江苏省2021-2022学年高一上学期第一次月度检测数学试题含解析.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共12题）
1、 已知 ，则 x 的值为（ ）
A ． B ． C ． D ．
2、 已知集合 ，则集合 中的元素个数为
A ． 5 B ． 4 C ． 3 D ． 2
3、 已知命题 p ： ，使 成立，则 p 的否定是（ ）
A ． ，使 不成立 B ． ，使 不成立
C ． ，使 不成立 D ． ，使 不成立
4、 已知 是实数集，集合 ， ，则阴影部分表示的集合是（ ）

A ． B ． C ． D ．
5、 已知 m ， n 是方程 x 2 ＋ 5 x ＋ 3 ＝ 0 的两根，则 m ＋ n 的值为（ ）
A ．－ 2 B ． 2 C ． ±2 D ．以上都不对
6、 “ ， 为正数 ” 是 “ ” 的（    ）
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
7、 港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加 30 升的燃油；第二种方案，每次加 200 元的燃油，则下列说法正确的是（　　　　）
A ．采用第一种方案划算 B ．采用第二种方案划算
C ．两种方案一样 D ．无法确定
8、 定义一个集合 A 的所有子集组成的集合叫做集合 A 的幂集，记为 P ( A ) ，用 n ( A ) 表示有限集 A 的元素个数，给出下列命题： ① 对于任意集合 A ，都有 A P ( A ) ； ② 存在集合 A ，使得 n [ P ( A )] ＝ 3 ； ③ 若 A B ＝ ，则 P ( A ) P ( B ) ＝ ； ④ 若 A B ，则 P ( A ) P ( B ) ； ⑤ 若 n ( A ) ﹣ n ( B ) ＝ 1 ，则 n [ P ( A )] ＝ 2× n [ P ( B )]. 其中正确的命题个数为（    ）
A ． 5 B ． 4 C ． 3 D ． 2
9、 已知全集 ，集合 、 满足 ，则下列选项正确的有（ ）
A ． B ． C ． D ．
10、 集合 中有且只有一个元素，则 的取值可以是（ ）
A ． 1 B ． C ． 0 D ． 2
11、 已知 ，关于 的一元二次不等式 的解集中有且仅有 3 个整数，则 的值可以是（ ）
A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 7
12、 设 ， ，称 为 、 的算术平均数， 为 、 的几何平均数， 为 、 的调和平均数，称 为 、 的加权平均数 . 如图， 为线段 上的点，且 ， ， 为 中点，以 为直径作半圆 . 过点 作 的垂线交半圆于 ，连接 、 、 ，过点 作 的垂线，垂足为 . 取弧 的中点为 ，连接 ，则在图中能体现出的不等式有（ ）

A ． B ．
C ． D ．
二、填空题（共4题）
1、 已知不等式 的解集为 ，则实数 _________ ；函数 的所有零点之和等于 _________ ．
2、 已知集合 A ={ a ， | a | ， a -2} ，若 ，则实数 a 的值为 _____.
3、 已知命题 “ ，使 ” 是假命题，则实数 a 的取值范围是 ___________.
4、 已知正实数 满足 ，则 的最小值为 ________.
三、解答题（共6题）
1、 （ 1 ）计算： ；
（ 2 ）已知 ，求 的值 .
2、 已知全集 ，集合 ， ， .
（ 1 ）若 ，求 ；
（ 2 ）从条件 ① 、条件 ② 、条件 ③ 这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数 的取值范围 .
条件 ① ；条件 ② ；条件 ③
3、 已知 ： ， ， ： ， ，
（ 1 ）若 是真命题，求实数 的取值范围；
（ 2 ）若 、 均为真命题，求实数 的取值范围．
4、 精准扶贫是巩固温饱成果､加快脱贫致富､实现中华民族伟大 “ 中国梦 ” 的重要保障 . 在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量 w 万件（生产量与销售量相等）与推广促销费 x 万元之间的函数关系为 （其中推广促销费不能超过 5 万元） . 已知加工此农产品还要投入成本 万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为 元 / 件 .
（ 1 ）试将该批产品的利润 y 万元表示为推广促销费 x 万元的函数；（利润 = 销售额 - 成本 - 推广促销费）
（ 2 ）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？
5、 （ 1 ）设 ， ，求证： ；
（ 2 ）已知正数 x ， y 满足 ，若 恒成立，求实数 a 的取值范围 .
6、 已知函数 .
（ 1 ）当 时，不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围；
（ 2 ）当 时，解关于 的不等式 .

============参考答案============
一、选择题
1、 B
【分析】
直接根据根式的定义即可得出答案 .
【详解】
解：由根式的定义知 ，则 .
故选： B.
2、 D
【详解】
由已知得 中的元素均为偶数， 应为取偶数，故 ，故选 D.
3、 C
【分析】
由特称命题的否定形式，判断即得解
【详解】
由特称命题的否定形式可得：
“ ，使 成立 ” 的否定为 “ ，使 不成立 ”
故选： C
4、 B
【分析】
由题意可知，阴影部分区域所表示的集合为 ，利用补集和交集的定义可求得所求集合 .
【详解】
已知 是实数集，集合 ， ，则 ，
阴影部分表示的集合是 .
故选： B.
【点睛】
本题考查补集与交集的混合运算，同时也考查了利用韦恩图表示集合，考查计算能力，属于基础题 .
5、 A
【分析】
根据韦达定理得到 ， ，且 ， ，利用 ， 代入原式可得结果 .
【详解】
因为 m ， n 是方程 x 2 ＋ 5 x ＋ 3 ＝ 0 的两根，
所以 ， ，所以 ， ，
所以 m ＋ n .
故选： A.
【点睛】
本题考查了韦达定理，属于基础题 .
6、 D
【分析】
通过举反例可得答案 .
【详解】
当 时， ，故 “ ， 为正数 ” 是 “ ” 的不充分条件
当 时，满足 ，但不满足 ， 为正数，故 “ ， 为正数 ” 是 “ ” 的不必要条件
综上： “ ， 为正数 ” 是 “ ” 的既不充分也不必要条件
故选： D
【点睛】
本题考查的是充分条件和必要条件的判断，较简单 .
7、 B
【分析】
分别求出两种方案平均油价，结合基本不等式，即可得出结论 .
【详解】
任取其中两次加油，假设第一次的油价为 元 / 升，第二次的油价为 元 / 升．
第一种方案的均价： ；
第二种方案的均价： .
所以无论油价如何变化，第二种都更划算．
故选 :B
【点睛】
本题考查不等式的实际运用，以及基本不等式比较大小，属于中档题 .
8、 C
【分析】
根据所给定义，结合集合子集个数公式，逐一判断即可 .
【详解】
由 P ( A ) 是由集合 A 的所有子集组成的集合，又若集合 A 有 个元素，则集合 A 的所有子集共有 个 .
所以 ，故 ① 正确 .
设 ，则 ，故 ② 不正确，
若 A B ＝ ，则 ，故 ③ 不正确；
若 A B ，则 P ( A ) P ( B ) ，故 ④ 正确，
，即 中元素比 中元素多 1 个，
设 ，则 ，则 ，则
所以 ，故 ⑤ 正确，
所以正确的有 ①④⑤.
故选： C
【点睛】
本题考查了新定义题，考查了数学阅读能力，考查了集合子集个数公式，考查了数学运算能力，属于中档题 .
9、 BD
【分析】
根据题意，做出韦恩图，再依次讨论各选项即可得答案 .
【详解】
解：根据题意得，集合 、 、 关系如图所示：

全集 ，集合 、 满足 ，
则 ， ， ， ．
故选： BD ．
10、 ABC
【分析】
由方程的类型引起讨论，当为二次方程时，判别式为 0 则方程有一根，令判别式等于 0 求出 的值．
【详解】
解：集合 表示方程 的解组成的集合，
当 时， 符合题意；
当 要使 中有且只有一个元素
只需 解得
故 的取值集合是 ，
故选： ．
11、 CD
【分析】
设 ，其图象是开口向上，对称轴是 的抛物线，如图所示．利用数形结合的方法得出，若关于 的一元二次不等式 的解集中有且仅有 3 个整数，则 ，从而解出所有符合条件的 的值．
【详解】
设 ，其图像为开口向上，对称轴是 的抛物线，如图所示 .

若关于 的一元二次不等式 的解集中有且仅有 3 个整数，
因为对称轴为 ，则 解得 ，又 ，故 可以为 6 ， 7 ， 8.
故选： CD
【点睛】
本题考查了有特殊要求的一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
12、 ABD
【分析】
由 可判断 A 选项；由 可判断 B 选项；利用 可判断 C 选项；利用 可判断 D 选项 .
【详解】
对于 A 选项， ，且 为半圆 的直径，则 ，
由 ，可得 ，
所以， ， ， ，
，由图可知， ，即 ，
当点 与点 重合时，即当 时，等号成立， A 选项成立；
对于 B 选项，连接 ，

由于 为半圆弧的中点，则 ，
当点 与点 不重合时， ， ， ，
由勾股定理可得 ，
此时， ，即 .
当点 与点 重合，即当 时， ，即 .
综上所述， ，当且仅当 时，等号成立， B 选项成立；
对于 C 选项， ， ，
又 ，则 ，所以， ，
所以， ，
由图可知， ，即 ， C 选项不成立；
对于 D 选项， ，可得 ，可得 ，
当且仅当点 与点 重合时，即当 时，等号成立， D 选项成立 .
故选： ABD.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（ 1 ） “ 一正二定三相等 ”“ 一正 ” 就是各项必须为正数；
（ 2 ） “ 二定 ” 就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（ 3 ） “ 三相等 ” 是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 .
二、填空题
1、
【分析】
根据不等式解集，结合不等式与方程关系可求得参数 ；代入函数解析式，即可由韦达定理求得零点的和 .
【详解】
∵ 等式 的解集为 ，
∴ 是方程 的两个实根，
则 ，解得 ，
而两根之和 ，解得 ，
故函数 的所有零点之和为 ，
故答案为： ， ．
【点睛】
本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，由不等式解集确定参数值，属于基础题 .
2、
【分析】
根据元素和集合的关系以及集合元素的互异性确定参数值．
【详解】
依题意 ，若 ，则 ，不满足集合元素的互异性，所以 ；
若 ，则 或 （舍去），此时 ，符合题意；若 ，则 ，而 ，
不满足集合元素的互异性，所以 ，综上所述， 的值为 ．
故答案为：
3、 ##
【分析】
根据特称命题的否定是真命题，转化为二次不等式恒成立，即可求解实数 a 的取值范围 .
【详解】
∵ 命题 “ ，使 ” 是假命题，
∴ 命题 “ ，使 ” 是真命题，
即判别式 ，即 .
故答案为：
4、
【分析】
令 ，则 且 ，利用基本不等式可求最小值 .
【详解】
等价于 ，
令 ，则 且 ， .
故
.
当且仅当 时等号成立。
故答案为： .
【点睛】
本题考查二元二次条件下二元二次目标代数式的最小值，注意根据二元二次等式的形式引入新变量，从而条件和目标代数式都可以简化，最后可用基本不等式求最值，本题属于难题 .
三、解答题
1、 （ 1 ） ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）利用根式与分数指数幂的运算法则，计算即可；
（ 1 ）由 ，求得 和 ，又由 ，求得 ，代入即可求解 .
【详解】
（ 1 ）由指数幂的运算性质，可得
.
（ 2 ）由 ，两边平方得 ，即 ，
两边再平方可得 ，
又由 ，所以 ，
故原式 .
2、 （ 1 ） ；（ 2 ）选择条件 ① ： ；选择条件 ② ： ；选择条件 ③ ： .
【分析】
（ 1 ）根据补集和交集运算可得结果；
（ 2 ）选择条件 ① ，由 解得结果即可得解；选择条件 ② ，先求出 时， 的范围，再求其补集即可得解；选择条件 ③ ，先求出 ，再由 解得结果即可得解 .
【详解】
（ 1 ）当 时， ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
（ 2 ）方案一：选择条件 ① ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 .
方案二：选择条件 ② ，
假设 ，
则 或 ，
解得 ，
所以当 时， .
方案三：选择条件 ③ ，
， ，
因为 ，
所以 ，解得 .
【点睛】
本题考查了集合的交并补的混合运算，考查了区间的定义，考查了根据集合的交集、并集和补集的结果求参数的取值范围，属于基础题 .
3、 （ 1 ） ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）条件可转化为方程 有实根，然后可求出答案；
（ 2 ）先求出 为真命题的答案，然后结合（ 1 ）可得出实数 的取值范围．
【详解】
（ 1 ）因为 ： ， 为真命题，
所以方程 有实根，所以判别式 ，
得实数 的取值范围为 ．
（ 2 ） 可化为 ，
若 ： ， 为真命题，则 对任意的 恒成立，
当 时，不等式可化为 ，显然不恒成立；
当 时，有 ， ∴ ．由（ 1 ）知，若 为真命题，则 ，
又 、 均为真命题，所以实数 需满足 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ．
【点睛】
本题考查的是命题和命题否定的真假性的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题 .
4、 （ 1 ） （其中 ）；（ 2 ）推广促销费投入 3 万元时，利润最大，最大利润为 27 万元 .
【分析】
（ 1 ）根据题意，结合利润计算方法，即可得到 y 关于 x 的函数；
（ 2 ）利用基本不等式得出最大利润 .
【详解】
（ 1 ）由题意知，利润
（其中 ） .
（ 2 ）由（ 1 ）知 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以当 时， y 取最大值 27.
答：当推广促销费投入 3 万元时，利润最大，最大利润为 27 万元 .
5、 （ 1 ）证明见解析；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）用作差法即可证明；
（ 2 ）由 ，可得 ，将 整理可得 ，最后利用基本不等式的应用即可求解 .
【详解】
（ 1 ）

因为 ， ，所以 ， ， ，
所以 .
所以 .
（ 2 ）解：由于正数 x ， y 满足 ，所以 ，
∴ ，
则

，
当且仅当 ， 等号成立，
要使 恒成立，只需满足 即可，故 .
6、 （ 1 ） ；（ 2 ）答案见解析 .
【分析】
（ 1 ）分离变量转化为 ，利用基本不等式求出最小值可得解；
（ 2 ）分两层讨论，先讨论 ，当 时，再分类讨论 与 的大小，可得解 .
【详解】
（ 1 ）当 时，不等式 对 恒成立 .
整理得： ，
因为 ，所以 ，所以 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号 .
所以 .
所以 .
（ 2 ）当 时， ，
不等式等价于 ，
① 当 时， ，
② 当 时， 的两根为 ， ，所以 ；
③ 时，
当 即 时， 或 ，
当 即 时， ，
当 即 时， 或 .
综上所述： 时，不等式的解集为 ，
时，不等式的解集为 ，
时，不等式的解集为 ，
时，不等式的解集为 ，
时，不等式的解集为 .
【点睛】
本题考查了一元二次不等式恒成立问题，考查了分类讨论法解一元二次不等式，属于中档题 .