2021年湖北省襄阳市数学中考试题含解析.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共10题）
1、 下列各数中最大的是（ ）
A ． B ． C ． 0 D ． 1
2、 下列计算正确的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
3、 如图， ， ，重足为 ， ，则 等于（ ）

A ． 40° B ． 45° C ． 50° D ． 60°
4、 若二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A ． B ． C ． D ．
5、 如图所示的几何体的主视图是（ ）

A ． B ． C ． D ．
6、 随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是 5000 元，现在生产一吨药的成本是 4050 元．设生产成本的年平均下降率为 ，下面所列方程正确的是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
7、 正多边形的一个外角等于 60° ，这个多边形的边数是（    ）
A ． 3 B ． 6 C ． 9 D ． 12
8、 不透明袋子中装有除颜色外完全相同的 2 个红球和 1 个白球，从袋子中随机摸出 2 个球，下列事件是必然事件的是（    ）
A ．摸出的 2 个球中至少有 1 个红球 B ．摸出的 2 个球都是白球
C ．摸出的 2 个球中 1 个红球、 1 个白球 D ．摸出的 2 个球都是红球
9、 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题： “ 今有池方一丈，葭（ ji ǎ ）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．间水深几何． ” （丈、尺是长度单位， 1 丈 尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（    ）

A ． 10 尺 B ． 11 尺 C ． 12 尺 D ． 13 尺
10、 一次函数 的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（ ）

A ．
B ．
C ．
D ．
二、解答题（共9题）
1、 先化简，再求值： ，其中 ．
2、 如图，建筑物 上有一旗杆 ，从与 相距 的 处观测旗杆项部 的仰角为 52° ，观测旗杆底部 的仰角为 45° ，求旗杆 的高度（结果保留小数点后一位．参考数据： ， ， ， ）．

3、 为庆祝中国共产党建党 100 周年，某校举行了 “ 红色华诞，党旗飘扬 ” 党史知识竞赛．为了解竞赛成绩，抽样调查了七，八年级部分学生的分数，过程如下：
（ 1 ）收集数据从该校七．八年级学生中各随机抽取 20 名学生的分数，其中八年级的分数如下：
81  83  84  85  86  87  87  88  89  90
92  92  93  95  95  95  99  99  100  100
（ 2 ）整理、描述数据按如下分段整理描述样本数据：
分数
人数
年级

七年级
4
6
2
8
八年级
3

4
7
（ 3 ）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
91
89
97
40.9
八年级
91

33.2
根据以上提供的信息，解答下列问题：
① 填空： ______ ， ______ ， ______ ；
② 样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为 90 分， ______ 同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填 “ 甲 ” 或 “ 乙 ” ）：
③ 从样本数据分析来看，分数较整齐的是 ______ 年级（填 “ 七 ” 或 “ 八 ” ）；
④ 如果七年级共有 400 人参賽，则该年级约有 ______ 人的分数不低于 95 分．
4、 如图， 为 的对角线．

（ 1 ）作对角线 的垂直平分线，分别交 ， ， 于点 ， ， （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（ 2 ）连接 ， ．求证：四边形 为菱形．
5、 小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数 的图象与性质．其研究过程如下：
（ 1 ）绘制函数图象
① 列表：下表是 与 的几组对应值，其中 ______ ；

…

0
1
2
…

…

3
2

…
② 描点：根据表中的数值描点 ，请补充描出点 ；
③ 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．

（ 2 ）探究函数性质
判断下列说法是否正确（正确的填 “√” ，错误的填 “×” ）．
① 函数值 随 的增大而减小： ______
② 函数图象关于原点对称： ______
③ 函数图象与直线 没有交点． ______
6、 如图，直线 经过 上的点 ，直线 与 交于点 和点 ， 与 交于点 ，与 交于点 ， ， ．
（ 1 ）求证： 是 的切线；
（ 2 ）若 ， ，求图中阴影部分面积．

7、 为了切实保护汉江生态环境，襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如下表所示：

进价（元 / 斤）
售价（元 / 斤）
鲢鱼

5
草鱼

销量不超过 200 斤的部分
销量超过 200 斤的部分
8
7
已知老李购进 10 斤鲢鱼和 20 斤草鱼需要 155 元，购进 20 斤鲢鱼和 10 斤草鱼需要 130 元．
（ 1 ）求 ， 的值；
（ 2 ）老李每天购进两种鱼共 300 斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于 80 斤且不超过 120 斤，设每天销售鲢鱼 斤（销售过程中损耗不计）．
① 分别求出每天销售鲢鱼获利 （元），销售草鱼获利 （元）与 的函数关系式，并写出 的取值范围；
② 端午节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低 元，草鱼售价全部定为 7 元斤，为了保证当天销售这两种鱼总获利 （元）的最小值不少于 320 元，求 的最大值．
8、 在 中， ， ， 是边 上一点，将 沿 折叠得到 ，连接 ．
（ 1 ）特例发现：如图 1 ，当 ， 落在直线 上时，
① 求证： ；
② 填空： 的值为 ______ ；
（ 2 ）类比探究：如图 2 ，当 ， 与边 相交时，在 上取一点 ，使 ， 交 于点 ．探究 的值（用含 的式子表示），并写出探究过程；
（ 3 ）拓展运用：在（ 2 ）的条件下，当 ， 是 的中点时，若 ，求 的长．

9、 如图，直线 与 ， 轴分别交于 ， ，顶点为 的抛物线 过点 ．
（ 1 ）求出点 ， 的坐标及 的值；
（ 2 ）若函数 在 时有最大值为 ，求 的值；
（ 3 ）连接 ，过点 作 的垂线交 轴于点 ．设 的面积为 ．
① 直接写出 关于 的函数关系式及 的取值范围；
② 结合 与 的函数图象，直接写出 时 的取值范围．

三、填空题（共6题）
1、 据统计， 2021 年 “ 五 · 一 ” 劳动节小长假期间，襄阳市约接待游客 2270000 人次．数字 2270000 用科学记数法表示为 ______ ．
2、 不等式组 的解集是 ______ ．
3、 中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中， “ 馬 ” 的位置在 “ －－－ ” （图中虚线）的下方， “ 馬 ” 移动一次能够到达的所有位置已用 “●” 标记，则 “ 馬 ” 随机移动一次，到达的位置在 “ －－－ ” 上方的概率是 ______ ．

4、 从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度 （单位： ）与它距离喷头的水平距离 （单位： ）之间满足函数关系式 ，喷出水珠的最大高度是 ______ ．

5、 点 是 的外心，若 ，则 为 ______ ．
6、 如图，正方形 的对角线相交于点 ，点 在边 上，点 在 的延长线上， ， 交 于点 ， ， ，则 ______ ．

============参考答案============
一、选择题
1、 D
【分析】
把选项中的 4 个数按从小到大排列，即可得出最大的数．
【详解】
由于－ 3< － 2<0<1 ，则最大的数是 1
故选： D ．
【点睛】
本题考查了有理数的大小比较，一般地，正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．
2、 B
【分析】
根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则，积的乘方法则，逐一判断选项，即可求解．
【详解】
解： A. ，故该选项错误，
B. ，故该选项正确，
C. ，故该选项错误，
D. ，故该选项错误，
故选 B ．
【点睛】
本题主要考查整式的运算，掌握同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则，积的乘方法则，是解题的关键．
3、 C
【分析】
根据三角形内角和求出 ∠ ABC =50° ，再利用平行线的性质求出 即可．
【详解】
解： ∵ ，
∴∠ ACB =90° ，
∵ ，
∴∠ ABC =90°- =50° ，
∵
∴ ，
故选： C ．
【点睛】
本题考查了三角形内角和和平行线的性质，解题关键是熟练运用相关知识进行推理计算．
4、 A
【分析】
根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解．
【详解】
∵ 二次根式 在实数范围内有意义，
∴ x +3≥0 ，即： ，
故选 A ．
【点睛】
本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方式是非负数，是解题的关键．
5、 B
【分析】
根据三视图的定义，即可求解．
【详解】
解： 的主视图为：
，
故选 B ．
【点睛】
本题主要考查组合体的三视图，掌握三视图的定义，是解题的关键．
6、 C
【分析】
根据题意找到对应的等量关系： 2 年前的生产成本 × （ 1- 下降率） ²= 现在的生产成本，把相关的数据带入计算即可 .
【详解】
设这种药品的成本的年平均下降率为 x ，根据题意得：

故选： C.
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能从题意中找到对应的等量关系 .
7、 B
【分析】
根据多边形的边数等于 360° 除以每一个外角的度数 60° ，计算即可．
【详解】
解：边数＝ 360°÷60° ＝ 6 ．
故选： B ．
【点睛】
本题主要考查了正多边形的外角与边数的关系， 360° 除以每一个外角的度数就等于正多边形的边数，需要熟练记忆．
8、 A
【分析】
根据随机事件和必然事件的具体意义进行判断即可．
【详解】
解：袋子里装有 2 个红球和 1 个白球，
随机摸出 2 个球，根据抽屉原理可知，
随机摸出 2 个球，至少有 1 个红球，
故选： A ．
【点睛】
本题考查随机事件，理解随机事件的实际意义是正确判断的前提．
9、 C
【分析】
根据勾股定理列出方程，解方程即可 .
【详解】
设水池里的水深为 x 尺，由题意得：

解得： x=12
故选： C.
【点睛】
本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理并能根据勾股定理正确的列出对应的方程式解题的关键 .
10、 D
【分析】
根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点可知： ，由此可知二次函数开口方向，坐标轴情况，依此判断即可．
【详解】
解：观察一次函数图像可知 ，
∴ 二次函数 开口向下，
对称轴 ，
故选： D ．
【点睛】
本题主要考查一次函数的图像以及二次函数的图像，根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点情况判断 a 、 b 的正负是解题的关键．
二、解答题
1、 ；
【分析】
将被除数中分子因式分解，括号里先通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，然后约分，得到最简结果，代入 x 的值计算即可．
【详解】
解：原式 ，
，
，
．
当 时，原式 ．
【点睛】
此题主要考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应先将多项式因式分解后再约分．
2、 5.6m
【分析】
分别利用正切函数解 和 ，求出 BC 、 AC ，即可求出 AB ．
【详解】
解：在 中， ∵ ，
∴ m ，
在 中， ∵ ，
∴ m ．
∴ m ．
答：旗杆 的高度约为 ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，熟知正切函数的意义是解题关键．
3、 ①6 ， 91 ， 95 ； ② 甲； ③ 八； ④160
【分析】
① 、整理八年级 20 名同学的分数即可补全表格；
② 、七年级学生分数的中位数为 89 ，七年级甲同学的成绩在中位数之前，名次靠前；八年级的学生分数的中位数为 91 ，八年级乙同学的成绩在中位数以后，名次靠后，故甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前；
③ 、比较数据波动情况：八年级学生分数的方差小于七年级学生分数的方差，故八年级的分数较整齐；
④ 、抽取的七年级 20 名同学中分数不低于 95 分的人有 8 人，所占比为 ，故 400 名七年级学生分数不低于 95 分的学生约有： 人 .
【详解】
解： ① 、整理八年级 20 名学生的分数，分数在 85≤x ＜ 90 中的有： 85 、 86 、 87 、 87 、 88 、 89 ，故 a =6 ；
将 20 名学生成绩从低到高排列，第 10 名和第 11 名的成绩为 90 、 92 ，
中位数为 ；
20 名学生成绩中出现次数最多的为 95 ，故众数为 95.
② 、七年级学生分数的中位数为 89 ，七年级甲同学的成绩在中位数之前，名次靠前；
八年级的学生分数的中位数为 91 ，八年级乙同学的成绩在中位数以后，名次靠后，
故甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前；
③ 、八年级学生分数的方差小于七年级学生分数的方差，故八年级的分数较整齐；
④ 、抽取的七年级 20 名同学中分数不低于 95 分的人有 8 人，所占比为 ，故 400 名七年级学生分数不低于 95 分的学生约有： 人 .
【点睛】
本题考查统计表，众数，中位数，方差的综合运用，解题的关键是需要认真仔细的对数据分析，理解众数、中位数、方差的定义．
4、 （ 1 ）见解析；（ 2 ）见解析
【分析】
（ 1 ）按照垂直平分线的作法作图即可；
（ 2 ）证 ，得到 ，根据垂直平分线的性质证四边相等即可．
【详解】
解：（ 1 ）直线 即为所求（作图如图所示）；

（ 2 ）证明： ∵ 垂直平分 ．
∴ ， ， ，
∵ 四边形 是平行四边形，
∴ ．
∴ ， ．
∴ ．
∴
∴ ．
∴ 四边形 是菱形．
【点睛】
本题考查了尺规作图和平行四边形的性质，菱形的判定，解题关键是准确画出图形，利用垂直平分线的性质和全等三角形的性质与判定证明四边相等．
5、 （ 1 ） ①1 ； ② 见解析； ③ 见解析；（ 2 ） ①× ； ②× ； ③√
【分析】
（ 1 ） ① 将 x= 0 代入解析式中求解即可求出 m 的值； ② 在平面直角坐标系中标出点即可； ③ 连线形成图象即可；
（ 2 ）观察函数图象即可求解．
【详解】
（ 1 ） ① 将 x= 0 代入解析式中解得 m= 1 ；
② （点如图所示）；
③ （图象如图所示）．

（ 2 ） ① x 的取值范围是 x≠ -1 ，当 x ＞ -1 时， y 随着 x 的增大而减小；当 x ＜ -1 时， y 随着 x 的增大而减小，故填 × ；
② 图象关于点（ -1 ， 0 ）对称，故填 × ；
③ x 的取值范围为 x≠ -1 ，所以函数图象与直线 x= -1 没有交点，故填 √ ．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握函数图象的绘制方法是画出图象的关键，求出变量之间的对应值是画图象的前提，能根据函数图象求出对应的增减性，对称性，最值．
6、 （ 1 ）见解析；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）连接 ，证明 即可；
（ 2 ）由已知条件得出 ，利用特殊角锐角三角函数求出 OD 、 OG 的长度，再由扇形面积公式以及三角形面积公式求 即可．
【详解】
. （ 1 ）证明：连接 ．

∵ ， ．
∴ ．
∵ 是 的半径，
∴ 是 切线．
（ 2 ）解： ∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查切线的判定，锐角三角函数，扇形面积的计算等知识点，根据题意求出 是解题关键．
7、 （ 1 ） ；（ 2 ） ① ； ； ②0.25
【分析】
（ 1 ）根据题意列出关于 a ， b 的二元一次方程组，进而即可求解；
（ 2 ） ① 根据利润 = （售价 - 进价） × 销售量，列出函数解析式，即可； ② 根据题意列出 W 关于 x 的一次函数关系式，参数为 m ，结合一次函数的性质，得到关于 m 的不等式，进而即可求解．
【详解】
解：（ 1 ）根据题意得： ，解得 ，
（ 2 ） ① ．
当 时，即： ， ；
当 时，即： ， ．
∴ ，
② 由题意得 ，其中 ．
∵ 当 时， ．不合题意．
∴ ．
∴ 随 的增大而增大．
∴ 当 时， 的值最小，
由题意得 ．
解得： ．
∴ 的最大值为 0.25 ．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组以及一次函数的实际应用，根据数量关系；列出方程组以及一次函数解析式，是解题的关键．
8、 （ 1 ） ① 见解析； ②1 ；（ 2 ） ，见解析；（ 3 ）
【分析】
（ 1 ） ① 根据折叠性质证明即可； ② 当 ，证明 ，即可得出 的值；
（ 2 ）延长 交 于点 ，根据折叠性质证明 ，即可得出结论；
（ 3 ）由（ 2 ）可知 ，设 ，则 ， ， ，可得 ，再由勾股定理列方程求解即可．
【详解】
解：（ 1 ） ① 证明：延长 交 于点 ．

由折叠得 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
② 当 ，即 时，
可知 AC = BC ，
在 和 中，
，
∴ ( AAS ) ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： 1 ；
（ 2 ）解： ．
理由：延长 交 于点 ，

由折叠得 ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（ 3 ）解：由折叠得 ， ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ， ， ，
由（ 2 ）知 ，
∴ ，
，
是 的中点，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ， ，
∴ ，

∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∵ ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
∴ ．
【点睛】
本题为三角形综合题，考查折叠的性质，全等三角形判定与性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，根据折叠性质找到角度之间的关系是解题的关键．
9、 （ 1 ） ， ， ；（ 2 ） ；（ 3 ） ① ； ② 且 a ≠0 或 ．
【分析】
（ 1 ）令 x =0 ，可得直线与 y 轴的交点 A 的坐标；令 y =0 ，可得直线与 x 轴的交点 B 的坐标，把点 A 的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得 c 的值；
（ 2 ）把 配方后，分 a >0 和 a <0 两种情况讨论，当 时，函数的最大值，根据题意可求得此时的 a 值；
（ 3 ） ① 设直线 AP 交 x 轴于点 N ，易得 Rt △ AON ∽ Rt △ MOA ，由题意可求得 ON 的长，从而由相似的性质可求得 OM ，分四种情况：当 a <0 时，当 0< a <1 时，当 1< a <2 时，当 a >2 时，分别就这些情况计算 △ BMP 的面积即可；
② 画出函数 S 的图象，求得当 时 a 的值，结合函数图象即可求得 时 a 的取值范围．
【详解】
（ 1 ）当 时， ．得
当 时， ，解得 ．得
把 代入 ，得
（ 2 ） ∵
∴
当 ， 时， 随 的增大而增大
∴ 当 时， 的值最大
由题意得
解得
当 ， 时， 随 的增大而减小
∴ 当 时， 的值最大
由题意得
解得 （不合题意，舍去）
∴
（ 3 ） ①∵ ，
∴ 直线 AP 的解析式为
设直线 AP 交 x 轴于点 N ，令 y =0 ，得
∴ ，
过 P 点作 PC ⊥ x 轴于点 C ，则
当 a <0 时，如下图所示
∵ AM ⊥ AP ， OA ⊥ MN
∴∠ NAO +∠ MAO =∠ NAO +∠ ANO =90 ゜
∴ Rt △ AON ∽ Rt △ MOA
∴
∵ OA =1
∴
∵ OB =2
∴ BM = OB + OM =2- a
∵ PC =1- a
∴

当 0< a <1 时，如下图所示，同理得： ， PC =1- a
∴ BM = OB - OM =2- a
∴

当 1< a <2 时，与上图同，同理得： ， PC = a -1
∴ BM = OB - OM =2- a
∴
当 a >2 时，如下图所示，同理得： ， PC = a -1
∴ BM = OM - OB = a -2
∴
当 a =1 或 2 时，此时 △ MBP 不存在

综上所述，
② 画出的函数 S 的图象如下

当 时，解得 或
由图象知，当 且 a ≠0 或 时， S >1
∴ 且 a ≠0 或 ．
【点睛】
本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，求图形面积等知识，涉及分类讨论思想，且分类的情形比较多，数形结合思想，是一个比较难的题．
三、填空题
1、
【分析】
按照科学记数法的表示方法表示即可．
【详解】
2270000 ＝
故答案为：
【点睛】
本题考查了把一个较大的数用科学记数法表示，科学记数法的形式为： ，其中 ， n 为正整数，它是这个数的整数数位与 1 的差．
2、
【分析】
分别求出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分即可得答案．
【详解】

解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
∴ 不等式组 的解集是 ，
故答案为：
【点睛】
本题考查解一元一次不等式组，正确得出两个不等式的解集是解题关键．
3、
【分析】
直接由概率公式求解即可．
【详解】
解： “ 馬 ” 移动一次可能到达的位置共有 8 种，
到达 “ －－－ ” 上方的由 2 种，
故则 “ 馬 ” 随机移动一次，
到达的位置在 “ －－－ ” 上方的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查利用概率公式计算简单的概率问题，解题的关键是掌握概率＝所求情况数与总情况数之比．
4、 3
【分析】
把二次函数化为顶点式，进而即可求解．
【详解】
解： ∵ ，
∴ 当 x =1 时， ，
故答案是： 3 ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的顶点式，是解题的关键．
5、 55° 或 125°
【分析】
根据点 Ａ 与点 O 在 边同侧或两侧，分类讨论，按照同弧所对的圆心角和圆周角的关系解答即可．
【详解】
解：分两种情况：
（ 1 ）点 Ａ 与点 在 BC 边同侧时，如下图：
.
∵
∴
（ 2 ）点 与点 在 BC 边两侧时，如下图：

∵ ，即 所对的圆心角为
∴ 所对的圆心角为：
∴
故答案为： 55 或 125
【点睛】
本题考查的是同弧所对的圆心角和圆周角之间关系，根据题意分类讨论是解题关键．
6、
【分析】
作出如图所示的辅助线，利用 SAS 证明 △ ADH △ ABF 以及 △ EAF △ EAH ，在 Rt △ ABE 中，利用勾股定理求得正方形的边长，再证明 △ BAF △ OAG ，即可求解．
【详解】
解：如图，在 CD 上取点 H ，使 DH = BF =2 ，连接 EH 、 AH ，

∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ ADH =∠ ABC =∠ ABF =90° ， AD = AB ， ∠ BAC =∠ DAC =45° ，
∴△ ADH △ ABF ( SAS ) ，
∴∠ DAH =∠ BAF ， AH = AF ，
∵∠ EAF =45° ，即 ∠ BAF +∠ EAB =45° ，
∴∠ DAH +∠ EAB =45° ，则 ∠ EAH =45° ，
∴∠ EAF =∠ EAH =45° ，
∴△ EAF △ EAH ( SAS ) ，
∴ EF = EH ，
∵ ，
设 BE = a ，则 AB =2 a ， EC = a ， CH =2 a -2 ， EF = EH = a +2 ，
在 Rt △ CEH 中， , 即 ，
解得： ，
则 AB = AD =6 ， BE = EC =3 ，
在 Rt △ ABE 中， ,
∴ AE =3 ，
同理 AF =2 ，
AO = AB =3 ，
∵ BE ∥ AD ，
∴ ，
∴ AG =2 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵∠ EAF =∠ BAC =45° ，
∴∠ BAF =∠ OAG ，
∴△ BAF △ OAG ，
∴ ，
∵∠ GAF =∠ OAB =45° ，
∴△ GAF 是等腰直角三角形，
∴ FG = AG =2 ，
故答案为： 2 ．
【点睛】
本题主要考查了四边形综合题，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数是解题的关键．