浙教版八年级下专题六与平行四边形的判定有关的证明.doc

专题六 与平行四边形的判定有关的证明
(教材P99作业题第3题)
已知：如图1，在▱ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AF，CE分别与对角线BD交于点F，E.
求证：四边形AFCE是平行四边形．

图1
证明：连结AC，交BD于点O.
在▱ABCD中，AB綊CD，
∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABF＝∠CDE.
又∵AF，CE分别是∠BAD与∠BCD的平分线，
∴∠BAF＝∠DCE.
∴△AFB≌△CED.∴BF＝DE.
又∵OA＝OC，OB＝OD(平行四边形的对角线互相平分)，
∴OF＝OE.
∴四边形AFCE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．
【思想方法】 平行四边形的判定主要从三个方面看：
(1)从边看：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
(2)从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
(3)从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
　[2013·温州二模]如图2，A，D，F，B在同一直线上，AE＝BC，且AE∥BC，AD＝BF.
(1)求证：△AEF≌△BCD；
(2)连结ED，CF，则四边形EDCF是____________(从平行四边形，矩形，菱形，正方形中选填)．

图2
解：(1)证明：∵AE∥BC，
∴∠A＝∠B.
∵AD＝BF，∴AF＝DB.
在△AEF和 △BCD中，

∴△AEF≌△BCD(SAS)；
(2)平行四边形．
∵△AEF≌△BCD，∴EF＝CD，∠EFA＝∠CDB，
∴EF∥DC，∴四边形EDCF是平行四边形．
　[2013·郴州]如图3，已知BE∥DF，∠ADF＝∠CBE，AF＝CE.求证：四边形DEBF是平行四边形．

图3
证明：因为BE∥DF，所以∠AFD＝∠CEB.又因为∠ADF＝∠CBE，AF＝CE，所以△ADF≌△CBE，所以DF＝BE.又因为BE∥DF，所以四边形DEBF是平行四边形．
　[2013·梧州]如图4，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE＝DF.
求证：四边形BECF是平行四边形．

图4
证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°.
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D.
在△AEB与△DFC中，

∴△AEB≌△DFC(ASA)，
∴BE＝CF.
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CF，
∴四边形BECF是平行四边形．
　[2013·青海]如图5，已知▱ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF，CE.求证：四边形AECF为平行四边形．

图5
证明：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABD＝∠CDB.
又∵AM⊥BC，CN⊥AD，
∴∠AMB＝∠CND＝90°，
∴∠BAM＝90°－∠ABM
＝90°－∠CDN＝∠DCN.
∴△ABE≌△CDF.
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.
∴∠AEF＝∠CFE.
∴AE∥CF.
∴四边形AECF为平行四边形．
　[2013·无锡]如图6，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构成命题．
(1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；
(2)写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．(命题请写成“如果……那么……”的形式)

图6
解：(1)是真命题．
证明如下：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
又∵∠AOB＝∠COD，AO＝CO，
∴△ABO≌△CDO，
∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)假命题：①四边形ABCD中，如果AB∥CD，
AD＝BC，那么四边形ABCD是平行四边形．
②四边形ABCD中，AC交BD于O，如果AO＝CO，AD＝BC，那么四边形ABCD是平行四边形．
反例：

①　　　　　　②
变形5答图
如答图①，四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，但四边形ABCD不是平行四边形；如答图②，四边形ABCD中，AO＝CO，AD＝BC，但四边形ABCD不是平行四边形．
　[2012·定西]如图7，已知△ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，∠EFB＝60°，DC＝EF.
(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；
(2)若BF＝EF，求证：AE＝AD.

图7
证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°.
∵∠EFB＝60°，
∴∠ABC＝∠EFB，
∴EF∥DC(内错角相等，两直线平行)．
∵DC＝EF，

变形6答图
∴四边形EFCD是平行四边形；
(2)如图，连结BE.
∵BF＝EF，∠EFB＝60°，
∴△EFB是等边三角形，
∴EB＝EF，∠EBF＝60°.
∵DC＝EF，∴EB＝DC.
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠EBF＝∠ACB，∴△AEB≌△ADC，
∴AE＝AD.
　如图8，已知△ABC是等边三角形，D，E分别在边BC，AC上，且CD＝CE，连结DE并延长至点F，使EF＝AE，连结AF，BE和CF.
(1)求证：△BCE≌△FDC；
(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由．

图8
解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB，∠ACB＝60°.
又∵CD＝CE，
∴△EDC是等边三角形，
∴DE＝CD＝CE，
∠DCE＝∠EDC＝60°.
∵EF＝AE，∴EF＋DE＝AE＋CE，
∴FD＝AC＝BC，∴△BCE≌△FDC(SAS)；
(2)四边形ABDF是平行四边形．
理由如下：
∵由(1)知△ABC，△AEF，△DCE均为等边三角形，
∴∠CDE＝∠ABC＝∠EFA＝60°，
∴AB∥FD，BD∥AF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
　[2013·莱芜]在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE.
(1)证明：DE∥CB；
(2)探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．

图9
解：(1)证明：如图，
连结CE.
∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，
∴CE＝AB＝AE.
∵△ACD是等边三角形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠ACD＝60°.
在△ADE与△CDE中，

变形8答图
AD＝CD，DE＝DE，AE＝CE，
∴△ADE≌△CDE.
∴∠ADE＝∠CDE＝∠ADC＝30°.
∵∠DCB＝∠ACD＋∠ACB＝150°，
∴∠EDC＋∠DCB＝180°.∴DE∥CB.
(2)∵∠DCB＝150°，
若四边形DCBE是平行四边形，
则DC∥BE，即∠DCB＋∠B＝180°，
∴∠B＝30°.
∴在Rt△ACB中，AC＝AB或AB＝2AC.
∴当AC＝AB或AB＝2AC时，四边形DCBE是平行四边形．