文科高数函数的连续性.pptx

改变量改变量,(可正可负可正可负)的改变量的改变量 ,（可正可负（可正可负)当自变当自变一、函数的连续性一、函数的连续性1.自变量的改变量和函数的改变量自变量的改变量和函数的改变量（1）自变量的改变量）自变量的改变量（2）函数的改变量）函数的改变量第三节第三节 函数函数的连续性与间断点的连续性与间断点注注:yx D DD D,分别为整体记号分别为整体记号 ,不能理解为不能理解为及及曲线上相应点的纵坐标的改变量。曲线上相应点的纵坐标的改变量。21.0=11.122-=)1()1.1(-=ff)1()1.01(-+=ff解解)()(00-D D+=D Dxfxxfy定义定义1 1 如果如果0=)()(lim000-D D+D Dxfxxfxlim0=D DD Dyx则称函数则称函数)(xfy=在在0 x 点点连续连续.在上述定义中在上述定义中,)()(lim00 xfxfxx=从而从而定义定义2 2)()(lim00 xfxfxx=如果如果则称函数则称函数)(xfy=在在0 x 点点连续连续.2.2.函数在点函数在点0 x处的连续性处的连续性指出指出:定义定义1与定义与定义2是等价的是等价的.例例2 证明函数证明函数1)(3+=xxf在在2=x处连续处连续证明证明9=)1(lim32+=xx)(lim2xfx所以函数所以函数1)(3+=xxf在在2=x处连续。处连续。【注注】若若)()(lim00 xfxfxx=-,则称函数则称函数)(xfy=在在0 x点点左连续左连续。若若)()(lim00 xfxfxx=+,则称函数则称函数)(xfy=在在0 x点点右右连续连续。函数函数)(xfy=在在0 x 点连续的点连续的充分必要条充分必要条件是件是:函数函数)(xfy=在在0 x 点点既既左连续且右连续左连续且右连续。因为因为结论结论:练习练习证证由定义由定义1知知右连续但不左连续右连续但不左连续,3.函数在区间上的连续性函数在区间上的连续性在左端在左端点点ax=处右连续处右连续则称则称函数连续点的全体所构函数连续点的全体所构成的区间成的区间 ,称为函数的连续区间。称为函数的连续区间。bx=处左连续处左连续,且在右端点且在右端点)(xf在闭区间在闭区间上连续上连续,()若函数若函数)(xf在开区间在开区间内每一点都连续。内每一点都连续。()若函数若函数)(xf在开区间在开区间内连续内连续,则称则称在开区间在开区间内连续内连续。在连续区间上在连续区间上,连续函数的图形是一条连绵不断的曲线。连续函数的图形是一条连绵不断的曲线。证明证明4.初等函数的连续性初等函数的连续性函数的连续性是通过极限来定义的函数的连续性是通过极限来定义的,因此因此 ,由极由极限的运算法则和连续的定义可得连续函数的运算法则：限的运算法则和连续的定义可得连续函数的运算法则：法则法则1 1(连续函数的四则运算连续函数的四则运算),设函数设函数)(xf和和)(xg均在均在0 x 点连续点连续,则则)()(xgxf、)0)(0 xg都在都在0 x点连续。点连续。即即法则法则2 2(反函数的连续性反函数的连续性)单调连续函数的单调连续函数的反函数在其对应的区间上是连续的。反函数在其对应的区间上是连续的。基本初等函数基本初等函数在其在其 定义域内定义域内是连续的。是连续的。应用函数连续的定义与上述两个法则，应用函数连续的定义与上述两个法则，可以证明可以证明 设函数设函数)(uf在点在点0u 处处连续连续 ,函数函数)(xuj j=在点在点0 x 处连续处连续 ,且且)(00 xuj j=,则则法则法则3 说明连续函数的复合函数仍为连续函数，说明连续函数的复合函数仍为连续函数，并可得如下结论：并可得如下结论：例如例如 0=0)sinlimarctan(=xx)arctan(sinlim0 xx复合函数复合函数在点在点0 x 处连续。处连续。(复合复合函数的连续性函数的连续性)法则法则3 3法则法则xx1)1ln(+=0 xlim解解又由于函数又由于函数uln 在在eu=处是连续的处是连续的 ,故故1=ln=e)1ln(+xx0 xlim令令xu)1(+=x1e=0 x x+)1(limx1)1ln(+=x0 xlimx1指出指出:解解解解练习练习定理定理 由于由于基本初等函数基本初等函数在其在其定义域内定义域内是连是连续的续的 ，初等函数在初等函数在其其定义定义区间区间内内是连续的。是连续的。若若)(xf为初等函数为初等函数 ,且且0 x 在其定义区间内在其定义区间内 ,则则这表明这表明:对连续函数在连续点求极限对连续函数在连续点求极限,只需求该点函数值只需求该点函数值.由以上法则，可得：由以上法则，可得：例例5 求求2211limxx-23=1lim221-xx解解因此，初等函数的定义区间就是它的连续区间。因此，初等函数的定义区间就是它的连续区间。练习练习求下列函数的连续区间，并求极限：求下列函数的连续区间，并求极限：解解1解解2如果如果函数函数)(xf在点在点0 x处处不连续不连续,就就称称)(xf在点在点0 x处处间断间断,0 xx=点称为函数点称为函数)(xf的的间断点间断点或或不连续不连续点点。由函数连续性定义可知由函数连续性定义可知 ,二、函数的间断点二、函数的间断点间断点分类间断点分类：间断点可分为以下几种类型间断点可分为以下几种类型 ,按左、右极限是否按左、右极限是否都存在来分类。都存在来分类。（一）第一类间断点（一）第一类间断点(左、右极限均存在左、右极限均存在)但不相等但不相等;2.2.跳跃间断点跳跃间断点1.1.可去间断点可去间断点00+-均存在均存在与与,)(lim)(limxfxfxxxx存在存在,)(lim0 xfxx（二）第二类间断点（二）第二类间断点(左、右极限至少有一个不存在左、右极限至少有一个不存在)例例2 11)(2-=xxxf函数函数2=所以所以1=x为函数为函数)(xf的可去间断点。的可去间断点。令令2)1(=f则函数则函数)(xf在在1=x点处就连续了。点处就连续了。例例3 函数函数 -=+=010001)(xxxxxxf1=0)1(lim+=-xx由于左极限由于左极限)(lim0-xfx1-=)1(lim0-=+xx)(lim0+xfx 所以所以0=x点为函数点为函数)(xf的跳跃间断点。的跳跃间断点。右极限右极限对于可去间断点，对于可去间断点，我们可以补充我们可以补充或改变或改变(当当)(0 xf有定义时有定义时)函数在函数在0 x 点处的定义点处的定义,(当当)(0 xf无定义无定义时）时）使使0 x 点处连续。点处连续。函数在函数在指出：指出：例例4 函数函数11)(-=xxf在在1=x点处点处 ，由于由于=-=11lim1xx)(lim1xfx 所以所以1=x为为)(xf的第的第二类间断点。二类间断点。（无穷型间断点）（无穷型间断点）解解练习练习练习练习是可去间断点是可去间断点,则补充或改变定义则补充或改变定义,使函数在该点连续。使函数在该点连续。如果如果解解则函数则函数)(xf在在1=x点处就连续了。点处就连续了。解解三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质下面介绍下面介绍闭区间闭区间上上连续函数连续函数的一些重要性质，的一些重要性质，我们不证明，只给出几何说明。我们不证明，只给出几何说明。定理定理1(最值性质最值性质)则则)(xf必存在最大值必存在最大值M和和最小值最小值m,即在闭区间即在闭区间,ba上至少存在两点上至少存在两点21,xx ,使得使得mM如如 ,函数函数 -=-+=10100011)(xxxxxxf在闭区间在闭区间1,-1 上有间断点上有间断点0=x ,函数函数)(xf在闭区间在闭区间1,-1 上不存在最上不存在最大值大值 ,也不存在最小值。也不存在最小值。又如又如 ,函数函数xxf1)(=在开区间在开区间)4,1(内内不存在最大值不存在最大值 ,也不存在最小值。也不存在最小值。是连续函数是连续函数【注意注意】间断点的函数，间断点的函数，定理的结论不一定成立。定理的结论不一定成立。(1)对开区间内的连续函数对开区间内的连续函数 或闭区间上有或闭区间上有(2)函数的最大和最小值的点也可能是区间函数的最大和最小值的点也可能是区间,ba的的 端点端点.如函数如函数12+=xy在在2,1上连续上连续,它的最大值是它的最大值是5)2(=f,它的最小值是它的最小值是3)1(=f 均在区间均在区间2,1的端的端点上取得。点上取得。定理定理2(介值性介值性)设函数设函数)(xf在在闭区间闭区间,ba上连续上连续 ,M和和m分别是分别是)(xf在区间在区间,ba上的上的最最大值大值和和最小值最小值,则对于满足则对于满足Mm m m的任何实数的任何实数m m至少存在一点至少存在一点,ba x x 使得使得定理定理2指出：指出：推论推论(方程方程根根的存在的存在性性)设函数设函数)(xf在在闭区闭区间间,ba上连续上连续 ,且且0)()(bfaf ,),(ba x x使得使得0)(=x xf则至少存在一点则至少存在一点几何意义：几何意义：例例 证明方程证明方程2431xx=+在区间在区间)1,0(内至少有一内至少有一实根。实根。证明证明 设设2431)(xxxf-+=因为函数因为函数)(xf在闭在闭区间区间1,0上连续上连续 ,又有又有=)0(f 1，1)1(-=f 故故0)1()0(ff ,根据推论可知，根据推论可知，至少存在一点至少存在一点)1,0(x x ,使使0)(=x xf ,即即031)(24=-+=x xx xx xf由推论知：由推论知：练习练习证明证明证明证明四、小结四、小结 1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;5.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点6.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质;可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:3.连续函数的运算法则连续函数的运算法则;法则法则1（连续函数的四则运算法则）（连续函数的四则运算法则）;法则法则2（反函数的连续性）（反函数的连续性）;法则法则2（复合函数的连续性）（复合函数的连续性）;4.初等函数的连续性初等函数的连续性;