微分方程的基本概念61810.pptx

第十二章第十二章第十二章第十二章 微分方程微分方程微分方程微分方程differential equation 第十二章 1.微分方程的基本概念微分方程的基本概念;2.一阶一阶微分方程微分方程;（可分离变量的微分方程，一阶线可分离变量的微分方程，一阶线性微分方程，性微分方程，伯努利伯努利(Bernoulli)方程，方程，全微分方程全微分方程）4.线性线性微分方程及其通解的结构微分方程及其通解的结构;5.常系数齐次线性常系数齐次线性方程方程;6.常系数非齐次线性常系数非齐次线性方程方程.3.几种可积的高阶几种可积的高阶微分方程微分方程;利用函数关系可以对客观事物作定量分析利用函数关系可以对客观事物作定量分析.但在许多实际问题中但在许多实际问题中,而根据问题所服从的客观而根据问题所服从的客观含有未知函数的导数或微分的关系式含有未知函数的导数或微分的关系式,关系式称为关系式称为对它进行研究确定出未知对它进行研究确定出未知实际上就解决了最实际上就解决了最不能直接找出所需要的函数关系不能直接找出所需要的函数关系,只能列出只能列出把这样的把这样的牛顿和莱布尼茨牛顿和莱布尼茨求解问题求解问题.微分方程微分方程.规律规律,函数的过程就是函数的过程就是确定的微积分运算的互逆性确定的微积分运算的互逆性,简单的简单的微分方程微分方程解微分方程解微分方程.一、一、分析商品的市场价格与需求量分析商品的市场价格与需求量(供应量供应量)之间的函数关系之间的函数关系二二、分析产量、收入、成本及利润之间的函数关系、分析产量、收入、成本及利润之间的函数关系三三、关于国民收入、储蓄与投资关系、关于国民收入、储蓄与投资关系四四、关于国民收入与国民债务问题、关于国民收入与国民债务问题五、关于商品的销售成本与存贮费用的关系问题五、关于商品的销售成本与存贮费用的关系问题4问题的提出问题的提出基本概念基本概念小结小结 思考题思考题 作业作业(differential equation)第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念解解可直接积分的方程可直接积分的方程例例1 一曲线通过点一曲线通过点且在该曲线上任一点且在该曲线上任一点处的切线的斜率为处的切线的斜率为求这曲线的方程求这曲线的方程.一、问题的提出一、问题的提出设所求曲线为设所求曲线为所求曲线方程为所求曲线方程为解解可直接积分的方程可直接积分的方程例例2 列车在平直的线路上以列车在平直的线路上以的速度行驶的速度行驶,当制动时列车获得加速度当制动时列车获得加速度问开始制动问开始制动后多少时间列车才能停住后多少时间列车才能停住?以及列车在这段时间以及列车在这段时间内行驶了多少路程内行驶了多少路程?设制动后设制动后 t 秒钟行驶秒钟行驶 s 米米,故故得到开始制动到列车完全停住共需时间得到开始制动到列车完全停住共需时间得到列车在这段时间内行驶的路程得到列车在这段时间内行驶的路程 我们所学习的不定积分我们所学习的不定积分,实际上就是求解实际上就是求解有些微分方程虽不象有些微分方程虽不象但经过化简但经过化简,可以变成以上的形式可以变成以上的形式.这些方程也可看作可直接积分的方程这些方程也可看作可直接积分的方程.这样简单这样简单,最简单的一类微分方程最简单的一类微分方程.如如二、基本概念二、基本概念凡含有未知函数的导数凡含有未知函数的导数(或微分或微分)的方程称的方程称未知函数是一元函数的方程为未知函数是一元函数的方程为方程中所出现的导数的最高阶数称方程中所出现的导数的最高阶数称微分方程微分方程.常微分方程常微分方程;未知函数是多元函数的方程为未知函数是多元函数的方程为偏微分方程偏微分方程.微分方程的阶微分方程的阶.一阶一阶一阶一阶二阶二阶一阶一阶分类分类1 1:常微分方程常微分方程,偏微分方程偏微分方程.一阶微分方程一阶微分方程高阶高阶(n)微分方程微分方程分类分类2:2:分类分类3 3:线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程.分类分类4 4:单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组.代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解微分方程的解.微分方程的解的分类微分方程的解的分类(1)通解通解微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且任意且任意常数的个数与微分方程的阶数相同常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解特解 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.如方程如方程通解通解通解通解特解特解特解特解初始条件初始条件 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.注注通解和特解是一般和特殊的关系通解和特解是一般和特殊的关系.曲线通过曲线通过点点(1,2).如前例如前例,初值问题初值问题(柯西问题柯西问题)求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.解的图象解的图象通解的图象通解的图象微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.积分曲线族积分曲线族.是过定点的积分曲线是过定点的积分曲线;一阶一阶二阶二阶是过定点且在定点的切线的斜率为定值是过定点且在定点的切线的斜率为定值几何意义几何意义几何意义几何意义定值的积分曲线定值的积分曲线.一般的一般的n阶微分方程为阶微分方程为已解出最高阶导数的微分方程已解出最高阶导数的微分方程 今后讨论今后讨论解解所求特解为所求特解为微分方程；微分方程；微分方程的阶；微分方程的阶；微分方程的解；微分方程的解；通解通解;初始条件；初始条件；特解；特解；初值问题；初值问题；积分曲线积分曲线四、小结四、小结本节基本概念：本节基本概念：思考题思考题思考题解答思考题解答中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特特解解.练练 习习 题题练习题答案练习题答案