浙教版八年级下专题六与平行四边形的判定有关的证明.doc

专题六 与平行四边形的判定有关的证明(教材P99作业题第3题)已知：如图1，在ABCD中，BAD和BCD的平分线AF，CE分别与对角线BD交于点F，E.求证：四边形AFCE是平行四边形图1证明：连结AC，交BD于点O.在ABCD中，AB綊CD，BADBCD，ABFCDE.又AF，CE分别是BAD与BCD的平分线，BAFDCE.AFBCED.BFDE.又OAOC，OBOD(平行四边形的对角线互相平分)，OFOE.四边形AFCE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)【思想方法】 平行四边形的判定主要从三个方面看：(1)从边看：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(2)从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形(3)从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形2013温州二模如图2，A，D，F，B在同一直线上，AEBC，且AEBC，ADBF.(1)求证：AEFBCD；(2)连结ED，CF，则四边形EDCF是_(从平行四边形，矩形，菱形，正方形中选填)图2解：(1)证明：AEBC，AB.ADBF，AFDB.在AEF和 BCD中，AEFBCD(SAS)；(2)平行四边形AEFBCD，EFCD，EFACDB，EFDC，四边形EDCF是平行四边形2013郴州如图3，已知BEDF，ADFCBE，AFCE.求证：四边形DEBF是平行四边形图3证明：因为BEDF，所以AFDCEB.又因为ADFCBE，AFCE，所以ADFCBE，所以DFBE.又因为BEDF，所以四边形DEBF是平行四边形2013梧州如图4，已知：ABCD，BEAD，垂足为点E，CFAD，垂足为点F，并且AEDF.求证：四边形BECF是平行四边形图4证明：BEAD，CFAD，AEBDFC90.ABCD，AD.在AEB与DFC中，AEBDFC(ASA)，BECF.BEAD，CFAD，BECF，四边形BECF是平行四边形2013青海如图5，已知ABCD，过A作AMBC于M，交BD于E，过C作CNAD于N，交BD于F，连结AF，CE.求证：四边形AECF为平行四边形图5证明：在ABCD中，ABCD，ABCD，ABCADC，ABDCDB.又AMBC，CNAD，AMBCND90，BAM90ABM90CDNDCN.ABECDF.AECF，AEBCFD.AEFCFE.AECF.四边形AECF为平行四边形2013无锡如图6，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，在ABCD；AOCO；ADBC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构成命题(1)以作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；(2)写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明(命题请写成“如果那么”的形式)图6解：(1)是真命题证明如下：ABCD，ABOCDO，又AOBCOD，AOCO，ABOCDO，ABCD，四边形ABCD是平行四边形(2)假命题：四边形ABCD中，如果ABCD，ADBC，那么四边形ABCD是平行四边形四边形ABCD中，AC交BD于O，如果AOCO，ADBC，那么四边形ABCD是平行四边形反例：变形5答图如答图，四边形ABCD中，ABCD，ADBC，但四边形ABCD不是平行四边形；如答图，四边形ABCD中，AOCO，ADBC，但四边形ABCD不是平行四边形2012定西如图7，已知ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，EFB60，DCEF.(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；(2)若BFEF，求证：AEAD.图7证明：(1)ABC是等边三角形，ABC60.EFB60，ABCEFB，EFDC(内错角相等，两直线平行)DCEF，变形6答图四边形EFCD是平行四边形；(2)如图，连结BE.BFEF，EFB60，EFB是等边三角形，EBEF，EBF60.DCEF，EBDC.ABC是等边三角形，ACB60，ABAC，EBFACB，AEBADC，AEAD.如图8，已知ABC是等边三角形，D，E分别在边BC，AC上，且CDCE，连结DE并延长至点F，使EFAE，连结AF，BE和CF.(1)求证：BCEFDC；(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由图8解：(1)证明：ABC是等边三角形，ACBCAB，ACB60.又CDCE，EDC是等边三角形，DECDCE，DCEEDC60.EFAE，EFDEAECE，FDACBC，BCEFDC(SAS)；(2)四边形ABDF是平行四边形理由如下：由(1)知ABC，AEF，DCE均为等边三角形，CDEABCEFA60，ABFD，BDAF，四边形ABDF是平行四边形2013莱芜在RtABC中，ACB90，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE.(1)证明：DECB；(2)探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形图9解：(1)证明：如图，连结CE.点E为RtACB的斜边AB的中点，CEABAE.ACD是等边三角形，ADCD，ADCACD60.在ADE与CDE中，变形8答图ADCD，DEDE，AECE，ADECDE.ADECDEADC30.DCBACDACB150，EDCDCB180.DECB.(2)DCB150，若四边形DCBE是平行四边形，则DCBE，即DCBB180，B30.在RtACB中，ACAB或AB2AC.当ACAB或AB2AC时，四边形DCBE是平行四边形