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内蒙古2020-2021学年高一下学期第二次月考数学试题含解析.doc

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1、试卷主标题姓名:_ 班级:_考号:_一、选择题(共12题)1、 下列说法中正确的是( ) A 棱柱的侧面可以是三角形 B 正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C 所有的几何体的表面都能展成平面图形 D 棱柱的各条棱都相等 2、 如果 ,那么下列不等式中正确的是( ) A B C D 3、 在等差数列 中 , 若 , , 则 ( ) A 40 B 70 C 80 D 90 4、 若 P 为 ABC 所在平面外一点,分别连接 PA , PB , PC ,则所构成的 4 个三角形中直角三角形的个数最多为( ) A 4 B 3 C 2 D 1 5、 已知直线 与 互相垂直,则 的值为( ) A B C D

2、 6、 表示直线, 表示平面,给出下列四个命题: 若 则 ; 若 ,则 ; 若 ,则 ; 若 ,则 . 其中正确命题的个数有 A 0 B 1 C 2 D 3 7、 已知圆心为点 ,并且在直线 上截得的弦长为 的圆的方程为( ) A B C D 8、 已知圆锥的轴截面为正三角形,且边长为 2 ,则圆锥的表面积为( ) A B C D 9、 已知 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 , , ,则 b 等于 A B 5 C D 25 10、 长方体的一个顶点上的三条棱长分别为 3 、 4 、 5 ,且它的 8 个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是( ) A

3、B C D 都不对 11、 如图,在四棱锥 中,底面 为菱形, ,侧面 为正三角形,且平面 平面 ,则下列说法错误的是( ) A 在棱 上存在点 使 平面 B 异面直线 与 所成的角为 C 二面角 的大小为 D 平面 12、 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点 M 与两定点 Q 、 P 的距离之比 ,那么点 M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆 . 已知动点 M 的轨迹是阿波罗尼斯圆,其方程为 ,定点 Q 为 x 轴上一点, 且 ,若点

4、,则 的最小值为( ) A B C D 二、填空题(共4题)1、 一球与棱长为 2 的正方体的各个面相切,则该球的体积为 _. 2、 已知圆 及圆 则两圆的公共弦所在的直线方程为 _. 3、 如图,在长方体 中, , ,则四棱锥 的体积为 _cm 3 4、 已知两点 A( 1,3) , B(3,1) ,当 C 在坐标轴上,若 ACB 90 ,则这样的点 C 的个数为 _ 三、解答题(共6题)1、 如图,已知圆柱底面圆的半径为 ,高为 2 , AB 、 CD 分别是两底面的直径, AD 、 BC 是母线,若一只小虫从 A 点出发,从侧面爬行到 C 点,求小虫爬行的最短长度 2、 在 中,内角 A

5、 , B , C 的对边分别是 a , b , c ,且 . ( 1 )求 的值; ( 2 )若 ,求 的面积 . 3、 已知 是等差数列 , , . ( 1 )求 的通项公式; ( 2 )求 的前 n 项和 的最大值 . 4、 已知圆 C 的方程为 ,点 P ( 3 , 1 ) ( 1 )求过点 P 的直线被圆 C 截得弦长最大时的直线 l 的方程 . ( 2 )若圆 C 的一条弦 AB 的中点为 P ,求直线 AB 的方程 . 5、 如图,在四棱锥 中,底面是边长为 的正方形,侧棱 ,求证: ( 1 ) 平面 ; ( 2 )平面 平面 ; ( 3 )二面角 的平面角的大小 . 6、 如图,

6、在直三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 中, AB AC , E 是 BC 的中点,求证: ( 1 )平面 AB 1 E 平面 B 1 BCC 1 ; ( 2 ) A 1 C 平面 AB 1 E . =参考答案=一、选择题1、 B 【分析】 从棱柱的定义出发判断 A,B,D 的正误,找出反例否定 C ,即可得答案; 【详解】 对 A ,棱柱的侧面都是四边形,故 A 错误; 对 B ,正方体和长方体都是特殊的四棱柱,故 B 正确; 对 C ,所有的几何体的表面都能展成平面图形,球不能展成平面图形,故 C 错误; 对 D ,棱柱的各条棱都相等,应该为侧棱相等,故 D 错误; 故选: B. 【点

7、睛】 本题考查棱柱的结构特征,属于基础题 . 2、 C 【分析】 利用作差法得到 , 所以选项 错误; ,所以选项 错误; ,所以选项 正确; ,所以选项 D 错误 . 【详解】 对于选项 所以 , 所以选项 错误; 对于选项 , ,所以 ,所以选项 错误; 对于选项 , ,所以 ,所以选项 正确; 对于选项 , ,所以 ,所以选项 D 错误 . 故选: C. 【点睛】 本题主要考查作差法比较大小,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 . 3、 B 【分析】 由已知条件列方程组求出等差数列的首项和公差 , 从而求出第 40 项 . 【详解】 解 : 在等差数列数列 中 , , 解得 , 所以

8、. 故选 :B 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式 , 是基础题 . 4、 A 【详解】 设 ABC 为直角三角形,过一锐角顶点 A ,如果有 PA 平面 ABC ,则如图所示: 因为 PA 平面 ABC , PAAC , PAAB , 所以 PAB , PAC 为直角三角形 . 因为 BCAB , PABC , 所以 BC 平面 PAB ,所以 BCPB. 所以 PBC 是直角三角形, 所以 ABC , PAB , PAC , PBC 四个三角形都是直角三角形 . 故选 A 5、 C 【分析】 根据直线 与 互相垂直,则有 求解 . 【详解】 因为直线 与 互相垂直, 所以 , 即 , 解

9、得 . 故选: C 【点睛】 本题主要考查两直线的位置关系,还考查了运算求解的能力,属于基础题 . 6、 B 【详解】 试题分析:若 则 平行或相交或异面,故 错;若 ,则 或 ,故 错;若 ,则 平行或相交或异面,故 错;若 ,则 ,是直线与平面垂直的性质定理,故 正确故选 B 考点:点线面的位置关系 7、 D 【分析】 求出圆心到直线的距离,可得圆的半径,即可求出圆的方程 . 【详解】 解:圆心到直线的距离为 , 在直线 上截得的弦长为 , 圆的半径 , 圆的方程为 . 故选: D. 【点睛】 本题主要考查直线和圆相交的性质,求圆的标准方程,求出圆的半径,是解题的关键,属于基础题 . 8、

10、 D 【分析】 圆锥的母线就是轴截面边长,也等于底面直径,由此可计算表面积 【详解】 由题意底面半径 ,母线长为 , 表面积为 故选: D 【点睛】 本题考查圆锥的表面积,掌握轴截面是圆锥的关系是解题关键 9、 B 【分析】 利用三角形的面积求出 ,然后利用余弦定理求出 即可 【详解】 由题意可知, ,解得 ,由余弦定理知 ,所以 ,所以 . 故选 B. 【点睛】 解三角形常与三角形的面积结合在一起考查,考查综合运用知识解决问题的能力,解题时注意各个公式间的联系,同时还要注意公式中的常用变形 . 10、 B 【分析】 由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线,求出长方体的对角线,就是求出球

11、的直径,然后求出球的表面积 【详解】 解:长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3 , 4 , 5 ,且它的 8 个顶点都在同一个球面上, 所以长方体的对角线就是球的直径,长方体的对角线为: , 所以球的半径为: ;则这个球的表面积是: 故选: 11、 D 【分析】 根据线面垂直的判定及性质定理逐一判断即可 . 【详解】 解:如图, 对于 ,取 的中点 ,连接 , 侧面 为正三角形, ,又底面 是菱形, , 是等边三角形, ,又 , , 平面 , 平面 ,故 正确 . 对于 , 平面 , ,即异面直线 与 所成的角为 90 ,故 正确 . 对于 , 平面 平面 , , 平面 , , , 是二面角

12、 的平面角,设 ,则 , , 在 中, ,即 ,故二面角 的大小为 ,故 正确 . 对于 ,假设 平面 ,则 ,又依题意平面 平面 , ,则 平面 ,故 ,而 BD , BM 相交,且在平面 ABCD 内,故 平面 ,与 平面 矛盾,因此 与平面 不垂直,故 错误 . 故选 :D. 【点睛】 本题考查了线面垂直的判定及异面直线所成的角,属于中档题 . 12、 C 【分析】 设 , ,根据 和 求出 a 的值,由 ,两点之间直线最短,可得 的最小值为 ,根据坐标求出 即 【详解】 设 , ,所以 ,由 ,所以 ,因为 且 ,所以 ,整理可得 ,又动点 M 的轨迹是 ,所以 ,解得 ,所以 ,又

13、所以 ,因为 ,所以 的最小值为 . 故选: C 【点睛】 本题主要考查圆上动点问题,考查两点间直线最短 . 二、填空题1、 【分析】 根据正方体内切球的性质,即可得出球的半径,从而可求得球的体积 . 【详解】 解:由题意可知,设球的半径为 , 球是正方体的内切球,则 , 因此球的半径为 , 则该球的体积为: . 故答案为: . 【点睛】 本题考查球的体积,涉及正方体的内切球的性质,属于基础题 . 2、 x - y =0 【分析】 当两圆相交时,将两圆方程相减可得公共弦的方程 . 【详解】 圆 : 圆 : 得公共弦的方程为: ,即 . 故答案为: . 3、 6 【分析】 如图,过 作 于 ,可

14、证 平面 ,利用体积公式计算即可 . 【详解】 如图,过 作 于 , 长方体底面 是正方形, 中, , ,又由 , , 平面 , 考点:棱锥体积的计算 【点睛】 本题考查四棱锥体积的计算,关键是高的计算,需利用线面垂直来求,本题属于基础题 . 4、 3 【分析】 点 C 的个数即以 AB 为直径的圆与坐标轴的交点的个数 . 【详解】 由题意,点 C 应该为以 AB 为直径的圆与坐标轴的交点 以 AB 为直径的方程是 (x 1)(x 3) (y 3)(y 1) 0 , 令 x 0 ,解得 y 0 或 4 ;令 y 0 ,解得 x 0 或 2 所以该圆与坐标轴的交点有三个: (0,0) , (0,

15、4) , (2,0) 故答案为 3 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系,圆的轨迹,考查数形结合的解题思想方法,是基础题 三、解答题1、 2 【分析】 小虫爬行的最短长度,是半个圆柱的侧面展开矩形的对角线 . 通过勾股定理求得这个对角线的长 . 【详解】 解:如图,将圆柱的侧面展开,其中 AB 为底面圆周的一半, 即 AB= ,AD=2 则小虫爬行的最短路线为线段 AC, 在矩形 AC 中, AC= 所以小虫爬行的最短路线长度为 2 . 【点睛】 本小题主要考查圆柱的侧面展开图,考查两点间的距离公式以及分析和思考能力,属于基础题 . 2、 ( 1 ) ( 2 ) 【分析】 ( 1 )由正弦定理

16、即可算出; ( 2 )先算出 ,然后算出 ,然后利用 算出答案即可 . 【详解】 ( 1 )由正弦定理可得: , , ( 2 ) , 【点睛】 本题考查的是利用正弦定理解三角形和求三角形的面积,考查了学生的计算能力,属于基础题 . 3、 ( 1 ) ( 2 ) 56 【分析】 ( 1 )通过等差数列的性质求出公差 , 结合 , 即可求出通项公式 . ( 2 )由公差 , 知数列 是递减数列 , 要求和的最大值则根据 , 求出 , 即可求出和的最大值 . 【详解】 解:由题意得 ( 1 ) ( 2 )由 知数列 是递减数列 所以令 , 解得 且 的最大值为 : 【点睛】 本题主要考察邓姝列的简单

17、性质以及求等差数列的前 项和 , 是简单题 . 4、 ( 1 ) ;( 2 ) . 【分析】 ( 1 )依题意知直线 过圆心,进而可得结果; ( 2 )依题意知直线 过点 且与直线 垂直,进而可得结果 . 【详解】 ( 1 )圆 的标准方程为 ,则圆心 . 当直线 过圆心 时被圆截得的弦长最大,所以直线 的斜率 , 所以直线 的方程为 ,即 . ( 2 )依题意知直线 过点 且与直线 垂直,则直线 的斜率为 , 所以直线 的方程为 ,即 . 5、 ( 1 )见解析;( 2 )见解析;( 3 ) 【分析】 ( 1 )由勾股定理的逆定理证得 后可得线面垂直 ( 2 )证明 与平面 垂直,可得面面垂

18、直,而要证线面垂直,可证 与 垂直; ( 3 )证明 与平面 垂直,可得所求二面角的平面角是 ,计算即得 【详解】 ( 1 ) , . . 同理可证 . 平面 . ( 2 )由( 1 )知 平面 , 平面 , . 四边形 是正方形, . 又 , 平面 . 又 平面 , 平面 平面 . ( 3 )由( 1 )知 平面 , 平面 , . 又 , 平面 . 平面 , . 为二面角 的平面角 . 在 中, . 二面角 的平面角的大小为 45. 【点睛】 本题考查证明线面垂直和面面垂直,考查求二面角在立体几何中,线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互依存,相互转化的,线面与面面垂直的判定定理与性质定理是连接

19、它们的钮带证明时一定要确定定理的条件都满足了,才能下结论否则证明过程不完整 6、 ( 1 )证明见解析;( 2 )证明见解析 . 【分析】 ( 1 )转化为证明 AE 平面 B 1 BCC 1 ; ( 2 )连结 A 1 B ,设 A 1 B AB 1 F ,连结 EF ,只需证明 EF A 1 C . 【详解】 ( 1 )在直三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 中, CC 1 平面 ABC . 因为 AE 平面 ABC ,所以 CC 1 AE . 因为 AB AC , E 为 BC 的中点,所以 AE BC . 因为 BC 平面 B 1 BCC 1 , CC 1 平面 B 1 BCC 1 , 且 BC CC 1 C ,所以 AE 平面 B 1 BCC 1 . 因为 AE 平面 AB 1 E ,所以平面 AB 1 E 平面 B 1 BCC 1 . ( 2 )连结 A 1 B ,设 A 1 B AB 1 F ,连结 EF . 在直三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 中,四边形 AA 1 B 1 B 为平行四边形, 所以 F 为 A 1 B 的中点 又因为 E 是 BC 的中点,所以 EF A 1 C . 因为 EF 平面 AB 1 E , A 1 C 平面 AB 1 E ,所以 A 1 C 平面 AB 1 E .

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