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新苏教版六年级数学上册知识点总结（一） 长方体和正方体 长方体和正方体的特征:长方体和正方体的表面积： 概念：长方体或正方体 6 个面的总面积，叫做它们的表面积 计算公式：长方体表面积=（长宽+长高+宽高）2 或 S表 =（a b + a c +bc)正方体表面积=棱长棱长6 或 2 S =a a 6 = 6a 注：不足 6 个面的实际问题根据具体情况计算，例如鱼缸、无盖纸盒等等。 体积（容积）单位进率换算： 1 立方米 = 1000 立方分米 1 立方分米 = 1000 立方厘米 1m =1000dm 1dm = 1000cm 1 升=1000 毫升 1 立方分米 = 1 升 1 立方厘米=1 毫升 1L = 1000m L 1dm = 1L 1cm = 1m L 长方体和正方体的体积（容积）：概念：物体所占空间的大小叫做它们的体积（容器所能容纳其它物体的体积叫做 它的容积）。 计算公式： 长方体体积公式=长宽高 或 V = ab h 正方体体积公式=棱长棱长棱长 或 3 V = aaa = a 长方体和正方体的体积=底面积高 或 V = S底h （二） 分数乘法 分数与整数相乘及实际问题： 1. 分数与整数相乘：用整数与分数的分子相乘的积作为分子，分数的分母作为分 母，最后约分成最简分数。或者先将整数与分数的分母进行约分，再应用前面计 算法则。 注：【任何整数都可以看作为分母是 1 的分数】 2. 求一个数的几分之几是多少，可以用乘法计算。 3. 解题时可以根据表示几分之几的条件，确定单位 1 的量，想单位 1 的几分之几 是哪个数量，找出数量关系式，再根据数量关系式列式解答。 分数与分数相乘及连乘： 1. 分数与分数相乘：用分子相乘的积作为分子，用分母相乘的积作为分母，最后 约分成最简分数。 2. 分数连乘：通过几个分数的分子与分母直接约分再进行计算 3. 一个数与比 1 小的数相乘，积小于原数；一个数与比 1 大的数相乘，积大于原 数。 倒数的认识： 1. 乘积是 1 的两个数互为倒数。 2. 求一个数（不为 0）的倒数，只要将这个数的分子与分母交换位置。 【整数 是分母为 1 的分数】 3.1 的倒数是 1，0 没有倒数。 4. 假分数的倒数都小于或等于 1（或者说不大于 1）；真分数的倒数都大于 1。 （三）分数除法 分数除法：1.分数除法计算法则：甲数除以乙数（不为 0）等于甲数乘乙数的倒数。 2. 分数连除或乘除混合计算：可以从左向右依次计算，但一般是遇到除以一个数， 把它改写成乘这个数的倒数来计算。【转化成分数的连乘来计算】 3. 除数大于 1，商小于被除数；除数小于 1，商大于被除数；除数等于 1，商等 于被除数。 4. 分数除法的意义：已知一个数的几分之几是多少，求这个数？可以用列方程的 方法来解，也可以直接用除法。 注：在单位换算中，要弄清需要换算的单位之间的进率是多少 比的认识： 1. 比的意义：比表示两个数相除的关系。 2. 比与分数、除法的关系： a :b =a b = a/b(b0）3. 比值：比的前项除以比的后项，所得的商就叫比值。 注：比值是一个数，可以是整数、分数、小数，不带单位名称。 4. 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0 除外），比值 不变。 5. 最简整数比：比的前项和后项是互质数。也就是比的前项和后项除了 1 意外没 有其它公因数。 6. 化简：运用比的基本性质对比进行化简，方法：先把比的前、后项变成整数， 再除以它们的最大公因数。 注：化简比和求比值是不同的两个概念【意义不同，方法不同，结果不同】 7. 按比例分配问题：将一个数量按照一定比例，分成几个部分，求每个部分是多 少，这类问题称为按比例分配问题。 解决方法：先求出总份数，再求各部分数占总数的几分之几，转化成分数乘法 来计算。 （四） 解决问题的策略 用“替换”策略解决实际问题： 问题：小明把 720 毫升果汁倒入 6 个小杯和 1 个大杯，正好都倒满，已知小杯 的容量是大杯的 1 3 ，小杯和大杯的容量各是多少毫升？ 如果把 720 毫升果汁全部倒入小杯，需要（6+3）个小杯。 如果把 720 毫升果汁全部倒入大杯，需要（1+2）个大杯。用“假设”策略解决实际问题： 问题：在 1 个大盒和 5 个同样的小盒中装满球，正好是 80 个，每个大盒比每个 小盒多装 8 个，大盒里装了多少个球？小盒呢？ 分析：假设 6 个全是小盒球的总数比 80 小，把 1 个大盒换成小盒球的总数比 80 少 8 个小盒：（80-8）6=12 大盒：12+8=20检验先假设再比较（与条件不符）进行调整得出结果检验 （五） 分数四则混合运算 分数四则混合运算的顺序： 分数四则混合运算的顺序与整数相同。先算乘除法，后算加减法；有括号的先算 括号里面的，后算括号外面的。 分数四则混合运算的运算律： 加法的交换律：a + b = b + a 加法的结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 乘法的交换律：ab = b a 乘法的结合律：(ab)c = a(bc) 乘法的分配律：(a + b)c = ac + bc 稍复杂的分数乘法实际问题： 1. 甲占（是）乙的几分之几 几分之几=甲乙； 甲=乙几分之几； 乙=甲几分之几； 2. 甲占（是）总量的几分之几，求乙？ 乙=总量-甲几分之几 3. 甲比乙多（增加、上升、提高）几分之几 几分之几=（甲-乙）乙； 甲=乙（1+几分之几）； 乙=甲（1+几分之几） 4. 乙比甲少（减少、下降、降低）几分之几 几分之几=（甲-乙）甲； 甲=乙（1-几分之几）； 乙=甲（1-几分之几） (六）百分数百分数的意义及读写： 1. 百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫百分 比或百分率。 2. 百分数的读写：百分数不写成分数形式，先写分子，再写百分号。 注：百分数后面不带单位名称。（常出现在判断题中） 百分数与小数的互化： 百分数与分数的互化：求一个数是另一个数的百分之几的实际问题： 公式：（一个数另一个数）100% 生活中常见的一些百分率： 合格率合格产品数产品总数100% 出勤率实际出勤人数应出勤人数100% 发芽率发芽种子数试验种子总数100% 成活率成活棵数种植总棵数100% 出油率油的重量油料重量100% 命中率命中次数总次数100% 及格率及格人数参加考试人数100% 纳税问题： 求应纳税额实际上就是求一个数的百分之几是多少，也就是把应该纳税部分的总 收入乘以税率百分之几，就求出了应纳税额。 利息问题： 利息=本金利率存期 折扣问题： 折扣=实际售价原售价100% 列方程解决稍复杂的百分数实际问题：1解答稍复杂的百分数应用题和稍复杂的分数应用题的解题思路、解题方法完 全相同。 2用字母或含有字母的式子表示题中两个未知的数量，找出数量间的相等关系。 根据求一个数的百分之几是多少用乘法列方程求解，或者根据除法的意义，直接 解答。 3“已知比一个数多（少）百分之几的数是多少，求这个数”的实际问题，可 以根据数量间的相等关系列方程求解；或者根据除法的意义，直接解答。 4灵活运用本单元所学知识，解决稍复杂的百分数实际问题，沟通分数、百分 数应用题之间的联系。 【典型例题】 例 1、（列方程解答和倍问题）一根绳子长 48 米，截成甲、乙两段，其中乙绳长度是 甲绳的 60。甲、乙两绳各长多少米？ 分析与解：乙绳长度是甲绳的 60，把甲绳长度看作单位“1”。 等量关系式：甲绳长度 + 乙绳长度 = 总长度 解答：设甲绳长米，则乙绳长 60米。 + 60 = 48 1.6 = 48 = 30 60 = 30 60 = 18 答：甲绳长 30 米，则乙绳长 18 米。 检验：30 + 18 = 48（米），符合甲、乙两绳共长 48 米。 18 30 = 60，符合乙绳长度是甲绳的 60。 例 2、（列方程解答差倍问题）体育馆内排球的个数是篮球的 75，篮球比排球多 6 个。篮球和排球各有多少个？ 分析与解：排球的个数是篮球的 75，是把篮球个数看作单位“1”。 等量关系式：篮球 排球 = 6 个 解答：设篮球有个，则排球有 75个。 - 75 = 6 0.25 = 6 = 24 75 = 24 0.75 = 18 答：篮球有 24 个，排球有 18 个。 你会自己检验吗？ 检验：24 - 18 = 6（个），符合篮球比排球多 6 个。 18 24 = 75，符合排球的个数是篮球的 75。 点评：在列方程解答和倍、差倍问题的题目时，要注意找准单位“1”的量，通常情况 下设单位“1”的量为，再用另一个量和单位“1”之间的关系，用含有的式子表示出另 一个量，最后根据它们的和或差列出方程。 例 3、六年级男生比女生少 40 人，六年级女生人数相当于男生人数的 140，六年级男 生有多少人？ 错误解法：设：女生有人，男生就有 140人。 140 - = 40 0.4 = 40 = 100 140 = 100 1.4 = 140 分析与解：根据“六年级女生人数相当于男生人数的 140”，可以把男生人数看作单 位“1”的量，设男生人数为人，女生人数就是 140人，再根据“六年级男生比女生 少 40 人”，可以得出数量关系式：“女生人数 男生人数 = 40”，根据此数量关系式列出 方程。 正确解答：设男生有人，女生就有 140人。 140 - = 40 0.4 = 40 = 100 答：男生有 100 人。 点评：解错此题的原因是单位“1”的量找错了，要记住找单位“1”的量时候，首先要 去找分率（百分率），因为没有分率就没有单位“1”的量，就不能看到“比”，而“比” 后面的那个量就是单位“1”的量。 例 4、（列方程解决“已知比一个数少百分之几的数是多少，求这个数”的百分数实际 问题）白兔有 36 只，比灰兔少 20。灰兔有多少只？ 分析与解：白兔比灰兔少 20，把灰兔看作单位“1”。 等量关系式：灰兔的只数 白兔比灰兔少的只数 = 白兔的只数 解答：设灰兔有只。 - 20 = 36 0.8 = 36 = 45 答：灰兔有 45 只。 检验：45 45 20 = 36 或 （45 36） 45 = 20，符合题意。点评：和前面例题一样，都是去求单位“1”的量。在解题时同样要注意找准单位“1” 的量，看问题求什么，确定用什么方法计算。 例 6、（难点突破）某商品如果按现价 18 元出售，则亏了 25，原来成本是多少元？ 如果想盈利 25，应按多少元出售该商品？ 分析与解：不管是亏 25，还是盈利 25，单位“1”都是这件商品的成本。所以要先 求这件商品的成本。18 元亏 25，说明 18 元比成本少 25，即是成本的（1 - 25）。盈 利 25，说明盈利的是原来成本的 25，实际售价是原来成本的（1 + 25）。 解答：设原来成本是元。 - 25 = 18 0.75 = 18 = 24 24 （1 + 25） = 30（元） 答：原来成本是 24 元，应按 30 元出售该商品。 点评：通常情况下，商品的盈利和亏损都是以成本作单位“1”的 。解答这道题目的关 键是确定好单位“1”，这也是解百分数应用题时最重要的。 例 7、（考点透视）水果批发部要运进一批水果，第一次运进总量的 22，第二次运进 1.5 吨，两次共运进这批水果的 62，这批水果一共有多少吨？ 分析与解：根据题意可以画出下面的线段图： 从图中可以看出：两次一共运的吨数 - 第一次运的吨数 = 1.5 吨，单位“1”的量是这 批水果的总吨数，设这批水果一共有吨，那么两次一共运了 62吨，第一次运进了 22 吨。 解：设这批水果一共有吨。 62 - 22 = 1.5 40 = 1.5 = 3.75 答：这批水果一共有 3.75 吨。 点评：在解答稍复杂的百分数应用题时，要学会画线段图，它的好处是：使题目的条件 变得简洁，找数量关系式时更加容易、方便。画图的时候，要先找准单位“1”的量，用一 根线段表示出单位“1”的量之后，再去表示其他的量。【模拟试题】（答题时间：40 分钟） 一、 基本训练： 1、找出下列各题中的单位“1”。 男生人数占女生人数 60%。 男生人数比女生人数多 20%。 女生人数比男生人数少 25%。 加工一批零件，已完成了 80%。 今年的猪肉单价比去年上涨了 80%。 2、根据所给信息，说出数量间的相等关系一条路，已修了全长的 60% 一种彩电，现价比原价降低 10%松树的棵数比柏树多 3、 看图列式。 4、 列式计算：（1） 一个数的 75%比 30 的 25%多 1.5，求这个数。 （2） 一个数的 25%比它的 75%少 30，求这个数。 二、 解决问题： 1、 对比练习 （1） 某工厂六月份用煤 60 吨，六月份比五月份少用煤 25，五月份用煤多少吨？ （2） 某工厂六月份用煤 60 吨，五月份比六月份多用煤 25，五月份用煤多少吨？ 2、 一张课桌比一把椅子贵 10 元，如果椅子的单价是课桌单价的 60%，课桌和椅子的单 价各是多少元？ 3、 果园里的梨树和苹果树共有 360 棵，其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的 20%。苹果 树和梨树各有多少棵？ 4、 一套桌椅的价格是 78 元，其中椅子的价格是桌子的 30%。桌子和椅子的价格各是多 少元？ 5、 一条绳子，第一次剪去全长的 25%，第二次剪去全长的 35%，两次共剪去 6 米，这条 绳子共长多少米？ 6、 一条绳子，第一次剪去全长的 25%，第二次剪去全长的 35%，第二次比第一次多剪了 1 米，这条绳子长多少米？ 7、 根据问题列式。 平山茶场去年原计划种茶 20 公顷，实际种茶 25 公顷，_? 实际种茶的公顷数是原计划的百分之几？ 计划种茶的公顷数是实际的百分之几？ 实际种茶的公顷数比原计划多百分之几？ 计划种茶的公顷数比实际少百分之几？ 8、 根据算式填条件 果园里有苹果树 200 棵，- ，梨树有多少棵？ 20020%20020% 200（1+20%） 200（1-20%） 200（1-20%） 200（1+20%） 【试题答案】 一、 基本训练： 1、 找出下列各题中的单位“1”。 男生人数占女生人数 60%。 把女生人数看作单位“1” 男生人数比女生人数多 20%。 把女生人数看作单位“1” 女生人数比男生人数少 25%。 把男生人数看作单位“1” 加工一批零件，已完成了 80%。 把一批零件看作单位“1” 今年的猪肉单价比去年上涨了 80%。把去年的猪肉单价看作单位“1” 2、 根据所给信息，说出数量间的相等关系 一条路，已修了全长的 60% 全长 60% = 已修 一种彩电，现价比原价降低 10% 原价 10% = 降价 原价 （1-10%）= 现价 松树的棵数比柏树多 柏树 = 松树比柏树多的棵数 柏树 （1+）= 松树 3、看图列式。 4、列式计算： （1）一个数的 75%比 30 的 25%多 1.5，求这个数。 75 30 25% = 1.5 = 12（2）一个数的 25%比它的 75%少 30，求这个数。75 25% = 30 = 60 二、解决问题： 1、 对比练习 （1）某工厂六月份用煤 60 吨，六月份比五月份少用煤 25，五月份用煤多少吨？ 解：设五月份用煤吨。 25% = 60 = 80 （2） 某工厂六月份用煤 60 吨，五月份比六月份多用煤 25，五月份用煤多少吨？ 60 + 60 25% = 75（吨） 2、 一张课桌比一把椅子贵 10 元，如果椅子的单价是课桌单价的 60%，课桌和椅子的单 价各是多少元？ 解：设课桌的单价是元，椅子的单价是 60%元。 60% = 10 = 25 25 60% = 15（元）或 25 10 = 15（元） 答：课桌的单价是 25 元，椅子的单价是 15 元。 3、 果园里的梨树和苹果树共有 360 棵，其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的 20%。苹果 树和梨树各有多少棵？ 解：设梨树的棵树是棵，苹果树的棵树是 20%棵。 + 20% = 360 = 300 300 20% = 60（棵）或 360 300 = 60（棵） 答：梨树的棵树是 300 棵，苹果树的棵树是 60 棵。 4、 一套桌椅的价格是 78 元，其中椅子的价格是桌子的 30%。桌子和椅子的价格各是多 少元？ 解：设课桌的单价是元，椅子的单价是 30%元。 + 30% = 78 = 60 60 30% = 18（元）或 78 60 = 18（元） 答：课桌的单价是 60 元，椅子的单价是 18 元。 5、 一条绳子，第一次剪去全长的 25%，第二次剪去全长的 35%，两次共剪去 6 米，这条 绳子共长多少米？ 解：设这条绳子共长米。 25% + 35% = 6 = 10 答：这条绳子共长 10 米。 6、 一条绳子，第一次剪去全长的 25%，第二次剪去全长的 35%，第二次比第一次多剪了 1 米，这条绳子长多少米？ 解：设这条绳子共长米。 35% - 25% = 1 = 10 答：这条绳子共长 10 米。 7、 根据问题列式。 平山茶场去年原计划种茶 20 公顷，实际种茶 25 公顷，_?实际种茶的公顷数是原计划的百分之几？ 25 20 = 125% 计划种茶的公顷数是实际的百分之几？ 20 25 = 80% 实际种茶的公顷数比原计划多百分之几？ （25 20） 20 = 25% 计划种茶的公顷数比实际少百分之几？ 25 20） 25 = 20% 8、 根据算式填条件 果园里有苹果树 200 棵，- ，梨树有多少棵？ 20020% 苹果树是梨树的 20% 20020% 梨树是苹果树的 20% 200（1+20%） 苹果树比梨树多 20% 200（1-20%） 苹果树比梨树少 20% 200（1-20%） 梨树比苹果树少 20% 200（1+20%） 梨树比苹果树多 20%