微分中值定理83138.pptx

第六节第六节 微分中值定理微分中值定理二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理一、罗尔一、罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理1.证明证明2.罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理 则则在在(a,b)内内至至少少存存在在一一点点 ，使使 f()=0.设函数设函数 f f(x x)满足条件：满足条件：1)在在闭闭区间区间 a,b上连续上连续.2)在在开开区间区间(a,b)内可导内可导.3)f(a)=f(b)证证物理解释物理解释:变速直线运动在折返点处变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零瞬时速度等于零.几何解释几何解释:3.若若 f(x)可导，则可导，则 f(x)=0 的任何两个实的任何两个实根之间，至少有根之间，至少有 f(x)=0 的一个实根的一个实根.例例1.证明方程有且仅有一个小于1 的正实根.证证:1)存在性.则在 0,1 连续,且由零点定理知存在使即方程有小于 1 的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设例例2 2证证由由Rolle定理知定理知说明说明:证明证明 在在 内有根用内有根用零点零点定理定理.证明证明 在在 内有根用内有根用罗尔罗尔定理定理.关键技巧关键技巧:根据题意会知道如何构造辅助函数根据题意会知道如何构造辅助函数.若希望用若希望用Rolle定理证明方程定理证明方程 f(x)=0 根的存在性，根的存在性，则构造的辅助函数则构造的辅助函数F(x)应满足关系式应满足关系式F(x)=f(x)及及Rolle定理条件定理条件.注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,又例如又例如,注意注意:罗尔定理的三个条件是充分不必要的罗尔定理的三个条件是充分不必要的,即若即若有一个不满足有一个不满足,其结论也可能成立其结论也可能成立.例如例如,二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理则在则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 ，使，使 f(b)f(a)=f()(b a)(a,b).Lagrange 中值定理中值定理 设函数设函数 f(x)满足条件：满足条件：1)在在闭闭区间区间 a,b上连续上连续.2)在在开开区间区间(a,b)内可导内可导.则在则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 ，使，使 f(b)f(a)=f()(b a)(a,b).Lagrange 中值定理中值定理 设函数设函数 f(x)满足条件：满足条件：1)在在闭闭区间区间 a,b上连续上连续.2)在在开开区间区间(a,b)内可导内可导.几何解释几何解释:证明证明分析分析:弦弦AB方程为方程为作辅助函数作辅助函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.证明证明拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理两个重要结论两个重要结论:(1)(2)例例1.证明等式经验经验:欲证时只需证在 I 上例例2 2证证例例3 3拉格朗日拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理主要用来证明不等式中值定理主要用来证明不等式例例4 4证证由上式得由上式得拉格朗日拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理主要用来证明不等式中值定理主要用来证明不等式例例5 5拉格朗日拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理主要用来证明不等式中值定理主要用来证明不等式三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理则在则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 ，使，使 Cauchy 中值定理中值定理 设函数设函数 f(x)、g(x)满足条件：满足条件：1)在在闭闭区间区间 a,b上连续上连续.2)在在开开区间区间(a,b)内可导内可导且且 g(x)0.几何解释几何解释:证证作辅助函数作辅助函数例例6.设至少存在一点使分析分析:问题转化为证证明设则在 0,1 上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点 ,使即证明例例6.试证至少存在一点使证证:法法1 用柯西中值定理.则 f(x),F(x)在 1,e 上满足柯西中值定理条件,令因此 即分析分析:例例6.试证至少存在一点使法法2 令则 f(x)在 1,e 上满足罗尔中值定理条件,使因此存在内容小结内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理思考与练习思考与练习1.填空题填空题1)函数在区间 1,2 上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间上.则方程2.设且在内可导,证明至少存在一点使提示提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.4.思考:在即当时问问是否可由此得出 不能不能!因为是依赖于 x 的一个特殊的函数.因此由上式得表示 x 从右侧以任意方式趋于 0.应用拉格朗日中值定理得上对函数备用题备用题求证存在使1.设 可导，且在连续，证证:设辅助函数因此至少存在显然在 上满足罗尔定理条件,即使得四、小结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.中值定理的数学符号简洁表述如下中值定理的数学符号简洁表述如下:推广推广:思考题思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可条件缺一不可.思考题解答思考题解答不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续的条件；的条件；且且不满足在开区间内不满足在开区间内可微可微的条件；的条件；以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.练练 习习 题题