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试卷主标题
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共8题）
1、 的绝对值是（ ）
A ． B ． C ． D ． 2021
2、 计算： 的结果是（ ）
A ． B ． C ． D ．
3、 北京 2022 年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
4、 如图是由 4 个小正方形体组合成的几何体，该几何体的主视图是（ ）
A． B ．
5、 2020 年 12 月 30 日盐城至南通高速铁路开通运营，盐通高铁总投资约 2628000 万元，将数据 2628000 用科学记数法表示为（ ）
A ． B ． C ． D ．
6、 将一副三角板按如图方式重叠，则 的度数为（ ）
A ． B ． C ． D ．
7、 若 是一元二次方程 的两个根，则 的值是（ ）
A ． 2 B ． -2 C ． 3 D ． -3
8、 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在 的两边 、 上分别在取 ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 、 重合，这时过角尺顶点 的射线 就是 的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ）
A ． B ． C ． D ．
二、解答题（共11题）
1、 计算： ．
2、 解不等式组：
3、 先化简，再求值： ，其中 ．
4、 已知抛物线 经过点 和 ．
（ 1 ）求 、 的值；
（ 2 ）将该抛物线向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
5、 如图，点 是数轴上表示实数 的点．
（ 1 ）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的 的点 ；（保留作图痕迹，不写作法）
（ 2 ）利用数轴比较 和 的大小，并说明理由．
6、 圆周率 是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对 有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出 的小数部分超过 31.4 万亿位．有学者发现，随着 小数部分位数的增加， 0~9 这 10 个数字出现的频率趋于稳定，接近相同．
（ 1 ）从 的小数部分随机取出一个数字，估计数字是 6 的概率为 ________ ；
（ 2 ）某校进行校园文化建设，拟从以上 4 位科学家的画像中随机选用 2 幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解）
7、 如图， 、 、 分别是 各边的中点，连接 、 、 ．
（ 1 ）求证：四边形 为平行四边形；
（ 2 ）加上条件 后，能使得四边形 为菱形，请从 ① ； ② 平分 ； ③ ，这三个条件中选择条件填空（写序号），并加以证明．
8、 如图， 为线段 上一点，以 为圆心 长为半径的 ⊙ O 交 于点 ，点 在 ⊙ O 上，连接 ，满足 ．
（ 1 ）求证： 是 ⊙ O 的切线；
（ 2 ）若 ，求 的值．
9、 某种落地灯如图 1 所示， 为立杆，其高为 ； 为支杆，它可绕点 旋转，其中 长为 ； 为悬杆，滑动悬杆可调节 的长度．支杆 与悬杆 之间的夹角 为 ．
（ 1 ）如图 2 ，当支杆 与地面垂直，且 的长为 时，求灯泡悬挂点 距离地面的高度；
（ 2 ）在图 2 所示的状态下，将支杆 绕点 顺时针旋转 ，同时调节 的长（如图 3 ），此时测得灯泡悬挂点 到地面的距离为 ，求 的长．（结果精确到 ，参考数据： ， ， ， ， ， ）
10、 为了防控新冠疫情，某地区积极推广疫苗接种工作，卫生防疫部门对该地区八周以来的相关数据进行收集整理，绘制得到如下图表：
该地区每周接种疫苗人数统计表
周次
第 1 周
第 2 周
第 3 周
第 4 周
第 5 周
第 6 周
第 7 周
第 8 周
接种人数（万人）
7
10
12
18
25
29
37
42
该地区全民接种疫苗情况扇形统计图
A ：建议接种疫苗已接种人群
B ：建议接种疫苗尚未接种人群
C ：暂不建议接种疫苗人群
根据统计表中的数据，建立以周次为横坐标，接种人数为纵坐标的平面直角坐标系，并根据以上统计表中的数据描出对应的点，发现从第 3 周开始这些点大致分布在一条直线附近，现过其中两点 、 作一条直线（如图所示，该直线的函数表达式为 ），那么这条直线可近似反映该地区接种人数的变化趋势．
请根据以上信息，解答下列问题：
（ 1 ）这八周中每周接种人数的平均数为 ________ 万人：该地区的总人口约为 ________ 万人；
（ 2 ）若从第 9 周开始，每周的接种人数仍符合上述变化趋势．
① 估计第 9 周的接种人数约为 ________ 万人；
② 专家表示：疫苗接种率至少达 60% ，才能实现全民免疫．那么，从推广疫苗接种工作开始，最早到第几周，该地区可达到实现全民免疫的标准？
（ 3 ）实际上，受疫苗供应等客观因素，从第 9 周开始接种人数将会逐周减少 万人，为了尽快提高接种率，一旦周接种人数低于 20 万人时，卫生防疫部门将会采取措施，使得之后每周的接种能力一直维持在 20 万人．如果 ，那么该地区的建议接种人群最早将于第几周全部完成接种？
11、 学习了图形的旋转之后，小明知道，将点 绕着某定点 顺时针旋转一定的角度 ，能得到一个新的点 ．经过进一步探究，小明发现，当上述点 在某函数图像上运动时，点 也随之运动，并且点 的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点 的坐标和角度 的大小来解决相关问题．
（初步感知）
如图 1 ，设 ， ，点 是一次函数 图像上的动点，已知该一次函数的图像经过点 ．
（ 1 ）点 旋转后，得到的点 的坐标为 ________ ；
（ 2 ）若点 的运动轨迹经过点 ，求原一次函数的表达式．
（深入感悟）
（ 3 ）如图 2 ，设 ， ，点 反比例函数 的图像上的动点，过点 作二、四象限角平分线的垂线，垂足为 ，求 的面积．
（灵活运用）
（ 4 ）如图 3 ，设 A ， ，点 是二次函数 图像上的动点，已知点 、 ，试探究 的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．
三、填空题（共8题）
1、 一组数据 2 ， 0 ， 2 ， 1 ， 6 的众数为 ________ ．
2、 分解因式： a 2 +2 a +1 ＝ _____ ．
3、 若一个多边形的每一个外角都等于 40° ，则这个多边形的边数是 _____ ．
4、 如图，在 ⊙ O 内接四边形 中，若 ，则 ________ ．
5、 如图，在 Rt 中， 为斜边 上的中线，若 ，则 ________ ．
6、 一圆锥的底面半径为 2 ，母线长为 3 ，则这个圆锥的侧面积为 _______ ．
7、 劳动教育己纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从 300 千克增加到 363 千克．设平均每年增产的百分率为 ，则可列方程为 ________ ．
8、 如图，在矩形 中， ， ， 、 分别是边 、 上一点， ，将 沿 翻折得 ，连接 ，当 ________ 时， 是以 为腰的等腰三角形．
============参考答案============
一、选择题
1、 D
【分析】
根据绝对值的意义进行计算，再进行判断即可
【详解】
解： 的绝对值是 2021 ；
故选： D
【点睛】
本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键
2、 A
【分析】
利用同底幂乘法的运算法则计算可得
【详解】
故选： A
【点睛】
本题考查同底幂的乘法，同底幂的乘法法则和乘方的运算法则容易混淆，需要注意
3、 D
【分析】
根据轴对称图形的定义判断即可
【详解】
A , B , C 都不是轴对称图形，故不符合题意；
D 是轴对称图形，
故选 D.
【点睛】
本题考查了轴对称图形的定义，准确理解定义是解题的关键．
4、 A
【分析】
根据从正面看得到的是主视图，由此可得答案．
【详解】
解：观察图形可知，该几何体的主视图是 ．
故选： A ．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的是主视图．
5、 B
【分析】
将小数点点在最左边第一个非零数字的后面确定 a ，数出整数的整数位数，减去 1 确定 n ，写成 即可
【详解】
∵2628000= ，
故选 B ．
【点睛】
本题考查了绝对值大于 10 的大数的科学记数法，将小数点点在最左边第一个非零数字的后面确定 a ，数出整数的整数位数，减去 1 确定 n ，是解题的关键．
6、 C
【分析】
直接利用一副三角板的内角度数，再结合三角形外角的性质得出答案．
【详解】
解：如图所示：
由题意可得， ∠2 ＝ 30° ， ∠3 ＝ 45°
则 ∠1 ＝ ∠2+∠3 ＝ 45°+30° ＝ 75° ．
故选： C ．
【点睛】
此题主要考查了三角形的外角以及三角尺的特征，正确利用三角形外角的性质是解题关键．
7、 A
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【详解】
解： ∵ 是一元二次方程 的两个根，
∴ =2 ．
故选： A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基本题目，熟练掌握该知识是解题的关键．
8、 D
【分析】
根据全等三角形的判定条件判断即可．
【详解】
解：由题意可知
在 中
∴ ( SSS )
∴
∴ 就是 的平分线
故选： D
【点睛】
本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键．
二、解答题
1、 2 ．
【分析】
根据负整数指数幂、 0 指数幂的运算法则及算术平方根的定义计算即可得答案．
【详解】
．
【点睛】
本题考查实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、 0 指数幂的运算法则及算术平方根的定义是解题关键．
2、
【分析】
解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再找到解集的公共部分．
【详解】
解：解不等式 ① 得：
解不等式 ② 得：
在数轴上表示不等式 ① 、 ② 的解集（如图）
∴ 不等式组的解集为 ．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，熟练解一元一次不等式是解题的关键，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．
3、 ， 3
【分析】
先通分，再约分，将分式化成最简分式，再代入数值即可．
【详解】
解：原式
．
∵
∴ 原式 ．
【点睛】
本题考查分式的化简求值、分式的通分、约分，正确的因式分解将分式化简成最简分式是关键．
4、 （ 1 ） ， ；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）将点 和 ，代入解析式求解即可；
（ 2 ）将 ，按题目要求平移即可．
【详解】
（ 1 ）将点 和 代入抛物线 得：
解得：
∴ ，
（ 2 ） 原函数的表达式为 : ，
向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，得：
平移后的新函数表达式为 :
即
【点睛】
本题考查了待定系数法确定解析式，顶点式的函数平移，口诀： “ 左加右减，上加下减 ” ，正确的计算和牢记口诀是解题的关键．
5、 （ 1 ）见解析；（ 2 ） ，见解析
【分析】
（ 1 ）利用勾股定理构造直角三角形得出斜边为 ，再利用圆规画圆弧即可得到点 ．
（ 2 ）在数轴上比较，越靠右边的数越大．
【详解】
解：（ 1 ）如图所示，点 即为所求．
（ 2 ）如图所示，点 在点 的右侧，所以
【点睛】
本题考查无理数与数轴上一一对应的关系、勾股定理、尺规作图法、熟练掌握无理数在数轴上的表示是关键．
6、 （ 1 ） ；（ 2 ）见解析，
【分析】
(1) 这个事件中有 10 种等可能性 , 其中是 6 的有一种可能性 , 根据概率公式计算即可 ;
(2) 画出树状图计算即可 .
【详解】
（ 1 ） ∵ 这个事件中有 10 种等可能性 , 其中是 6 的有一种可能性 ,
∴ 数字是 6 的概率为 ,
故答案为： ；
（ 2 ）解：画树状图如图所示：
∵ 共有 12 种等可能的结果，其中有一幅是祖冲之的画像有 6 种情况．
∴ （其中有一幅是祖冲之） ．
【点睛】
本题考查了概率公式计算，画树状图或列表法计算概率，熟练掌握概率计算公式，准确画出树状图或列表是解题的关键．
7、 （ 1 ）见解析；（ 2 ） ② 或 ③ ，见解析
【分析】
（ 1 ）先证明 ，根据平行的传递性证明 ，即可证明四边形 为平行四边形．
（ 2 ）选 ② 平分 ，先证明 ，由四边形 是平行四边形 ，得出 ，即可证明平行四边形 是菱形．选 ③ ，由 且 ， 得出 ，即可证明平行四边形 是菱形．
【详解】
（ 1 ）证明：已知 、 是 、 中点
∴
又 ∵ 、 是 、 的中点
∴
∵
∴
∴ 四边形 为平行四边形
（ 2 ）证明：选 ② 平分
∵ 平分
∴
又 ∵ 平行四边形
∴
∴
∴
∴ 平行四边形 是菱形
选 ③
∵ 且
且
又 ∵
∴
∴ 平行四边形 为菱形
故答案为： ② 或 ③
【点睛】
本题考查菱形的判定、平行四边形的性质及判定，熟练进行角的转换是关键，熟悉菱形的判定是重点．
8、 （ 1 ）见解析；（ 2 ）
【分析】
(1) 连接 ，把 转化为比例式，利用三角形相似证明 即可；
(2) 利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可．
【详解】
（ 1 ）证明：连接
∵
∴ ，
又 ∵∠ P =∠ P ，
∴
∴ ，
∵
∴
又 ∵
∴
∴
已知 是 上的点， AB 是直径，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ PC 是圆的切线；
（ 2 ）设 ，则 ，
∴
在 中
∵ ， ，
∴
已知 ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定方法，灵活运用三角形相似的判定证明相似，运用勾股定理计算是解题的关键．
9、 （ 1 ）点 距离地面 113 厘米；（ 2 ） 长为 58 厘米
【分析】
（ 1 ）过点 作 交 于 ，利用 60° 三角函数可求 FC ，根据线段和差 求即可；
（ 2 ）过点 作 垂直于地面于点 ，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，可证四边形 ABGN 为矩形，利用三角函数先求 ，利用 MG 与 CN 的重叠部分求 ，然后求出 CM ，利用三角函数即可求出 CD ．
【详解】
解：（ 1 ）过点 作 交 于 ，
∵ ，
∴ ，
，
，
∴ ，
答：点 距离地面 113 厘米；
（ 2 ）过点 作 垂直于地面于点 ，
过点 作 交 于点 ，
过点 作 交 于点 ，
∴∠ BAG =∠ AGN =∠ BNG =90° ，
∴ 四边形 ABGN 为矩形，
∴ AB = GN =84(cm) ，
∵ ，将支杆 绕点 顺时针旋转 ，
∴∠ BCN =20° ， ∠ MCD =∠ BCD -∠ BCN =40° ，
∴ ，
，
，
∴ CG = CN + NG =50.76+84=134.76(cm) ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
，
答： 长为 58 厘米．
【点睛】
本题考查解直角三角形应用，矩形的判定与性质，掌握锐角三角函数的定义，矩形判定与性质是解题关键．
10、 （ 1 ） 22.5 ， 800 ；（ 2 ） ①48 ； ② 最早到 13 周实现全面免疫；（ 3 ） 25 周时全部完成接种
【分析】
（ 1 ）根据前 8 周总数除以 8 即可得平均数， 8 周总数除以所占百分比即可；
（ 2 ） ① 将 代入 即可； ② 设最早到第 周，根据题意列不等式求解；
（ 3 ）设第 周接种人数 不低于 20 万人，列不等式求解即可
【详解】
（ 1 ） 22.5 ，
故答案为：
（ 2 ） ① 把 代入
故答案为： 48
②∵ 疫苗接种率至少达到 60%
∴ 接种总人数至少为 万
设最早到第 周，达到实现全民免疫的标准
则由题意得接种总人数为
∴
化简得
当 时，
∴ 最早到 13 周实现全面免疫
（ 3 ）由题意得，第 9 周接种人数为 万
以此类推，设第 周接种人数 不低于 20 万人，即
∴ ，即
∴ 当 周时，不低于 20 万人；当 周时，低于 20 万人；
从第 9 周开始当周接种人数为 ，
∴ 当 时
总接种人数为： 解之得
∴ 当 为 25 周时全部完成接种 .
【点睛】
本题考查的是扇形统计图的综合运用，平均数的概念，一次函数的性质，列不等式解决实际问题 , 读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
11、 （ 1 ） ；（ 2 ） ；（ 3 ） ；（ 4 ）存在最小值，
【分析】
（ 1 ）根据旋转的定义得 ，观察点 和 在同一直线上即可直接得出结果．
（ 2 ）根据题意得出 的坐标，再利用待定系数法求出原一次函数表达式即可．
（ 3 ）先根据 计算出交点坐标，再分类讨论 ① 当 时，先证明 再计算 面积． ② 当 - 时，证 ，再计算 即可．
（ 4 ）先证明 为等边三角形，再证明 ，根据在 中， ，写出 ，从而得出 的函数表达式，当直线 与抛物线相切时取最小值，得出 ，由 计算得出 的面积最小值．
【详解】
（ 1 ）由题意可得 :
∴ 的坐标为
故答案为： ；
（ 2 ） ∵ ，由题意得
坐标为
∵ ， 在原一次函数上，
∴ 设原一次函数解析式为
则
∴
∴ 原一次函数表达式为 ；
（ 3 ）设双曲线与二、四象限平分线交于 点，则
解得
① 当 时
作 轴于
∵
∴
∵
∴
∴ 在 和 中
∴
即 ；
② 当 - 时
作 于 轴于点
∵
∴
∴
∴
∴
在 和 中
∴
∴ ；
（ 4 ）连接 ， ，将 ， 绕 逆时针旋转 得 ， ，作 轴于
∵ ，
∴
∴
∴ 为等边三角形，此时 与 重合，即
连接 ， ∵
∴
∴ 在 和 中
∴
∴ ，
∴ 作 轴于
在 中，
∴
∴ ，即 ，此时 的函数表达式为：
设过 且与 平行 的直线 解析式为
∵
∴ 当直线 与抛物线相切时取最小值
则
即
∴
当 时，得
∴
设 与 轴交于 点
∵
∴
【点睛】
本题考查旋转、全等三角形的判定和性质、一次函数的解析式、反比例函数的几何意义、两函数的交点问题，函数的最小值的问题，灵活进行角的转换是关键．
三、填空题
1、 2
【分析】
根据众数的定义进行求解即可得．
【详解】
解：数据 2 ， 0 ， 2 ， 1 ， 6 中数据 2 出现次数最多，
所以这组数据的众数是 2 ．
故答案为 2 ．
【点睛】
本题考查了众数，熟练掌握众数的定义以及求解方法是解题的关键．
2、 （ a +1 ） 2
【分析】
直接利用完全平方公式分解 .
【详解】
a 2 +2 a +1 ＝（ a +1 ） 2 ．
故答案为 .
【点睛】
此题考查了因式分解 — 运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 .
3、 9
【详解】
解： 360÷40=9 ，即这个多边形的边数是 9
4、 80
【分析】
根据圆内接四边形的性质计算出 即可．
【详解】
解： ∵ ABCD 是 ⊙ O 的内接四边形， ∠ ABC ＝ 100° ，
∴∠ ABC +∠ ADC =180° ，
∴ ．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质、解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质．
5、 4
【分析】
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可解决问题；
【详解】
解：如图，
∵△ ABC 是直角三角形， CD 是斜边中线，
∴ CD AB ，
∵ CD ＝ 2 ，
∴ AB ＝ 4 ，
故答案为 4 ．
【点睛】
本题考查直角三角形的性质，解题的关键是记住直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
6、
【分析】
根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【详解】
解：该圆锥的侧面积＝ ×2π×2×3 ＝ 6π ．
故答案为 6π ．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7、
【分析】
此题是平均增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量 × （ 1+ 增长率），结合本题，如果设平均每年增产的百分率为 x ，根据 “ 粮食产量在两年内从 300 千克增加到 363 千克 ” ，即可得出方程．
【详解】
解：设平均每年增产的百分率为 x ；
第一年粮食的产量为： 300 （ 1+ x ）；
第二年粮食的产量为： 300 （ 1+ x ）（ 1+ x ）＝ 300 （ 1+ x ） 2 ；
依题意，可列方程： 300 （ 1+ x ） 2 ＝ 363 ；
故答案为： 300 （ 1+ x ） 2 ＝ 363 ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为 a ，变化后的量为 b ，平均变化率为 x ，则经过两次变化后的数量关系为 a （ 1± x ） 2 ＝ b ．
8、 或
【分析】
对 是以 为腰的等腰三角形分类讨论，当 时，设 ，可得到 ，再根据折叠可得到 ，然后在 Rt△ ABE 中利用勾股定理列方程计算即可；当 时，过 A 作 AH 垂直于 于点 H ，然后根据折叠可得到 ，在结合 ，利用互余性质可得到 ，然后证得 △ ABE ≌△ AHE ，进而得到 ，然后再利用等腰三角形三线合一性质得到 ，然后在根据数量关系得到 ．
【详解】
解：当 时，设 ，则 ，
∵ 沿 翻折得 ，
∴ ，
在 Rt△ ABE 中由勾股定理可得： 即 ，
解得： ；
当 时，如图所示，过 A 作 AH 垂直于 于点 H ，
∵ AH ⊥ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 沿 翻折得 ，
∴ ，
∴ ，
在 △ ABE 和 △ AHE 中 ，
∴△ ABE ≌△ AHE （ AAS ），
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， ，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合勾股定理计算即可．
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