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试卷主标题
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共20题）
1、 要使二次根式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A ． B ． C ． D ．
2、 下列各式中，能与 合并的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
3、 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
4、 在平面直角坐标系中，点 在反比例函数 的图象上，下列各点在此反比例函数图象上的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
5、 将 80 辆环保电动汽车一次充电后行驶里程记录数据，获得如图所示条形统计图，根据统计图所测数据的中位数、众数分别是（ ）
A ． 165 ， 160 B ． 165 ， 165 C ． 170 ， 165 D ． 160 ， 165
6、 已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 值是（ ）
A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 4
7、 用反证法证明命题 “ 如果 ， ，那么 ” 时，应假设（ ）
A ． B ． 不平行 C ． 不平行 D ． 不平行
8、 如图，菱形 中， ， ，则 的长度为（ ）
A ． 24 B ． 16 C ． 12 D ． 8
9、 已知点 ， ， 在函数 的图象上，则（ ）
A ． B ． C ． D ．
10、 已知关于 的方程 的一个解是 ，则原方程的另一个解是（ ）
A ． 或 7 B ． 或 4 C ． 或 7 D ． 或 7
11、 若 能使二次根式有意义，则这个二次根式是（ ）
A ． B ． C ． D ．
12、 以下是四类垃圾分类的标志图案，则四幅标志图案中是中心对称图形的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
13、 下列各点中，在反比例函数 图象上的点是（ ）
A ． B ． C ． D ．
14、 若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A ． B ． C ． D ．
15、 为了纪念建党 100 周年，学校组织了 “ 建党 100 周年党史知识竞赛 ” ，张同学根据评分为小李的分数制作了如下表格：
众数
平均数
中位数
方差
9.0
9.0
9.0
0.15
如果去掉一个最高分和最低分，那么下列哪个数据不会发生变化（ ）
A ．众数 B ．平均数 C ．中位数 D ．方差
16、 已知一个多边形的内角和是 900° ，则这个多边形是（ ）
A ．六边形 B ．七边形 C ．八边形 D ．九边形
17、 用反证法证明命题 “ 在 中， ， 的对边分别是 ， ，若 ，则 ． ” 的第一步应假设（ ）
A ．在 中，若 ，有 B ．在 中，若 ，有
C ．在 中，若 ，有 D ．在 中，若 ，有
18、 新冠在巴西肆虐，赛拉纳小镇 “ 幸免于难 ” ，是因为小镇上 60% 的人接种了中国新冠疫苗．据统计， 5 月份小镇的感染率与 3 月份峰值相比下降了 75% ，设这两个月平均每月感染新冠病毒人数降低的百分率为 ，则可列方程（ ）
A ． B ．
C ． D ．
19、 如图，在反比例函数 的图象上有四点，它们的横坐标依次为－ 1 ，－ 2 ，－ 3 ，－ 4 ，分别过这些点作 轴与 轴的垂线．图中阴影部分面积和为 3 ，则 值为（ ）
A ．－ 2 B ．－ 3 C ．－ 4 D ．－ 6
20、 如图， 的面积是 12 ， 是边 上一点，连结 ，现将 沿 翻折，点 恰好落在线段 上的点 处，且 ，则四边形 的面积是（ ）
A ． 4 B ． 4.5 C ． 5 D ． 5.5
二、填空题（共14题）
1、 当 ______ 时， 值为 0 ．
2、 若使平行四边形 为矩形，需添加一个条件为 ______ ．（填出一种情况即可）
3、 如图，在五边形 ABCDE 中， ∠ D ＝ 120° ，与 ∠ EAB 相邻的外角是 80° ，与 ∠ DEA ， ∠ ABC 相邻的外角都是 60° ，则 ∠ C 为 ________ 度．
4、 一艘快艇的航线如图所示，从 港出发， 1 小时后到达 地，若快艇的行驶速度保持不变，则快艇驶完 这段路程的时间为 ______ 小时．
5、 如图，已知点 是正方形 对角线 上一点，且 ， 于点 ， 于点 ，连结 ，则 的长为 ______ ．
6、 如图， 是等边三角形 内任意一点，过点 作 ， ， 分别交 ， ， 于点 ， ， ，已知等边三角形 的周长 18 ，则 ______ ．
7、 如图，点 在反比例函数 的图象上，作 轴， 轴分别交反比例函数 图象于点 ， ，点 在点 的下方，连结 ，若 的面积为 ，则 的值为 ______ ．
8、 小李家大门上的矩形装饰物由金属丝焊接而成，该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，如图，在矩形 中，两个菱形由平行于 的固定条固定， ， 是中间的固定条，上下固定条都经过菱形各边中点，且所有固定条不经过菱形内部．已知 ， ， 分别到 ， ， 的距离都是 ，若对角线 ，顶点 ， 之间距离是 的 2 倍，则金属丝总长（即图中所有线段之和）是 ______ ．
9、 将 化为最简根式是 ______ ．
10、 函数 的图象上有两点 ， ，则 ______ ．（用 “ ＞ ” 或 “ ＜ ” 填空）
11、 已知一组数据 ， ， ， ， 的平均数是 4 ，方差是 5 ，将这组数据中的每个数据都减去 2 ，得到一组新数据，则这组新数据的方差是 ______ ．
12、 已知 两直角边的长度恰好是一元二次方程 的两个实数根，那么 的面积是 ______ ．
13、 如图，正方形 的边长为 2 ，将它绕着中心 顺时针旋转 45° 得到正方形 ，与原正方形 、 AB 边交于点 ， ，则 的长度是 ______ ．
14、 如图，四边形 是一个矩形，其中 ， ，直线 上有一个动点 ，平面上有一点 ，当以 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形时，则 的长为 ______ ．
三、解答题（共13题）
1、 （ 1 ）计算： ；
（ 2 ）解方程： ．
2、 如图，在 网格中，线段 的两个端点和点 都在网格的格点上，分别按下列要求仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹）．
（ 1 ）在图甲中画线段 的中点 ．
（ 2 ）在图乙中画线段 ，使得 ．
3、 如图，小强同学根据乐清市某天上午和下午各四个整点时间的气温绘制成的折线统计图．
（ 1 ）根据图中信息分别求出上午和下午四个整点时间的平均气温．
（ 2 ）请你根据所学统计学知识，从四个整点时间温度猜测，这天上午和下午的气温哪个更稳定，并说明理由．
4、 学校的学生专用智能饮水机在工作过程：先进水加满，再加热至 100℃ 时自动停止加热，进入冷却期，水温降至 25℃ 时自动加热，水温升至 100℃ 又自动停止加热，进入冷却期，此为一个循环加热周期，在不重新加入水的情况下，一直如此循环工作，如图，表示从加热阶段的某一时刻开始计时，时间为 （分）与对应的水温为 （ ℃ ）函数图象关系，已知 段为线段， 段为双曲线一部分，点 为 ，点 为 ，点 为 ．
（ 1 ）求出 段加热过程的 与 的函数关系式和 的值．
（ 2 ）若水温 （ ℃ ）在 时为不适饮水温度，在 内，在不重新加入水的情况下，不适饮水温度的持续时间为多少分？
5、 如图，正方形 中， ， ， 分别是 ， ， 上的中点，连结 ， ， ，连结 分别交 ， 于点 ， ， 交 于点 ．
（ 1 ）求证： ；
（ 2 ）当点 从点 匀速运动到点 时，点 恰好从点 匀速运动到点 处，若 ，设 ．
① 求 的长．
② 当 时，用含 代数式表示四边形 的面积．
③ 在 ， 整个运动过程中，当 ， 与四边形 的两个顶点构成平行四边形时，求 的值．
6、 计算：
（ 1 ）
（ 2 ）
7、 解方程：
（ 1 ）
（ 2 ）
8、 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1 ，线段 的两个端点都在格点上，请完成下列作图：
（ 1 ）作线段 关于点 的中心对称图形 ．
（ 2 ）作面积为 2 的 ，使 各顶点都在格点上．
9、 车间有 22 名工人，某一天他们生产的零件个数统计如下：
生产零件的个数（个）
10
11
12
13
14
15
工人人数（人）
1
1
5
8
4
3
（ 1 ）求这一天 22 名工人生产零件的平均个数．
（ 2 ）为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行 “ 每天定额生产，超产有奖 ” 的措施．如果你是管理者，请你确定这个 “ 定额 ” ，并说明理由．
10、 如图，在 中， ， ， ， ， 是 的中位线．求证：四边形 是矩形．
11、 某高尔夫球手在如图的场地上向正东方向击出一个高尔夫球，球的高度 和经过的水平距离 可用公式 来估计．
（ 1 ）当球的水平距离达到 时，球上升的高度是多少？
（ 2 ）若在击球点 正东方向 101 米处有一球洞 ，判断此高尔夫球手这一杆能否把球从 点直接打入球洞 点，并说明理由．
12、 如图，在直角坐标系中，点 和点 是一次函数 和反比例函数 图象的交点．
（ 1 ）求反比例函数的表达式和点 的坐标．
（ 2 ）利用图象，直接写出当 时 的取值范围．
（ 3 ）连结 并延长交双曲线于点 ，连结 ，求 的面积．
13、 有如下一道作业题：
如图 1 ，四边形 是菱形，且 ，以 为顶点作顶角为 120° 的等腰 ，且 ， ， 在一条直线上，连结 ， ．
求证： ．
（ 1 ）请你完成这道题的证明．
（ 2 ）如图 2 ，在菱形 中， ，点 是边 上一点， ，且 ，连结 ，延长 交 于点 ，连结 ．
① 求证： ．
② 把 绕点 顺时针旋转 120° 得到 ，连结 （如图 3 ）．求证： ．
============参考答案============
一、选择题
1、 C
【分析】
根据二次根式有意义的条件可得 x ＋ 1≥0 ，再解即可．
【详解】
解：由题意得： x ＋ 1≥0 ，
解得： x ≥−1 ，
故选： C ．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2、 B
【分析】
根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】
解： A 、 不能与 合并，本选项不符合题意；
B 、 能与 合并，本选项符合题意；
C 、 不能与 合并，本选项不符合题意；
D 、 不能与 合并，本选项不符合题意；
故选： B ．
【点睛】
本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
3、 C
【分析】
把一个图形绕某一点旋转 180° ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】
解： A ．是轴对称图像，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B ．是轴对称图像，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C ．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D ．是轴对称图像，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选： A ．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．
4、 A
【分析】
先把点（ 2 ， −3 ）代入反比例函数 ，求出 k 的值，再根据 k ＝ xy 为定值对各选项进行逐一检验即可．
【详解】
解： ∵ 点 A （ 2 ， −3 ）在反比例函数 的图象上，
∴ k ＝ 2× （ −3 ）＝ −6 ．
A 、 ∵−2×3 ＝ −6 ，
∴ 点 P 在此函数图象上；
B 、 ∵−2× （ −3 ）＝ 6≠−6 ，
∴ 点 Q 不在此函数图象上；
C 、 ∵1×6 ＝ 6≠−6 ，
∴ 点 S 不在此函数图象上；
D 、 ∵4× （ −−2 ）＝ −8≠−6 ，
∴ 点 T 不在此函数图象上．
故选： A ．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
5、 B
【分析】
由中位数和众数的定义结合条形统计图即可得出答案．
【详解】
根据题意有 80 辆电动汽车为偶数个，根据统计图可知最中间的两个数都为 165 ，故中位数 = ，
165 出现了 20 次，为最多，即众数为 165 ．
故选： B ．
【点睛】
本题考查中位数和众数的定义，从条形统计图中获取必要的信息是解答本题的关键．
6、 D
【分析】
由方程有两个相等的实数根，可得出关于 m 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
方程 有两个相等的实数根，
= ，
解得： m = 4 ，
故选： D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记 “ 当 =0 时，方程有两个相等的实数根 ” 是解题的关键．
7、 D
【分析】
假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．本题由反证法的定义可得出正确选项．
【详解】
解：本题命题的结论是： ，要应用反证法证明这个命题，需要假设结论不成立，即应假设 不平行 ．
故答案选： D ．
【点睛】
本题考查反证法的定义，牢记定义是解决本题的关键．
8、 A
【分析】
由菱形的性质得出 ， ， ，再由勾股定理求出 ，得出 即可．
【详解】
解： 四边形 是菱形， ，
， ， ，
，
，
，
故选： A ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出 的长是解题的关键．
9、 D
【分析】
先根据判断出此函数所在的象限及在每一象限内的增减性，再根据三点的坐标及函数的增减性即可判断．
【详解】
解： ∵ 反比例函数 中， k ＝ −2 ＜ 0 ，
∴ 此函数的图象在二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大，
∵3 ＞ 0 ＞ −1 ＞ −3 ，
∴ A 、 B 在第二象限，点 C 位于第四象限，
∴ y 3 ＜ y 2 ＜ y 1 ，
故选： D ．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质及每一象限内点的坐标特点是解答此题的关键．
10、 C
【分析】
根据一元二次方程解的定义得到 4 a 2 ﹣ 14 a +6 a ＝ 0 ，解得 a ＝ 0 或 2 ，然后分两种情况解方程即可．
【详解】
解： ∵ 关于 x 的方程 x 2 ﹣ 7 x +6 a ＝ 0 的一个解是 x 1 ＝ 2 a ，
∴4 a 2 ﹣ 14 a +6 a ＝ 0 ，
解得 a ＝ 0 或 a ＝ 2 ，
当 a ＝ 0 时，方程为 x 2 ﹣ 7 x ＝ 0 ，
解得： x 1 ＝ 0 ， x 2 ＝ 7 ；
当 a ＝ 2 时， x 2 ﹣ 7 x +12 ＝ 0 ，
解得： x 1 ＝ 4 ， x 2 ＝ 3 ，
故选： C ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程解的定义，以及解一元二次方程．
11、 C
【分析】
根据二次根式有意义的条件逐项分析即可
【详解】
A. 要使 有意义，则 ，解得 ，该项不符合题意；
B. 要使 有意义，则 ，解得 ，该项不符合题意；
C. 要使 有意义，则 ，解得 ， 能使二次根式有意义，该项符合题意；
D. 要使 有意义，则 ，解得 ，该项不符合题意；
故选 C
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题的关键．
12、 D
【分析】
把一个图形绕某一点旋转 180° ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
【详解】
解： A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B 、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D 、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选 D ．
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．
13、 D
【分析】
由于反比例函数 中， ，即将各选项横、纵坐标分别相乘，其积为 者即为正确答案．
【详解】
解：反比例函数 中， ，
、 ， 该点不在函数图象上，故本选项错不合题意；
、 ， 该点不在函数图象上，故本选项不合题意；
、 ， 该点不在函数图象上，故本选项不合题意；
、 ， 该点在函数图象上，故本选项符合题意．
故选： ．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将横、纵坐标分别相乘其积为 者，即为反比例函数图象上的点．
14、 D
【分析】
直接利用根的判别式判断得出即可．
【详解】
解： 关于 的一元二次方程 有实数根，
∴ ，
∴ ，
故选： D ．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式，正确根据根的判别式得出方程根的情况是解题关键．
15、 C
【分析】
根据中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数可得答案．
【详解】
解：如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数， 故选 C ．
【点睛】
本题主要考查了中位数，解决本题的关键是掌握中位数定义．
16、 B
【分析】
根据多边形的内角和公式（ n -2 ） •180° ，列式求解即可．
【详解】
解：设这个多边形是 n 边形，根据题意得，
（ n -2 ） •180°=900° ，
解得 n =7 ．
故选： B ．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
17、 B
【分析】
根据反证法的步骤：（ 1 ）假设结论不成立；（ 2 ）从假设出发推出矛盾，（ 3 ）假设不成立，则结论成立，进行求解即可．
【详解】
解：在 中， ， 的对边分别是 ， ，若 ，则 ，
∴ 第一步应假设在 中，若 ，有 ，
故选 B ．
【点睛】
本题主要考查了反证法的步骤，解题的关键在于能够熟记反证法的步骤．
18、 B
【分析】
设 3 月份感染的人数为 a ，根据 “5 月份小镇的感染率与 3 月份峰值相比下降了 75%” 列出一元二次方程即可．
【详解】
解：设 3 月份感染的人数为 a ，由题意，得
，
整理，得
．
故选 B ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19、 C
【分析】
先根据题意求出点 P 1 、 P 2 、 P 3 、 P 4 的坐标，再把所有的阴影部分向右平移，则所有阴影部分的面积恰好等于矩形 PP 1 AB 的面积，再利用矩形的面积公式解答即可解得 k ．
【详解】
解：如图
∵ 在反比例函数 的图象上有四点，它们的横坐标依次为－ 1 ，－ 2 ，－ 3 ，－ 4 ，
∴ P 1 、 P 2 、 P 3 、 P 4 的坐标分别为（ -1 ， -k ） ,(-2, ) ，（ -3 ， ），（ -4 ， ）；
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故选择： C
【点睛】
本题考查的是反比例函数系数 k 的几何意义，根据题意得出所有阴影部分的面积恰好是矩形 PP 1 AB 的面积是解题的关键．
20、 A
【分析】
设 DE 与 AC 交于 H ，由折叠的性质可知， AH = HF ， ∠ AHD =90° ， AE = EF ，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到 AE = BE ，再证明 △ DAH ≌△ BCF ，得到 AH = CF = HF ，则 ， ，从而得出 , ， ．
【详解】
解：设 DE 与 AC 交于 H ，
由折叠的性质可知， AH = HF ， ∠ AHD =90° ， AE = EF
∵∠ BFC =90° ，
∴∠ BFC =∠ DHA =∠ AFB =90° ，
∴ EF 是直角三角形 AFB 的中线，
∴ AE = BE ，
∴ ，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD = BC ， AD ∥ BC ，
∴∠ DAH =∠ BCF ，
∴△ DAH ≌△ BCF （ AAS ），
∴ AH = CF = HF ，
∴ ， ，
∴ , ，
∴ ，
∴ ，
故选 A ．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
二、填空题
1、 2
【分析】
根据算术平方根的定义，由 ，得 2 x ﹣ 4 ＝ 0 ，求得 x ＝ 2 ．
【详解】
解： ∵ ，
∴2 x ﹣ 4 ＝ 0 ．
∴ x ＝ 2 ．
故答案为： 2 ．
【点睛】
本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解决本题的关键．
2、 （答案不唯一）
【分析】
根据矩形的判定定理： ① 有一个角是直角的平行四边形是矩形， ② 有三个角是直角的四边形是矩形， ③ 对角线相等的平行四边形是矩形填空即可．
【详解】
若使平行四边形 ABCD 为矩形，
需添加一个条件为 ∠ A = 90° ，
故答案为： ∠ A = 90° ( 答案不唯一 ) ．
【点睛】
本题考查了对矩形的判定定理的应用，注意，矩形的判定定理有： ① 有一个角是直角的平行四边形是矩形， ② 有三个角是直角的四边形是矩形， ③ 对角线相等的平行四边形是矩形，记住判定定理是关键．
3、 80
【分析】
利用邻补角的定义分别求出 ∠ DEA ， ∠ ABC ， ∠ EAB 的度数；再利用五边形的内角和为 540 毒，可求出 ∠ C 的度数．
【详解】
解： ∵ 与 ∠ EAB 相邻的外角是 80° ，与 ∠ DEA ， ∠ ABC 相邻的外角都是 60° ，
∴∠ DEA ＝ 180° － 60° ＝ 120° ， ∠ ABC ＝ 180° － 60° ＝ 120° ， ∠ EAB ＝ 180° － 80° ＝ 100° ；
五边形的内角和为（ 5 － 2 ） ×180° ＝ 540° ；
∴∠ C ＝ 540° － 120° － 120° － 120° － 100° ＝ 80° ．
故答案为： 80 ．
【点睛】
此题考查了多边形内角和的性质，涉及了邻补角的定义，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
4、 2
【分析】
根据含 30 度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】
解：如图所示，根据题意可得 ∠ AOB =90° ， ∠ OBA =30° ，
∴ AB =2 AO ，
∵ 从 O 到 A 行驶了 1 小时，
∴ 保持速度不变，从 A 到 B 行驶的时间为 2 小时，
故答案为： 2 ．
【点睛】
本题主要考查了含 30 度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关性质．
5、 3
【分析】
连接 PC ，证四边形 PFCE 是矩形，求出 EF ＝ PC ，证 △ ABP ≌△ CBP ，推出 AP ＝ PC 即可
【详解】
解：连接 PC ，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB ＝ CB ， ∠ ABD ＝ ∠ CBD ＝ 45° ， ∠ BCD ＝ 90° ，
在 △ ABP 与 △ CBP 中，
AB ＝ CB ， ∠ ABD ＝ ∠ CBD ， BP ＝ BP ，
∴△ ABP ≌△ CBP （ SAS ），
∴ PA ＝ PC ，
∵ PE ⊥ CD ， PF ⊥ BC ，
∴∠ PFC ＝ 90° ， ∠ PEC ＝ 90° ．
又 ∵∠ BCD ＝ 90° ，
∴ 四边形 PFCE 是矩形，
∴ EF ＝ PC ，
∴ PA ＝ EF ＝ 3 ，
故答案为： 3 ．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定，矩形的判定和性质，能证出 AP ＝ PC 是解此题的关键．
6、 6
【分析】
只需要证明四边形 AEOG 是平行四边形得到 AG = OE ， △ GOF ， △ ODC 都是等边三角形得到 DG = GC ， OF = OG ，则 OD + OF + OE = OD + OG + AG = AG + CG = AC ．
【详解】
解： ∵△ ABC 是等边三角形，且周长为 18 ，
∴ AC =6 ， ∠ C =∠ B =∠ A =60° ，
∵ OD // AB ， OE // AC ， OF // BC ，
∴∠ GDC =∠ B =60° ， ∠ OGF =∠ A =60° ， ∠ GFO =∠ C =60° ，四边形 AEOG 是平行四边形，
∴△ GOF ， △ ODC 都是等边三角形， AG = OE
∴ DG = GC ， OF = OG ，
∴ OD + OF + OE = OD + OG + AG = AG + CG = AC =6 ，
故答案为： 6 ．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
7、 1
【分析】
设 A （ ， ），由 AB ⊥ y 轴， AC ⊥ x 轴，则 B （ ， ）， C （ ， ）， ∠ BAC =90° ，再根据 求解即可
【详解】
解：设 A （ ， ），
∵ AB ⊥ y 轴， AC ⊥ x 轴，
∴ B （ ， ）， C （ ， ）， ∠ BAC =90°
∴ ， ，
∴ ，
∴ 解得 或 （舍去），
故答案为： 1 ．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数上点的坐标特点，三角形的面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
8、 244
【分析】
如图作直线 GM 交 AD 于 P ，交 BC 于 Q ，连接 FJ ， TW ，先求出 ，设 ， ， ，然后根据 OF = AE = OP 建立方程求出 k 的值，由此即可求解．
【详解】
解：如图作直线 GM 交 AD 于 P ，交 BC 于 Q ，连接 FJ ， TW ，
∵ 四边形 GFMH 是菱形，
∴ GM ⊥ FH ， FO = OH ， GO = OM ，
∵ ，
∴ ，
设 ， ，
∴ ，
由题意可知四边形 AEOP 是矩形， PG =2cm
∴ AE = OP ，
∵ AB = FH ，
∴ OF = AE = OP ，
∴ ，
解得 ，
∴ GF =10cm ， OF = OH =8cm ，
∴ AB = CD = FH =16cm ，
∵ T ， W 分别是菱形的中点，
∴ TW 是 △ GFH 的中位线，
∴ ，
∵ 顶点 H ， K 之间距离是 EF 的 2 倍，
∴ ，
∴ ，
∴ 金属丝的总长 ，
故答案为： 244 ．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
9、 ．
【分析】
根据二次根式的性质化简二次根式即可．
【详解】
解： ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了最简二次根式，熟悉相关性质是解题的关键．
10、 ＞
【分析】
根据反比例函数的性质可知， ，函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小，据此分析即可．
【详解】
函数 的图象位于第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小，
， ， ，
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
11、 5
【分析】
根据一组数据的平均数与方差的定义和性质即可求解．
【详解】
解：由题意得：数据 ， ， ， ， 的平均数是 4 ，方差是 5 ，
新数据是 ， ， ， ， ，
所以新数据的平均数是 4-2=2 ，
方差是：
=
=5 ．
故答案为： 5 ．
【点睛】
本题考查了平均数和方差，解题的关键是掌握平均数和方差的变换特点．
12、 6
【分析】
设 两直角边的长度分别为 ， n ，则 ， n 是方程 的两个实数根，再利用一元二次方程的根与系数的关系即可求得答案．
【详解】
解：设 两直角边的长度分别为 ， n ，
由题意可得： ， n 是方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ ，
故答案为： 6 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若 ， 是一元二次方程 的两根时，则 ， ，熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键．
13、
【分析】
首先求出正方形的对角线长；进而求出 OA′ 的长；证明 △ A′MN 为等腰直角三角形，求出 A′N 的长度；同理求出 D′M′ 的长度，即可解决问题．
【详解】
解：连接 OA′ ，交 AB 于 M ，如图所示：
∵ 正方形 ABCD 的边长为 2 ，
∴ 该正方形的对角线长 = ，
∴ OA′ = ；而 OM =1 ，
∴ A′M = ，
由题意得： ∠ MA′N =45° ， ∠ A′MN =90° ，
∴∠ MNA′ =45° ，
∴ MN = A′M = ；
由勾股定理得： A′N = ；
同理可求 D′M′ = ，
∴ NM' =2- （ 4- ） = -2 ，
∴ M'N 的长为 -2 ，
故答案为 -2 ．
【点睛】
本题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用；应牢固掌握旋转变换的性质、正方形的性质等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．
14、 1 或 3 或
【分析】
根据题意分三种情况讨论，分别以 ， AP ₁ ， CP ₁ 为对角线作菱形分别求解即可 .
【详解】
解：在矩形 ABCD 中， ， ，
∴ ，
∴ ,
当 时 △ ACP ₁ 为等边三角形，
分别以 ， AP ₁ ， CP ₁ 为对角线作菱形，
∴ , ，
∴ ，
，
，
当 时，可得菱形 ，
∴ 或 3 或 .
故答案为： 1 或 3 或 .
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等边三角形的性质、正切、菱形的性质、勾股定理，对于动点题型，要动手多画几个图形仔细观察判断点、线、角的关系，为解题服务．
三、解答题
1、 （ 1 ） 6 ；（ 2 ） ，
【分析】
（ 1 ）根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（ 2 ）利用公式法求解可得．
【详解】
解：（ 1 ）原式
∴ ．
（ 2 ） ， ，
，
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程和二次根式的混合运算的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2、 （ 1 ）见解析；（ 2 ）见解析
【分析】
（ 1 ）根据矩形的性质即可得到结论；
（ 2 ）根据平行四边形的性质作出图形即可．
【详解】
解：（ 1 ）如图甲，点 M 即为所求；
（ 2 ）如图乙，线段 CD 即为所求．
【点睛】
本题考查了作图﹣应用与设计作图，矩形的性质，平行四边形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
3、 （ 1 ） 24 ， 24 ；（ 2 ）上午的气温更加稳定，理由见解析．
【分析】
（ 1 ）根据平均数的定义进行求解即可；
（ 2 ）分别求出上午和下午四个整点时间的方差然后进行比较即可．
【详解】
解：（ 1 ）
（ 2 ）
∴
∴ 上午的气温更加稳定．
【点睛】
本题主要考查了平均数与方差，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
4、 （ 1 ） ， ；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）设线段 解析式为 ，双曲线的解析式为 ，然后把 ， 代入 ，把 代入 求解即可；
（ 2 ）把 分别代入一次函数与反比例函数解析式求出对应的 x 的值，有次求解即可．
【详解】
（ 1 ）设线段 解析式为 ，双曲线的解析式为
代入 得
，
解得
∴ 线段 AB 的解析式 ，
代入 得 ，解得
∴ 双曲线的解析式为
∴
解得 ；
（ 2 ）反比例函数解析式为 ，
当 时，代入线段 ，解得 ，
代入反比例函数得 ，解得 x =20
所以不适宜饮水的持续时间为 分．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
5、 （ 1 ）见解析；（ 2 ） ① ； ② ； ③ 、 、 ．
【分析】
（ 1 ）通过证明四边形 AECG 是平行四边形，可得 AE CG ；
（ 2 ） ① 由 “ SAS ” 可证 △ ABF ≌△ DAE ，可得 ∠ AFB ＝ ∠ AED ， AE ＝ BF ＝ ，由余角的性质可得 ∠ AHF ＝ 90° ，由面积法可求解；
② 先求出点 P 与点 Q 的速度比，分别求出 PH ， HN ， NQ 的长度，即可求解；
③ 分三种情况讨论，由平行四边形的对边相等列出等式，即可求解．
【详解】
（ 1 ）证明： ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB CD ， AB ＝ CD ＝ AD ，
∵ 点 E 是 CD 中点，点 G 是 AB 的中点，
∴ AG ＝ CE ，
∴ 四边形 AECG 是平行四边形，
∴ AE CG ；
（ 2 ）解： ①∵ AB ＝ AD ＝ CD ＝
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