资源描述
试卷主标题
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共18题）
1、 已知集合 ， ，则 （ ）
A ． B ． C ． D ．
2、 已知 ，条件 ： ，条件 ： ，则 是 的（ ）
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
3、 某校抽取 名学生做体能测认，其中百米测试中，成绩全部介于 秒与 秒之间，将测试结果分成五组：第一组 ，第二组 ， ，第五组 ．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩低于 即为优秀，如果优秀的人数为 人，则 的估计值是（ ）
A ． B ． C ． D ．
4、 函数 ， 图象大致为
A． B ．
C ． D ．
5、 已知正方体 的表面积为 ，若圆锥的底面圆周经过 四个顶点，圆锥的顶点在棱 上，则该圆锥的体积为（ ）
A ． B ． C ． D ．
6、 已知 是定义在 上的偶函数，且在 上是增函数 . 设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
7、 已知 Q 为双曲线 ( ， ) 的右顶点， M 为双曲线右支上一点，若点 M 关于双曲线中心 O 的对称点为 N ，设直线 QM ， QN 的倾斜角分别为 ， 且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A ． B ． C ． D ．
8、 已知函数 的图象的一条对称轴为 , 则下列结论中正确的是（ ）
A ． 是 图象的一个对称中心
B ． 是最小正周期为 的奇函数
C ． 在 上单调递增
D ．先将函数 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 ，然后把所得函数图象再向左平移 个单位长度，即可得到函数 的图象
9、 已知函数 ，若方程 有且只有三个不同的实数根，则 的取值范围是
A ． B ．
C ． D ．
10、 已知集合 ， ，则 （ ）
A ． B ． C ． D ．
11、 设 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ）．
A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件
C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件
12、 设 ， ， ，则（ ）
A ． B ． C ． D ．
13、 某学校组织部分学生参加体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是 ， ， ， . 若低于 60 分的人数是 18 人，则参加体能测试的学生人数是（ ）
A ． 45 B ． 48 C ． 50 D ． 60
14、 函数 的最小正周期是 ，若其图象向左平移 个单位后得到的函数为偶函数，则函数 的图象
A ．关于点 对称 B ．关于直线 对称
C ．关于点 对称 D ．关于直线 对称
15、 函数 的图象大致是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
16、 已知向量 ， ，若 ， ，则 的最大值为
A ． B ． C ． 4 D ． 5
17、 定义域为 的函数 满足 ，当 时， ，若当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
18、 已知 是定义在 上的函数，且满足 ① ； ② 曲线 关于点 对称； ③ 当 时 ，若 在 上有 5 个零点，则实数 的取值范围为
A ． B ． C ． D ．
二、填空题（共12题）
1、 已知直线 与圆 交于 、 两点，直线 垂直平分弦 ，则 的值为 ____________ ，弦 的长为 ____________.
2、 某大学志愿者协会有 6 名男同学， 4 名女同学，在这 10 名同学中， 3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教 . 选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率 _______ ，设 为选出的 3 名同学中女同学的人数，则 的数学期望为 _______.
3、 在四边形 中， ， ， ， ， 为 的中点， ，则 _____ ；设点 为线段 上的动点，则 最小值为 _____ ．
4、 已知复数 是纯虚数 ( 其中是 虚数单位 ) ，则实数 的值为 ___________.
5、 二项式 的展开式中常数项为 -20 ，则含 项的系数为 ______. （用数字作答）
6、 已知 ， ，则 的最小值为 ___________.
7、 如图，在 中， ， ， 为 上一点，且满足 ，若 的面积为 ，则 的最小值为 ________ ．
8、 已知 ， 为虚数单位，若 为实数，则 的值为 __________ ．
9、 在二项式 的展开式中， 的系数为 __________ ．
10、 袋中装有 5 个同样大小的球，编号为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5. 现从该袋内随机取出 3 个球，记被取出的球的最大号码数为 ，则 等于 _____.
11、 已知 ，函数 在 上单调递减，则 的取值范围是 ________.
12、 已知正数 满足 ，则 的最小值为 ___________ ．
三、解答题（共10题）
1、 在 中，已知
（ 1 ）求角 B 的大小；
（ 2 ）若 ， 的面积为 ，求 的值．
2、 如图，在四棱锥 中， 底面 ABCD ， ， ， ， ，点 E 为棱 PC 的中点 .
（ 1 ）证明： ：
（ 2 ）求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值：
（ 3 ）若 F 为棱 PC 上一点， 且满足 ，求二面角 的余弦值 .
3、 已知 ， 分别是椭圆 ： 的左，右焦点，点 在椭圆 上，且抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点．
（ 1 ）求 , 的值：
（ 2 ）过点 作不与 轴重合的直线 ，设 与圆 相交于 A ， B 两点，且与椭圆 相交于 C ， D 两点，当 时，求 △ 的面积．
4、 已知数列 ， ， ，是数列 的前 项和，已知对于任意 ，都有 ，数列 是等差数列， ，且 ， ， 成等比数列 .
（ 1 ）求数列 和 的通项公式 .
（ 2 ）记 ，求数列 的前 项和 .
（ 3 ） .
5、 已知函数 .
（ 1 ）若 ，求 的最小值；
（ 2 ）当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（ 3 ）当 时，证明 .
6、 在 中， 分别为三个内角 的对边，且 .
（ 1 ）求角 的大小；
（ 2 ）若 求 和 的值 .
7、 已知函数
(Ⅰ) 求 在 上的单调递增区间；
(Ⅱ) 在 中， 分别是角 的对边， 为锐角，若 ， 且 的面积为 ，求 的最小值 .
8、 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ， 平面 ， 、 分别为 、 的中点 .
（ 1 ）证明： 平面 ；
（ 2 ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（ 3 ）求二面角 的余弦值 .
9、 已知等差数列 的公差为正数， ，其前 项和为 ，数列 为等比数列， ，且 ， .
（ 1 ）求数列 与 的通项公式；
（ 2 ）求数列 的前 项和 .
（ 3 ）设 ， ，求数列 的前 项和 .
10、 已知函数
（ 1 ） 若 ，求 的图象在 处的切线方程；
（ 2 ）若 在定义域上是单调函数，求 的取值范围；
（ 3 ）若 存在两个极值点 ，求证 :
============参考答案============
一、选择题
1、 C
【分析】
先由对数和正弦函数的性质化简集合，再求交集 .
【详解】
，
即
故选： C
2、 B
【分析】
根据充分性、必要性的定义，结合对数的运算性质和对数函数的性质进行判断即可 .
【详解】
若 ，则有 ，因此有 ，故 ；
反之，若 ，当其中有负数时， 不成立，故 是 的必要不充分条件 .
故选： B
3、 B
【分析】
利用 左边的矩形面积之和为 列等式可求得实数 的值 .
【详解】
优秀人数所占的频率为 ，
测试结果位于 的频率为 ，测试结果位于 的频率为 ，所以， ，
由题意可得 ，解得 .
故选： B.
4、 D
【分析】
根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项 .
【详解】
，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除 选项 . 由 排除 选项 . 由 ，排除 C 选项，故本小题选 D.
【点睛】
本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题 .
5、 C
【分析】
根据正方体的表面积求出 ，再求出圆锥的底面积和高代入圆锥的体积公式即可得到结果 .
【详解】
设正方体 的棱长为 ，则 ，所以 ，
所以圆锥的底面半径为 ，所以底面积为 ，
又圆锥的高为 ，所以圆锥的体积为 .
故选： C
【点睛】
本题考查了正方体与圆锥的组合体，考查了正方体的表面积，考查了圆锥的体积公式，属于基础题 .
6、 A
【分析】
利用偶函数的对称性分析函数的单调性，利用指数函数、对数函数的单调性比较出 的大小关系从而比较函数值的大小关系 .
【详解】
由题意可知 在 上是增函数，在 上是减函数 .
因为 ， ， ，
所以 ，故 .
故选： A
【点睛】
本题考查函数的性质，利用函数的奇偶性及对称性判断函数值的大小关系，涉及指数函数、对数函数的单调性，属于基础题 .
7、 B
【分析】
设出点 M 的坐标，根据条件可得点 N ， Q 坐标，再利用斜率坐标公式及 Q 在双曲线上的条件列式计算即得 .
【详解】
依题意，设 ，则 ，又 ，即直线 QM ， QN 的斜率乘积为 ，而 Q ( a ， 0) ，
于是得 ，又 M 为双曲线右支上一点，即 ， ，
因此， ，化简得 ，则 ，
所以双曲线的离心率为 .
故选： B
8、 A
【分析】
化简函数 ，将 代入得函数最值，可求得 ，进而可得 ，通过计算 ，可判断 A ；
通过计算 ，可判断 B ；
当 时， ，可得 在 上的单调性，可判断 C ；
通过振幅变换和平移变换，可判断 D.
【详解】
，
当 时， 取到最值，即
解得 ，
.
，则 是 图像的一个对称中心，故 A 正确；
，故 不是奇函数，故 B 错误；
当 时， ，又 在 上先增后减，则 在 上先增后减，故 C 错误；
将函数 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 ，然后把所得函数图象再向左平移 个单位长度，得 ，故 D 错误 .
故选： A
9、 D
【分析】
先将 有且只有三个不同的实数根转化为两函数有三个交点的问题，结合函数图像，即可求出结果 .
【详解】
由 得 ，即 ，设 ， , 的顶点 在直线 上，而 与 的交点坐标为 , , 联立 , 可得 , 由 ，得 ，
结合函数 ， 的图像可得，要使 有且只有三个不同的实数根，只需 .
故选 D.
【点睛】
本题主要考查函数与方程的应用，通常情况下，需要构造函数，结合函数的单调性和图像来处理，属于中档试题 .
10、 B
【分析】
由交集的定义求解即可
【详解】
， ，
则 ，
故选： B
11、 A
【详解】
，但 ，不满足 ，所以是充分不必要条件，选 A.
【考点】 充要条件
【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若 ，则 是 的充分条件，若 ，则 是 的必要条件，若 ，则 是 的充要条件；从集合的角度看，若 ，则 是 的充分条件，若 ，则 是 的必要条件，若 ，则 是 的充要条件，若 是 的真子集，则 是 的充分不必要条件，若 是 的真子集，则 是 的必要不充分条件 .
12、 A
【分析】
先利用换底公式将对数都化为以 2 为底 , 利用对数函数单调性可比较 , 再由中间值 1 可得三者的大小关系 .
【详解】
， ， ，因此 ，故选： A.
【点睛】
本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小 , 属于基础题 .
13、 D
【分析】
根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，即可求出该班的学生数 .
【详解】
解：根据频率分布直方图，得低于 60 分的频率是（ 0.005 ＋ 0.01 ） ×20 ＝ 0.3 ，
所以该班的学生人数为 .
故选： D.
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率＝频数 / 样本容量的应用问题，是基础题目．
14、 A
【分析】
根据函数 的最小正周期是 ，求得 ，即 ，再根据三角函数的图象变换求得 ，利用三角函数的对称性，求得 ，得到函数 ，再利用三角函数的性质，即可求解 .
【详解】
由题意，函数 的最小正周期是 ，即 ，解得 ，
所以 ，
将函数 的向左平移 个单位后得到函数
因为 为偶函数，所以 ，即 ，
解得 ，因为 ，所以 ，
所以 ，令 ，解得 ，
令 ，则 ，所以函数 关于 对称，故选 A.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 .
15、 C
【分析】
根据函数的奇偶性和值域即可判断 .
【详解】
所以 为偶函数，所以图象关于 轴对称，故排除 B ，
当 时， 故排除 A ，当 时， 故排除 D
故选： C .
16、 A
【分析】
设 ，由 可得点 的轨迹方程，再对 两边平方，利用一元二次函数的性质求出最大值，即可得答案 .
【详解】
设 ， ，
∵ ， ∴ ，
整理得： .
∵ ，
∴ ，
当 时， 的最大值为 ，
∴ 的最大值为 .
故选： A.
【点睛】
本题考查向量模的最值、模的坐标运算、一元二次函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的运用 .
17、 B
【分析】
先将不等式转化为函数最值问题，再根据函数解析式以及单调性求对应函数最值，最后解不等式得结果 .
【详解】
因为当 时，不等式 恒成立，所以 ，
当 时，
当 时， ，当 时， ，因此当 时， ，选 B.
【点睛】
对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决 . 但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法 .
18、 B
【详解】
因为曲线 关于点 对称，
所以曲线 关于点 对称，所以 在 R 上是奇函数，
所以 ，又因为 ，所以 ，
而 在 上恰有 个零点，
故 时， 有一个零点，
所以 时， ，
所以 在 上有一个不同的解 .
令 ，则 ，
所以 在 上减函数，在 上是增函数；
而 ，
而 ，所以 ，
故 或 ，故选 B.
二、填空题
1、
【分析】
由题意可知直线 与直线 垂直，可求得 的值，并且直线 过圆心，可求得实数 的值，然后将圆的方程化为标准方程，确定圆心坐标和半径，并计算出圆心到直线 的距离，利用勾股定理可求得弦 的长 .
【详解】
由题意可知，直线 与直线 垂直，
，可得 ，
由于方程 表示的曲线为圆，则 ，解得 ，
且圆 的圆心坐标为 ，圆心在直线 上，
所以， ，解得 ，
所以，圆的方程为 ，即 ，
圆心坐标为 ，半径长为 ，
圆心到直线 的距离为 ，
因此， .
故答案为： ； .
【点睛】
本题考查利用两直线垂直求参数，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，解答的关键就是求出圆的方程，考查计算能力，属于中档题 .
2、
【分析】
利用排列组合求出所有基本事件数及符合要求的基本事件数，代入古典概型概率公式即可求得选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；由题意结合超几何分布概率公式可求得分布列，再由期望公式即可得解 .
【详解】
设 “ 选出的 3 名同学是来自互不相同的学院 ” 为事件 ，
则 ；
随机变量 的所有可能值为
的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以 的数学期望 .
故答案为： ； .
【点睛】
本题考查了超几何分布概率公式的求解，考查了离散型随机变量分布列及数学期望的求解，属于中档题 .
3、 ．
【分析】
以 为基底，将 用基底表示，根据已知结合向量的数量积运算律，可求出 ；设 用基底表示，求出 关于 的二次函数，即可求出其最小值 .
【详解】
为 的中点， ，
， ， ，
，
，
；
设 ，
，
，
时， 取得最小值为 .
故答案为： ； .
【点睛】
本题考查向量基本定理、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于中档题 .
4、
【分析】
先把复数 化成复数的一般形式，再由纯虚数的定义可求 .
【详解】
解：因为复数 ，
由于它为纯虚数，所以 ，且 ，则 ，
故答案是： .
【点睛】
掌握复数的运算法则、纯虚数的定义是解题关键 .
5、
【分析】
先写出二项式 的展开式的通项公式，由通项公式结合条件先求出参数 ，再根据通项公式可求出答案 .
【详解】
二项式 的展开式的通项公式为
当 时，为常数项 .
则 ，
令 ，得 ，所以含 项的系数 .
故答案为： -6
6、 2
【分析】
由 可得答案 .
【详解】
因为 ， ，所以 ，
，
当且仅当 时等号成立，
所以 最小值为 2.
故答案为： 2.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（ 1 ） “ 一正二定三相等 ”“ 一正 ” 就是各项必须为正数；
（ 2 ） “ 二定 ” 就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（ 3 ） “ 三相等 ” 是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 .
7、
【分析】
由三角形的面积公式可求得 ，设 ，可得 ，结合 可求得 ，可得出 ，进而可得出 ，利用基本不等式可求得 的最小值 .
【详解】
， ，
， ，
设 ， ，
又 ，则 ，解得 ，则 ，
因此，
，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
因此， 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查线段长最值的求解，同时也考查了利用向量的线性运算求参数，也考查了基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题 .
8、 -2
【详解】
为实数，
则 .
【考点】 复数的分类
【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程 ( 不等式 ) 组即可．
复数 ，
当 时， 为虚数，
当 时， 为实数，
当 时， 为纯虚数 .
9、 .
【分析】
由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到 的值，然后求解 的系数即可 .
【详解】
结合二项式定理的通项公式有： ，
令 可得： ，则 的系数为： .
【点睛】
（ 1 ）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中 和 的隐含条件，即 、 均为非负整数，且 ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等） ) ；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
（ 2 ）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
10、 4.5
【分析】
由题意 的可能取值为 3 ， 4 ， 5 ，分别求出相应的概率，由此能求出 ．
【详解】
袋中装有 5 个同样大小的球，编号为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ．现从该袋内随机取出 3 个球，记被取出的球的最大号码数为 ，
的可能取值为 3 ， 4 ， 5 ，
，
，
，
，
故答案为： 4.5 ．
【点睛】
本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，求解时注意排列组合知识的合理运用．
11、 .
【分析】
由条件得出 ，进而求得 ，根据正弦函数的单调性得出 ，即可得正实数 的取值范围．
【详解】
解：由题可知， ，函数 在 上单调递减，
可得函数的半个周期大于或等于 ，即 ，
则 ， ，
由 ，
解得： ， ，
而 ，所以当 时， ，
则正实数 的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查由正弦型函数的单调性求参数范围，涉及正弦函数的周期和单调性的应用，属于中档题．
12、 9
【分析】
由已知条件得出 ，将代数式 与 相乘，展开后利用基本不等式可求得 的最小值 .
【详解】
因为正数 满足 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立 .
故答案为： 9
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（ 1 ） “ 一正二定三相等 ”“ 一正 ” 就是各项必须为正数；
（ 2 ） “ 二定 ” 就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（ 3 ） “ 三相等 ” 是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 .
三、解答题
1、 （ 1 ） ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）根据和的正弦公式化简可得 ，即可得出角 B ；
（ 2 ）根据面积公式求出 ，由余弦定理求出 ，由正弦定理求出 ，继而求出 ，再由二倍角公式即可求出 .
【详解】
解：（ 1 ）在 中， ，
所以 ．
即 ，
所以 ．
又 ，所以 ，
又 ，所以 ．
（ 2 ）可得 ，解得 ，
在 中，由余弦定理，
得
，
所以 ．
由正弦定理，得 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，所以 ．
所以 ，
所以 ．
【点睛】
本题考查和的正弦公式的应用，考查正余弦定理、三角形面积公式的应用，解题的关键是正确理解正余弦定理，正确理解边角关系 .
2、 （ 1 ）证明见解析；（ 2 ） ；（ 3 ） .
【分析】
（ 1 ）以点 A 为原点， 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，只需证明 即可；
（ 2 ）求平面 PBD 的法向量 ，然后利用公式 即可求出答案；
（ 3 ）根据题意利用 表示出向量 的坐标，然后利用条件 ，求出 的值，从而可求出面 FAB 和面 ABP 的法向量，利用公式 即可求出答案 .
【详解】
（ 1 ）以点 A 为原点， 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系 .
可得 ， ， ， ，由 E 为棱 PC 的中点，得 ，
向量 ， ，故 ，
所以 .
（ 2 ）向量 ， ， .
设 为平面 PBD 的法向量，则 ，即 ，
令 ，得 为平面 PBD 的一个法向量，
所以 ，
所以直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为 .
（ 3 ）向量 ， ， ， .
因为点 F 在棱 PC 上， ， ，
所以 ，
由 ，得 ，因此 ，解得 ，
即 ，
设 为平面 FAB 的法向量，则 ，即
令 ，得 为平面 FAB 的一个法向量 .
取平面 ABP 的法向量 ，则 ，
经观察知二面角 是锐角，所以其余弦值为 .
3、 （ 1 ） ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质，可求出 ， ；
（ 2 ）设直线 方程为 ，联立直线与圆的方程可以求出 ，再联立直线和椭圆的方程化简，由根与系数的关系得到结论，继而求出面积．
【详解】
（ 1 ） 焦点为 F （ 1 ， 0 ），则 F 1 （ 1 ， 0 ）， F 2 （ 1 ， 0 ），
，解得 ， ＝ 1 ， ＝ 1 ，
（ Ⅱ ）由已知，可设直线 方程为 ， ，
联立 得 ，易知 △ ＞ 0 ，则
＝ ＝
＝
因为 ，所以 ＝ 1 ，解得
联立 ，得 ， △ ＝ 8 ＞ 0
设 ，则
【点睛】
本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用，同时考查利用根与系数的关系，解决直线与圆，直线与椭圆的位置关系问题． 意在考查学生的数学运算能力．
4、 （ 1 ） ， ；（ 2 ） ；（ 3 ） .
【分析】
(1) 由递推公式 探讨出数列 任意相邻两项的关系得 ，由等差数列 的已知求出其首项和公差得 ；
(2) 由 (1) 求出数列 的通项公式，再分组求和得解；
(3) 对和式 从首项起依次每两项一组并项求和，再利用错位相减法求解即得 .
【详解】
（ 1 ）因 ， 时， ，
则有 ，即 ，而 时， ，即 ，
∴ 是首项 ，公比为 3 的等比数列，从而 ；
设等差数列 的公差 d ，而 ，依题意 ，
， ， ，所以 ；
（ 2 ）由 (1) 知 ，
当 n 为偶数时，
当 n 为奇数时，
∴
（ 3 ）
所以 是数列 的前 n 项和，
设 的前项和为 ，
，
，
即 ，
∴ .
【点睛】
思路点睛：给出 S n 与 a n 的递推关系，求 a n ，常用思路是：一是利用 转化为 a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 S n 的递推关系，先求出 S n 与 n 之间的关系，再求 a n .
5、 （ 1 ） ；（ 2 ） ；（ 3 ）证明见解析 .
【分析】
（ 1 ）求出函数的导数，解关于 的不等式，求出函数的单调区间，即可得到函数的最小值；
（ 2 ）求出函数的导数，根据不等式 恒成立，分 和 两种情况求出 的范围；
（ 3 ）要证 ，只需证 成立，然后构造函数 ，证明 即可．
【详解】
解：（ 1 ）当 时， ，所以
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以当 时， ；当 时，
所以
（ 2 ）由条件得 ，令 ，则 .
① 当 时，在 上， ， 单调递增
∴ ，即 ，
∴ 在 上为增函数， ∴ ， ∴ 时满足条件 .
② 当 时，令
解得 ，在 上， ， 单调递减，
∴ 当 时，有 ，即 ，
在 上为减函数， ∴ ，不合题意 .
综上实数 的取值范围为 .
（ 3 ）由（ 2 ）得，当 ， 时， ，即 ，
要证不等式 ，只需证明 ，只需证明
，
只需证 ，
设 ，则 ，
∴ 当 时， 恒成立，故 在 上单调递增，
又 ， ∴ 恒成立 .
∴ 原不等式成立 .
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极 ( 最 ) 值问题处理．
6、 （ 1 ） ； （ 2 ） .
【分析】
（ 1 ） 化为 ，由余弦定理可得 ，从而可得结果；（ 2 ）由余弦定理求得 ，再由正弦定理求得 ，根据二倍角的正弦、余弦公式，结合两角差的正弦公式可得结果 .
【详解】
（ 1 ）由已知，得： ，
由余弦定理，得： ， ，
即 ，又 , 所以 .
（ 2 ）
，
又 ，
，
, ，
.
【点睛】
本题主要考查正弦定理余弦定理的应用以及二倍角公式的应用，属于中档题 . 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
7、 (Ⅰ) ； (Ⅱ) .
【分析】
(Ⅰ) 首先化简三角函数式，由化简的三角函数式得到函数的单调增区间，然后与 进行交集运算可得函数的单调增区间；
(Ⅱ) 首先化简 求得 ∠ A 的大小，然后利用面积公式确定 的值，最后由基本不等式可得 的最小值 .
【详解】
(Ⅰ)
，
由 可得： .
设 ，
则 ，故 在 上的单调递增区间为 .
(Ⅱ) 由 可得： ，
化简可得： ，又 ，解得： .
由题意可得： ，解得： .
，当且仅当 时等号成立 .
故 的最小值为 .
【点睛】
本题主要考查三角函数式的化简，三角函数单调区间的求解，基本不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .
8、 （ 1 ）证明见解析；（ 2 ） ；（ 3 ） .
【分析】
（ 1 ）利用中位线的性质得出 ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（ 2 ）以点 为坐标原点， 、 、 的方向分别为 、 、 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线 与平面 所成角的正弦值；
（ 3 ）利用空间向量法可求得二面角 的余弦值 .
【详解】
（ 1 ） 、 为 、 中点，所以， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ；
（ 2 ） 平面 ，四边形 为正方形，
以点 为坐标原点， 、 、 的方向分别为 、 、 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
不妨设 ，则 ， 、 、 、 、 、 、 ， ，
设平面 法向量为 ， ， ，
由 ，得 ，取 ，可得 ，
，
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
（ 3 ）由题知 为平面 的一个法向量，
，
又二面角 为锐二面角，所以，二面角 的余弦值为 .
9、 （ 1 ） ； ；（ 2 ） ；（ 3 ） .
【分析】
（ 1 ）假设公差 和公比 ，由等差和等比数列通项与求和公式可构造方程求得 ，由等差和等比通项公式可求得结果；
（ 2 ）由（ 1 ）可得 ，利用错位相减法可求得结果；
（ 3 ）由（ 1 ）可得 ，利用分组求和的方法，结合等比数列求和公式和裂项相消法可求得结果 .
【详解】
（ 1 ）设等差数列 的公差为 ，等比数列 公比为 ，
，解得： ，
； ；
（ 2 ）由（ 1 ）得： ，
，
，
两式作差得： ，
.
（ 3 ）由（ 1 ）得： ，
则 .
【点睛】
方法点睛：当数列通项公式满足等差 等比的形式时，采用错位相减法求解数列的前 项和，具体步骤如下：
① 列出 的形式；
② 左右两侧同乘通项中的等比部分的公比 ，得到 ；
③ 上下两式作差得到 ，结合等比数列求和公式可整理等式右侧的部分；
④ 整理所得式子求得 .
10、 （ 1 ） ；（ 2 ） ；（ 3 ）见解析 .
【详解】
试题分析：（ 1 ）当 a=1 ， ，求导得 ，代入 x=1, 求得切点和斜率，用点斜率式可求得切线方程．（ 2 ） ， x>0, 要使的函数 f(x) 单调，所以 恒成立，分离参数得 ，只需求右边函数在 x>0 上的最大值．（ 3 ） ，函数 f(x) 有两个极值点，可知 是 的两根，且是正数根，所以 ，解得 ，另 ， >0, 所以 ． ，又由于 及 ，即证．
试题解析：（ 1 ）当 得 ，求导得 ， , 切线方程为
（ 2 ） 依题意有 或 在 上恒成立，即 或 在 上恒成立，显然 不可能恒成立，
（ 3 ）由 得 ，即 是 的两根，
， ，
令 ， ， ，
所以 在 时单调递增
所以 ，所以 在 时单调递减，
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