快速傅里叶变换蝶形算法详解.pptx

第五章 快速傅里叶变换2本章目录n直接计算直接计算DFT的问题及改进的途径的问题及改进的途径n n按按时间抽取时间抽取的的基基2-FFT算法算法 n n按按频率抽取频率抽取的基的基2-FFT算算法法 n n快速快速傅里叶逆变换傅里叶逆变换(IFFT)算法算法 n nMatlab实现实现35.1 引言 n nDFTDFT在实际应用中很重要在实际应用中很重要在实际应用中很重要在实际应用中很重要:可以计算信号的频可以计算信号的频可以计算信号的频可以计算信号的频谱、功率谱和线性卷积等。谱、功率谱和线性卷积等。谱、功率谱和线性卷积等。谱、功率谱和线性卷积等。n n直接按直接按直接按直接按DFTDFT变换进行计算，当序列长度变换进行计算，当序列长度变换进行计算，当序列长度变换进行计算，当序列长度N N很大很大很大很大时，计算量非常大，所需时间会很长。时，计算量非常大，所需时间会很长。时，计算量非常大，所需时间会很长。时，计算量非常大，所需时间会很长。n nFFTFFT并不是一种与并不是一种与并不是一种与并不是一种与DFTDFT不同的变换，而是不同的变换，而是不同的变换，而是不同的变换，而是DFTDFT的一种快速计算的算法。的一种快速计算的算法。的一种快速计算的算法。的一种快速计算的算法。45.2 直接计算DFT的问题及改进的途径 n nDFTDFT的运算量的运算量的运算量的运算量 设复序列设复序列x(n)长度为长度为N点，其点，其DFT为为k=0，N-1（1）计算一个）计算一个X(k)值的运算量值的运算量复数乘法次数：复数乘法次数：N复数加法次数：复数加法次数：N155.2.1 DFT的运算量（2）计算全部）计算全部N个个X(k)值的运算量值的运算量复数乘法次数：复数乘法次数：N2复数加法次数：复数加法次数：N(N1)（3）对应的实数运算量）对应的实数运算量6一次复数乘法一次复数乘法：4次实数乘法次实数乘法 2次实数加法次实数加法 一个一个X(k)：4N次实数乘法次实数乘法2N+2(N-1)=2(2N-1)次实数加法次实数加法 所以所以 整个整个N点点DFT运算共需要：运算共需要：N2(2N-1)=2N(2N-1)实数乘法次数：实数乘法次数：4 N2实数加法次数：实数加法次数：7DFT运算量的结论N点点DFT的复数乘法次数举例的复数乘法次数举例NN2NN22464404941612816384864256 65 536 16256512 262 144 3210281024 1 048 576 结论结论：当：当N很大时，其运算量很大，对实时性很强的信号很大时，其运算量很大，对实时性很强的信号处理来说，要求计算速度快，因此需要改进处理来说，要求计算速度快，因此需要改进DFT的计算的计算方法，以大大减少运算次数。方法，以大大减少运算次数。8 5.2.2 减少运算工作量的途径 主要原理是利用系数主要原理是利用系数 的以下特性对的以下特性对DFT进行分解：进行分解：（1）对称性）对称性（2）周期性）周期性（3）可约性）可约性 另外，另外，95.3 按时间抽取的基2-FFT算法 n n算法原理算法原理n n按时间抽取基按时间抽取基-2FFT算法与直接计算算法与直接计算DFT运算量的比较运算量的比较n n按时间抽取的按时间抽取的FFT算法的特点算法的特点n n按时间抽取按时间抽取FFT算法的其它形式流程图算法的其它形式流程图105.3.1 算法原理 设设N2L，将，将x(n)按按 n 的奇偶分为两组：的奇偶分为两组：r=0，1，则则11式中，式中，X1(k)和和X2(k)分别是分别是x1(n)和和x2(n)的的N/2的的DFT。另外，式中另外，式中k的取值范围是：的取值范围是：0，1，N/21。12因此，因此，只能计算出只能计算出X(k)的前一半值。的前一半值。后一半后一半X(k)值，值，N/2，N/2 1，N？利用利用可得到可得到 同理可得同理可得13考虑到考虑到 因此可得后半部分因此可得后半部分X(k)及前半部分及前半部分X(k)k=0，1，N/21k=0，1，N/2114蝶形运算蝶形运算式蝶形运算式蝶形运算信蝶形运算信号流图符号号流图符号 因此，只要求出因此，只要求出2个个N/2点的点的DFT，即，即X1(k)和和X2(k)，再，再经过蝶形运算就可求出全部经过蝶形运算就可求出全部X(k)的值，运算量大大减少。的值，运算量大大减少。15以8点为例第一次按奇偶分解以以N=8为例，为例，分解为分解为2个个4点点的的DFT，然后，然后做做8/2=4次蝶形次蝶形运算即可求出运算即可求出所有所有8点点X(k)的的值。值。16蝶形运算量比较复数乘法次数：N2复数加法次数：N(N1)复数乘法次数：2*(N/2)2+N/2=N2/2+N/2复数加法次数：2*(N/2)(N/21)+2*N/2=N2/2nN点DFTDFT的运算量的运算量的运算量的运算量 n n分解一次后所需的运算量分解一次后所需的运算量分解一次后所需的运算量分解一次后所需的运算量2 2个个个个N/2N/2的的的的DFTDFTN/2N/2蝶形：蝶形：蝶形：蝶形：n n因此通过一次分解后，运算工作量减少了差因此通过一次分解后，运算工作量减少了差因此通过一次分解后，运算工作量减少了差因此通过一次分解后，运算工作量减少了差不多一半。不多一半。不多一半。不多一半。17进一步按奇偶分解 由于N2L，因而N/2仍是偶数，可以进一步把每个N/2点子序列再按其奇偶部分分解为两个N/4点的子序列。以N/2点序列x1(r)为例 则有 k=0,1,18且且k=0,1,由此可见，一个由此可见，一个N/2点点DFT可分解成两个可分解成两个N/4点点DFT。同理，也可对同理，也可对x2(n)进行同样的分解，求出进行同样的分解，求出X2(k)。19以8点为例第二次按奇偶分解20算法原理 对此例对此例N=8，最后剩下的是，最后剩下的是4个个N/4=2点的点的DFT，2点点DFT也可以由蝶形运算来完成。以也可以由蝶形运算来完成。以X3(k)为例。为例。k=0,1即即这说明，这说明，N=2M的的DFT可全部由蝶形运算来完成。可全部由蝶形运算来完成。21以8点为例第三次按奇偶分解N=8按时间抽取法按时间抽取法FFT信号流图信号流图 225.3.2 5.3.2 按时间抽取基按时间抽取基2-FFT2-FFT算法与直接计算算法与直接计算DFTDFT运算量的比较运算量的比较 由按时间抽取法FFT的信号流图可知，当N=2L时，共有 级蝶形运算；每级都由 个蝶形运算组成，而每个蝶形有 次复乘、次复加，因此每级运算都需 次复乘和 次复加。LN/2 N/2 12N23这样这样 级运算总共需要：级运算总共需要：L复数乘法：复数加法：直接直接DFT算法运算量算法运算量 复数乘法：复数加法：N2N(N1)直接计算直接计算DFT与与FFT算法的计算量之比为算法的计算量之比为M24FFT算法与直接DFT算法运算量的比较NN2计算量之比M NN2计算量之比M 2414.012816 38444836.641644.025665 5361 02464.0864125.4512262 1442 304113.816256328.010241 048 5765 120204.83210288012.820484 194 30411 264372.464404919221.4255.3.3 按时间抽取的FFT算法的特点n序列的逆序排列n同址运算（原位运算）n蝶形运算两节点间的距离n 的确定26序列的逆序排列 由于由于 x(n)被反复地按奇、偶分组，所以流图输被反复地按奇、偶分组，所以流图输入端的入端的排列不再是顺序的，但仍有规律可循：排列不再是顺序的，但仍有规律可循：因为因为 N=2M，对于任意对于任意 n（0n N-1)，可以用可以用M个个二进制码表示为：二进制码表示为：n 反复按奇、偶分解时，即按二进制码的反复按奇、偶分解时，即按二进制码的“0”“1”分解。分解。n序列的逆序排列27倒位序的树状图（N=8）28码位的倒位序(N=8)自然顺序自然顺序 n二进制数二进制数倒位序二进制数倒位序二进制数倒位序顺序数倒位序顺序数000000001001100420100102301111064100001151011015611001137111111729倒位序的变址处理（N=8）30同址运算（原位运算）某一列任何两个节点某一列任何两个节点k 和和j 的节点变量进行蝶形运算的节点变量进行蝶形运算后，得到结果为下一列后，得到结果为下一列k、j两节点的节点变量，而和其他两节点的节点变量，而和其他节点变量无关。这种原位运算结构可以节省存储单元，节点变量无关。这种原位运算结构可以节省存储单元，降低设备成本。降低设备成本。运算前运算前运算后运算后例例n同址运算（原位运算）31观察原位运算规律32蝶形运算两节点间的距离 以以N=8为例：为例：第一级蝶形，距离为：第一级蝶形，距离为：第二级蝶形，距离为：第二级蝶形，距离为：第三级蝶形，距离为：第三级蝶形，距离为：规律规律：对于共：对于共L级的蝶形而言，其级的蝶形而言，其m级蝶形运算的节级蝶形运算的节 点间的距离为点间的距离为124n蝶形运算两节点间的距离 33 的确定 以N=8为例：n 的确定 345.4 按频率抽取的基2-FFT算法 n算法原理算法原理 再把输出再把输出X(k)按按k的奇偶分组的奇偶分组先把输入按先把输入按n的顺序分成前后两半的顺序分成前后两半设序列长度为设序列长度为N=2L，L为整数为整数 前半子序列前半子序列x(n)后半子序列后半子序列 0n0n355.4.1 算法原理由由DFT定义得定义得k=0，1，N36由于由于 所以所以则则 k=0，1，N37然后按然后按k的奇偶可将的奇偶可将X(k)分为两部分分为两部分 r=0，1，则式则式 可转化为可转化为 38令令 n=0，1，代入代入 r=0，1，可得可得为为2个个N/2点的点的DFT，合起来正好是，合起来正好是N点点X(k)的值。的值。39蝶形运算将将称为蝶形运算称为蝶形运算与时间抽选基与时间抽选基2FFT算法中的蝶形运算符号略有不同。算法中的蝶形运算符号略有不同。40例 按频率抽取(N=8)例例 按频率抽取，将按频率抽取，将N点点DFT分解为两个分解为两个N/2点点DFT的组合的组合(N=8)41 与时间抽取法的推导过程一样，由于与时间抽取法的推导过程一样，由于 N=2L，N/2仍然是仍然是一个偶数，因而可以将每个一个偶数，因而可以将每个N/2点点DFT的输出再分解为偶数组的输出再分解为偶数组与奇数组，这就将与奇数组，这就将N/2点点DFT进一步分解为两个进一步分解为两个N/4点点DFT。N=8425.4.2 频率抽取法与时间抽取法的异同 n频率抽取法输入是自然顺序，输出是倒位序的；时间抽取法正好相反。n频率抽取法的基本蝶形与时间抽取法的基本蝶形有所不同。n频率抽取法运算量与时间抽取法相同。n频率抽取法与时间抽取法的基本蝶形是互为转置的。435.5 快速傅里叶逆变换(IFFT)算法IDFT公式公式 DFT公式公式 比较可以看出，比较可以看出，IDFT多出多出M个个1/2可分解到可分解到M级蝶形运算中。级蝶形运算中。44例 频率抽取IFFT流图(N=8)45快速傅里叶逆变换另一种算法465.8 Matlab实现n用用FFT进行谱分析的进行谱分析的Matlab实现实现n用用CZT进行谱分析的进行谱分析的Matlab实现实现n在在Matlab中使用的线性调频中使用的线性调频z变换函数为变换函数为czt，其调用格式为，其调用格式为nX=czt(x,M,W,A)n其中，其中，x是待变换的时域信号是待变换的时域信号x(n)，其长度为，其长度为N，M是变换的长度，是变换的长度，W确定变换的步长，确定变换的步长，A确定变换的确定变换的起点。若起点。若M=N，A=1，则，则CZT变成变成DFT。475.8.1 用FFT进行谱分析的Matlab实现例例5.1 设模拟信号设模拟信号 ，以，以 t=0.01n(n=0:N-1)进行取样，试用进行取样，试用fft函数对其做频谱分析。函数对其做频谱分析。N分别分别为：为：(1)N=45；(2)N=50；(3)N=55；(2)N=60。程序清单如下程序清单如下%计算计算N=45的的FFT并绘出其幅频曲线并绘出其幅频曲线N=45;n=0:N-1;t=0.01*n;q=n*2*pi/N;x=2*sin(4*pi*t)+5*cos(8*pi*t);y=fft(x,N);figure(1)subplot(2,2,1)plot(q,abs(y)title(FFT N=45)48例5.1程序清单%计算计算N=50的的FFT并绘出其幅频曲线并绘出其幅频曲线N=50;n=0:N-1;t=0.01*n;q=n*2*pi/N;x=2*sin(4*pi*t)+5*cos(8*pi*t);y=fft(x,N);figure(1)subplot(2,2,2)plot(q,abs(y)title(FFT N=50)49%计算计算N=55的的FFT并绘出其幅频曲线并绘出其幅频曲线N=55;n=0:N-1;t=0.01*n;q=n*2*pi/N;x=2*sin(4*pi*t)+5*cos(8*pi*t);y=fft(x,N);figure(1)subplot(2,2,3)plot(q,abs(y)title(FFT N=55)50%计算计算N=60的的FFT并绘出其幅频曲线并绘出其幅频曲线N=60;n=0:N-1;t=0.01*n;q=n*2*pi/N;x=2*sin(4*pi*t)+5*cos(8*pi*t);y=fft(x,N);figure(1)subplot(2,2,4)plot(q,abs(y)title(FFT N=60)51例5.1程序运行结果从图中可以看出，这几种情况下均有较好的精度。从图中可以看出，这几种情况下均有较好的精度。52例5.1程序运行结果分析分析：由分析：由t=0.01n进行取样可得，采样频率进行取样可得，采样频率fs=100Hz。而。而连续信号的最高模拟角频率为连续信号的最高模拟角频率为8 ，由，由2 f可得，可得，最高频率为最高频率为8 /2=4Hz。因此，满足采样定理的要求。因此，满足采样定理的要求。采样序列为采样序列为即即为周期序列，周期为周期序列，周期N=50。将程序中将程序中plot改为改为stem函数，则可以更清楚地看出频谱。函数，则可以更清楚地看出频谱。53例5.1修改程序运行结果