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自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha12.12.1 数学模型的基本概念数学模型的基本概念2.22.2 控制系统的动态微分方程控制系统的动态微分方程2.32.3 非线性系统模型的线性化处理非线性系统模型的线性化处理2.42.4 拉氏变换拉氏变换2.52.5 线性系统的传递函数模型线性系统的传递函数模型2.62.6 系统方框图和信息流图系统方框图和信息流图2.72.7 本章小结本章小结自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha22.12.12.12.1 数学模型数学模型数学模型数学模型的基本概念的基本概念的基本概念的基本概念2.1.12.1.12.1.12.1.1 数学模型数学模型数学模型数学模型定义与类型定义与类型定义与类型定义与类型 系统系统(或元件或元件)的数学模型是描述系统的数学模型是描述系统(或元件或元件)输入变量输入变量 与输出变量或其内部各物理量之间关系的数学表达，它揭示与输出变量或其内部各物理量之间关系的数学表达，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为零）下描述变静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。量之间关系的代数方程。动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha32.1.22.1.22.1.22.1.2 建模与建模方法建模与建模方法建模与建模方法建模与建模方法得到系统数学模型的过程就叫做得到系统数学模型的过程就叫做建模。建模。建模方法：建模方法：解析法解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。实验法实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。系统辨识。l l数学模型应能反映系统内在的本质，应对模型的简数学模型应能反映系统内在的本质，应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。洁性和精确性进行折衷考虑。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha4解析解析(机理分析机理分析)法建模法建模定义系统及其元素，建立物理模型；定义系统及其元素，建立物理模型；根据有关定理、定律列写数学方程根据有关定理、定律列写数学方程(列出必要的假设列出必要的假设)；消去中间变量，列写只含输出输入变量的微分方程消去中间变量，列写只含输出输入变量的微分方程(在在微分方程基础上可得到传递函数或状态空间方程微分方程基础上可得到传递函数或状态空间方程)；解微分方程；解微分方程；模型校验，如果有必要，需重新检查假设和建立模型。模型校验，如果有必要，需重新检查假设和建立模型。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha5 实验法基于系统辨识的建模方法实验法基于系统辨识的建模方法l l已知知识和辨识目的已知知识和辨识目的l l实验设计实验设计选择实验条件，如合适的测试信号选择实验条件，如合适的测试信号l l模型阶次模型阶次适合于应用的适当的阶次适合于应用的适当的阶次l l参数估计参数估计如最小二乘法如最小二乘法l l模型验证模型验证将实际输出与模型的计算输出进行比较，系将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近Black BoxInput(Known)Output(Measurable)自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha62.1.32.1.32.1.32.1.3 数学模型的形式数学模型的形式时间域：时间域：微分方程差分方程状态方程复数域：复数域：传递函数结构图频率域：频率域：频率特性“三域”模型及其相互关系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha72.22.22.22.2 控制系统控制系统控制系统控制系统的动态微分方程的动态微分方程的动态微分方程的动态微分方程建立数学模型（动态微分方程）的一般步骤：建立数学模型（动态微分方程）的一般步骤：分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量；和各元件的输入、输出量；从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程；微分方程；消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程；之间关系的微分方程；标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha8机械运动系统的三要素机械运动系统的三要素机械运动的实质：牛顿定理、能量守恒定理阻尼 B B质量 MM弹簧 K K自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha9例例2-12-1 列写图示机械系统的微分方程。列写图示机械系统的微分方程。解：解：输入为输入为f(t)f(t)，输出为，输出为x(t)x(t)，根据牛顿第二，根据牛顿第二定律定律 F=maF=maMechanical System 1mKf(t)x(t)B自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha10例例2-22-2 列写图示机械系统的微分方程。列写图示机械系统的微分方程。解：解：Mechanical System 2自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha11电器系统的三要素电器系统的三要素电感 L L电阻 R R电容 C C自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha12例例2-3 2-3 R-L-CR-L-C无源电路网络如下图。试列写以无源电路网络如下图。试列写以UU1 1为输入量，为输入量，UU2 2为输出量的网络微分方程。为输出量的网络微分方程。解：解：解：解：自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha13例例2-4 2-4 如下图所示一阶如下图所示一阶RCRC网络。试列写以网络。试列写以UU1 1为输入量，为输入量，UU2 2为输为输出量的网络微分方程。出量的网络微分方程。iRCui(t)RC Circuituo(t)自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha14例例2-52-5 求图示电动机转速求图示电动机转速wmm(rad/s)(rad/s)与电枢电压与电枢电压UUa a(V)(V)的关系。的关系。图中图中R Ra a()、L La a(H)分别是电枢电路的电阻和电感，设激磁磁通分别是电枢电路的电阻和电感，设激磁磁通为常值。为常值。EaSMiaRaLoadwmLaJm,fmUaSpeed Control of DC Motor(with Load)电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能：电枢电压Ua a(t)在电枢回路中产生电枢电流ia，ia与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成：自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha15解：解：1)电枢回路电压平衡方程 Ea电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其方向与电枢电压Ua(t)相反，大小与激磁磁通及转速成正比，即：Ce 反电势系数，vsrad-12)电磁转矩方程 Mm(t)=Cmia(t)(3)Cm电动机转距系数，NmA-1 Mm由电枢电流产生的电磁转距，Nm(1)(2)自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha163)电动机轴上的转距平衡方程 Jm转动惯量(电动机和负载折合到电动 机轴 上)，kgm fm粘性摩擦系数(折合到电机轴上)，Nmrad-1sML折合到电动机轴上的总负载转矩，Nm 由(3)求出ia(t)，代入(1)，同时(2)亦代入(1)得：(5)(4)自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha17在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，因而(5)可简化为 (6)如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小可忽略不计时，(6)还可进一步简化为：Cewm(t)=Ua(t)(7)电动机的转速wm(t)与电枢电压Ua(t)成正比，于是电动机可作为测速发电机使用。Ra JmTm=(电动机机电时间常数，s)Ra fm+CmCe Cm RaK1=，K2=Ra fm+CmCe Ra fm+CmCe自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha18系统相似系统相似mKf(t)x(t)B自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha19物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法）。具有普遍意义的分析研究（信息方法）。从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础；相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础；通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性质量、弹件或系统中所包含的独立储能元（惯性质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容等）的个数；性要素、电感、电容、液感、液容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量（信息）的交换。层能量（信息）的交换。系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数。统的结构及其参数。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha202.32.32.32.3 非线性系统模型非线性系统模型非线性系统模型非线性系统模型的线性化处理的线性化处理的线性化处理的线性化处理线性系统线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间的常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间的函数，则为线性时变系统。函数，则为线性时变系统。2.3.12.3.12.3.12.3.1 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统式中，式中，a a1 1，a a2 2，a an n和和b b0 0，b b1 1，b bmm为由系统结构为由系统结构参数决定的实常数，参数决定的实常数，mnmn。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha21非线性系统非线性系统l l用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。加原理。l l实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。范围内成立。l l为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性系统简为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性系统简化为线性系统处理。化为线性系统处理。2.3.12.3.12.3.12.3.1 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha22 液体系统液体系统 设液体不可压缩，通过节设液体不可压缩，通过节流阀的液流是紊流。流阀的液流是紊流。A A：箱体截面积箱体截面积；：由由节节流流阀阀通通流流面面积积和和通通流流口口的的结结构构形形式式决决定定的的系系数数,通通流流面积不变时为常数。面积不变时为常数。上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为非线性系统。上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为非线性系统。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha23有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性；非线性系统的分析和综合是非常复杂的。2.2.2.2.2.2.2.2 线性化问题的提出线性化问题的提出线性化问题的提出线性化问题的提出可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行分析和设计。线性系统缺点：线性系统缺点：线性系统优点：线性系统优点：线性化定义线性化定义 将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha242.2.2.2.3.3.3.3 线性化方法线性化方法线性化方法线性化方法 以微小偏差法为基础，运动方程中各变量就不是它们的绝对值，而是它们对额定工作点的偏差。增量增量增量增量（微小偏差法）（微小偏差法）假设：假设：在控制系统整个调节过程中，所有变量与稳态值之间只会产生足够微小的偏差。非线性方程非线性方程 局部线性增量方程局部线性增量方程xxyx0yy0y=Kx线性化示意图线性化示意图自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha25增量方程增量方程增量方程的数学含义 将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。注：导数根据其定义是一线性映射，满足叠加原理。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha26单变量函数泰勒级数法单变量函数泰勒级数法函数y=f(x)在其平衡点（x0,y0）附近的泰勒级数展开式为：略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：注：非线性系统的线性化模型，称为增量方程。注：y=f(x0)称为系统的静态方程自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha27系统线性化微分方程的建立系统线性化微分方程的建立步骤步骤确定系统各组成元件在平衡态的工作点；列出各组成元件在工作点附近的增量方程；消除中间变量，得到以增量表示的线性化微分方程；自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha28系统线性化微分方程的建立系统线性化微分方程的建立实例：实例：液位系统的线性化液位系统的线性化解：稳态时：非线性项的泰勒展开为：则:自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha29所以：实际使用中，常略去增量符号而写成：此时，上式中H(t)和qi(t)均为平衡工作点的增量。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha30多变量函数泰勒级数法多变量函数泰勒级数法增量方程增量方程增量方程增量方程静态方程静态方程静态方程静态方程自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha31线性化处理的注意事项线性化处理的注意事项 线性化方程的系数与平衡工作点的选择有关；线性化是有条件的，必须注意线性化方程适用的工作范围；某些典型的本质非线性，如继电器特性、间隙、死区、摩擦等，由于存在不连续点，不能通过泰勒展开进行线性化，只有当它们对系统影响很小时才能忽略不计，否则只能作为非线性问题处理。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha322.42.42.42.4 拉氏变换拉氏变换拉氏变换拉氏变换2.4.12.4.12.4.12.4.1 定义定义定义定义设函数f(t)满足(1)t0时，f(t)分段连续，且则f(t)的拉氏变换存在，记作：拉氏反变换定义为：自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha332.4.22.4.2 几种典型函数的拉氏变换几种典型函数的拉氏变换几种典型函数的拉氏变换几种典型函数的拉氏变换单位冲击函数单位冲击函数d(t)的拉氏变换的拉氏变换 d(t)定义如下：d(t)函数有一个重要性质(筛分性质)：d(t)td函数故，自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha34单位阶跃信号单位阶跃信号u(t)的拉氏变换的拉氏变换1u(t)tUnit Step Function指数信号指数信号f(t)=e-at(a0)的拉氏变换的拉氏变换自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha35正弦、余弦信号的拉氏变换正弦、余弦信号的拉氏变换由欧拉公式 所以有 同理：自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha36单位斜坡信号的拉氏变换单位斜坡信号的拉氏变换数学表达式 时间波形由分部积分公式一般的，有：自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha37表2-1 常用拉氏变换表f(t)F(s)f(t)F(s)d(t)1sinwtws2+w211scoswtss2+w2tnn!sn+1e-at sinwtw(s+a)2+w2e-at1s+ae-at-e-btb-a(s+a)(s+b)tn e-atn!(s+a)n+1自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha382.4.32.4.32.4.32.4.3 拉氏变换的一些基本定理拉氏变换的一些基本定理拉氏变换的一些基本定理拉氏变换的一些基本定理（1）线性定理）线性定理若函数分别有其拉氏变换：f1(t)F1(s)，f2(t)F2(s)，则Laf1(t)+bf2(t)=aF1(s)+bF2(s)（2）延迟定理（时域平移）延迟定理（时域平移）若有 f(t)F(s)则 Lf(t-)=e-s F(s)自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha39例例4-64-6 求下图所示锯齿波求下图所示锯齿波f(t)f(t)的拉氏变换。的拉氏变换。解:首先写出f(t)的时域函数表达式应用拉氏变换的线性定理和延迟定理,有自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha40（3）衰减定理（复域平移）衰减定理（复域平移）若有 f(t)F(s)则与延迟定理是对偶的例例2-72-7 试求函数试求函数的拉氏变换。的拉氏变换。已知由衰减定理直接得到自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha41（4）微分定理）微分定理 若有 f(t)F(s)，且f(t)的各阶导数存在，则f(t)各阶导数的拉氏变换为：当各阶导数的初值均为零时 有自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha42（5）积分定理）积分定理 若有 f(t)F(s)，则有积分为微分的逆运算，则积分定理为微分定理的对偶定理同样：当初始条件为零时：自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha43（6）初值定理）初值定理若有 f(t)F(s)，且在t=0+处有初值f(t 0+)，则 时域函数f(t)的初值可以由s域函数F(s)得到。（7）终值定理）终值定理若有 f(t)F(s)，且F(s)所有极点都在s左半平面则 时域函数f(t)的终值可以由s域函数F(s)得到。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha44（8）卷积定理）卷积定理 若函数分别有其拉氏变换：f1(t)F1(s)，f2(t)F2(s)，时域函数的卷积分为 或者则自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha45（9）尺度变换（展缩）定理）尺度变换（展缩）定理 若 式中规定a0是必要的,因为f(t)为有始信号,若a0则f(at)的单边拉氏变换为零,导致此展缩特性失效。则自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha462.4.32.4.3 拉氏变换主要定理拉氏变换主要定理拉氏变换主要定理拉氏变换主要定理线性定理Laf1(t)+bf2(t)=aF1(s)+bF2(s)位移定理Le-atf(t)=F(s+a)延迟定理Lf(t-)=e-sF(s)实微分定理Lf(t)=sF(s)-f(0)复微分定理 Ltnf(t)=(-1)nF(n)(s)(n=1,2,3)初值定理lim f(t)=limsF(s)t0 s表2-2 拉氏变换性质表自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha47终值定理lim f(t)=limsF(s)t s0实积分定理复积分定理卷积定理能量(面积)时间标尺Lf(t/a)=aF(as)(续表2-2)f(t)相当于功率其积分相当于能量自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha482.4.32.4.3 拉氏反变换拉氏反变换 拉氏变换：已知 f(t)求 F(s)逆运算：已知 F(s)求 f(t)计算公式：方法：部分分式法 已知：自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha49拉氏反变换为：其中：si 为F(s)的极点。ai 为F(s)对应于极点si的留数。下面分别讨论各种计算情况。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha501、A(s)=0全部为单根，全部为单根，s1,s2,sn例例2-8 2-8 已知已知 ，求拉氏反变换，求拉氏反变换f(t)f(t)。解：极点为：s1=-2，s2=-3，对应极点的留数为：f(t)为：自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha512、A(s)=0 有重根有重根设s1为单根，s2为m重根，m+1=n，F(s)可以展开为单根系数C1计算如前。由留数定理计算重根各系数如下 故：自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha52例例2-9 2-9 求求 的拉氏反变换的拉氏反变换f(t)f(t)。解：F(s)分解单根项系数：s1=0，s2=-3自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha53重根项系数：s3=-1，2重得到：f(t)为：自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha54例例2-10 2-10 已知已知 ，试求其，试求其f(t)f(t)解：分解1、分离常数项 2、余式二次三项式整理 由于所以3、A(s)=0 有共轭复数根有共轭复数根不要作单根分解，计算复杂，阅读教材内容。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha552.4.42.4.42.4.42.4.4 拉氏变换法求解微分方程拉氏变换法求解微分方程拉氏变换法求解微分方程拉氏变换法求解微分方程 拉氏变换法求解微分方程步骤如下：1、方程两边作拉氏变换；2、代入初始条件和输入信号；3、写出输出量的拉氏变换；4、作拉氏反变换求出系统输出的时间解。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha56例例2-11 2-11 求微分方程求微分方程x+3x+2x=0 x+3x+2x=0，x(0)=1,x(0)=1x(0)=1,x(0)=1的解。的解。解：两边取拉氏变换，并代入初始条件，有：s2X(s)-s-1+3sX(s)-1+2X(s)=0 x(t)=3e-t-2e-2t 显然，用拉氏变换求解微分方程很简便。但其应用远不止此，最重要的应用是在拉式变换基础上引入的所谓传递函数可大大简化控制系统的分析与设计。s+4 3 2X(s)=-s2+3s+2 s+1 s+2自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha57在零初始条件()下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。系统系统(或环节或环节)的输入量的输入量系统系统(或环节或环节)的输出量的输出量2.5.12.5.1 传递函数的定义传递函数的定义传递函数的定义传递函数的定义 输入量施加于系统之前，系统处于稳定的输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即工作状态，即t 0 t 0 时，输出量及其各阶导数也均为时，输出量及其各阶导数也均为0 0 2.52.5 线性系统线性系统线性系统线性系统的传递函数模型的传递函数模型的传递函数模型的传递函数模型自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha58初始条件为零时 微分方程拉氏变换系统的传递函数!传递函数的直接计算法系统传递函数的一般形式系统传