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试卷主标题
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共12题）
1、 设集合 ， ，则集合 （ ）
A ． B ． C ． D ． î
2、 复数 满足： ，则 的虚部等于（ ）
A ． B ． C ． 0 D ． 1
3、 设随机变量 ，函数 没有零点的概率是 ，则 （ ）
附：若 ，则 ， ．
A ． B ． C ． D ．
4、 我国著名数学家华罗庚曾说： “ 数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休 .” 在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征 . 我们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
5、 2020 年 11 月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了 “ 云采访 ” 区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业 CEO 或海外负责人．某新闻机构安排 4 名记者和 3 名摄影师对本次进博会进行采访，其中 2 名记者和 1 名摄影师负责 “ 云采访 ” 区域的采访，另 2 名记者和 2 名摄影师分两组（每组记者和摄影师各 1 人），分别负责 “ 汽车展区 ” 和 “ 技术装备展区 ” 的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有（ ）
A ． 36 种 B ． 48 种 C ． 72 种 D ． 144 种
6、 若函数 满足：对定义域内任意的 ，有 ，则称函数 具有 性质．则下列函数中不具有 性质的是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
7、 已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，过 的直线与双曲线 的左支交于 ， 两点，连接 ， ，在 中， ， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A ． 3 B ． C ． D ． 2
8、 已知函数 ，若存在唯一的正整数 ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A ． B ． C ． D ．
9、 设 a ＞ 0 ， b ＞ 0 ， a ＋ 2 b ＝ 1 ，则（ ）
A ． ab 的最大值为 B ． a 2 ＋ 4 b 2 的最小值为
C ． 的最小值为 8 D ． 2 a ＋ 4 b 的最小值为
10、 设首项为 的数列 的前 项和为 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A ．数列 为等比数列 B ．数列 为等比数列
C ．数列 为等比数列 D ．数列 的前 项和为
11、 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交抛物线 于点 ，且 ， . 下列结论正确的是（ ）
A ． B ． C ． D ． △ 的面积为
12、 已知函数 ， ，则（ ）
A ． 在 上单调递增
B ． 是周期函数，且周期为
C ．直线 是 的对称轴
D ．函数 在 上有且仅有一个零点
二、填空题（共4题）
1、 如图所示，在平面直角坐标系中， ， ，圆 过坐标原点 ，圆 与圆 外切 . 则（ 1 ）圆 的半径等于 __________ ；（ 2 ）已知过点 和抛物线 焦点的直线与抛物线交于 ， ，且 ，则 ______ ．
2、 定义在实数集 上的可导函数 满足： ， ，其中 是 的导数，写出满足上述条件的一个函数 ________ ．
3、 已知菱形 ABCD 的边长为 ， ，点 分别在边 BC ， CD 上，且满足 ， ，则 ____________.
4、 A ， B ， C ， D 为球面上四点， M ， N 分别是 AB ， CD 的中点，以 MN 为直径的球称为 AB ， CD 的 “ 伴随球 ” ，若三棱锥 A — BCD 的四个顶点在表面积为 64 π 的球面上，它的两条边 AB ， CD 的长度分别为 和 ，则 AB ， CD 的伴随球的体积的取值范围是 ___________
三、解答题（共6题）
1、 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ．
（ Ⅰ ）求 的值；
（ Ⅱ ）在 ① ， ② ， ③ 这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若 ， _______ ，求 的周长．
2、 已知数列 的前 项和 .
（ 1 ）求数列 的通项公式；
（ 2 ）在 ① ， ② ， ③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题 . 若 ______ ，求数列 的前 项和 .
3、 如图，在四棱锥 中，侧面 为钝角三角形且垂直于底面 ，底面为直角梯形且 ， ， ，点 是 的中点 .
（ 1 ）求证： 平面 ；
（ 2 ）若直线 与底面 所成的角为 ，求 与平面 所成角的正弦值 .
4、 魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺 · 鲁比克教授于 1974 年发明的 . 魔方与华容道､独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹 . 通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为 的正方体结构，由 个色块组成 . 常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原 . 截至 2020 年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在 2018 年 11 月 24 日于芜湖赛打破的纪录，单次 秒 .
（ 1 ）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度 ( 秒 ) 与训练天数 ( 天 ) 有关，经统计得到如下数据：
( 天 )
( 秒 )
现用 作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度 约为多少秒 ( 精确到 ) ？参考数据 ( 其中 )
（ 2 ）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面 . 某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动 ，记顶面白色色块的个数为 ，求 的分布列及数学期望 .
5、 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ，右顶点为 .
（ 1 ）求椭圆 的标准方程；
（ 2 ）过点 作两条直线分别交椭圆于点 ， 满足直线 ， 的斜率之和为 ，求点 到直线 距离的最大值 .
6、 已知函数 .
（ 1 ）当函数 在 处的切线斜率为 时，求 的单调减区间；
（ 2 ）当 时， ，求 的取值范围 .
============参考答案============
一、选择题
1、 A
【分析】
解出集合 ，利用交集的定义可求得集合 .
【详解】
， ，因此， .
故选： A.
2、 B
【分析】
首先化简复数 ，根据定义求虚部 .
【详解】
，
所以 的虚部是 .
故选： B
3、 B
【分析】
首先根据函数 没有零点求出 的取值范围，再根据 没有零点的概率是 ，得到 ，再根据正态曲线的性质得到 的值；然后再根据正态曲线的对称性求出 的值即可．
【详解】
函数 没有零点，即二次方程 无实根，
， ，又 没有零点的概率是 ，
，由正态曲线的对称性知 ， ， ， ，
， ， ， ，
， ，
所以， ，
故选： B ．
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查正态分布的曲线的性质，二次方程的解等知识点，考查运算求解能力；解本题的方法是根据 没有零点得到 ，再结合正态分布的图象的对称性得到 值，然后再利用正态分布函数图象的性质求解即可；解题的关键点是要熟知正态分布函数图象的对称性．
4、 A
【分析】
由图象知函数的定义域排除选项选项 B 、 D ，再根据 不成立排除选项 C ，即可得正确选项 .
【详解】
由图知 的定义域为 ，排除选项 B 、 D ，
又因为当 时， ，不符合图象 ，所以排除 C ，
故选： A
【点睛】
思路点睛：排除法是解决函数图象问题的主要方法，根据函数的定义域、与坐标轴的交点、函数值的符号、单调性、奇偶性等，从而得出正确结果 .
5、 C
【分析】
根据题意，分 3 步进行分析： ① 在 4 名记者中任选 2 人，在 3 名摄影师中选出 1 人，安排到 “ 云采访 ” 区域采访， ② 在剩下的外 2 名记者中选出 1 人，在 2 名摄影师中选出 1 人，安排到 “ 汽车展区 ” 采访， ③ 将最后的 1 名记者和 1 名摄影师，安排到 “ 技术装备展区 ” 采访，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，分 3 步进行分析：
① 在 4 名记者中任选 2 人，在 3 名摄影师中选出 1 人，安排到 “ 云采访 ” 区域采访，有 种情况，
② 在剩下的外 2 名记者中选出 1 人，在 2 名摄影师中选出 1 人，安排到 “ 汽车展区 ” 采访，有 种情况，
③ 将最后的 1 名记者和 1 名摄影师，安排到 “ 技术装备展区 ” 采访，有 1 种情况，
则有 种不同的安排方案，
故选：
6、 B
【分析】
画出这四种函数的图象，符合对任意的 ，有 ，即在图中反映就是， ， 的中点在点 的上方 . 根据图象找出符合条件的函数即可 .
【详解】
A. ，符合要求
B. ，不符合要求
C. ，符合要求
D. ，符合要求
故选： B
【点睛】
“ 新定义 ” 主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解 . 但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说 “ 新题 ” 不一定是 “ 难题 ” ，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝 .
7、 D
【分析】
设 ，则由双曲线定义可得 ， ， ，由 可得 ，再在 中根据余弦定理即可列出式子求出离心率 .
【详解】
设 ，则由双曲线定义可得 ，
，则 ，
则 ，解得 ，从而 .
在 中， ，
即 ，解得 .
故选： D.
【点睛】
关键点睛：本题考查双曲线离心率的求法，解题的关键是利用已知条件结合双曲线定义正确表示出各线段长度，利用余弦定理建立关于 的方程求解 .
8、 C
【分析】
题意等价于存在唯一的正整数 使得不等式 成立，求出函数 的单调区间，直线 过定点 ，作出函数 和直线 图像，结合图形列出不等式组化简即可 .
【详解】
解：函数 ，若存在唯一的正整数 ，使得
等价于存在唯一的正整数 ，使得不等式 成立，
令 ，则 ，由 得 ，由 得
所以函数 在区间 上递增，在区间 上递减
所以 ，
直线 过定点 ，作出函数 和直线 图像如下：
由图可得要使存在唯一的正整数 使得不等式 成立
必有
所以实数 的取值范围是
故选： C.
【点睛】
方法点睛：已知不等式能成立求参数值 ( 取值范围 ) 问题常用的方法：
（ 1 ）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（ 2 ）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（ 3 ）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 .
9、 ABD
【分析】
利用均值不等式对选项进行逐一求解，可判断出正误，得出答案 .
【详解】
，得 ，当且 ， 时取等号，故 正确；
，当且仅当 ， 时取等号，故 正确；
，当且仅当 时取等号，故 错误；
，当且仅当 ， 时取等号，故 正确，
故选： ABD.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（ 1 ） “ 一正二定三相等 ”“ 一正 ” 就是各项必须为正数；
（ 2 ） “ 二定 ” 就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（ 3 ） “ 三相等 ” 是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值 .
10、 BD
【分析】
先由 变形得出 为等比数列，求出 和 ，判断出 AC 项，再用求和公式计算 的前 项和即可 .
【详解】
对于 B 项，
故 为等比数列，首项为 2 ，公比为 2 ，故 B 对
故
，故 不满足 ，故 不是等比数列，故 A 错
对于 C 项， ，
故 ，故数列 不为等比数列，故 C 项错
，故 的前 项和为 ，故 D 对
故选： BD
【点睛】
等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前 n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
11、 BCD
【分析】
选项 A 由抛物线的定义可得 可判断；选项 B 将点 坐标代入抛物线方程可判断；当 时，直线 的方程为： ，可求出 ，从而可得 ，由 ，同理可得 时的情况，从而可判断 C ， D.
【详解】
选项 A. 由抛物线的定义可得 ，解得 ，所以 A 不正确 .
选项 B. 所以 ， ，抛物线方程为
将点 坐标代入抛物线方程，得 ，所以 ，所以 B 正确
选项 C. 当 时，则 ，则直线 的方程为：
则 ，得 ，解得 或
所以 ，则 ，
同理当 时，可得 ，所以 C 正确 .
选项 D. 由上可知当 时，
同理当 时， ，所以 D 正确 .
故选： BCD
【点睛】
关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，过焦点的弦的性质，解答本题的关键是由抛物线的定义可得 ，解得 的值，由 求解面积，属于中档题 .
12、 BCD
【分析】
将 写成分段函数形式，根据 的单调性可判断 A.
根据周期性的定义可判断 B.
验证是否有 可判断 C.
直接解 在 的根可判断 D.
【详解】
化简 可得
A. 在 上有 ，其单调递减，故 A 错
B. 是周期函数，且周期为 ，因为 ，故 B 对
C.
故直线 是 的对称轴， C 对
D.
当 时，令
， ，但不满足
令
，故 或 ，但只有 满足
故函数 在 上有且仅有一个零点
故选： BCD
【点睛】
“ 新定义 ” 主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解 . 但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说 “ 新题 ” 不一定是 “ 难题 ” ，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝 .
二、填空题
1、 2
【分析】
（ 1 ）利用两圆外切可得圆心距等于半径之和即可求解，
（ 2 ）求出抛物线的焦点坐标，由此求出直线的斜率即可求出直线的方程，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理以及向量坐标运算即可求解 .
【详解】
设圆 的半径 ，圆 的半径 ，
由题意可得 ，
由两圆外切可得： ，
解得： ，
设 ， ，
由抛物线 可得焦点坐标为 ，则 ，
直线 ： ，
由 ，可得 ，
所以 ， ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键的是利用两圆外切圆心距等于半径之和，求参数 的值关键是设直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可得 、 、 代入 即可 .
2、 （答案不唯一）
【分析】
可取满足 题意的 ，求出其原函数，令 解出 ，从而得到符合题意的
【详解】
可令 ，满足
则
故
故
故答案为： （本题答案不唯一）
3、 3
【分析】
将 分别用 的线性组合表示出来，然后根据向量的平行四边形法则结合线段长度求解出 的结果 .
【详解】
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 为等边三角形，所以 ，
所以 ，
故答案为： .
4、
【分析】
由已知求出三棱锥 的外接球 半径，求出 ，进一步求出 的范围，从而得出答案即可．
【详解】
由题意可知， ，所以球的半径为 ，分别取球 的两条弦 的中点 ，
则 ，即弦 分别是以 为球心，
半径为 3 和 2 的球的切线，且弦 在以 为球心，半径为 2 的球的外部，
的最大距离为 ，最小距离为 ．
当 三点共线时，分别取最大值 与最小值 ．
故 的伴随球半径分别为 ，
半径为 时， 的伴随球的体积为 ，
当半径为 时， 的伴随球的体积 ．
∴ 的伴随球的表面积的取值范围是 ．
故答案为： ．
三、解答题
1、 （ Ⅰ ） ；（ Ⅱ ）若选择 ① ， 的周长为 9. 若选择 ② ， 的周长为 . 若选择 ③ ， 的周长为
【分析】
（ Ⅰ ）利用正弦定理边化角，结合两角差的余弦公式，辅助角公式，可得 ，结合角 B 的范围，即可求得答案；
（ Ⅱ ）若选择 ① ，利用面积公式，可求得 ac 的值，利用余弦定理，可求得 a+c 的值，即可得答案；若选择 ② ，利用正弦定理可求得 a 的值，利用余弦定理，可求得 c 的值，即可得答案；若选择 ③ ，利用余弦定理，可求得 c 的值，进而可得 a 的值，即可得答案 .
【详解】
（ Ⅰ ）因为 ，利用正弦定理边化角可得：
，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
又 ，则 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，则 ，
所以 或 （舍），解得 .
（ Ⅱ ）若选择 ① ，则 ，所以 ，
又 ，且 ，
所以 ，解得 a+c =6 ，
所以 的周长 =6+3=9.
若选择 ② ：因为 ，所以 ，
又 ，
因为 ，解得 ，
所以 的周长 = ；
若选择 ③ ： ，
因为 ，解得 ，所以 ，
所以 的周长
【点睛】
解题的关键是熟练掌握三角恒等变换公式、正余弦定理、面积公式等知识，根据三角函数值求角度时，需注意角度的范围，再求解，考查计算化简的能力，属中档题 .
2、 （ 1 ） ；（ 2 ）答案见解析 .
【分析】
（ 1 ）利用 与 的关系即可求解 .
（ 2 ）若选 ① ：利用裂项求和法即可求解；若选 ② ：利用错位相减法即可求解；若选 ③ ：
利用分组并项求和即可求解 .
【详解】
（ 1 ）因为 ，所以 ，
所以 ，
当 时， 适合上式，
所以 .
（ 2 ）若选 ① ：
因为
，
所以 .
若选 ② ：
因为 ，
所以 ，
则 ，
两式相减可得：
，
所以 ，
若选 ③ ：
，
当 为偶数时，
；
当 为奇数时，
；
综上： .
3、 （ 1 ）证明见解析；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）根据已知条件证明 ，根据线面垂直的判定定理即可得到 平面 ；
（ 2 ）根据已知条件建立合适的空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值求解出 与平面 所成角的正弦值 .
【详解】
解：（ 1 ）证明：取 的中点 ，连接 ，
设 ， ，依题意，四边形 为正方形，
且有 ， ，
∴ ，则 .
又平面 底面 ，平面 底面 ， ∴ 平面
（ 2 ）过点 作 的垂线，交 延长线于点 ，连接 ，
∵ 平面 底面 ，平面 底面 ， ， 平面 ， 底面 ，
故 为斜线 在底面 内的射影， 为斜线 与底面 所成的角，即 .
由（ 1 ）得， ， ∴ 在 中， ， ，
在 中， ， ， ，由余弦定理得 ，
∴ ，从而 ，过点 作 ， ∴ 底面 ， ∴ 、 、 两两垂直，
如图，以点 为坐标原点， 为 轴正方向， 为 轴正方向， 为 轴正方向建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
设平面 的法向量 ，由 ，取 ，得 ，
又 ， ∴ ，
∴ 与平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】
方法点睛：求解线面角的正弦值的两种方法：
（ 1 ）几何法：通过线面垂直的证明，找到线面角，通过长度的比值即可计算线面角的正弦值；
（ 2 ）向量法：求解出直线的方向向量和平面的法向量，根据直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值求解出结果 .
4、 （ 1 ） ，约为 秒；（ 2 ）分布列见解析， .
【分析】
(1) 将所求回归方程转化为线性回归方程 ，然后根据 即可得回归方程，然后用极限思想即可得出最终每天魔方还原的平均速度；（ 2 ）先求出 X=3,4,6,9 对应的概率，即可列出分布列，根据数学期望公式即可求解 .
【详解】
（ 1 ）由题意可知： ，
，
所以 ，因此 y 关于 x 的回归方程为 ，
所以最终每天魔方还原的平均速度 y 约为 秒；
（ 2 ）由题意可知： X 的可能取值为 3 ， 4 ， 6 ， 9 ，
P ( X =3)= ， P ( X =4) ，
P ( X =6) ， P ( X =9) ，
所以 X 的分布列为：
X
3
4
6
9
P
数学期望为 .
5、 （ 1 ） ；（ 2 ）最大值为 .
【分析】
（ 1 ）根据离心率公式，可得 ，将 代入方程，结合 a,b,c 的关系，列出方程组，即可求得 a ， b ， c 的值，即可求得答案 .
（ 2 ）当直线 斜率不存在时，设 ，代入椭圆方程，根据题干条件，解得 ，矛盾，故舍去，当直线 斜率不存在， ，与椭圆 C 联立，可得关于 x 的一元二次方程，
根据韦达定理可得 的表达式，结合题干条件，化简整理，可得 ，分析整理，可得直线 过点 ，即可求得答案 .
【详解】
（ 1 ）由题 ，解得： ，
所以 的标准方程为
（ 2 ）若直线 斜率不存在，设 ，
则 ，解得 ，此时 重合，舍去 .
若直线 斜率存在，设直线 ，
联立 ，得 ，
所以 ，
由题意 ，即
化简得
因此
化简得 ，即
若 ，则 ，直线 过点 ，舍去，
所以 ，即 ，因此直线 过点 .
又点 ，所以点 到直线 距离最大值即 ，
此时 ，符合题意 .
所以点 到直线 距离最大值为
【点睛】
易错点为需讨论直线 斜率是否存在，解题的关键是联立直线与曲线方程，根据韦达定理，求得 的表达式，再代入题干条件，化简整理，才能求得答案，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题 .
6、 （ 1 ）单调减区间为 和 ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ） 定义域为 ，先由 求出 ，可得 ， ，由 可得单调递增区间，由 可得单调递减区间；
（ 2 ）由题意得 对任意 恒成立 , 设 ，则 对任意 恒成立 . 对 求导，讨论 求 最小值，让 即可求解 .
【详解】
（ 1 ） 定义域为 .
因为 .
所以 在 处的切线斜率为 ，
解得： ，
所以 ， .
令 可得： 或 ，
的单调减区间为 和 ；
（ 2 ）由题 对任意 恒成立，
等价于 对任意 恒成立，
设 ，则 对任意 恒成立，
则 ， ，
所以 在 单调递增，又 ，
若 ，则 ，所以 恒成立，所以 在 单调递增，
又 ，所以 恒成立，符合题意 .
若 ， , 使得 ，则 在 递减，
又 ，所以 不符合题意，舍去 .
综上所述， .
【点睛】
方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法
（ 1 ）确定函数 的定义域；求导函数 ，由 （或 ）解出相应的 的范围，对应的区间为 的增区间（或减区间）；
（ 2 ）确定函数 的定义域；求导函数 ，解方程 ，利用 的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论 的正负，由符号确定 在子区间上的单调性 .
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