高中数学椭圆综合题总结.doc

椭 圆一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程；（提醒：设直线时分斜率存在与不存在；设为y=kx+b与x=my+n 的区别） 2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”） 3.联立方程组； 4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单） 5.根据条件重转化；常有以下类型： “以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是否存在） “点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题” 0； “等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（或）； “共线问题” （如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等）； “点、线对称问题” 坐标与斜率关系； “弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；判别式是否已经考虑；抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。4、处理定点问题的方法：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5、 求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题 一、常见基本题型： 在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过 取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角式，证明该式是恒定的。 （1）直线恒过定点问题1、已知点是椭圆上任意一点，直线的方程为， 直线过P点与直线垂直，点M（-1，0）关于直线的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标。2、已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一 象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值；3、已知动直线与椭圆相交于、两点,已知点 ， 求证：为定值.4、 在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不 过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为， 射线交椭圆于点，交直线于点.（）求的最小值；（）若，求证：直线过定点；椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型： 对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解. （1）从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。 5、已知直线与轴交于点，与椭圆交于相异两点A、B，且，求的取值范围 （2） 利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范围. 6、已知点，若动点满足 （）求动点的轨迹的方程； （）设过点的直线交轨迹于，两点，若，求 直线的斜率的取值范围.来源:学科网(3)利用基本不等式求参数的取值范围7、已知点为椭圆：上的一动点，点的坐标为，求的取值范围8.已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上.若右焦点到直线的距离为3.（1）求椭圆的方程.（2）设直线与椭圆相交于不同的两点.当时，求的取值范围. 9. 如图所示，已知圆为圆上一动点，点在上，点在上，且满足的轨迹为曲线.（I）求曲线的方程；（II）若过定点F（0，2）的直线交曲线于不同的两点（点在点之间），且满足，求的取值范围.10、.已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为、，一个顶点为.（1）求椭圆的标准方程；（2）对于轴上的点，椭圆上存在点，使得，求的取值范围. 11.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长 为半径的圆与直线相切（）求椭圆的方程；（）若过点(2，0)的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当 时，求实数取值范围椭圆中的最值问题一、常见基本题型：（1）利用基本不等式求最值，12、已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一 象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交 椭圆于A、B两点，求PAB面积的最大值。（2）利用函数求最值，13.如图，轴，点M在DP的延长线上，且当点P在圆上运动时。 （I）求点M的轨迹C的方程；（）过点的切线交曲线 C于A，B两点，求AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标。 14、已知椭圆.过点作圆的切线交椭圆G于A,B两点. 将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值.选做1、 已知A、B、C是椭圆上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆m的中心，且（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且.求实数t的取值范围2.已知圆：及定点，点是圆上的动点，点在 上，点在上，且满足2，（1）若，求点的轨迹的方程；（2）若动圆和（1）中所求轨迹相交于不同两点，是否存在一组正实数， 使得直线垂直平分线段，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由3、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标 4.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m0），l交椭圆于A、B两个不同点。 （1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围；（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形. 参考答案1、解：直线的方程为，即 设关于直线的对称点的坐标为 则，解得 直线的斜率为 从而直线的方程为： 即 从而直线恒过定点 2、解：（1）设椭圆方程为，由题意可得 ，所以椭圆的方程为 则，设,则 ,点在曲线上，则 , 从而，得，则点的坐标为。 （2）由（1）知轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为，则PB的直线方程为： 由得,设则,同理可得，则 。所以直线AB的斜率为定值。 3、 解: 将代入中得 ，所以 ，。 4、 解：（）由题意:设直线,由消y得:, ，设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得:=,即,所以中点E的坐标为,因为O、E、D三点在同一直线上，所以，即， 解得，所以=,当且仅当时取等号, 即的最小值为2. （）证明:由题意知:n0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,且，所以,又由（）知: ,所以解得,所以直线的方程为,即有, 令得,y=0,与实数k无关, 5、 解：（1）当直线斜率不存在时：（2）当直线斜率存在时：设与椭圆C交点为 得 （*） ， ，. 消去，得，整理得，时，上式不成立； 时， ，或，把代入（*）得或，或，综上m的取值范围为或。 6、解：（）设动点，则，由已知得，化简得，得.所以点的轨迹是椭圆，的方程为. （）由题意知，直线的斜率必存在，不妨设过的直线的方程为，设，两点的坐标分别为，.由消去得. 因为在椭圆内，所以.所以 因为， 所以. 解得.7、 解： ，设Q（x，y）， ，即，而，186xy18则的取值范围是0，36 的取值范围是6，6的取值范围是12，0 8、解：（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点，由题设，解得， 故所求椭圆的方程为 （2）设、，为弦的中点，由得，直线与椭圆相交， ，从而，又则：，即，把代入得，解， 由得，解得. 综上求得的取值范围是. 9、解：（）NP为AM的垂直平分线，|NA|=|NM| 又动点N的轨迹是以点C（1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2. 曲线E的方程为 （）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为得设， ，又当直线GH斜率不存在，方程为 10、解：（1）由题意可得，所求的椭圆的标准方程为： （2）设，则 ，且， 由可得，即 ，由、消去整理得 ， 的取值范围为. 11、 解：（）由题意知， 所以即 又因为，所以，故椭圆的方程为 （）由题意知直线的斜率存在.设：，由得.，. ，.K，.点在椭圆上，. ，. ，或，实数取值范围为. 12、解、设椭圆方程为，由题意可得 ，故椭圆方程为，设AB的直线方程：.由，得，由，得P到AB的距离为，则 。来源:Zxxk.Com当且仅当取等号， 三角形PAB面积的最大值为。来源: 13、 解:设点的坐标为，点的坐标为， 则，所以， 因为在圆上，所以 将代入，得点的轨迹方程C的方程为 （）由题意知，当时，切线的方程为，点A、B的坐标分别为 此时，当时，同理可得； 当时，设切线的方程为由得，设A、B两点的坐标分别为，则由得： 又由l与圆相切，得即 所以因为且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2来源:学.科.网Z.X.X.K依题意，圆心到直线AB的距离为圆的半径，所以面积， 当且仅当时，面积S的最大值为1，相应的的坐标为或者 14、 解：由题意知，.当时，切线的方程为，点A,B的坐标分别为，此时；当时，同理可得；当时，设切线的方程为. 由得.设A,B两点的坐标分别为.又由与圆相切，得，即.所.由于当时， ，当且当时，.所以|AB|的最大值为2.选做1、 解（1）椭圆m：（2）由条件D（0，2） M（0，t）来1当k=0时，显然2t0 可得 设，则 由 t1 将代入得 1t4t的范围是（1，4）， 综上t（2，4） 2、解：（1）点为的中点，又，或点与点重合 又点的轨迹是以为焦点的椭圆， 且，的轨迹方程是 (2)解：不存在这样一组正实数，下面证明：由题意，若存在这样的一组正实数，当直线的斜率存在时，设之为，故直线的方程为：，设，中点，则，两式相减得：注意到，且 ，则 ，又点在直线上，代入式得：因为弦的中点在所给椭圆内，故， 这与矛盾，所以所求这组正实数不存在 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则此时，代入式得，这与是不同两点矛盾综上，所求的这组正实数不存在 3、解：（）椭圆的标准方程为（）设，联立， 得，又，因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，即，来源解得：，且均满足，当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾，当时，的方程为，直线过定点所以，直线过定点，定点坐标为 4、解：（1）设椭圆方程为则椭圆方程为（2）直线l平行于OM，且在y轴上的截距m, 又KOM=，由 ，直线l与椭圆交于A、B两个不同点，（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可设，则由 而故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。