2，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4.请你按照小萍的方法画图,得到四边形AEGF，求△BGC的周长.（画图所用字母与图1中的字母对应）

图2 图1
【解析】略
【答案】（1）设AD=x，由题意得，，.
在中，由勾股定理可得 .
解得 .

（2）参考小萍的做法得到四边形，，
，，.
连结，可得 为等边三角形.
∴ .
∴ .
∴ .
在中，可求，.
∴的周长＝=.
【例9】 已知：如图，在四边形中，，均为锐角．
（1）当时，则与的位置关系是 ，大小关系是 ；
（2）时，（1）中与的大小关系是否还成立，
证明你的结论．

【答案】（1）如图1，
，．
（2）还成立．
如图2，分别过点、作、的平行线，两线交于点．
∴ 四边形为平行四边形．
∴
∵ ，
∴．
作∠ADF的平分线交AB于G点，连结GF．
∴ ．源:Zxxk.Com]
在和中

∴ △ADG≌△FDG．
∴ ．
∵在中，．
∴
∴．
【例10】 已知：如图，正方形中，为对角线，将绕顶点逆时针旋转（），旋转后角的两边分别交于点、点，交于点、点，联结．
（1）在的旋转过程中，的大小是否改变，若不变求出它的度数，若改变，写出它的变化范围；
（2）探究△与△的面积的数量关系，写出结论并加以证明．

【答案】（1），，故，，
故四点共圆，所以，

（2）根据第一问，同理，故，所以，所以面积比为

课后作业

【习题1】 如图，在平行四边形中，，于，为的中点，若，则等于 ．

【解析】连接，并延长与的延长线交于一点，利用斜边中线
【答案】°
【习题2】 如图，已知平行四边形中，是的中点，且则该平行四边形的面积是 ．

【解析】过点作，交延长线于点，四边形为平行四边形，，根据勾股定理逆定理，为直角三角形，根据等面积法求出高，故面积为72

【答案】72
【习题3】 如图，矩形纸片中，折叠纸片使边与对角线重合，折痕为，记与点重合点为，则的面积与该矩形的面积比为 ．

【答案】
【习题4】 已知点是矩形的边的一个动点，矩形的两条边的长分别为3和4，那么点到矩形的两条对角线和的距离之和是 ．
【答案】

【习题5】 已知平行四边形的周长为，自顶点作为垂足，若,则的长为 ．
【解析】分两种情况：①为钝角时，根据面积相等能列出方程，通过勾股定理得
故②为锐角时，方法同情况一，,故

【答案】或
【习题6】 如图，、是平行四边形对角线上两点，，求证：．

【答案】证明：平行四边形中，，，
∴．
又，
∴，
∴，
∴
【习题7】 如图，平行四边形中，是的中点，、的延长线交于点，连接、．求证：．

【答案】易证，
∴
∴和是以、为底的等底等高三角形．
∴
∵和是以、为底的等底等高三角形．
∴，∴．
【习题8】 已知：如图，于点，，，求证：．

【答案】取边中点F，连接，，∵
∴∴
∴，∴,故
【习题9】 如图，在平行四边形中，为边上一点，且
（1）求证：．
（2）若平分求的度数。

【答案】（1）∴
（2）∵，∴∵平分,∴∴为等边三角形，∴
【习题10】 如图，、、均为直线同侧的等边三角形．当时，
（1）求证：
（2）求证：四边形为平行四边形
（3）若，，，求四边形的面积．

【答案】（1）∴∴，（2）∵、为等边三角形，
∴，，．
∴．
∴．
∴．
又∵为等边三角形，
∴．
∴．
同理可得．
∴四边形是平行四边形．
（3），，过点作出边上的高，就可求得面积为．
【习题11】 等边中，点在上，点在上，且，所以为边作等边．
（1）求证：为等边三角形
（2）求证：四边形是平行四边形．

【答案】（1）连结．
∵，，
∴≌，∴，
∵，∴
∴是等边三角形，（2）∴，
∵，∴
∴∥，∴四边形是平行四边形
【习题12】 在平行四边形中，过任作一直线，过、、作的垂线、、，垂足分别是、、，求证：．

【答案】解法一：如图，过作于，则为矩形．
∴，．
又，∴．
又，∴．
∴，∴．
解法二：如图，延长到，使，连接，显然为矩形．
∴．
∵，，∴．
又∵，∴，∴．
∴．
【习题13】 如图，中，是的中点，是上任意一点，∥，∥．求证：与互相平分．

【答案】连结、．
∵∥，∥，∴四边形是平行四边形
∴
∵，∴
∵∥，∴四边形是平行四边形
∴与互相平分
【习题14】 如图⑴，四边形中，若，则必然等于.请运用结论证明下述问题：如图⑵，在平行四边形中取一点，使得，求证：.

【答案】分别过点、作，，交于点，连接．
∵，
∴，，，
∵，，∴，
∴为平行四边形，∴
∵，∴≌，∴
在四边形中，
∴，∴
【习题15】 如图，，于，交于，求证：①=②

【解析】①取，证，又证四边形是平行四边形，故
②，，，，故

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