秋八级数学上册提公因式法新版新人教版.pptx

八年级数学八年级数学上上 新课标新课标 人人 学习新知学习新知检测反馈检测反馈第十四章第十四章 整式的乘法与因式分解整式的乘法与因式分解 新兴一中决定购买m台电脑和m套桌子,现在知道每台电脑的单价为a元,每套桌子的单价为b元,那么怎样表示该校购买电脑和桌子总共需要的资金呢?学学 习习 新新 知知一:购买一台电脑和一套桌子需(a+b)元,购买m台电脑和m套桌子共需m(a+b)元.二:购买m台电脑需ma元,购买m套桌子需mb元,则购m台电脑和m套桌子共需(ma+mb)元.从这两种方法中,我们发现了什么?ma+mb=mma+mb=m(a+ba+b)请把下列多项式写成整式的积的形式:一、因式分解(1)x2+x=;(2)x2-1=.思考思考等式左边是多项式,右边都是乘积的形式.观察上述两个式子和ma+mb=m(a+b),这些式子的共同特点是什么?因式分解:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.正确理解因式分解要注意以下三点:(1)因式分解的对象是多项式,不是单项式,也不是以后我们要学习的分式.(2)因式分解的结果是整式的乘积的形式.(3)不能走回头路,如x2-1=(x+1)(x-1)=x2-1,本来已经完成了对x2-1的因式分解,但习惯性地按整式乘法算出x2-1的结果,就画蛇添足了.知识拓展练习练习 下列从左到右的变形中,哪些是分解因式?哪些不是分解因式?为什么?(1)12ab=3a4b;(2)(x+3)(x-3)=x2-9;(3)4x2-8x-1=4x(x-2)-1;(4)2ax-2ay=2a(x-y);(5)a2-4ab+4b2=(a-2b)2.是是(1)分解因式是多项式的恒等变形,也就是分解因式的结果的积等于多项式;(2)分解因式的结果必须是整式的积的形式,每个因式必须是整式且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数.因式分解时,左边必须是多项式,右边是几个因式的乘积,且又是左、右两边恒等,那么分解因式与整式乘法有什么关系?如果把整式乘法看作一个变形过程,那么多项式的分解因式就是整式乘法的逆过程;如果把多项式的分解因式看作一个变形过程,那么整式乘法又是多项式的分解因式的逆过程.因此,多项式的分解因式与整式乘法互为逆过程,一方面说明了两者之间的密切关系,另一方面又说明了两者的根本区别.根据乘法运算的算式,把下列多项式分解因式:乘法运算分解因式a(3a-5b)=3a2-5ab 3a2-5ab=(x-3y)(2x+y)=2x2-5xy-3y22x2-5xy-3y2=(x-2y)(x+2y)=x2-4y2x2-4y2=(a-3b)2=a2-6ab+9b2a2-6ab+9b2=ma+mbm(a+b)分解因式分解因式整式乘法整式乘法 如图,一块菜园由两个长方形组成,这些长方形的长分别是3.8 m,6.2 m,宽都是3.7 m,如何计算这块菜园的面积呢?二、提公因式法 3.8 3.7 3.7 6.2列式:3.73.8+3.76.2有简便算法吗?解:3.73.8+3.76.2 =3.7(3.8+6.2)=3.710=37(m2).在这一过程中,把3.7换成m,3.8换成a,6.2换成b,于是有:ma+mb=m(a+b).m(a+b)=ma+mb利用整式乘法验证:多项式ma+mb有什么特点？各项都含有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式.又如:b是多项式ab-b2各项的公因式;2xy是多项式4x2y-6xy2z各项的公因式.(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数(当系数是整数时).(2)字母取各项的相同字母,且各字母的指数取最低次幂,根据分配律,可得m(a+b)=ma+mb,逆变形得到ma+mb的因式分解形式ma+mb=m(a+b),这说明多项式ma+mb各项都含有的公因式可提到括号外面,将多项式ma+mb写成m(a+b)的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫提公因式法.例1 把8a3b2+12ab3c分解因式.解析:从数、字母和字母的次数三个方面进行分析;分解因式完成后要分析公因式和另一个因式之间的关系,并思考:如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公因式?从而把提公因式的“提”的具体含义深刻化,这是提公因式法的正确性的重要保证.解解:8a3b2+12ab3c=4ab22a2+4ab23bc=4ab2(2a2+3bc).例2 把2a(b+c)-3(b+c)因式分解.对该多项式的每项因式的特点进行仔细观察,从而发现把b+c看作一个“整体”时公因式就是b+c,再用提公因式法进行分解.解解:2a(b+c)3(b+c)=(b+c)(2a-3).例3 计算:0.8412+120.6-0.4412.观察并分析怎样计算更简单?1.因式分解 (1)定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.等式特点:左边:多项式;右边:整式整式,整式乘整式结果是多项式,而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积,我们就把这种多项式的变形叫做因式分解.知识小结(2)因式分解:pa+pb+pc=p(a+b+c).(3)整式乘法:p(a+b+c)=pa+pb+pc.(4)联系:都是由几个相同的整式组成的等式.(5)区别:这几个相同的整式所在的位置不同,式是因式分解,式是整式乘法,两者是方向相反的恒等变形,二者是一个式子的不同表现形式,一个是多项式的表现形式,一个是两个或几个因式积的表现形式.2.公因式 (1)多项式pa+pb+pc中,各项都含有一个公共的因式p,因式p叫做这个多项式各项的公因式.(2)注意:公因式是每一项都含有的因式,是单项式或多项式.(3)公因式的确定方法:各项系数的最大公因数和相同字母的最低次幂的积.3.提公因式定义:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.由定义可知,提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式.1.下列各式由左边到右边的变形中,属于分解因式的是()A.a(x+y)=ax+ayB.x2-4x+4=x(x-4)+4C.10 x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x解析:A.是多项式乘法,故选项错误;B.右边不是积的形式,故选项错误;C.提公因式法,故选项正确;D.右边不是积的形式,故选项错误.故选C.C检测反馈检测反馈B2.设x2+3x+y=(x+1)(x+2),则y的值为()A.1B.2C.3D.4解析:(x+1)(x+2)=x2+3x+2,y=2.故选B.3.观察下列各式:2a+b和a+b;5m(a-b)和-a+b;3(a+b)和-a-b;x2-y2和x2+y2.其中有公因式的是()A.B.C.D.B解析：和a+b没有公因式;5m(a-b)和-a+b=-(a-b)的公因式为a-b;3(a+b)和-a-b=-(a+b)的公因式为a+b;x2-y2和x2+y2没有公因式.故选B.4.用提公因式法分解因式.(1)4x2-4xy+8xz;(2)6x4-4x3+2x2;(3)6m2n-15mn2+30m3n;(4)(a+b)-(a+b)2;(5)x(x-y)+y(y-x);(6)(m+n)2-2(m+n).解析:此题考查了因式分解 提公因式法,熟练掌握提公因式的方法是解本题的关键.解:(1)4x2-4xy+8xz=4x(x-y+2z).(2)6x4-4x3+2x2=2x2(3x2-2x+1).(3)6m2n-15mn2+30m2n=3mn(2m-5n+10m2).(4)(a+b)-(a+b)2=(a+b)(1-a-b).(5)x(x-y)+y(y-x)=x(x-y)-y(x-y)=(x-y)2.(6)(m+n)2-2(m+n)=(m+n)(m+n-2).必做题 教材第115页练习第1,2,3题.选做题 教材第119页习题14.3第1题.布置作业