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试卷主标题
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共8题）
1、 若向量 ，则 的坐标为（ ）
A ．（ 2 ， 3 ） B ．（ 0 ， 3 ）
C ．（ 0 ， 1 ） D ．（ 3 ， 5 ）
2、 用力 推动一物体水平运动 ，设 与水平面的夹角为 ，则对物体所做的功为（ ）
A ． B ． C ． D ．
3、 若 ，则 （ ）
A ． B ． C ． D ．
4、 哥德巴赫猜想是 “ 每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数 ( 素数指大于 1 的自然数中，除了 1 和它本身以外不再有其他因数的自然数 ) 的和 ” ，如 18=7+11 ，在不超过 16 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 16 的概率是（ ）
A ． B ． C ． D ．
5、 如图， 中， ， ， 分别是 的三等分点，若 ，则 （ ）
A ． B ． 2 C ． 3 D ． 6
6、 已知平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则 的值为（ ）
A ． B ． C ． D ．
7、 如图，正方体 的棱长为 2 ， 、 、 分别为 、 、 的中点，则（ ）
A ． 平面
B ．三棱锥 的体积为 2
C ．异面直线 与 所成角的正切值为 3
D ．点 到平面 的距离是点 到平面 的距离的 3 倍
8、 设 ， ， 为复数， . 下列命题中正确的是（ ）
A ．若 ，则 B ．若 ，则
C ．若 ，则 D ．若 ，则
二、填空题（共4题）
1、 若 m 、 n 是两条不重合的直线， 为两个不重合的平面，给出下列命题：
① 若 ，则 ； ② 若 ，则 ；
③ 若 ，则 ； ④ 若 ，则 ．
上面命题中，真命题的序号是 ________ ．（写出所有真命题的序号）．
2、 在 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，若 ， ，则 _________ ．
3、 已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角的余弦值为 ___________.
4、 一个数字不重复的三位数的百位、十位、个位上的数字依次记为 ， ， ，当且仅当 ， ， 中有两个不同数字的和等于剩下的一个数字时，称这个三位数为 “ 有缘数 ” （如 213 ， 341 等）．现从 1 ， 2 ， 3 ， 4 这四个数字中任取三个数组成一个数字不重复的三位数，则这个三位数为 “ 有缘数 ” 的概率是 ______ ．
三、解答题（共4题）
1、 如图所示，圆台母线 长为 ，上、下底面半径分别为 和 ，从母线 的中点 M 拉条绳子绕圆台侧面转到 B 点，求这条绳长的最小值．
2、 如图，已知 平面 ， ， ， ， ， ，点 分别是 的中点．
（ 1 ）求证： 平面 ；
（ 2 ）求直线 与平面 所成角的大小．
3、 斜三棱柱 中，侧面 的面积为 S ，且它与侧棱 的距离为 h ，求此三棱柱的体积 .
4、 求函数 的最小值，以及 y 取最小值时的 x 的值 . 设想，把原函数改为 ，能够形成怎样的问题？如何求解？
============参考答案============
一、选择题
1、 B
【分析】
直接根据向量加法的坐标运算法则计算可得；
【详解】
解：因为 ，所以
故选： B
2、 D
【分析】
直接用向量的数量积即可求得 .
【详解】
力 对物体所做的功为 .
故选： D.
3、 B
【分析】
根据因为 ，利用复数的除法化简求解 .
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 ，
故选： B
4、 B
【分析】
确定不超过 16 的素数，写出任取 2 上的基本事件，同时得出和为 16 的基本事件，由概率公式计算概率．
【详解】
不超过 16 的素数有 2 、 3 、 5 、 7 、 11 、 13 ，满足 “ 和 ” 等于 16 的有 (3 ， 13) 、 (5 ， 11) 共有 2 组，
总的有 (2 ， 3) 、 (2 ， 5) 、 (2 ， 7) 、 (2 ， 11) 、 (2 ， 13) 、 (3 ， 5) 、 (3 ， 7) 、 (3 ， 11) 、 (3 ， 13) 、 (5 ， 7) 、 (5 ， 11) 、 (5 ， 13) 、 (7 ， 11) 、 (7 ， 13) 、 (11 ， 13) ，
所以 ，
故选： B ．
5、 D
【分析】
以 为基底，表示出 ，根据数量积公式代入数据化简即可 .
【详解】
由题意得，
，所以 .
所以
，
故选 :D
6、 B
【分析】
先求出 ，由平面向量的数量积可求得 ，计算 的值，再开方即可求解 .
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
，
所以 ，
故选： B.
7、 AC
【分析】
作出完整的截面 ，证明 得线面平行，判断 A ；用换顶点法求棱锥体积判断 B ，证明异面直线 与 所成的角为 或其补角，在梯形 中求出 的正切值判断 C ；利用 与 的交点间距离的比值可得 到平面 的距离比，从而判断 D ．
【详解】
连接 ，连接 ，因为 所在棱中点，因此 ，
又正方体中易得 ，所以 ，因此平面 即为截面 ，
是 中点，则 与 、 平行且相等， 是平行四边形， ，
平面 ， 平面 ，因此有 平面 ， A 正确；
， ， B 错；
由 ，因此异面直线 与 所成的角为 或其补角，
在梯形 中， ， ， ，它是等腰梯形，
所以 ， C 正确；
如图，在矩形 中， ， 是 中点得， ，所以 到平面 的距离等于 到平面 距离的 2 倍， D 错．
故选： AC ．
8、 BC
【分析】
对于 A ：取特殊值 判断 A 不成立；
对于 B 、 C 、 D ：直接利用复数的四则运算计算可得 .
【详解】
对于 A ：取 ，满足 ，但是 不成立，故 A 错误；
对于 B ：当 时 , 有 ，又 ，所以 , 故 B 正确 ;
对于 C ：当 时 , 则 , 所以 , 故 C 正确 ;
对于 D ：当 时 , 则 , 可得 .
因为 ，所以 . 故 D 错误
故选： BC
二、填空题
1、 ③④ ．
【分析】
根据线面平行和垂直的判断和性质依次分析即可得出 .
【详解】
解：对于 ① ，若 ，则 或 ，故选项 ① 错误；
对于 ② ，若 ，则 α 与 β 平行或相交，如图所示，故选项 ② 错误；
对于 ③ ，若 ，根据两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面，故 ，故选项 ③ 正确；
对于 ④ ，若 ，直线 m ， n 的方向向量即为平面 的法向量，因为 ，则两个平面的法向量垂直，故 ，故选项 ④ 正确．
所以真命题的是 ③④.
故答案为： ③④ ．
2、 2
【分析】
根据题意，结合余弦定理得 ，再根据正弦定理边角互化即可得答案 .
【详解】
解：根据题意， ，及
所以得 ，解得 ，
故
故答案为：
3、
【分析】
由 ，得到 ，再由 ，求得 ， ，再由夹角公式求解 .
【详解】
因为 ，
所以 ，即 ，
又 ，
所以 ，
，
所以 ，
故答案为：
4、 ．
【分析】
求出任意三位数的个数，再确定两个数字和等于第三个的 3 个数的数组，从而求得 “ 有缘数 ” 的个数，然后可计算出概率．
【详解】
从 1 ， 2 ， 3 ， 4 这四个数字中任取三个数组成一个数字不重复的三位数的个数为 ，
1 ， 2 ， 3 ， 4 这四个数字中两个的和等于第三个的有 123 ， 134 ，因此 “ 有缘数 ” 个数为 ，
所示概率为 ．
故答案为： ．
三、解答题
1、 ．
【分析】
作出圆台的侧面展开图，根据 与 相似，得到 ，设 ，求得 的长度 为所在圆周长的 ，得到 ，结合勾股定理，即可求解 .
【详解】
作出圆台的侧面展开图，如图所示，
由轴截面中 与 相似，得 ，可求得 ．
设 ，由于 的长与底面圆 Q 的周长相等，而底面圆 Q 的周长为 , 扇形 的半径为 ，
扇形 所在圆的周长为 ．
所以 的长度 为所在圆周长的 ，所以 ．
所以在 中， ，
所以 ，即所求绳长的最小值为 ．
2、 （ 1 ）证明见解析；（ 2 ） 30°.
【分析】
推导出 ，从而 ⊥ 平面 ，进而 ⊥ ，由此能证明 ⊥ 平面 ；
(2 ) 取 中点 和 中点 ，连接 ， ， ，推导出四边形 是平行四边形，从而 , 进而 ⊥ 平面 , 即为直线 与平面 所成角，最后根据已知条件求出来即可 .
【详解】
( 1 ) 证明： ∵ AB = AC ， E 为 BC 中点， ∴ AE ⊥ BC
∵ ⊥ 平面 ABC ， //
∴ ⊥ 平面 ABC
∴ ⊥ AE
又 ∵ BC ∩ = B
∴ AE ⊥ 平面
如图， 取 中点 和 中点 ，连接 ， ，
∵ N 和 E 分别为 和 BC 的中点， ，
∴
∴ 四边形 是平行四边形
∴
又 ∵ ⊥ 平面
∴ ⊥ 平面
∴ 即为直线 与平面 所成角，
在 中，可得 = 2
∴ = = 2
∵
∴ 且
又由
∴
在 中，
在 中，
∴ , 即直线 与平面 所成角的大小为
3、
【分析】
解法一：以侧面 为公共面补上一个三棱柱 ，使两个三棱柱拼成一个平行六面体 ，然后以 为底面求解；
解法二：连接 、 ，则截面 将此三棱柱分割成一个三棱锥 和一个四棱锥 求解 .
【详解】
解法一：如图所示：
以侧面 为公共面补上一个三棱柱 ，使两个三棱柱拼成一个平行六面体 ，
以 为底面，则 到平面 的距离即为平行六面体的高 .
，故 .
解法二：如图所示：
连接 、 ，则截面 将此三棱柱分割成一个三棱锥 和一个四棱锥 .
，又 平面 ，
.
故 .
4、 答案见解析
【分析】
设向量 ， ，对函数进行变形，然后通过构造向量的模求解，即变形后构造为向量模的和 ，从而根据向量模的性质求最值 .
【详解】
可化为 .
设向量 ， ，
当且仅当 与 共线且同向时等号成立 .
∴ ，解得 .
∴ 函数的最小值是 ，此时 .
把原函数改为 后，可求此函数的最大值 .
，设 ， .
则 .
当且仅当 与 共线且同向时等号成立，即 ，即 ，
所以函数的最大值为 ，此时 .
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