山西省2021年九年级上学期10月月考数学试题含解析.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共10题）
1、 若点 A （ 1 ， 3 ）在反比例函数 y 的图象上，则 k 的值是（　　）
A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
2、 a ， b ， c ， d 是成比例线段，若 a = 3cm ， b = 2cm ， c = 6cm ，则线段 d 的长为（ ）
A ． 3cm B ． 4cm C ． 5cm D ． 6cm
3、 如图，在山西旅游景区地图上，图上距离与实际距离之比约 1 :10000000 ，若从太原到大同云冈石窟所在 地的实际距离约为 251.0 km ，则这两地的图上距离约为（    ） cm ．

A ． 0.251 B ． 2.51 C ． 25.1 D ． 251
4、 如图，已知 ∠1 ＝ ∠2 ，那么添加一个条件后，仍不能判定 △ ABC 与 △ ADE 相似的是（　　）

A ． ∠ C ＝ ∠ AED B ． ∠ B ＝ ∠ D C ． D ．
5、 如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知 AB ^ BD ， CD ^ BD ，且测得 AB = 4m ， BP = 6m ， PD = 12m ，那么该古城墙 CD 的高度是（ ）

A ． 8m B ． 9m C ． 16m D ． 18m
6、 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．在设计人体雕像时，使雕像的下部 ( 腰以下 ) 与全部 ( 全身 ) 的高度比值接近 0.618 ，可以增加视觉美感．如果雕像的高为 2 m ，那么它的下部应设计为 ( 结果保留两位小数 )( )

A ． 1.23 m B ． 1.24 m C ． 1.25 m D ． 1.236 m
7、 已知反比例函数 y ＝ （ k 为常数）与正比例函数 的图象有交点， k 的取值范围是（　　）
A ． k ＞ 0 B ． k ＜ 0 C ． k ＞ 3 D ． k ＜ 3
8、 若点（ x 1 ， y 1 ），（ x 2 ， y 2 ）都在反比例函数 y = 的图象上，且 0 < x 1 < x 2 ，则 y 1 与 y 2 的大小关系为（　　）
A ． y 1 > y 2 B ． y 1 ³ y 2 C ． y 1 < y 2 D ． y 1 £ y 2
9、 如图，原点在网格格点上的平面直角坐标系中，两个三角形（顶点均在网格的格点上）是以点 为位似中心的位似图形，则点 的坐标是（ ）

A ． B ． C ． D ．
10、 如图，矩形 ABCD 中， F 是 AD 上一点， CF ⊥ BD ，若 DF =1 ， BC =4 ，则 CD 为（　）

A ． B ． C ． 2 D ． 2
二、填空题（共8题）
1、 若 = ，则 的值为 _____ ．
2、 在照明系统模拟控制电路实验中，研究人员发现光敏电阻值 R （单位： W ) 与光照度 E （单位： lx) 之间成反比例函数关系，部分数据如下表所示：
光照度 E / lx
0.5
1
1.5
2
2.5
3
光敏电阻阻值 R / W
60
30
20
15
12
10
则光敏电阻值 R 与光照度 E 的函数表达式为 ___ ．
3、 写出一个当 x < 0 时， y 随 x 的增大而增大的函数： ___ ．
4、 若正比例函数 y = kx 与反比例函数 y = 的一个交点坐标为 （ - 2 ， 3 ），则另一个交点为 _____ ．
5、 如图，已知 AC / / EF / / BD ．如果 AE : EB = 2 : 3 ， CF = 6 ．那么 CD 的长等于 ______ ．

6、 复印纸型号多样，而各型号复印纸之间存在这样的关系：将其中一型号纸张（如 A 3 纸）沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号（ A 4 纸）的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似（即 A 3 纸与 A 4 纸相似），则这些型号的复印纸宽与长之比为 ________ ．

7、 如图，在 D ABC 中，点 A 的坐标为（ 3 ， 6 ） ，以原点 O 为位似中心，将 D ABC 位似缩小后得到 △ A ¢ B ¢ C ¢ ．若 点 A ¢ 的坐标为 （ 1 ， 2 ）， △ A ¢ B ¢ C ¢ 的面积为 1 ，则 D ABC 的面积为 _________ ．

8、 如图，正方形 ABCD 的边长为 2 ， E 是线段 CD 上一点，连接 AE ，将 D ADE 沿 AE 翻折至 D AEF ，连接 BF 并延长 BF 交 AE 延长线于点 P ，若 BF =4 ，则 DE 的长度为 _______ ．

三、解答题（共4题）
1、 在正方形网格中，每个小正方形的边长为 1 ， D ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．

（ 1 ）以点 C 为位似中心，将 D ABC 放大两倍得到 △ A 1 B 1 C ，请在坐标系中画 ；
（ 2 ）点 A 的对应点 A 1 的坐标为 ；点 B 的对应点 B 1 的坐标为 ．
2、 如图，一次函数 y 1 = kx + b 与反比例函数 y 2 = 的图象交于 A （ 3 ， 1 ） 、 B （ - 1 ， n ）两点．

（ 1 ）求反比例函数和一次函数的表达式．
（ 2 ）请直接写出 x 取何值时， y 1 > y 2 ．
3、 如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得 1 米长的竹竿竖直放置时影长 1.5 米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为 21 米，留在墙上的影高为 2 米，求旗杆的高度．

4、 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的 “ 相似对角线 ” ．

（ 1 ）如图 1 ， D ABC 的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形 ABCD 是以 AC 为 “ 相似对角线 ” 的四边形，请只用无刻度的直尺，就可以在网格中画出点 D ，请你在图 1 中找出满足条件的点 D ，保留画图 痕迹（找出 2 个即可）
（ 2 ） ① 如图 2 ，在四边形 ABCD 中， Ð DAB = 90 ° , Ð DCB = 135 ° ，对角线 AC 平分 Ð DAB ．请问 AC 是四边形 ABCD 的 “ 相似对角线 ” 吗？请说明理由；
② 若 AC ＝ ，求 AD × AB 的值．
（ 3 ）如图 3 ，在（ 2 ）的条件下，若 ∠D=∠ACB =90° 时，将 △ADC 以 A 为位似中心，位似比为 缩小 得到 △AEF ，连接 CE 、 BF ，在 △AEF 绕点 A 旋转的过程中，当 CE 所在的直线垂直于 AF 时，请你直接写出 BF 的长．

============参考答案============
一、选择题
1、 C
【分析】
利用待定系数法把（ 1 ， 3 ）代入反比例函数 得到关于 k 的一元一次方程，解之即可．
【详解】
解：把（ 1 ， 3 ）代入反比例函数 得：
＝ 3 ，
解得： k ＝ 3 ，
故选择 C ．
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确掌握待定系数法求反比例函数解析式方法，把图象上点的坐标代入是解题的关键．
2、 B
【分析】
根据 a 、 b 、 c 、 d 是成比例线段，得 a ： b ＝ c ： d ，再根据比例的基本性质，求出 d 的值即可；
【详解】
解： ∵ a 、 b 、 c 、 d 是成比例线段，
∴ a ： b ＝ c ： d ，
∵ a ＝ 3cm ， b ＝ 2cm ， c ＝ 6cm ，
∴ d ＝ 4cm ；
故选： B ．
【点睛】
本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解．
3、 B
【分析】
根据比例尺＝图上距离：实际距离，直接求出即可．
【详解】
解： 251.0km ＝ 25100000cm ，
∴ 比例尺＝ 1 ： 10000000 ＝ 2.51 ： 25100000 ；
故选： B ．
【点睛】
本题主要考查了比例尺，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一．
4、 C
【分析】
根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【详解】
解： ∵∠1 ＝ ∠2
∴∠ DAE ＝ ∠ BAC
∴ A ， B ， D 都可判定 △ ABC ∽△ ADE
选项 C 中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选： C ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定： ① 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； ② 如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似； ③ 如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
5、 A
【分析】
利用入射与反射得到 ∠ APB ＝ ∠ CPD ，则可判断 ，于是根据相似三角形的性质即可求出 CD ．
【详解】
解：根据题意得 ∠ APB ＝ ∠ CPD ，
∵ AB ⊥ BD ， CD ⊥ BD ，
∴∠ ABP ＝ ∠ CDP ＝ 90° ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ．
答：该古城墙 CD 的高度为 8m ．
故选： A ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射的原理构建相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决．
6、 B
【分析】
把雕像的高 2m 乘以 0.618 ，然后进行近似计算．
【详解】
∵ 雕像的下部 ( 腰以下 ) 与全部 ( 全身 ) 的高度比值接近 0.618 ，
∴ 雕像的下部 ( 腰以下 ) 的长＝ 0.618×2≈1.24( m ) ．
故选 B ．
【点睛】
本题考查了黄金分割的定义：把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC （ AC ＞ BC ），且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项（即 AB ： AC=AC ： BC ），叫做把线段 AB 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点．其中 AC= AB≈0.618AB ，并且线段 AB 的黄金分割点有两个．
7、 C
【分析】
先根据正比例函数 的解析式判断出函数图象所经过的象限，再根据反比例函数的性质判断出 的取值范围．
【详解】
解：由正比例函数 可知直线过一、三象限，
反比例函数 为常数）与正比例函数 的图象有交点，
反比例函数 为常数）位于一、三象限，
，
，
故选： ．
【点睛】
本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．
8、 C
【分析】
根据反比例函数图象的增减性解答．
【详解】
解： ∵ 反比例函数 y ＝ 中的 k ＝ ，
∴ 反比例函数 y ＝ 的图象经过第二、四象限，且在每一象限内 y 的值随 x 的值增大而增大．
∵ （ x 1 ， y 1 ），（ x 2 ， y 2 ）， 0 < x 1 < x 2 ，即这两点都位于第四象限，
∴ y 1 < y 2 ．
故选： C ．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，需要熟练掌握反比例函数图象的性质，难度不大．
9、 A
【分析】
根据位似中心的概念作图，根据坐标与图形性质解答即可．
【详解】
解：分别连接 、 并延长交于点 ，
则点 为位似中心，
故选： A ．

【点睛】
本题考查的是位似图形的概念，掌握位似图形的对应顶点的连线相交于一点，这个点叫做位似中心是解题的关键．
10、 C
【分析】
根据已知条件证明 ，得到 ，即可得解；
【详解】
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ ，
又 ∵ CF ⊥ BD ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ DF =1 ， BC =4 ，
∴ ，
∴ ；
故选 C ．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，准确分析计算是解题的关键．
二、填空题
1、 /
【分析】
根据比例的性质若 ，则有 解答即可．
【详解】
解： ∵ =
∴
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了比例的性质，理解运用该性质是解题的关键．
2、
【分析】
根据 是一个定值求解即可；
【详解】
由题意可得： ，
∴ ．
故答案是 ．
【点睛】
本题主要考查了根据表格求解反比例函数解析式，准确分析列式是解题的关键．
3、 （答案不唯一）
【分析】
根据题意和反比例函数的性质可以写出一个符合要求的函数解析式，本题得以解决．
【详解】
解： 当 时， 随 的增大而增大，
此函数的解析式可以为 ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】
本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，注意本题答案不唯一．
4、 （ 2 ， -3 ）
【分析】
根据正比例函数 与反比例函数 的两个交点关于原点对称，即可得出答案．
【详解】
解： 正比例函数 与反比例函数 的一个交点坐标为 ，
由对称性可得另一个交点为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，掌握正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点对称是解题的关键．
5、 15
【分析】
根据平行线分线段成比例求解即可；
【详解】
∵ AC / / EF / / BD ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案是 15 ．
【点睛】
本题主要考查了平行线分线段成比例，准确计算是解题的关键．
6、
【分析】
设这些型号的复印纸的长、宽分别为 b 、 a ，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．
【详解】
解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为 、 ，
得到的矩形都和原来的矩形相似，
，则 ，
，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形的性质为： ① 对应角相等； ② 对应边的比相等．
7、
【分析】
根据 点和 A ¢ 的坐标的横坐标和纵坐标之比求得两个三角形的位似比，根据相似比等于位似比，以及面积比等于相似比的平方，以及 △ A ¢ B ¢ C ¢ 的面积即可求得 D ABC 的面积．
【详解】
点 A 的坐标为（ 3 ， 6 ），点 A ¢ 的坐标为 （ 1 ， 2 ）
D ABC 与 △ A ¢ B ¢ C ¢ 的相似比为

△ A ¢ B ¢ C ¢ 的面积为 1 ，
D ABC 的面积为 9
故答案为： 9
【点睛】
本题考查了位似图形的性质，相似比等于位似比，相似三角形的性质，理解位似比等于相似比是解题的关键．
8、 /
【分析】
作 AM ⊥ BP 于 M 点， EN ⊥ BP 于 N 点，首先根据题意证明出 △ AMP 和 △ ENP 均为等腰直角三角形，然后利用相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】
解：如图所示，作 AM ⊥ BP 于 M 点， EN ⊥ BP 于 N 点，
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴ AD = AB ， ∠ BAD =90° ，
由翻折的性质可知， AD = AF =2 ， ∠ DAE =∠ EAF ，
∴ AB = AF =2 ，
∵ AM ⊥ BF ，
∴ BM = FM = BF =2 ， ∠ BAM =∠ FAM ，
∴∠ PAM =∠ PAF +∠ BAF = ∠ BAD =45° ，
∵∠ AMP =90° ，
∴∠ P =∠ PAM =45° ，
∴ AM = PM ，
在 △ AMF 中， ，
∴ PM = AM =4 ，
∵ EN ⊥ BP ，
∴∠ ENP =90° ，
∴∠ P =∠ PEN =45° ，
∴ PN = EN ，
设 PN = EN = x ，则 FN = PM = MF - PN =2- x ，
∵∠ AFE =∠ D =90° ，
∴∠ AFM +∠ EFN =90° ，
∵∠ MAF +∠ AFM =90° ，
∴∠ MAF =∠ NFE ，
∴△ MAF ∽△ NFE ，
∴ ，
即： ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．

【点睛】
本题考查正方形中的翻折问题，掌握正方形的基本性质，熟练运用相似三角形的判定与性质是解题关键．
三、解答题
1、 （ 1 ）见解析；（ 2 ） ； ．
【分析】
（ 1 ）延长 AC 到 使 ，延长 BC 到 使 ，则可得到 ；
（ 2 ）根据在正方形网格中，每个小正方形的边长为 1 及所作图形，即可得出 、 的坐标．
【详解】
解：（ 1 ）如图， 即为所作图形．

（ 2 ） ∵ 在正方形网格中，每个小正方形的边长为 1 ，
∴ ， ，
故答案为： ， ．
【点睛】
本题考查了作图 ---- 位似变换以及求位似图形的对应坐标，画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
2、 （ 1 ） ；（ 2 ） 或 ．
【分析】
（ 1 ）把 A 点坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，再求出 B 点坐标，把 A 、 B 的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；
（ 2 ）找出直线在反比例函数图形的上方的自变量 x 的取值即可．
【详解】
解：（ 1 ） ∵ 点 A （ 3 ， 1 ）在反比例函数 y ＝ 的图象上，
∴ m ＝ 3×1 ＝ 3 ，
∴ 反比例函数的表达式为 ，
∵ 点 B （ −1 ， n ）也在反比例函数 的图象上，
∴ n ＝ ＝ −3 ，即 B （ −1 ， −3 ），
把点 A （ 3 ， 1 ），点 B （ −1 ， −3 ）代入一次函数 y ＝ kx ＋ b 中，
得 ，
解得 ，
∴ 一次函数的表达式为 y ＝ x −2 ；
（ 2 ）由图可知，当 或 时 y 1 > y 2 ．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，数形结合是解题的关键．
3、 16 米
【分析】
过 C 作 CE ⊥ AB 于 E ，首先证明四边形 CDBE 为矩形，可得 BD ＝ CE ＝ 21 ， CD ＝ BE ＝ 2 ，设 AE ＝ x ，则 ，求出 x 即可解决问题．
【详解】
解：过 C 作 CE ⊥ AB 于 E ，
∵ CD ⊥ BD ， AB ⊥ BD ，
∴∠ EBD ＝ ∠ CDB ＝ ∠ CEB ＝ 90° ，
∴ 四边形 CDBE 为矩形，
∴ BD ＝ CE ＝ 21 ， CD ＝ BE ＝ 2 ，
设 AE ＝ x ，
∴ ，
解得： x ＝ 14 ，
∴ 旗杆的高 AB ＝ AE + BE ＝ 14+2 ＝ 16 米．

【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用物长：影长 = 定值，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
4、 （ 1 ）见解析；（ 2 ） ① AC 是四边形 ABCD 的 “ 相似对角线 ” ，理由见解析； ② AD × AB 的值为 10 ；（ 3 ） BF 的长为 或 ．
【分析】
（ 1 ）先求出 AB ， BC ， AC ，再分情况求出 CD 或 AD ，即可画出图形；
（ 2 ）先判断出 即可得出结论．
（ 3 ）分两种情况， ① 延长 CE 交 AF 于点 H ，先由 得出 ， ，再得出 ，再求出 ，继而求出 即可得出结论． ② 设 AF 与 EC 交于点 G ，先得出 △ AGE 为等腰直角三角形，再得出 ，再得出 ，继而求出 ，即可得出结论．
【详解】
解：（ 1 ）如图 1 所示． AB ＝ ， BC ＝ 2 ， ∠ ABC ＝ 90° ， AC ＝ 5 ，
∵ 四边形 ABCD 是以 AC 为 “ 相似对角线 ” 的四边形，

① 当 ∠ ACD ＝ 90° 时， △ ACD ∽△ ABC 或 △ ACD ∽△ CBA ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
∴ CD ＝ 2.5 或 CD ＝ 10 ，
同理：当 ∠ CAD ＝ 90° 时， AD ＝ 2.5 或 AD ＝ 10 ，
如图中， 即为所求；
（ 2 ） ①∵ ， AC 平分 ，
∴ ，
∴ ，
又 ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ AC 是四边形 ABCD 的 “ 相似对角线 ” ，
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（ 3 ） ① 由（ 2 ）可知 △ ADC 为等腰直角三角形， ，
∴ ，
∵ ，且相似比为 ，
∴ ， ，
如图，延长 CE 交 AF 于点 H ，由题意可得： EH ⊥ AF 于 H ，

∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ,
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ ；
② 如图，设 AF 与 EC 交于点 G ，

∵ AF ⊥ CE ，
∴△ AGE 为等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
在 Rt △ AGC 中， ，
∴ ，
同理可证 ，
∴ 即 ，
∴ ，
综上， 或 ．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，理解新定义，勾股定理，判断两三角形相似是解本题的关键．