甘肃省2021-2022学年高一上学期10月月考数学试题含解析.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共12题）
1、 设集合 ， . 则 （ ）
A ． B ． C ． D ．
2、 “ ” 是 “ ” 的（    ）
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分且必要条件 D ．既不充分也不必要条件
3、 设实数 、 满足 ， ，则 的取值范围是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
4、 已知 ， ，且 ， ， ，那么 的最大值为（ ）
A ． B ． C ． 1 D ． 2
5、 已知集合 的所有非空真子集的元素之和等于 ，则 （ ）
A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 6
6、 下列命题中真命题有（ ）
① ； ② q ：所有的正方形都是矩形；
③ ； ④ s ：至少有一个实数 x ，使 .
A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个
7、 集合 ， 则下列关系正确的是（ ）
A ． B ．
C ． D ． Ü
8、 对于集合 M ， N ，定义 ，且 ， ，设 ， ，则 （ ）
A ． B ．
C ． D ．
9、 已知 且 ，则下列不等式正确的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
10、 下列结论正确的是（　　）
A ． “ x 2 ＞ 1” 是 “ x ＞ 1” 的充分不必要条件
B ．设 M ⫋ N ，则 “ x ∉ M ” 是 “ x ∉ N ” 的必要不充分条件
C ． “ a ， b 都是偶数 ” 是 “ a + b 是偶数 ” 的充分不必要条件
D ． “ a ＞ 1 且 b ＞ 1” 是 “ a + b ＞ 2 且 ab ＞ 1” 的充分必要条件
11、 两个函数 与 （ 为常数）的图像有两个交点且横坐标分别为 ， ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A ． 的取值范围是
B ．若 ，则 ，
C ．当 时，
D ．二次函数 的图象与 轴交点的坐标为 和
12、 下列命题中真命题有（ ）
A ．若 ，则 的最大值为 2 B ．当 ， 时，
C ． 的最小值 5 D ．当且仅当 a ， b 均为正数时， 恒成立
二、填空题（共4题）
1、 已知命题 ，则 为 ________________ ．
2、 已知 ，则 的最大值为 ________ ．
3、 若集合 ， ， ，若 ，则 ______ ．
4、 已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围为 ______.
三、解答题（共6题）
1、 （ 1 ）比较 与 的大小．
（ 2 ）正实数 ， 满足： ，求 的最小值．
2、 已知命题 p : 方程 有两个不等的负根；命题 q : 方程 无实根 .
（ 1 ）若 为真命题，求 m 的取值范围；
（ 2 ）若 p ， q 两命题一真一假，求 m 的取值范围；
3、 已知函数 ．
（ 1 ）求函数 的最小值；
（ 2 ）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
4、 设函数 自变量的取值范围为集合 ，集合 ．
（ 1 ）若全集 ， ，求 ；
（ 2 ）若 是 的充分条件，求 的取值范围．
5、
已知集合 ，问
（ 1 ）若集合 A 中至多有一个元素，求 的取值范围；
（ 2 ）若集合 A 中至少有一个元素，求 的取值范围．
6、 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为 3 米，底面积为 12 平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米 400 元，左右两面新建墙体报价为每平方米 150 元，屋顶和地面以及其他报价共计 7200 元．设屋子的左右两侧墙的长度均为 x 米（ ）．
（ 1 ）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
（ 2 ）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为 元 ，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功，试求 a 的取值范围．

============参考答案============
一、选择题
1、 C
【分析】
利用补集和交集的定义直接求解 .
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
故选： C.
2、 A
【分析】
直接按充分必要条件的定义进行讨论 .
【详解】
充分性：因为 ，代入 成立，所以充分性满足；
必要性：由 可解得： 或 ，所以必要性不满足 .
故选： A
3、 B
【分析】
利用不等式的基本性质可求得 的取值范围 .
【详解】
由已知得， ， ，故 ，
故选： B.
4、 C
【分析】
根据题意，由基本不等式的性质可得 ，即可得答案 .
【详解】
根据题意， ， ， ，
则 ，当且仅当 时等号成立，
即 的最大值为 1.
故选：
5、 C
【分析】
写出集合 的所有非空真子集，然后相加即可得出答案 .
【详解】
解：集合 的所有非空真子集为：
，
则所有非空真子集的元素之和为：
，
所以 .
故选： C.
6、 B
【分析】
根据题意，依次判断即可得答案 .
【详解】
，故 ① 是真命题； ，故 ③ 是假命题；易知 ② 是真命题， ④ 是假命题．
故选： B
7、 C
【分析】
将两个集合化简后比较分子的关系可得两个集合的关系 .
【详解】
因为 ，
表示整数， 表示奇数，
故 ，故选项 A 、 B 、 D 错误，选项 C 正确，
故选： C.
8、 C
【分析】
根据题中集合新定义的特性结合集合的基本运算可求解出结果 .
【详解】

集合 ， ，
则 ， ，
由定义可得： ，
，且 ， ，
故 A 选项 ABD 错误，选项 C 正确 .
故选 :C ．
9、 AD
【分析】
由不等式的性质即可判断 .
【详解】
由不等式的性质容易判断 AD 正确；
对 B ，若 b =0 ，不等式不成立，错误；
对 C ，若 c =0 ，不等式不成立，错误 .
故选： AD.
10、 BC
【分析】
根据不等式的性质可判断 A 和 D ；由集合之间的包含关系可判断 B ；由数的奇偶性可判断 C ．
【详解】
对于选项 A ： ， ，所以 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件，故 A 错误；
对于选项 B ：由 Ü 得 Ü ，则 ， ，所以 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件，故 B 正确；
对于选项 C ：由 “ ， 都是偶数 ” 可以得到 “ 是偶数 ” ，但是当 “ 是偶数 ” 时， ， 可能都是奇数，所以 “ ， 都是偶数 ” 是 “ 是偶数 ” 的充分不必要条件，故 C 正确；
对于选项 D ： “ ，且 ” “ 且 ” ，而由 “ 且 ” “ ，且 ” ，比如 ， . 所以 “ ，且 ” 是 “ 且 ” 的充分不必要条件，故 D 错误 .
故选： BC ．
11、 ABD
【分析】
根据二次函数的最值问题，判断 A 选项正确；根据方程的解，判断 B 选项正确；当 时，举反例，判断 C 选项错误；根据二次函数的定义判断 D 选项正确 .
【详解】
解：因为 ，所以两个函数 与 （ 为常数）的图象有两个交点，则 的取值范围是 ，所以 A 选项正确；
当 时，则 ，此时 ， ，所以 B 选项正确；
当 时，则 ，此时 ， ，所以 C 选项错误；
函数 与 （ 为常数）的图像有两个交点且横坐标分别为 ， ， ，则 ，所以二次函数 的图象与 轴交点的坐标为 和 ，所以 D 选项正确 .
故选： ABD
【点睛】
本题考查二次函数的定义、二次函数的最值，还考查了转化的数学思想，是基础题
12、 AB
【分析】
选项 A,B 利用基本不等式可判断；选项 C 取 可判断；选项 D 中取 可判断 .
【详解】
对于 A ，因为 ，故 ，当且仅当 时等号成立，
又 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，故 的最大值为 2 ，故 A 正确 .
对于 B ， ，
当且仅当 时第一个等号成立，当且仅当 时第二个等号成立，
即当且仅当 时等号成立，故 B 正确 .
对于 C ，当 时， ，故 C 错误 .
对于 D ，取 ，此时 ，故 D 错误 .
故选： AB ．
二、填空题
1、
【分析】
根据全称量词命题的否定的知识填写出正确结论 .
【详解】
原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论，所以 .
故答案为：
2、 1
【分析】
直接利用基本不等式求最大值 .
【详解】
，则 ，
当且仅当 即 时取等号．
故答案为：
3、 2
【分析】
由题意先求出直线 和 的交点坐标，再将交点坐标代入 可求出 的值
【详解】
由 ，解得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，得 ，
故答案为： 2
4、
【分析】
利用元素与集合的关系知 满足不等式 ，代入计算即得结果 .
【详解】
若 ，则 不满足不等式 ，即 满足不等式 ，故代入 ，有 ，得 ．
故答案为： ．
三、解答题
1、 （ 1 ） ；（ 2 ） 9 ．
【分析】
（ 1 ）利用作差法即可比较大小；
（ 2 ） ，结合基本不等式即可得出答案 .
【详解】
解：（ 1 ） ，
当且仅当 ， 时取等，
所以 ．
（ 2 ） ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 9.
2、 （ 1 ） ；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）根据判别式与韦达定理求解即可；
（ 2 ）首先求出当 两个命题是真命题时， 的取值范围，再根据 两命题中一真一假，列不等式求 的取值范围 .
【详解】
（ 1 ） 若方程 有两个不等的负根，则 ，
解得： ，故 m 的取值范围为
（ 2 ） 若方程无实根，则 ，解得： ，
当 真 假时， ，解得： ；
当 假 真时， ，解得： ，
综上可知： 的取值范围是 或 .
故 m 的取值范围为
【点睛】
本题考查根据命题的真假求参数的取值范围，重点考查根据一元二次方程实数根求参数的取值范围，属于基础题型 .
3、 （ 1 ） 9 ；（ 2 ） ．
【分析】
（ 1 ）变形 ，利用基本不等式即可得最小值；
（ 2 ）将问题转化为 即可得出答案 .
【详解】
解：（ 1 ） ∵ ， ∴ ，
，
当且仅当 ，即 时上式取得等号．
又 ∵ ， ∴ ，
∴ 当 时，函数 的最小值是 9 ．
（ 2 ）由（ 1 ）知，当 时， 的最小值是 9 ，
要使不等式 恒成立，只需 ，解得 ．
故实数 的取值范围是 ．
4、 （ 1 ） 或 ；（ 2 ） ．
【分析】
（ 1 ）求出集合 A ， B ，进而可得 ；
（ 2 ）根据条件可得 ，分 ， 讨论，列不等式求解即可 .
【详解】
解：（ 1 ）要使函数 有意义，则 ，即 ，
所以函数的定义域为 ．
所以集合 ．
又 ， ∴ ，
因为全集 ，
∴ 或
或 ；
（ 2 ）由（ 1 ）得 ，若 是 的充分条件，即 ，
① 当 时， ，即 ， ∴ ，
② 当 时， ， ，
综上所述： 的取值范围为 ．
5、 （ 1 ） ；
（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）对 分类讨论：当 时，直接验证是否满足题意；当 时， A 中至多有一个元素，即 ，解出 的范围即可 .
（ 2 ）对 分类讨论：当 时，直接验证是否满足题意；当 时， A 中至少有一个元素，即 ，解出 的范围即可 .
【详解】
（ 1 ）当 时，由 ，解得 ，满足题意，因此 ；
当 时， 中至多有一个元素，
, 解得 .
故综上可得： 的取值范围是 .
（ 2 ）当 时，由 ，解得 ，满足题意，因此 ；
当 时， 中至少有一个元素，
, 解得 .
故综上可得： 的取值范围是 .
6、 （ 1 ） 时，甲工程队报价最低；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）设甲工程队报价为 元，进而根据题意得 ，再结合基本不等式求解即可；
（ 2 ）由题知 对任意的 恒成立，进而 对任意的 恒成立，再结合基本不等式求解即可 .
【详解】
解：（ 1 ）因为屋子的左右两侧墙的长度均为 米（ ），底面积为 12 平方米，
所以屋子的前面墙的长度均为 米（ ），
设甲工程队报价为 元，
所以 （元），
因为 ，
当且仅当 ，即 是时等号成立，
所以当左右两面墙的长度为 米时，甲工程队报价最低为 元 .
（ 2 ）根据题意可知 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立，
所以 对任意的 恒成立，
因为 ， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 .
故当 时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功 .