第二讲 中学几何证题思想之面积法与体积法课件.pdf

中学几何证题思想之一面积法与体积法前言人类认识面积，已有数千年历史。最 初是为了生产与生活的目的而估量和测算面 积。后来发展为把面积作为联系各种几何度 量和表明许多代数关系的一种直观工具。勾 股定理是几何学的基石，数以百计的形形色 色的证法中，最古老的证法是面积法，最简 洁而引人注目的证法也是面积法。2由于面积方法解题具有直观性、通用性和 推理的代数简洁性，已成为广大师生和几何爱 好看乐于采用的几何解题主要方法之一。在我国，张景中运用面积法最为娴熟，采 用面积思想给出了中学几何的公理化体系。3一、基本思想在处理平面问题时，以面积作为思维的出 发点，利用面积关系耒脩题。关键在于川不同 的方法计算同一块面积，列出而积方程，得到 所需量的关系式，位问题获解。由于面积关系 比图形的仝等和相似更具行普遍性，因面面积 法解题仃很大的适川件，已成为解决儿何问题 的一种重要方法。4一 一、基本/公式和定理,1 1 1c 1)S 产I=ah blk ch(2)S 心-ah sin C=be sin.4=ac sill B入山JL,q 0,-(3海伦公式/-T 1一 廿 I(f+4+I ABC 二，PlP G(P，)(/，一1)，其中P二-5证：S4ABe=:ab sin C=?-cos*2 C=:r/7)Jl-I+b+c a+b-c c+a-b c-a+b/j/?+/)+c=7PlP-KP-b)(P u)，其中 P-；f er+jyi 2(tb二:-472Z?2 (rr2+b2 c2)2=:4+/一。2)(2。方一一/+c)1-(ci-b)2=2226(4：)5；赠c-rp t其中为内切圆半径口0白55门二 abc/AR其中尺为外接圆半径口A1(6)S翘cd=。BDsM8,其中d为对角线AC与AD间的夹角.(7)两个等底的三角形的面积比等于底边上对应高之比。IS)等高的两个三角形面积比等于它们底边之比。(9)共边比例定理 若直线AB与PQ交于M,则建幽二跑，如下图“QM-等底两三角形面积比等于高之比口)86,名(10)共角比例定理 在与或一4 十 一1 二 18 0 0S 户 ABAC中,若一 4二一 4/则1011(11)张角公式sin(+p)_ 曰 in aPCPBp1$111 尸PA工I IB12上二式相加得：OL JN AL BM CNAL-R BM-R CN=-F-F-AL BM C!(1 1 1=3 R+AL BM CN)1112R41 r证毕13zBEF g WXE：的因北况C)1 1CAX&)-5 4以注胡回、上解：由共边比例定理有1s笆二FE又诬，4 Ji4DC1 sr工血，二_-11 1 二二S-,八与匚10,则AAI与BBI 均在面ABE内，故AA与BB交于G,则AG-ABBiA-ABB,AAS QABBAI ABB 止B.A BE 2 3-BF BA(1 2SABB|EsABB|A33取BD的中点F,同理CC与A八 而AAF C内，设CC交AA|于Ga g 上一=3,故G三G.GA、同理D与AAI交于点。证毕。口034伊0 a)GMABCf i勺重k F MABQAj 也住均T白线BC、CAB、Co求+中0P wAG BG CG证：a)虫+空+NAG BG CGQ Q Q2ABCP|AaCP I AABP 一3QABCGQ QAACG A ABG35Mo(2)网内部煨 ZGWCDi 分另屋JW、B,C,DCD贝UAP BP CP DP-H H H 4AG BG CG DGAABCV BP证：（2）,Vg_acd B，GXp_ b-BD类似显然。c36例LL州比的雌里）I4 AElCJ q R-JtI贝卢0心1N%-AI3s7K37M为AABC的重心,s=s=sABCM U/CDM BI)MA-BcL VacdmMV*bdmv 1-Vv A-B.Cii 1 A-B.C M.I I 1 1 1 IV/BCD 3(A-BCMvv a-q D Mvv 2 C D Mv)v 牙 4 q M1V,v/V BDM/1 j AB-AC-AM AC!-AD,-AM AB r AD r AM J3k ABACAM AC-AD-AM AB-AD-AM;AB,AC AD AMn+=3-AB AC1 AD,AM)证毕38例12卡导存间本阳0BABSFh已向的39用体积法求点到面的距离,优点在于不用找垂面，关键在于 用简单方法求出体积。40谢谢!41