2021年湖北省荆州市数学中考试题含详解.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共10题）
1、 在实数 ， 0 ， ， 中，无理数是（ ）
A ． B ． 0 C ． D ．
2、 如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）

A ． B ． C ． D ．
3、 若等式 + （    ） = 成立，则括号中填写单项式可以是（ ）
A ． B ． C ． D ．
4、 阅读下列材料，其 ① ～ ④ 步中数学依据错误的是（    ）
如图：已知直线 ， ，求证： ．

证明： ①∵ （已知）
∴ （垂直的定义）
② 又 ∵ （已知）
③∴ （同位角相等，两直线平行）
∴ （等量代换）
④∴ （垂直的定义）．
A ． ① B ． ② C ． ③ D ． ④
5、 若点 关干 轴的对称点在第四象限，则 的取值范围在数轴上表示为（ ）
A ． B ．
C ． D ．
6、 已知：如图，直线 与双曲线 在第一象限交于点 ，与 轴、 轴分别交于 ， 两点，则下列结论错误的是（ ）

A ． B ． 是等腰直角三角形
C ． D ．当 时，
7、 如图，矩形 的边 ， 分别在 轴、 轴的正半轴上，点 在 的延长线上．若 ， ，以 为圆心、 长为半径的弧经过点 ，交 轴正半轴于点 ，连接 ， 、则 的度数是（ ）

A ． B ． C ． D ．
8、 如图，在 中， ， ，点 ， 分别是图中所作直线和射线与 ， 的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ）

A ． B ． C ． D ．
9、 如图，在菱形 中， ， ，以 为圆心、 长为半径画 ，点 为菱形内一点，连接 ， ， ．当 为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）

A ． B ． C ． D ．
10、 定义新运算 “※” ：对于实数 ， ， ， ，有 ，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如： ．若关于 的方程 有两个实数根，则 的取值范围是（ ）
A ． 且 B ． C ． 且 D ．
二、解答题（共8题）
1、 先化简，再求值： ，其中 ．
2、 已知： 是不等式 的最小整数解，请用配方法解关于 的方程 ．
3、 如图，在 的正方形网格图形中小正方形的边长都为 1 ，线段 与 的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上．请在网格图形中画图：

（ 1 ）以线段 为一边画正方形 ，再以线段 为斜边画等腰直角三角形 ，其中顶点 在正方形 外；
（ 2 ）在（ 1 ）中所画图形基础上，以点 为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形 和 面积之和，其它顶点也在格点上．
4、 高尔基说： “ 书，是人类进步的阶梯． ” 阅读可以启智增慧，拓展视野， …… 为了解学生寒假阅读情况．开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（ 24 天）的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为 （小时），阅读总时间分为四个类别： ， ， ， ，将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整）．

根据以上信息，回答下列问题：
（ 1 ）本次抽样的样本容量为 __________ ；
（ 2 ）补全条形统计图；
（ 3 ）扇形统计图中 的值为 __________ ，圆心角 的度数为 __________ ；
（ 4 ）若该校有 2000 名学生，估计寒假阅读的总时间少于 24 小时的学生有多少名？对这些学生用一句话提一条阅读方面的建议．
5、 小爱同学学习二次函数后，对函数 进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到如
下的函数图像．请根据函数图象，回答下列问题：

（ 1 ）观察探究：
① 写出该函数的一条性质： __________ ；
② 方程 的解为： __________ ；
③ 若方程 有四个实数根，则 的取值范围是 __________ ．
（ 2 ）延伸思考：
将函数 的图象经过怎样的平移可得到函数 的图象？写出平移过程，并直接写出当 时，自变量 的取值范围．
6、 小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在 “ 母亲节 ” 祝福妈妈．已知买 2 支百合和 1 支康乃馨共需花费 14 元， 3 支康乃馨的价格比 2 支百合的价格多 2 元．
（ 1 ）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
（ 2 ）小美准备买康乃馨和百合共 11 支，且百合不少于 2 支．设买这束鲜花所需费用为 元，康乃馨有 支，求 与 之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．
7、 在矩形 中， ， ， 是对角线 上不与点 ， 重合的一点，过 作 于 ，将 沿 翻折得到 ，点 在射线 上，连接 ．
（ 1 ）如图 1 ，若点 的对称点 落在 上， ，延长 交 于 ，连接 ．

① 求证： ；
② 求 ．
（ 2 ）如图 2 ，若点 的对称点 落在 延长线上， ，判断 与 是否全等，并说明理由．

8、 已知：直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，点 为直线 上一动点，连接 ， 为锐角，在 上方以 为边作正方形 ，连接 ，设 ．
（ 1 ）如图 1 ，当点 在线段 上时，判断 与 的位置关系，并说明理由；

（ 2 ）真接写出点 的坐标（用含 的式子表示）；
（ 3 ）若 ，经过点 的抛物线 顶点为 ，且有 ， 的面积为 ．当 时，求抛物线的解析式．

三、填空题（共6题）
1、 已知： ， ，则 _____________ ．
2、 有不同的两把锁和三把钥匙，其中两把钥匙能分别打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．任意取出一把钥匙去开任意的一把锁， — 次打开锁的概率是 ______ ．
3、 如图， 是 的直径， 是 的弦， 于 ，连接 ，过点 作 交 于 ，过点 的切线交 的延长线于 ．若 ， ，则 _____________ ．

4、 如图 1 是一台手机支架，图 2 是其侧面示意图， ， 可分别绕点 ， 转动，测量知 ， ．当 ， 转动到 ， 时，点 到 的距离为 _____________cm ．（结果保留小数点后一位，参考数据： ， ）

5、 若关于 的方程 的解是正数，则 的取值范围为 _____________ ．
6、 如图，过反比例函数 图象上的四点 ， ， ， 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ， ， ， ，再过 ， ， ， 分别作 轴， ， ， 的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为 ， ， ， ， ，则 与 的数量关系为 _____________ ．

============参考答案============
一、选择题
1、 D
【分析】
根据无理数的定义，即可求解．
【详解】
解：在实数 ， 0 ， ， 中，无理数是 ，
故选 D ．
【点睛】
本题主要考查无理数的定义，掌握 “ 无限不循环小数是无理数 ” ，是解题的关键．
2、 A
【分析】
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】
解：俯视图是矩形中间有一个圆，圆与两个长相切，
故选： A ．
【点睛】
此题主要考查了简单几何体的三视图，画简单组合体的三视图要通过仔细观察和想象．
3、 C
【分析】
根据同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则，即可求解．
【详解】
解： ∵ - = - = ，
∴ 等式 + （ ） = 成立，
故选 C ．
【点睛】
本题主要考查整式的加减运算，掌握同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则，是解题的关键．
4、 C
【分析】
根据垂直的定义和平行线的性质进行判断即可
【详解】
解：证明： ①∵ （已知）
∴ （垂直的定义）
② 又 ∵ （已知）
③∴ （两直线平行，同位角相等）
∴ （等量代换）
④∴ （垂直的定义）．所以错在 ③
故选： C
【点睛】
本题考查了垂直的定义和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5、 C
【分析】
先根据题意求出点 关于 轴的对称点 坐标，根据点 在第四象限列方程组，求解即可 .
【详解】
∵
∴ 点 关于 轴的对称点 坐标为
∵ 在第四象限
∴
解得：
故选： C
【点睛】
本题考查点关于坐标轴对称点求法，以及根据象限点去判断参数的取值范围，能根据题意找见相关的关系是解题关键．
6、 D
【分析】
把 代入 ，即可判断 A 选项，把 代入 ，即可判断 C ，求出 A ， B 点的坐标，即可判断 B 选项，根据函数图像，即可判断 D ．
【详解】
解： ∵ 直线 与双曲线 在第一象限交于点 ，
∴ ，即： ，故 A 正确，不符合题意，
把 代入 得： ，解得： k =1 ，故 C 正确，不符合题意，
在 中，令 x =0 ，则 ，令 y 1 =0 ，则 x =-1 ，
∴ A (-1 ， 0) ， B (0 ， 1) ，即： OA = OB ，
∴ 是等腰直角三角形，故 B 正确，不符合题意，
由函数图像可知：当 时， ，故 D 错误，符合题意．
故选 D ．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数的图像和性质，掌握函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
7、 C
【分析】
连接 OB ，由题意易得 ∠ BOD =60° ，然后根据圆周角定理可进行求解．
【详解】
解：连接 OB ，如图所示：

∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选 C ．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理、矩形的性质及含 30° 的直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理、矩形的性质及含 30° 的直角三角形的性质是解题的关键．
8、 D
【分析】
根据角平分线的定义和垂直平分线的性质判断 A 、 B ，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角定理判断 C 、 D ．
【详解】
解：根据图中尺规作图可知， AC 的垂直平分线交 AB 于 D ， BP 平分 ∠ ABC ，
∴ ， ；选项 A 、 B 正确；
∵ ，
∴∠ ACD =∠ A =40° ，
∵ ， ，
∴∠ ABC =∠ ACB =70° ，
∴ ，选项 D 错误；

∴∠ BPC =180°-∠ CBP -∠ BCP =115° ，选项 C 正确；
故选： D
【点睛】
本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键
9、 A
【分析】
以点 B 为原点， BC 边所在直线为 x 轴，以过点 B 且与 BC 垂直的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，判断出 ，再根据 ∠ BCP =90° 和 ∠ BPC =90° 两种情况判断出点 P 的位置，启动改革免费进行求解即可．
【详解】
解：以点 B 为原点， BC 边所在直线为 x 轴，以过点 B 且与 BC 垂直的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图，

∵△ BPC 为等腰直角三角形，且点 P 在菱形 ABCD 的内部，
很显然，
① 若 ∠ BCP =90° ，则 CP = BC =2
这 C 作 CE ⊥ AD , 交 AD 于点 E ，
∵ 四边形 ABCD 是菱形
∴ AB = BC = CD = DA =2 ， ∠ D =∠ ABC =60°
∴ CE = CDsin ∠ D =2
∴ 点 P 在菱形 ABCD 的外部，
∴ 与题设相矛盾，故此种情况不存在；
②∠ BPC =90°
过 P 作 PF ⊥ BC 交 BC 于点 F ，
∵△ BPC 是等腰直角三角形，
∴ PF = BF = BC =1
∴ P (1,1) ， F (1,0)
过点 A 作 AG ⊥ BC 于点 G ，
在 Rt △ ABG 中， ∠ ABG =60°
∴∠ BAG =30°
∴ BG = ， AG =
∴ A ，
∴ 点 F 与点 G 重合
∴ 点 A 、 P 、 F 三点共线
∴
∴

∴
故选： A ．
【点睛】
此题主要考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及求不规则图形的面积等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键．
10、 C
【分析】
按新定义规定的运算法则，将其化为关于 x 的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．
【详解】
解： ∵[ x 2 +1 ， x ]※[5−2 k ， k ]=0 ，
∴ ．
整理得， ．
∵ 方程有两个实数根，
∴ 判别式 且 ．
由 得， ，
解得， ．
∴ k 的取值范围是 且 ．
故选： C
【点睛】
本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．
二、解答题
1、 ，
【分析】
先计算括号内的加法，然后化除法为乘法进行化简，继而把 代入求值即可．
【详解】
解：原式 =

当 时，原式
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
2、 ，
【分析】
先解不等式，结合已知得出 a 的值，然后利用配方法解方程即可
【详解】
解： ∵ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∵ 是不等式 的最小整数解，
∴ ；
∴ 关于 的方程 ；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ， ．
【点睛】
本题考查了解不等式以及解一元二次方程，熟练掌握相关的运算方法是解题的关键．
3、 （ 1 ）见解析；（ 2 ）见解析
【分析】
（ 1 ）根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质和网格的特点画出图形即可；
（ 2 ）先计算出新正方形的面积，从而得出边长，根据勾股定理和网格的特点画出图形即可；
【详解】
解：（ 1 ）如图所示

（ 2 ） ∵ 新正方形的面积为正方形 和 面积之和，其它顶点也在格点上．
∴ 新正方形的面积 =9+4=13 ；
∴ 新正方形的边长 =
∴ 新正方形如图所示正方形 BGHK 即为所求

【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是了解如何根据题意构造直角三角形并利用勾股定理．
4、 （ 1 ） 60 ；（ 2 ）见解析；（ 3 ） 20 ， 144° ；（ 4 ） 1000 名，建议见解析，合理即可
【分析】
（ 1 ）从两个统计图可得， “ B 类型 ” 的人数 18 人，占调查人数的 30% ，可求出本次抽样的样本容量；
（ 2 ）先求出 “ C 类型 ” 人数，然后补全条形统计图；
（ 3 ）用 1 减 B 、 C 、 D 的百分比即可得出 的值，用 360° 乘以 C 类型人数所占比例即可得；
（ 4 ）用 2000 乘以总时间少于 24 小时的百分比，建议合理即可．
【详解】
解：（ 1 ） ∵18÷30%=60 ，
∴ 本次抽样的样本容量为 60 ；
（ 2 ）类型 C 的学生人数为： 60-12-18-6=24 ，
如图，即为补全的条形统计图；

（ 3 ） ∵ a %=1-30%-40%-10%=20% ， ∴ a =20
圆心角 =360°×40%=144°
（ 3 ） 2000× （ 20%+30% ） =1000 （名），
∴ 估计该校有 1000 名学生寒假阅读的总时间少于 24 小时．
同学们要利用寒假多阅读，提高本身的知识水平，扩大视野．
【点睛】
本题考查了用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解决本题的关键是熟练掌握相关知识．
5、 （ 1 ） ① 关于 y 轴对称； ② ； ③ ；（ 2 ）将函数 的图象先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度可得到函数 的图象，当 时，自变量 的取值范围为 或 ．
【分析】
（ 1 ） ① 根据函数图象可直接进行作答； ② 由函数图象及方程可得当 y =-1 时，自变量 x 的值，则可看作直线 y =-1 与函数 的图象交点问题，进而问题可求解； ③ 由题意可看作直线 y = a 与函数 的图象有四个交点的问题，进而问题可求解；
（ 2 ）由函数图象平移可直接进行求解，然后结合函数图象可求解 x 的范围问题．
【详解】
解：（ 1 ） ① 由图象可得：该函数的一条性质为关于 y 轴对称，（答案不唯一）；
故答案为关于 y 轴对称；
② 由题意及图象可看作直线 y =-1 与函数 的图象交点问题，如图所示：

∴ 方程 的解为 ；
故答案为 ；
③ 由题意可看作直线 y = a 与函数 的图象有四个交点的问题，如图所示：

∴ 由图象可得若方程 有四个实数根，则 的取值范围是 ；
故答案为 ；
（ 2 ）由题意得：将函数 的图象先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度可得到函数 的图象，则平移后的函数图象如图所示：

∴ 由图象可得：当 时，自变量 x 的取值范围为 或 ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
6、 （ 1 ）买一支康乃馨需 4 元，一支百合需 5 元；（ 2 ） ， ，当购买康乃馨 9 支，百合 2 支时，所需费用最少，最少费用为 46 元．
【分析】
（ 1 ）设买一支康乃馨需 x 元，一支百合需 y 元，然后根据题意可得 ，进而求解即可；
（ 2 ）由（ 1 ）及题意可直接列出 与 之间的函数关系式，进而可得 ，然后根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】
解：（ 1 ）设买一支康乃馨需 x 元，一支百合需 y 元，由题意得：
，
解得： ，
答：买一支康乃馨需 4 元，一支百合需 5 元．
（ 2 ）由（ 1 ）及题意得：百合有（ 11- x ）支，则有，
，
∵ 百合不少于 2 支，
∴ ，解得： ，
∵-1 ＜ 0 ，
∴ w 随 x 的增大而减小，
∴ 当 x =9 时， w 取最小值，最小值为 ，
∴ 当购买康乃馨 9 支，百合 2 支时，所需费用最少，最少费用为 46 元．
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用及一元一次不等式与二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数的应用及一元一次不等式与二元一次方程组的应用是解题的关键．
7、 （ 1 ） ① 见解析； ② ；（ 2 ）不全等，理由见解析
【分析】
（ 1 ） ① 先根据同角的余角相等得出 ∠ DCG =∠ AGH ，再根据两角对应相等，两三角形相似即可得出结论；
② 设 EF = x ，先证得 △ AEF △ ADC ，得出 = = = ，再结合折叠的性质得出 AE = EG =2 x ，
AG =4 x ， AH =2 EF =2 x ，再由 △ CDG △ GAH ，得出比例式 = = ，求出 EF 的长，从而得出 的值，即可得出答案；
（ 2 ）先根据两角对应相等，两三角形相似得出 △ AEF △ ACG ，得出比例式 = ，得出 EF = ，
AE = ， AF = ，从而判定 与 是否全等．
【详解】
（ 1 ） ① 在矩形 ABCD 中， ∠ BAD =∠ D =90°
∴∠ DCG +∠ DGC =90°
又 ∵∠ FGC =90°
∴∠ AGH +∠ DGC =90°
∴∠ DCG =∠ AGH
∴△ CDG △ GAH
② 设 EF = x
∵△ AEF 沿 EF 折叠得到 △ GEF
∴ AE = EG
∵ EF ⊥ AD
∴∠ AEF =90°=∠ D
∴ EF // CD // AB
∴△ AEF △ ADC
∴ =
∴ = = =
∴ AE = EG =2 x
∴ AG =4 x
∵ AE = EG ， EF // AB
∴ = =
∴ AH =2 EF =2 x
∵△ CDG △ GAH
∴ = =
∴ = =
∴ x =
∴ = =
∵∠ FCG =90°
∴ tan ∠ GHC = =
（ 2 ）不全等 理由如下：
在矩形 ABCD 中， AC = = =
由 ② 可知： AE =2 EF
∴ AF = = EF
由折叠可知， AG =2 AE =4 EF ， AF = GF
∵∠ AEF =∠ GCF ， ∠ FAE =∠ GAC
∴△ AEF △ ACG
∴ =
∴ =
∴ EF =
∴ AE = ， AF =
∴ FC = AC - AF =2 - =
∴ AE FC ， EF FC
∴ 不全等
【点睛】
本题考查了矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识，得出 AE =2 EF 是解题的关键．
8、 （ 1 ） BE ⊥ AB ，理由见解析；（ 2 ）（ ）或（ ）；（ 3 ）
【分析】
（ 1 ）先求出点 A 、 B 的坐标，则可判断 △ AOB 是等腰直角三角形，然后结合正方形的旋转可证明 △ AOC ≌△ BOE （ SAS ），可得 ∠ OBE =∠ OAC =45° ，进而可得结论；
（ 2 ） ① 当点 C 在第一象限时，作辅助线如图 1 （见解析），根据正方形的性质可证 △ MOC ≌△ NEO ，可得 CM = ON ， OM = EN ，由（ 1 ）的结论可得 AC = BE = t ，然后解等腰直角 △ ACM ，可求出 ， 进而可得答案； ② 当点 C 在第四象限时，如图所示作 C´H ⊥ OA 于点 H ，作 E´F ⊥ x 轴于点 F ，根据正方形的性质可证 △ HOC´ ≌△ FE´O ，可得 HC´ = OF ， OH = E´F ，然后同（ 1 ）中证明 △ AOC´ ≌△ BOE´ 得到 AC´ = BE´ = t ，然后解等腰直角 △ AC´H ，可求出 ， ， E´F = OH = OA + AH = 进而可得答案；
（ 3 ）由抛物线过点 A 结合已知条件可求出抛物线的对称轴是直线 x =2 ，然后由（ 2 ）可求出当 时 k =1 ，进一步即可求出点 P 的纵坐标，从而可得顶点 P 的坐标，于是问题可求解．
【详解】
解：（ 1 ） BE ⊥ AB ，理由如下：
对于直线 y =- x +1 ，当 x =0 时， y =1 ，当 y =0 时， x =1 ，
∴ B （ 0 ， 1 ）， A （ 1 ， 0 ），
∴ OA = OB =1 ，
∴∠ OBA =∠ OAB =45° ，
∵ 四边形 OCDE 是正方形，
∴ OC = OE ， ∠ COE =90° ，
∵∠ AOB =90° ，
∴∠ AOC =∠ BOE ，
∴△ AOC ≌△ BOE （ SAS ），
∴∠ OBE =∠ OAC =45° ，
∴∠ EBC =∠ EBO +∠ OBA =45°+45°=90° ，
即 BE ⊥ AB ；
（ 2 ） ① 当点 C 在第一象限时，作 CM ⊥ OA 于点 M ，作 EN ⊥ x 轴于点 N ，如图 1 ，则 ∠ CMO =∠ ENO =90° ，
∵∠ EON +∠ NEO =∠ EON +∠ COM =90° ，
∴∠ NEO =∠ COM ，
又 ∵ OC = OE ，
∴△ MOC ≌△ NEO ，
∴ CM = ON ， OM = EN ，
在 △ ACM 中， ∠ CMA =90° ， ∠ MAC =45° ， AC = BE = t ，
∴ ，
∴ ，
∵ 点 E 在第二象限，
∴ 点 E 的坐标是（ ）；

② 当点 C 在第四象限时，如图所示作 C´H ⊥ OA 于点 H ，作 E´F ⊥ x 轴于点 F
∵∠ E´OF +∠ FE´O =∠ E´OF +∠ C´OH =90° ，
∴∠ FE´O =∠ C´OH ，
又 ∵ OC´ = OE´ ，
∴△ HOC´ ≌△ FE´O ，
∴ HC´ = OF ， OH = E´F ，
然后同（ 1 ）中证明 △ AOC´ ≌△ BOE´
∴ AC´ = BE´ = t ，
在等腰直角 △ AC´H ， ∠ C´HA =90° ， ∠ HAC´ =45° ， AC´ = BE´ = t ，
可求出
∴
∵ E´F = OH = OA + AH =
∴ 点 E 的坐标是（ ）；

（ 3 ） ∵ 抛物线过点 A （ 1 ， 0 ），
∴ a + b + c =0 ，
∵ ，
∴ 消去 c 可得 b =-4 a ，
∴ 抛物线的对称轴是直线 x =2 ，
如图 1 ，当 时，由（ 2 ）可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 k =1 ，
∴△ POA 的面积为 ，
即 ，解得 ，
∵ a ＞ 0 ，
∴ 顶点 P 的纵坐标是 -1 ，
∴ 点 P （ 2 ， -1 ），
设 ，
把点 A （ 1 ， 0 ）代入，可求得 a =1 ，
∴ 抛物线的解析式是 ．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、三角函数、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的性质以及等腰直角三角形的判定和性质等知识，具有一定的难度，熟练掌握相关知识、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．
三、填空题
1、 2
【分析】
利用负整数指数幂和零指数幂求出 a 的值，利用平方差公式，求出 b 的值，进而即可求解．
【详解】
解： ∵ ， ，
∴ ，
故答案是： 2 ．
【点睛】
本题主要考查二次根式求值，熟练掌握负整数指数幂和零指数幂以及平方差公式，是解题的关键．
2、
【分析】
画树状图（两把钥匙能分别打开这两把锁表示为 A 、 a 和 B 、 b ，第三把钥匙表示为 c ）展示所有 6 种等可能的结果数，找出任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：画树状图为：（两把钥匙能分别打开这两把锁表示为 A 、 a 和 B 、 b ，第三把钥匙表示为 c ）

共有 6 种等可能的结果数，其中任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的结果数为 2 ，
所以任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率＝ ＝ ．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查树状图法求概率．概率公式：随机事件 A 的概率 P （ A ） = 事件 A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
3、
【分析】
证明 求得 AC ，利用勾股定理求得 CB 的长，再利用 求得 BE ．
【详解】
解：如图所示，连接 BC

∵ 是 的直径， 于
∴
又
∴
∴
∴
又 ∵
∴
∴
∴
∴
又 ∵
∴
∴ 或 （舍去）
又 为切线
∴
又 ∵
∴
∴
即
∴
【点睛】
本题考查圆的相关性质、相似三角形的判定和性质．直径所对的圆周角是直角，圆的切线垂直于过切点的半径．相似三角形的对应线段成比例．
4、 6.3
【分析】
作辅助线如图，则四边形 CDGF 是矩形，可得 CD = FG ，然后分别解直角 △ ABG 和直角 △ BCF 求出 BG 和 BF 的长即可．
【详解】
解：如图，作 CD ⊥ AE 于点 D ，作 BG ⊥ AE 于点 G ，作 CF ⊥ BG 于点 F ，则四边形 CDGF 是矩形，
∴ CD = FG ，
在直角 △ ABG 中， ， ，
∴ （ cm ）， ∠ ABG =30° ，
∵ ，
∴∠ CBF =20° ，
∴∠ BCF =70° ，
在直角 △ BCF 中， ， ∠ BCF =70° ，
∴ （ cm ），
∴ CD = FG = （ cm ），
即点 到 的距离为 6.3 cm ；
故答案为： 6.3 ．

【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确添加辅助线构建直角三角形、掌握求解的方法是关键．
5、 m ＞ -7 且 m ≠-3
【分析】
先用含 m 的代数式表示 x ，再根据解为正数，列出关于 m 的不等式，求解即可．
【详解】
解：由 ，得： 且 x ≠2 ，
∵ 关于 的方程 的解是正数，
∴ 且 ，解得： m ＞ -7 且 m ≠-3 ，
故答案是： m ＞ -7 且 m ≠-3 ．
【点睛】
本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，求出方程的解是解题的关键．
6、 ．
【分析】
设 = m ，则 O =2 m ， O =3 m ， O =4 m ，由点 ， ， ， 都在反比例函数 图象上，可求得 ， ， ， ，根据矩形的面积公式可得 ， ， ， ，由此即可得 ．
【详解】
设 = m ，则 O =2 m ， O =3 m ， O =4 m ，
∵ 点 ， ， ， 都在反比例函数 图象上，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的特征，根据反比例函数图象上点的特征求得 、 、 、 是解决问题的关键．