第25讲定积分的计算.pptx

第五章 一元函数的积分本章学习要求：熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.了解利用建立递推关系式求积分的方法.理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系.熟悉牛顿莱布尼兹公式.理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法.能熟练运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。第四节 定积分的计算第五章 一元函数的积分一.利用不定积分计算定积分二.定积分的换元法三.定积分的分部积分法四.定积分的近似计算请点击请点击 由牛顿莱布尼兹公式，可以通过不定积分来计算定积分.一般是将定积分的计算截然分成两步：先计算相应的不定积分，然后再运用牛顿莱布尼兹公式代值计算出定积分.这种作法相当麻烦，我们希望将不定积分的计算方法与牛顿莱布尼兹公式有机地结合起来，构成定积分自身的计算方法定积分的换元法和定积分的分部积分法.一.利用不定积分计算定积分例1解例1解有什么想法没有？就是说，计算定积分时可以使用换元法.换元时只要同时改变积分的上、下限，就不必再返回到原来的变量，直接往下计算并运用牛顿莱布尼兹公式便可得到定积分的结果.二.定积分的换元法定理证证毕例2解例3解例4解例5解例6证例7证证例8例9解三.定积分的分部积分法定理证明与不定积分的情形类似.例10解什么情况下运用分部积分法呢？定积分与不定积分的情形相同！例11解例12证证毕例13解例14解例15解四.定积分的近似计算简单的定积分的近似计算方法2.矩形法3.梯形法4.抛物线法Simpson 公式请点击请点击5.利用泰勒公式作定积分的近似计算1.定积分近似计算的依据 由于一些简单函数的原函数不一定简单，有些函数的原函数还不能用初等函数表示，此外，工程技术中的一些函数往往是由实验数据表示的，当对这样的函数作定积分运算时就十分难办了.于是我们需要寻找定积分的近似计算方法.1.定积分近似计算的依据定积分的近似计算方法大多数是依据定积分的定义和定积分的几何意义得到：矩形法示意2.矩形法继续分下去会有什么结果？每次分割后，取小区间的右端点进行计算行不行？矩形法取左端点取左端点取右端点以上两个公式称为“矩形公式”.矩形法的误差估计：非单调函数可以按单调性分区间来估计误差.3.梯形法yxab4.抛物线法Simpson 公式继续往下将推出什么样的结果？例16解例17解10.90.80.70.60.50.40.30.20.100.862070.917430.961540.9901010.552490.609760.671140.735290.800000.50000矩形法梯形法抛物线法比较三种方法计算的结果：可知在相同的区间分法下，抛物线法的计算精度最高，梯形法次之.5.利用泰勒公式作定积分的近似计算例18解