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高一数学：解函数常见的题型及方法
主编：东平校区 张忠兵
一、函数定义域的求法
函数的定义域是函数三要素之一，是指函数式中自变量的取值范围。高考中考查函数的定义域的题目多以选择题或填空题的形式出现，有时也出现在大题中作为其中一问。以考查对数和根号两个知识点居多。
1、 求具体函数定义域
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含的运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：
①分式中分母不为零
②偶次方根，被开方数非负
③对于，要求
④指数式子中，底数大于零且不等于1
⑤对数式中，真数大于零，底数大于零且不等于1
⑥由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束
例：函数y＝＋的定义域为 。
解: 要使函数有意义，则所以原函数的定义域为{x|x≥，且x≠}.
评注：对待此类有关于分式、根式的问题，切记关注函数的分母与被开方数即可，两者要同时考虑，所求“交集”即为所求的定义域。
2、 求抽象函数的定义域
(1) 若已知函数的定义域为，其复合函数的定义域由不等式求出的取值范围，即为函数的定义域；
例: 若函数的定义域为，则的定义域为 。
分析：由函数的定义域为可知：；所以中有。
解：依题意知：
解之，得
∴　的定义域为
点评：对数式的真数为，本来需要考虑，但由于已包含的情况，因此不再列出。
(2) 若已知函数的定义域为，其函数的定义域为在时的值域。
例3：已知的定义域为（-1，5］，求函数的定义域。
解：∵ -1＜x≤5
∴ -3＜2x-1≤9
所以，函数的定义域为.
二、 函数值域求解方法
求函数的值域是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一，由于求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，所以难度比较大。
以下是求函数值域的几种常用方法：
1、直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。
例：求函数的值域。
例：求函数的值域。
解：∵，∴，
∴函数的值域为。
2、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。
例：求函数（）的值域。
解：，
∵，∴，∴
∴，∴
∴函数（）的值域为。
3、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。
例：求函数在区间上的值域。
分析与解答：任取，且，则
，因为，所以：，
当时，，则；
当时，，则；而当时，
于是：函数在区间上的值域为。
4、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。
例：求函数的值域。
解：由可得，
则其反函数为，其定义域为：
∴函数的值域为。
5、换元法：运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求解。
例：求函数的值域。
解：令（），则，
∴
∵当，即时，，无最小值。
∴函数的值域为。
6、判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。
例：求函数的值域。
解：由变形得，
当时，此方程无解；
当时，∵，∴，
解得，又，∴
∴函数的值域为
7、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

例：求函数的值域。
解：∵，
∵，∴，
∴函数的值域为。
8、有界性法：利用某些函数有界性求得原函数的值域。
例：求函数的值域。
解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，对函数进行变形可得
，
∵，∴（，），
∴，∴，
∴函数的值域为

三、 求函数解析式的方法
求函数的解析式是函数的常见问题,也是高考的常规题型之一,方法众多,下面对一些常用的方法一一辨析.
1、配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。
例： 已知 ，求 的解析式
解：，

2、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例： 已知，求
解：令，则，

3、待定系数法：若已知函数类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法
例：已知是二次函数，且，求的解析式
解：设

∴解得
∴
4、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例： 设求
解 ①
显然将换成，得：
②
解① ②联立的方程组，得：

例： 设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式
解 为偶函数，为奇函数，

又 ① ，
用替换得：
即②
解① ②联立的方程组，得
，
5、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例： 已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求
解对于任意实数x、y，等式恒成立，
不妨令，则有
以函数解析式为：
6、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例：已知：函数的图象关于点对称，求的解析式
解：设为上任一点，且为关于点的对称点
则，解得： ，
点在上

把代入得：

整理得

例：设是定义在R上的奇函数,且当，试求函数的解析式
解：设，则

∵是定义在R上的奇函数
∴
故
∵，当时，
∴
四、 判断具体函数单调性的方法
1、定义法
一般地，设为定义在上的函数。若对任何、，当时，总有
(1)，则称为上的增函数；
(2),则称为上的减函数，。
利用定义来证明函数在给定区间上的单调性的一般步骤：
（1）设元，任取,且；
（2）作差；
（3）变形（普遍是因式分解和配方）；
（4）断号（即判断差与0的大小）；
（5）定论（即指出函数 在给定的区间D上的单调性）。
例：用定义证明函数 在上的单调性。
证明：设、，且，则

，
又 所以，，
当、时，，此时函数为减函数；
当、时，，此时函数为增函数。
综上函数 在区间内为减函数；在区间内为增函数。
2、函数性质法
函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下表：
函数
函数表达式
单调区间
特殊函数图像
一次函数

当时，在R上是增函数；
当时，在R上是减函数。

二次函数

当时，时单调减,
时单调增；
当时，时单调增，时单调减。

反比例函数

且
当时,在时单调减，在时单调减；
当时,在时单调增，在时单调增。

指数函数

当时，在R上是增函数；
当，时在R上是减函数。

对数函数

当时，在上是增函数；
当时，在上是减函数。

几个常用的结论：
若、为增函数，则有一下结论：
①+为增函数；（为常数）
②当时，为增函数，为减函数；
③恒成立时，为减函数；
④当，，为增函数；
⑤＋为增函数；
⑥当、，则为增函数。
例：判断的单调性。
解:函数的定义域为，由简单函数的单调性知在此定义域内 均为增函数，因为,由性质⑥可得也是增函数；由单调函数的性质⑤知为增函数，再由性质①知函数+5在为单调递增函数。
3、图像法
用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法。根据单调函数的图像特征，若函数的图像在区间上从左往右逐渐上升则函数在区间上是增函数；若函数图像在区间上从左往右逐渐下降则函数在区间上是减函数。、
例: 如图1-1是定义在闭区间[-5,5]上的函数的图像，试判断其单调性。

解：由图像可知：函数的单调区间有[-5,-2），[-2,1），[1,3），[3,5）.其中函数在区间[-5,-2），[1,3）上的图像是从左往右逐渐下降的，则函数在区间[-5,-2），[1,3）为减函数；函数在区间[-2,1），[3,5]上的图像是从往右逐渐上升的，则函数在区间[-2,1），[3,5]上是增函数。
4、复合函数单调性判断法
若是增函数，是增（减）函数，则是增（减）函数。（2）若是减函数，是增（减）函数，则是减（增）函数。
归纳此定理，可得口诀：同则增，异则减（同增异减）
复合函数单调性的四种情形可列表如下：

情形
单调性
函数
第①种情形
第②种情形
第③种情形
第④种情形
内层函数

外层函数

复合函数

判断复合函数的单调性的一般步骤：
⑴合理地分解成两个基本初等函数；
⑵分别解出两个基本初等函数的定义域；
⑶分别确定单调区间；
⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则为增函数，若为一增一减，则为减函数（同增异减）；
⑸求出相应区间的交集，既是复合函数的单调区间。
以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。
例: 求（且）的单调区间。
解：由题可得函数是由外函数和内函数符合而成。由题知函数的定义域是。内函数在内为增函数，在内为减函数。
①若，外函数为增函数，由同增异减法则，故函数在上是增函数；函数在上是减函数。
②若，外函数为减函数，由同增异减法则，故函数在上是减函数；函数在上是增函数。
五、判断函数奇偶性的方法：
1、定义法：对于函数的定义域内任意一个x，都有函数f（x）是偶函数；
对于函数的定义域内任意一个x，都有 函数f（x）是奇函数；
判断函数奇偶性的步骤：
①、判断定义域是否关于原点对称；
②、比较与的关系，
③、按照定义，下结论。
例：判断下列函数的奇偶性

解：函数定义域为

∵
∴为奇函数。

2、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数是偶函数。，
例：判断下列函数的奇偶性

解：
图像如右图所示
由图像可知为偶函数。
说明：一般情况下，解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法判断函数的奇偶性。

3、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：
①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；
②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数；偶函数×偶函数=偶函数。
4、复合函数：
函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，
①若u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；
②若u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。

广东惠州高中一年级(上)期中考试 数学科试题
命题人：东平校区 张忠兵
一、选择题（每小题5分，共50分）
1.已知全集,，则( )
A. B. C. D.
2.函数的图象是 （ ）

A
3. 如果幂函数的图象经过点,则的值等于（ ）
A.16 B. 2 C. D.
4. 设，，c，则（ ）
A． B． C． D．
5．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
 A.y = x (x∈(0,+∞)) B.y = 3x (x∈R)
C.y = x (x∈R) D.y = lg|x| (x≠0)
6. 偶函数在区间[0，4]上单调递减，则有（ ）
A. B.
C. D.

7. 在中，实数的取值范围是（ ）
A B
C D
8．若函数，则 （ ）
A． B． C． D．
9. 设集合若则的范围是 （ ）
A． B． C． D．
10.如果一个函数满足： （1）定义域为R； （2）任意，若，则； （3）任意，若，.
则可以是（ ）
A． B． C． D．

二、填空题（每小题5分，共20分）
11．的定义域为_________________
12．函数的图象与函数（）的图象关于直线对称，则函数的解析式为_______________
13．函数的单调递增区间是_______________
14.定义集合运算：设则集合的所有元素之和为

三、解答题：(共80分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. （本题12分）计算
（1） （2）

16. （本题12分）设函数且
（1）求a,b的值；
（2）当时，求最大值。

17. （本小题14分）已知奇函数
（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出的图象；
（2）若函数在区间[－1，－2]上单调递增，试确定的取值范围.

18、（本小题14分）已知为定义在上的奇函数，当时，
（1）证明函数在是增函数
（2）求在（-1,1）上的解析式

19．（本小题14分）已知函数
（1）求函数的值域；
（2）若时，函数的最小值为，求的值和函数 的最大值。

20．（本题满分14分）已知函数，(x>0)．
（1），求的值；
（2）是否存在实数a，b（a<b），使得函数的定义域、值域都是[a，b]？若存在，请求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

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