-【2019年整理】高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题含答案.doc

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用放缩法处理数列和不等问题（教师版）
一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）
例1．正数数列的前项的和，满足，试求：
（1）数列的通项公式；
（2）设，数列的前项的和为，求证：
解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以
（2），所以

真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列的前项的和,，
（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：.
解: (Ⅰ)由 Sn=an－×2n+1+, n=1,2,3，… , ① 得 a1=S1= a1－×4+ 所以a1=2
再由①有 Sn－1=an－1－×2n+, n=2,3，4,…
将①和②相减得: an=Sn－Sn－1= (an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3, …
整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=4×4n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3, …,
(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得 Sn= ×(4n－2n)－×2n+1 + = ×(2n+1－1)(2n+1－2)
= ×(2n+1－1)(2n－1)
Tn= = × = ×( － )
所以, = － ) = ×( － ) <

二．先放缩再求和
1．放缩后成等比数列，再求和
例2．等比数列中，，前n项的和为，且成等差数列．
设，数列前项的和为，证明：．
解：∵，，，∴公比．
∴． ．
（利用等比数列前n项和的模拟公式猜想）
∴．
真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列满足
（I）求数列的通项公式；
（II）若数列滿足，证明：数列是等差数列；
（Ⅲ）证明：.
（I）解：
是以为首项，2为公比的等比数列
即　
（II）证法一：

　　　　　　　　　　　　　①
　　　　　　②
②－①，得
即
　 ③－④，得　
即　是等差数列
（III）证明：

2．放缩后为“差比”数列，再求和
例3．已知数列满足：，．求证：
证明：因为，所以与同号，又因为，所以，
即，即．所以数列为递增数列，所以，
即，累加得：．
令，所以，两式相减得：
，所以，所以，
故得．

3．放缩后成等差数列，再求和
例4．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.
(1) 求证：；
(2) 求证：
解：（1）在条件中，令，得， ，又由条件有，上述两式相减，注意到得
∴
所以， ，
所以
（2）因为，所以，所以

；
练习：
1.（08南京一模22题）设函数，已知不论为何实数，恒有且.对于正数列，其前n项和，.
(Ⅰ) 求实数b的值；（II）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若，且数列的前n项和为，试比较和的大小并证明之.
解：(Ⅰ) （利用函数值域夹逼性）；（II）；
（Ⅲ）∵，∴

2.（04全国）已知数列的前项和满足：，
（1）写出数列的前三项，，；（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对任意的整数，有
分析：⑴由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；
⑵由已知得：（n>1）
化简得：
,
故数列{}是以为首项, 公比为的等比数列.
故 ∴
∴数列{}的通项公式为：.
⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=，如果我们把上式中的分母中的去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：，
，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对进行分类讨论，（1）当为偶数时，

（2）当是奇数时，为偶数，

所以对任意整数，有。
本题的关键是并项后进行适当的放缩。
3.（07武汉市模拟）定义数列如下：
求证：（1）对于恒有成立； （2）当，有成立；
（3）
分析：（1）用数学归纳法易证。
（2）由得：
… …
以上各式两边分别相乘得： ，又

（3）要证不等式，
可先设法求和：，再进行适当的放缩。

又
原不等式得证。
本题的关键是根据题设条件裂项求和。

用放缩法处理数列和不等问题（学生版）
一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）
例1．正数数列的前项的和，满足，试求：
（1）数列的通项公式；
（2）设，数列的前项的和为，求证：

真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列的前项的和,，
（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：.

二．先放缩再求和
1．放缩后成等比数列，再求和
例2．等比数列中，，前n项的和为，且成等差数列．
设，数列前项的和为，证明：．

真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列满足
（I）求数列的通项公式；
（II）若数列滿足，证明：数列是等差数列；
（Ⅲ）证明：.

2．放缩后为“差比”数列，再求和
例3．已知数列满足：，．求证：

3．放缩后成等差数列，再求和
例4．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.
(1) 求证：；
(2) 求证：

练习：
1.（08南京一模22题）设函数，已知不论为何实数，恒有且.对于正数列，其前n项和，.
(Ⅰ) 求实数b的值；（II）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若，且数列的前n项和为，试比较和的大小并证明之.

2.（04全国）已知数列的前项和满足：，
（1）写出数列的前三项，，；（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对任意的整数，有

3.（07武汉市模拟）定义数列如下：
求证：（1）对于恒有成立； （2）当，有成立；
（3）

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