北京市2021-2022学年高二10月份月考数学试题含解析.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共10题）
1、 在复平面内，复数 对应的点 如图所示，则复数 （ ）

A ． B ． C ． D ．
2、 某圆锥的母线长为 ，底面半径长为 ，则该圆锥的体积为（ ）
A ． B ． C ． D ．
3、 一个袋子中有大小和质地相同的 4 个球，其中有 2 个红色球， 2 个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出 2 个球，则两个球颜色相同的概率是（    ）
A ． B ． C ． D ．
4、 设 是两个不同的平面， 是平面 内的一条直线，则 “ ” 是 “ ” 的（    ）
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
5、 在 中，若 ，则 （ ）
A ． B ． C ． D ．
6、 对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本的频率分布直方图如图 . 由图可知，这一批电子元件中寿命的 分位数为（ ）

A ． B ． C ． 350 D ．
7、 在 中， ，则 （ ）
A ． B ． C ． D ．
8、 水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国 60% 以上人口的主粮 . 以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的 “ 第五大发明 " ，育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献 . 某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续 6 年的产量 ( 单位： kg) 如下：
品种
第 1 年
第 2 年
第 3 年
第 4 年
第 5 年
第 6 年
甲
900
920
900
850
910
920
乙
890
960
950
850
860
890
根据以上数据，下面说法正确的是（ ）
A ．甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大
B ．甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小
C ．甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等
D ．甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定
9、 已知正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长等于 a ，则 的值为（ ）
A ． a 2 B ． 2 a 2 C ． 3 a 2 D ． a 2
10、 下面四个结论正确的个数是（ ）
① 空间向量 ，若 ，则 ；
② 若空间四个点 P ， A ， B ， C ， ，则 A ， B ， C 三点共线；
③ 已知向量 ， ，若 ，则 为钝角；
④ 任意向量 满足 ．
A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1
二、填空题（共5题）
1、 已知一组不全相等的样本数据的平均数为 10 ，方差为 2 ，现再加入一个新数 10 ，则新样本数据的平均数 ____________ ，方差 ____________.( 填 “ 变大 ” ， “ 变小 ” ， “ 不变 ”)
2、 某班有 42 名学生，其中选考物理的学生有 21 人，选考地理的学生有 14 人，选考物理或地理的学生有 28 人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为 _______________.
3、 已知 = （ 2 ， 3 ， 1 ）， = （ -4 ， 2 ， x ）且 ⊥ ，则 | |=______.
4、 在四棱锥 中，底面 ABCD 是正方形， E 为 PD 中点，若 = ， = ， = ，则 = _____ ．

5、 已知 是不重合的两条直线， 为不重合的两个平面，给出下列命题：
① 若 ， ，则 ；
② 若 ，且 ，则 ；
③ 若 ， ，则 ．
所有正确命题的序号为 __ ．
三、解答题（共6题）
1、 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率 0.5, 购买乙种商品的概率为 0.6, 且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立 , 各顾客之间购买商品也是相互独立的 .
（ 1 ）求进入商场的一位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（ 2 ） 求进入商场的一位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．
2、 已知 △ ABC 中， ， a ＝ 3 ．再从条件 ① 、条件 ② 这两个条件中选择一个作为已知，求：
（ 1 ） b 的值；
（ 2 ） △ ABC 的面积
条件 ① ： b + c ＝ 6 ；
条件 ② ： b ＝ 2 c ．
3、 BMI ( 身体质量指数 ) 是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是： ．在我国，成人的 数值参考标准为： 为偏瘦； 为正常； 为偏胖； 为肥胖．某公司有 3000 名员工，为了解该公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了 100 名男员工､ 50 名女员工的身高体重数据，计算得到他们的 BMI ，进而得到频率分布直方图如下：

（ 1 ）该公司男员工和女员工各有多少人？
（ 2 ）根据 BMI 及频率分布直方图，估计该公司男员工为肥胖的有多少人？
（ 3 ）根据频率分布直方图，估计该公司男员工 BMI 的平均数为 ，女员工 BMI 的平均数为 ，比较 与 的大小． ( 直接写出结论，不要求证明 )
4、 如图，已知直三棱柱 ABC ﹣ A 1 B 1 C 1 中， AC ＝ BC ， M 为 AB 的中点．

（ 1 ）求证： CM ⊥ 平面 ABB 1 A 1 ；
（ 2 ）求证： AC 1 ∥ 平面 CMB 1 ．
5、 为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照 分为 5 组，其频率分布直方图如图所示．

（ 1 ）求图中 a 的值；
（ 2 ）估计这种植物果实重量的平均数 和方差 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（ 3 ）已知这种植物果实重量不低于 32.5 克的即为优质果实．若所取样本容量 ，从该样本分布在 和 的果实中，随机抽取 2 个，求抽到的都是优质果实的概率．
6、 若函数 （ ），非零向量 ，我们称 为函数 的 “ 相伴向量 ” ， 为向量 的 “ 相伴函数 ” ．
（ 1 ）已知函数 ，求 的 “ 相伴向量 ” ；
（ 2 ）记向量 的 “ 相伴函数 ” 为 ，将 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再将所得的图象上的所有点向左平移 个单位长度，得到函数 ，若 ， ，求 的值；
（ 3 ）对于函数 ，是否存在 “ 相伴向量 ” ？若存在，求出 的 “ 相伴向量 ” ；若不存在，请说明理由．

============参考答案============
一、选择题
1、 B
【分析】
根据复数在复平面表示的方法，结合共轭复数的定义进行求解即可 .
【详解】
在复平面内，复数 对应的点 如图所示，所以 ，因此 ，
故选： B
2、 A
【分析】
由已知条件求出圆锥的高，从而可求出圆锥的体积
【详解】
解：由题意得圆锥的高为 ，
所以圆锥的体积为 ，
故选： A
3、 B
【分析】
记两个球颜色相同为事件 ，先求基本事件的总数，再计算事件 包含的基本事件的个数，由古典概型概率公式即可求解 .
【详解】
从 4 个球中不放回地依次随机摸出 2 个球，基本事件有 种，
记两个球颜色相同为事件 ，事件 包含的基本事件有 种，
所以两个球颜色相同的概率是 ，
故选： B.
4、 A
【分析】
根据面面垂直的判定定理和性质定理，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解 .
【详解】
因为直线 是平面 内的一条直线，且 ，根据面面垂直的判定定理，可得 ，所以充分性成立；
反之：直线 是平面 内的一条直线，由 ，但 不一定成立，所以必要性不成立，
所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件 .
故选： A.
5、 D
【分析】
利用余弦定理直接求解即可 .
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 .
故选： D
6、 B
【分析】
根据频率分布直方图判断 分位数位于 ，设为 ，再列出方程，由此能求出这一批电子元件中寿命的 分位数．
【详解】
解：由频率分布直方图得 的频率为： ，
的频率为： ，
所以 分位数位于 之间，
设 分位数为 则， ，解得
由图可知，这一批电子元件中寿命的 分位数为 ．
故选： B ．
7、 C
【分析】
由正弦定理化边为角即可求解 .
【详解】
在 中，由正弦定理可得： ，
因为 ，所以 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
故选： C.
8、 D
【分析】
分别计算两种水稻产量的平均数、中位数、极差、方差即可判断四个选项的正误，即可得出正确选项 .
【详解】
对于选项 A ：甲种水稻产量的平均数： ，
乙种水稻产量的平均数： ，
所以甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等，故选项 A 不正确；
对于选项 B ：甲种水稻产量分别为： ，中位数为 ，
乙种水稻产量分别为 ，中位数为 ，
所以甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数大，故选项 B 不正确；
对于选项 C ：甲种水稻产量的极差为： ，乙种水稻产量的极差为：
，甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差不相等，故选项 C 不正确；
对于选项 D ：甲种水稻的产量的方差为：

乙种水稻的产量的方差为：
，
甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等，
甲种水稻的产量的方差小于乙种水稻的产量的方差，
所以甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定，故选项 D 正确，
故选： D.
9、 B
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量的坐标表示、数量积的坐标表示计算判断作答 .
【详解】
在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中，建立空间直角坐标系，如图所示，

则 A ( a ， 0 ， 0) ， B ( a ， a ， 0) ， C 1 (0 ， a ， a ) ， =(- a ， a ， a ) ， =(- a ， 0 ， a ) ，
所以 ＝ a 2 +0+ a 2 ＝ 2 a 2 ．
故选： B
10、 C
【分析】
根据空间向量的线性运算、向量平行的意义及坐标表示、数量积的定义、性质对各命题逐一判断即可．
【详解】
对于 ① ，因 ， ，则 ， ① 正确；
对于 ② ，因 ，则 ＝ ，即 ，即 A 、 B 、 C 三点共线， ② 正确；
对于 ③ ， ＝ 10 x -3 ，若 为钝角，则 ，且 与 不共线，由 得 ，当 时， ，即 ，
由 与 不共线得 ，于是得当 且 时， 为钝角， ③ 错误；
对于 ④ ， 是 的共线向量，而 是 的共线向量， ④ 错误，
综上可知， ①② 正确 .
故选： C
二、填空题
1、 不变 变小
【分析】
根据平均数和方差的计算公式即可求解 .
【详解】
设原来的一组数据有 个分别为： ，则 ，

方差 ，

加入一个新数 10 后，
平均数为 ，
所以平均数不变，
新的方差为
，
所以新样本数据的平均数不变，方差变小，
故答案为：不变，变小 .
2、
【分析】
先计算出该班有既选考物理又选考地理的人数，再除以班级总人数即可求解
【详解】
设选考物理的学生为集合 ，选考地理的同学为集合 ，
由题意可得： ，
即 ，解得： ，
所以该班有 人既选考物理又选考地理，
所以从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为 ，
故答案为： .
3、 2
【分析】
由 得 ，再由模的坐标运算求模．
【详解】
∵ = （ 2 ， 3 ， 1 ）， = （ -4 ， 2 ， x ）且 ⊥ ，
∴ =-8+6+ x =0 ，
解得 x =2 ，
∴ = （ -4 ， 2 ， 2 ），
∴| |= = =2 .
故答案为： 2 .
【点睛】
本题考查向量垂直与数量积之间的关系，考查模的坐标运算． 是数量积中的一个重要性质．
4、
【分析】
根据底面 ABCD 是正方形， E 为 PD 中点，向量加法的平行四边形法则得到 ，而 ，即可求得 的结果 .
【详解】
解： = ( + ) = + ) = + = ．
故答案为： .
【点睛】
本题考查向量在几何中的应用以及向量共线定理和空间向量基本定理，要用已知向量表示未知向量，把要求向量放在封闭图形中求解，体现了数形结合的思想，是基础题型 .
5、 ①③
【分析】
对于 ① ，过 作平面 ，使 ，则 ，由面面垂直的判定定理得 ；对于 ② ， 或 ；对于 ③ ，过 作平面 ，使得 ，可得 ，再由线面垂直的性质得 ．
【详解】
由 是不重合的两条直线， 为不重合的两个平面知：
对于 ① ，过 作平面 ，使 ，则 ，因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，故 ① 正确；

对于 ② ，若 ，且 ，则 或 ，故 ② 错误；
对于 ③ ，过 作平面 ，使得 ，因为 ，则 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，故 ③ 正确．

故答案为： ①③ ．
三、解答题
1、 （ 1 ） 0.5 ；（ 2 ） 0.8
【详解】
记 A 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买甲种商品；
记 B 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买乙种商品；
记 C 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种 ;
记 D 表示事件：进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种 .
（ Ⅰ ） P =
=
=
（ Ⅱ ）

2、 （ 1 ）答案不唯一，具体见解析；（ 2 ）答案不唯一，具体见解析；
【分析】
若选条件 ① ：（ 1 ）由已知可得 c ＝ 6 ﹣ b ，利用余弦定理可得 b 的值；（ 2 ）利用同角三角函数基本关系式可求 sin C 的值，根据三角形的面积公式即可求解．
若选条件 ② ：（ 1 ）由已知利用余弦定理可得 b 2 ﹣ 7 b +12 ＝ 0 ，解方程可得 b 的值；（ 2 ）利用同角三角函数基本关系式可求 sin C 的值，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】
若选条件 ① ： b + c ＝ 6 ，即 c ＝ 6 ﹣ b ，
（ 1 ）因为 ， a ＝ 3 ，
所以由余弦定理 c 2 ＝ a 2 + b 2 ﹣ 2 ab cos C ，可得： ，可解得 b ＝ 4 ．
（ 2 ）因为 ，
所以 △ ABC 的面积 ．
若选条件 ② ： b ＝ 2 c ，
（ 1 ）因为 ， a ＝ 3 ，
所以由余弦定理 c 2 ＝ a 2 + b 2 ﹣ 2 ab cos C ，可得： ，可得 b 2 ﹣ 7 b +12 ＝ 0 ，
解得 b ＝ 4 或 3 ．
（ 2 ）因为 ，
当 b ＝ 4 时， △ ABC 的面积 ，
当 b ＝ 3 时， △ ABC 的面积 ．
3、 （ 1 ） 2000 人， 1000 人；（ 2 ） 240 人；（ 3 ） μ 1 ＞ μ 2.
【分析】
（ 1 ）根据分层抽样的比例关系可求得男女员工人数；
（ 2 ）根据频率分布直方图的性质即可求出男员工肥胖人数；
（ 3 ）由图计算出 μ 1 ， μ 2 即可．
【详解】
（ 1 ）由题可得男员工人数为 3000× ＝ 2000 人，
女员工人数为 3000× ＝ 1000 人；
（ 2 ）男员工肥胖人数为 2000× （ 0.02×4+0.01×4 ）＝ 240 人；
（ 3 ） μ 1 ＞ μ 2 ．
由图可得 μ 1 ＝ 18×0.08×4+22×0.11×4+26×0.03×4+30×0.02×4+34×0.01×4 ＝ 22.32 ，
μ 2 ＝ 14×0.02×4+18×0.11×4+22×0.07×4+26×0.03×4+30×0.02×4 ＝ 20.72 ，
所以 μ 1 ＞ μ 2 ．
4、 （ 1 ）证明见解析；（ 2 ）证明见解析．
【分析】
（ 1 ）由直三棱柱的性质可推出 AA 1 ⊥ CM ，由等腰三角形的性质知 CM ⊥ AB ，然后由线面垂直的判定定理，得证；
（ 2 ）连接 BC 1 ，交 B 1 C 于点 O ，连接 OM ，易知 OM ∥ AC 1 ，再由线面平行的判定定理，得证．
【详解】
（ 1 ）证明：由直三棱柱的性质知， AA 1 ⊥ 平面 ABC ，
∵ CM ⊂ 平面 ABC ， ∴ AA 1 ⊥ CM ，
∵ AC ＝ BC ， M 为 AB 的中点， ∴ CM ⊥ AB ，
又 AA 1 ∩ AB ＝ A ， AA 1 、 AB ⊂ 平面 ABB 1 A 1 ，
∴ CM ⊥ 平面 ABB 1 A 1 ．
（ 2 ）证明：连接 BC 1 ，交 B 1 C 于点 O ，连接 OM ，则 O 为 BC 1 的中点，
∵ M 为 AB 的中点， ∴ OM ∥ AC 1 ，
∵ OM ⊂ 平面 CMB 1 ， AC 1 平面 CMB 1 ，
∴ AC 1 ∥ 平面 CMB 1 ．

5、 （ 1 ） ；（ 2 ） 40 ， 28.75 ；（ 3 ） .
【分析】
（ 1 ）由频率之和为 1 即可求出；
（ 2 ）由频率分布直方图结合平均数和方差公式即可求出；
（ 3 ）列出任取 2 个的所有基本事件，即可求出概率 .
【详解】
（ 1 ）组距 ，由 ，得 ．
（ 2 ）各组中点值和相应的频率依次为：
中点值
30
35
40
45
50
频率
0.1
0.2
0.375
0.25
0.075
所以 ，
．
（ 3 ）由已知，果实重量在 和 内的分别有 4 个和 3 个，分别记为 和 从中任取 2 个的取法有：
，
，
，
共 21 种取法，其中都是优质果实的取法有 ，共 3 种取法，
所以抽到的都是优质果实的概率 ．
6、 （ 1 ） “ 相伴向量 ” ；（ 2 ） ；（ 3 ）不存在；理由见解析．
【分析】
（ 1 ）先由二倍角公式化简 的解析式，由 “ 相伴向量 ” 的定义求解即可；
（ 2 ）先将 的解析式化简，然后利用三角函数的图象变换求出 的解析式，由题意得到 ，然后由同角三角函数关系式结合角的变换以及两角差的正弦公式求解即可；
（ 3 ）假设函数 存在 “ 相伴向量 ” ，则存在 ， 使得 对任意的 恒成立，通过对 的值进行验证，即可判断．
【详解】
解：（ 1 ） ，则函数 的 “ 相伴向量 ”
（ 2 ）依题意， ，
将 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数
，再将所得的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到函数
，
由 ，得
由 ，则 ，则

（ 3 ）若函数 存在 “ 相伴向量 ” ，则存在 ， ，使得
对任意 都成立，
令 ，得 ，因此 ，即 或
显然上式对任意 不都成立，
所以，函数 不存在 “ 相伴向量 ” ．