高考数学主题复习——函数周期性与对称性.pdf

函数的周期性与对称性1函数周期性与对称性函数周期性与对称性一、函数周期：函数周期：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则()f xxT()()f xTf x称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周()f xT()f xkT,0kZ k()f x期中的最小正数叫的最小正周期.一般所说的周期是指函数的最小正周期头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 周期函数的定义域一定()f x是无限集头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头例如：求的周期11()()(),(),()()1()f xf xaf xf xaf xaf xf x 1.常见函数周期常见函数周期:y=sinx，最小正周期 T2；y=cosx，最小正周期 T2；y=tanx，最小正周期 T；y=cotx，最小正周期 T.周期函数f(x)最小正周期为 T,则y=Af(x+)+k 的最小正周期为 T/|.2.几种特殊的抽象函数的周期：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,yf xxa，则是以为周期的周期函数；f xf xa yf xTa ，则是以为周期的周期函数；f xaf x xf2Ta，则是以为周期的周期函数；1f xaf x xf2Ta ，则是以为周期的周期函数；f xaf xa xf2Ta，则是以为周期的周期函数.1()()1()f xf xaf x xf2Ta，则是以为周期的周期函数.1()()1()f xf xaf x xf4Ta，则是以为周期的周期函数.1()()1()f xf xaf x xf4Ta函数满足（），若为奇函数，则其周期为，()yf x()()f axf ax0a()f x4Ta若为偶函数，则其周期为.()f x2Ta函数的图象关于直线和都对称，则函数是以()yf xxRxaxbab()f x为周期的周期函数；2 ba函数的图象关于两点、都对称，则函数是以()yf xxR0,A a y0,B b yab()f x为周期的周期函数；2 ba函数的图象关于和直线都对称，则函数是以()yf xxR0,A a yxbab()f x为周期的周期函数；4 ba（二）主要方法：判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的恒有;1.x()()f xTf x 二是能找到适合这一等式的非零常数，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.T解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根2.据所要解决的问题的特征来进行赋值。二、对称性：二、对称性：函数关于原点对称即奇函数：()()fxf x 函数的周期性与对称性2 函数关于对称即偶函数：y()()fxf x 函数关于直线 对称：或或 者xa()()f xaf ax()(2)f xfax (2)()f xafx 函数关于点对称：（a,b）f(x+a)+f(a-x)=2b1f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，且 f(2)=0 在区间（0，6）内解的个数的最小值是 A2；B3；C4；D5（）2设函数为奇函数，则（）)(Rxxf),2()()2(,21)1(fxfxff)5(fA0B1CD5253已知 f(x)是 R 上的偶函数，对都有 f(x6)=f(x)f(3)成立，若 f(1)=2，则 f(2011)=()RxA、2005 B、2 C、1 D、04 设 f（x）是定义在R上以 6 为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调递减，且 y=f（x）的图象关于直线x=3 对称，则下面正确的结论是 （）(A)；(B B)；1.53.56.5fff3.51.56.5fff(C)；(D)6.53.51.5fff3.56.51.5fff5设函数与的定义域是,函数是一个偶函数，是一个奇函数，且()f x()g xxR1x ()f x()g x，则等于1()()1f xg xx()f xA.B.C C.D.112x1222xx122x122xx6.已知定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于成中心对称，且满足 f(x)=,f(0)=2，)0,43(1)1(),23(fxf则 f(1)+f(2)+f(2010)的值为（）A2 B1 C0 D17.已知函数()f x是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有(1)(1)()xf xx f x，则5()2f f的值是 A.0 B.12 C.1 D.52 8.若是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，则 ()f x1()1f xx1()2f9.yf x定义域为 R，且对任意xR都有 111f xf xf x，若 212f 则=_f(2009)10设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f(x)的图象关于直线对称,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)21x函数的周期性与对称性3=。_11：已知函数 f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当 0 x1 时 f(x)0,且对任意 x、y(1,1)都有12f(x)+f(y)=f(),试证明:(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减.xyyx112.12.已知函数 yf(x)是定义在上的周期函数，周期 T=5，函数是奇函数头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头又知 yf(x)R()(11)yf xx 在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在 x=2 时函数取得最小值.5证明：；求的解析式；求在4,9上的解析式.(1)(4)0ff(),1,4yf x x()yf x13设是 R 上的偶函数xxeaaexfa)(,0（）求 a 的值；（）证明 f（x）在（0，+）上是增函数14设（）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称对任意，都21有（）（）（），且f(1)=()求；()证明（）是周期函数；（）记（），求)41(),21(fnan21na参考答案参考答案7.7.解析解析：令21 x，则0)21()21(21)21(21)21(21 ffff；令0 x，则0)0(f由(1)(1)()xf xx f x得)(1)1(xfxxxf ，所以0)0()25(0)21(212335)23(35)23(2325)25(fffffff，故选择 A。8.2 9.10.0-1-2函数的周期性与对称性411.证明:(1)由 f(x)+f(y)=f()可令 x=y=0,得 f(0)=0,xyyx1令 y=x,得 f(x)+f(x)=f()=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)为奇函数.21xxx(2)先证 f(x)在(0，1)上单调递减.令 0 x1x21,则 f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()21121xxxx0 x1x20,1x1x20，0,12121xxxx又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0，x2x11x2x1,01,由题意知 f()0，21121xxxx21121xxxx即f(x2)f(x1).f(x)在(0，1)上为减函数，又 f(x)为奇函数且 f(0)=0头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 f(x)在(1，1)上为减函数.12.解：f(x)是以为周期的周期函数，5(4)(45)(1)fff又是奇函数，头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头()(11)yf xx(1)(1)(4)fff (1)(4)0ff当时，由题意可设，1,4x2()(2)5(0)f xa xa由得，(1)(4)0ff22(1 2)5(42)50aa 2a 头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头2()2(2)5(14)f xxx是奇函数，()(11)yf xx(0)0f又知 yf(x)在0,1上是一次函数，可设，而，()(01)f xkxx2(1)2(1 2)53f，当时，f(x)=-3x，3k 01x从而当时，故时，f(x)=-3x，.10 x()()3f xfxx 11x 当时，有，0.46x151x 当时，69x154x22()(5)2(5)252(7)5f xf xxx2315,46()2(7)5,69xxf xxx 13.（I）解：依题意，对一切有，即Rx)()(xfxf,1xxxxaeaeeaae 所以对一切成立.0)1)(1(xxeeaaRx 由此得到即a2=1.又因为a0，所以a=1.,01aa （II）证明一：设0 x1x2，)11)(11)()(2112212121xxxxxxxxeeeeeeexfxf ,1)1(1212121xxxxxxxeeee函数的周期性与对称性5 由,0,0,0,0211221xxxxxx得.01,011212xxxxee 即f（x）在（0，+）上是增函数,0)()(21xfxf 证明二：由得xxeexf)().1()(2xxxxeeeexf 当时，有此时),0(x,01,02xxee.0)(xf 所以f（x）在（0，+）上是增函数14.()解：因为对，都有（）（）（x）,21所以2211111()()()()0,0,1(1)()()()()222222222111111()()()()()244444xxxxf xfffxffffffffffQ（）0，4121)41(,)21(afaf()证明：依题设（）关于直线对称，故（）（），即（）（），R又由（）是偶函数知（）（），R，（）（），R，将上式中以代换，得（）（），这表明（）是 R 上的周期函数，且 2 是它的一个周期.（）解：由()知（），21)1(21)21()21(nnnfnnff 111111 ()(1)()()()()222222nffnffffnnnnnnL LL （）的一个周期是 2（）=（）,因此an=21)21(afnanf21)21(n21n21na21（三）典例分析：问题 1(山东)已知定义在上的奇函数满足，则的值为 06R()f x(2)()f xf x(6)f.A1 .B0.C1.D2问题 2(上海)设的最小正周期且为偶函数,100()f x2T()f x它在区间上的图象如右图所示的线段,则在区间上,0,1AB1,2 ()f x 已知函数是周期为的函数，当时，2()f x211x 2()1f xx 012xy21BAx函数的周期性与对称性6当 时，的解析式是 1921x()f x 是定义在上的以为周期的函数，对，用表示区间，3 xfR2kZkI21,21kk已知当时，求在上的解析式。0 xI 2f xx xfkI问题 3（福建）定义在上的函数满足，当时，104R xf 2xfxf 5,3x，则 ；42xxf.Asincos66ff.Bsin1cos1ff .C22cossin33ff.Dcos2sin2ff（天津文）设是定义在上以为周期的函数，在内单调递减，205()f xR6()f x(0,3)且的图像关于直线对称，则下面正确的结论是 ()yf x3x .A(1.5)(3.5)(6.5)fff.B(3.5)(1.5)(6.5)fff .C(6.5)(3.5)(1.5)fff.D(3.5)(6.5)(1.5)fff问题 4定义在上的函数，对任意，有，且，R xfRx yfxfyxfyxf2 00 f求证：；判断的奇偶性；1 10 f 2 xf若存在非零常数,使，证明对任意都有成立；3c02 cfRx xfcxf函数是不是周期函数，为什么？xf问题 5（全国）设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任01()f xR1x 意的，都有.121,0,2x x1212()()()f xxf xf x设，求、；证明：是周期函数.1(1)2f1()2f1()4f 2()f x记，求.3nnfan212lim(ln)nna（四）巩固练习：（北京春）若存在常数，使得函数满足，1.030p()f x()()2pf pxf pxxR的一个正周期为 ()f x设函数（）是以为周期的奇函数，且，则2.f xxR3 11,2ffa .A2a.B2a .C1a.D1a 函数既是定义域为的偶函数，又是以为周期的周期函数，若在上3.()f xR2()f x1,0是减函数，那么在上是()f x2,3增函数 减函数 先增后减函数 先减后增函数.A.B.C.D设，记，则 4.1()1xf xx()()nnffxff ff x1 4 2 4 3个2007()fx（五）课后作业：已知函数是以为周期的周期函数，且当时，则1.()f x20,1x()21xf x 函数的周期性与对称性7的值为 2(log 10)f.A35.B85.C38.D53设偶函数对任意，都有，且当时，2.()f xxR1(3)()f xf x 3,2x，则 ()2f xx(113.5)f.A27.B27.C15.D15设函数是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，3.()f xRxR1()(1)1()f xf xf x当 时，则 0 x1()2f xx(11.5)f.A1.B1.C12.D12已知是定义在实数集上的函数，满足，且时，.3.()f xR(2)()f xf x 0,2x2()2f xxx求时，的表达式；证明是上的奇函数 1 2,0 x()f x 2()f xR（朝阳模拟）已知函数的图象关于点对称，且满足，又，4.05()f x3,043()()2f xf x(1)1f，求的值(0)2f(1)(2)(3)fff(2006)f（六）走向高考：（福建）是定义在上的以为周期的奇函数，且在区间内解1.05)(xfR30)2(f0,6的个数的最小值是 .A2.B3.C4.D5（安徽）定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期2.07R()f xT若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为()0f x TT，nn .A0.B1.C3.D5(全国)已知函数为上的奇函数，且满足，3.96)(xfR(2)()f xf x 当时，则等于()01x()f xx(7.5)f .A0.5.B0.5.C1.5.D1.5（安徽）函数对于任意实数满足条件，若，4.06 f xx 12f xf x 15f 则 5ff(福建文）已知是周期为的奇函数，当时，5.06()f x201x()lg.f xx设则63(),(),52afbf5(),2cf.Aabc.Bbac.Ccba.Dcab（天津）定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期6.04R)(xf)(xf是，且当时，则的值为2,0 xxxfsin)()35(f .A21.B21.C23.D23（天津）设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线7.05)(xfR)(xfy 21x对称，则 (1)(2)(3)(4)(5)fffff函数的周期性与对称性8（广东）设函数在上满足，且在闭区间8.05()f x(,)(2)(2)fxfx(7)(7)fxfx上，只有0,7(1)(3)0ff（）试判断函数的奇偶性；()yf x（）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论()0f x 2005,2005