经济数学42不定积分概念.pptx

乘法乘法 ESC 一一.不定积分概念不定积分概念 1.原函数定义原函数定义 微分法微分法 逆运算逆运算 积分法积分法 在微分学中在微分学中,我们所研究的我们所研究的问题是寻求已知函数的导数问题是寻求已知函数的导数.但在许多实际问题中但在许多实际问题中,常常常常需要研究相反问题需要研究相反问题,就是已知就是已知函数的导数函数的导数,求原来的函数求原来的函数.除法除法 逆运算逆运算ESC 一一.不定积分概念不定积分概念 1.原函数定义原函数定义案案 例例已知曲线已知曲线 在横坐标为在横坐标为 处的切线处的切线斜率为斜率为 且曲线过点且曲线过点 ,求该曲线求该曲线的方程的方程.分析分析 这是已知曲线这是已知曲线 的切线斜率的切线斜率,求曲线方求曲线方程的问题程的问题.又由导数的几何意义又由导数的几何意义,切线斜率切线斜率 我们已经知道我们已经知道,也有等式也有等式 若若 是任意常数是任意常数,于是我们所求的曲线方程为于是我们所求的曲线方程为 依题设依题设,切线斜率切线斜率 ESC 一一.不定积分概念不定积分概念 1.原函数定义原函数定义案案 例例已知曲线已知曲线 在横坐标为在横坐标为 处的切线处的切线斜率为斜率为 且曲线过点且曲线过点 ,求该曲线求该曲线的方程的方程.我们所求的曲线方程为我们所求的曲线方程为 这是一族抛物线这是一族抛物线 而我们要求的是在这一族抛物线中而我们要求的是在这一族抛物线中,过点过点 的那一条的那一条,即当即当 时时,我们可以用这个条件来确定我们可以用这个条件来确定任意常数任意常数 ,即即 从而从而,所求的曲线方程为所求的曲线方程为 ESC 一一.不定积分概念不定积分概念 积分法积分法 逆运算逆运算 微分法微分法 微分法是研究如何从已微分法是研究如何从已知函数求出其导函数知函数求出其导函数.如已知函数如已知函数要求它的导函数要求它的导函数:而案例中的问题则是而案例中的问题则是:已已知函数知函数 ,要求一要求一个函数个函数 ,使其导函数使其导函数恰是恰是:已知函数已知函数 ,要求要求它的导函数它的导函数 已知导函数已知导函数 ,要要还原函数还原函数 逆问题逆问题ESC 一一.不定积分概念不定积分概念 称称 是函数是函数 的一个原函数的一个原函数 是任意常数是任意常数 是函数是函数 的无穷多个原函数的无穷多个原函数 由此可知由此可知,一个函数若有原函数一个函数若有原函数,则它必有无穷多个原函数则它必有无穷多个原函数.ESC 一一.不定积分概念不定积分概念 1.原函数定义原函数定义定义定义4.2(原函数定义原函数定义)在某区间在某区间 上上,若有若有 或或 则称函数则称函数 是函数是函数 在该区间上的一个原函数在该区间上的一个原函数.例例1 1设函数，设函数，由由于函数满足于函数满足，所以是的一个原函数所以是的一个原函数不难看出，不难看出，(为任意常数为任意常数)都是的原函数都是的原函数ESC 一一.不定积分概念不定积分概念 由此例可以看出：如果函数有一个原由此例可以看出：如果函数有一个原函数，则就有无穷多个原函数，而这些原函数，则就有无穷多个原函数，而这些原函数之间仅差一个常数函数之间仅差一个常数（为任意常数）（为任意常数）所以也是的原函数所以也是的原函数证明如下：如果是的一个原函数，证明如下：如果是的一个原函数，则则ESC 一一.不定积分概念不定积分概念 则由中值定理的推论可知，和仅差一则由中值定理的推论可知，和仅差一常数，即存在常数，使得常数，即存在常数，使得另一方面，如果和都是的原另一方面，如果和都是的原函数，即函数，即，一般，如果是的一个原函数，则一般，如果是的一个原函数，则的全部原函数就是的全部原函数就是 (为任意常为任意常数数)原函数原函数 的特性的特性 ESC 一一.不定积分概念不定积分概念 2.不定积分定义不定积分定义定义定义4.3(不定积分定义不定积分定义)函数函数 的所有原函数的所有原函数,称为称为 的不定积分的不定积分,记作记作 被积表达式被积表达式 被积函数被积函数 积分变量积分变量 积分号积分号 由不定积分的定义知由不定积分的定义知 求求被积函数被积函数 的不定积分的不定积分,关键关键是求出被积函数是求出被积函数 的一个原函数的一个原函数 然后再加上任意常数然后再加上任意常数其中其中 例例2 2ESC前述前述 解解 一一.不定积分概念不定积分概念 因因 有有 因因 有有 求下列不定积分求下列不定积分:(1)(2)().(1)被积函数被积函数 因为因为 故故 于是于是 特别地特别地 ESC解解 一一.不定积分概念不定积分概念 (2)().(2)被积函数被积函数 由于由于 故故 如如 ESC 一一.不定积分概念不定积分概念 如如 例例3 3ESC解解 一一.不定积分概念不定积分概念 求不定积分求不定积分被积函数被积函数 当当 时无意义时无意义.当当 时时,因为因为 所以所以当当 时时,因为因为 所以所以将上面两式合并在一起写将上面两式合并在一起写,当当 时时,就有就有 ESC 一一.不定积分概念不定积分概念 例例4 4求函数求函数 的不定积分的不定积分解解因为（或）因为（或）所以所以（为任意常数）（为任意常数），可以证明：如果被积函数在某区间可以证明：如果被积函数在某区间上连续，则在此区间上一定有原函数上连续，则在此区间上一定有原函数ESC 一一.不定积分概念不定积分概念 例例5 5下列函数中是同一函数的原函数的是（下列函数中是同一函数的原函数的是（）解：解：选选 因为因为故故 是同一函数是同一函数 的原函数。的原函数。学生验证其余三个选项。学生验证其余三个选项。ESC 一一.不定积分概念不定积分概念 例例6 6 设 的一个原函数是 则。_。解：根据定积分的定义，解：根据定积分的定义，是是全体原函数，而全体原函数，而 是是 的一个原函数，的一个原函数，所以所以按原函数的定义：按原函数的定义：从而从而 一一.不定积分概念不定积分概念 ESC例例7 7 若 的导函数为 ，则的一个原函数为（的一个原函数为（）解：因为解：因为 所以所以而而取取 得得 的一个原函数为的一个原函数为故选故选 二二.不定积分的性质不定积分的性质 性质性质1ESC求不定积分与求导数或求微分互为逆运算求不定积分与求导数或求微分互为逆运算 性质性质2不定积分运算性质不定积分运算性质 或或 或或 这些性质均可这些性质均可 由不定积分的由不定积分的 定义得到定义得到.二二.不定积分的性质不定积分的性质 ESC例例8 8（1 1）设 则（2）若）若 则则_。_。（3）_。解解（1）（2）（3）例例9 9求下列不定积分求下列不定积分:解解(1)(1)二二.不定积分的性质不定积分的性质 (2)由不定积分的运算性质由不定积分的运算性质 解解(2)由不定积分的运算性质由不定积分的运算性质 ESC 二二.不定积分的性质不定积分的性质 ESC注意：注意：(1)(1)原函数、所有原函数表示式、不定积原函数、所有原函数表示式、不定积分三个概念之间的关系分三个概念之间的关系.(2)求不定积分求不定积分，归结为求出它的一个原，归结为求出它的一个原函数，再加上一个任意常数函数，再加上一个任意常数C，切记要，切记要“+C”，否则，否则，求出的只是一个原函数而不是不定积分求出的只是一个原函数而不是不定积分.(3)可以用求导的方法验证所求不定积分是否正可以用求导的方法验证所求不定积分是否正确确.(4)若若 =，=，则有，则有 .从而有从而有 即同一个函数的原函数间仅差一个常数即同一个函数的原函数间仅差一个常数.三三.不定积分的几何意义不定积分的几何意义 ESC如果是的一个原函数，则如果是的一个原函数，则的不定积分对于每一给的不定积分对于每一给定的常数，表示坐标平面上的一定的常数，表示坐标平面上的一条确定的曲线，这条曲线称为的一条条确定的曲线，这条曲线称为的一条积积分曲线分曲线由于可以取任意值，因此不定积由于可以取任意值，因此不定积分表示的一族积分曲线而分表示的一族积分曲线而其中任意一条积分曲线都可以由曲线其中任意一条积分曲线都可以由曲线 沿沿 轴方向上、下平移得到。或者说，在每一条轴方向上、下平移得到。或者说，在每一条积分曲线上横坐标相同的点处所作曲线都是积分曲线上横坐标相同的点处所作曲线都是互相平行的。互相平行的。ESC 三三.不定积分的几何意义不定积分的几何意义 ESC 三三.不定积分的几何意义不定积分的几何意义 例例1010设曲线过点（设曲线过点（-1-1，2 2），），并且曲并且曲线上任意一点处切线的斜率等于这点横坐标线上任意一点处切线的斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程的两倍，求此曲线的方程解解设所求曲线方程为过曲设所求曲线方程为过曲线上任意一点的斜率为线上任意一点的斜率为，ESC 三三.不定积分的几何意义不定积分的几何意义 所以，是的一个原函数，因为所以，是的一个原函数，因为，故又曲线过点故又曲线过点(-(-,2),2)，有有，即，即于是所求曲线方程为于是所求曲线方程为ESC 三三.不定积分的几何意义不定积分的几何意义 例例1111 通过各种生产技术试验，制造商通过各种生产技术试验，制造商发现产品的边际成本是由函数发现产品的边际成本是由函数 =2 2q+6 6（千元（千元/台）台）给出的，式中给出的，式中q q是产品的单位数量已知生产是产品的单位数量已知生产的固定成本为的固定成本为9 9千元，求生产成本千元，求生产成本 解解生产成本的导数生产成本的导数 是边际成本是边际成本即即ESC 三三.不定积分的几何意义不定积分的几何意义 所以所以其中其中C是任意常数由固定成本的定义，知是任意常数由固定成本的定义，知 C(0)(0)=9 9推得推得C=9 9，于是得到满足条件的生产成本，于是得到满足条件的生产成本（或ESC 内容小结内容小结1.1.不定积分的概念不定积分的概念（1 1）原函数的定义）原函数的定义（2 2）不定积分的定义）不定积分的定义在某区间在某区间 上上,若有若有 则称函数则称函数 是函数是函数 在该区间上的一个原在该区间上的一个原函数函数.函数函数 的所有原函数的所有原函数,称为称为 的不定的不定积分积分,记作记作 ESC 课堂练习课堂练习2.不定积分的性质不定积分的性质性质性质1 1不定积分与求导数或微分互为逆运算不定积分与求导数或微分互为逆运算(1)(1)或或(2)(2)或或ESC 课堂练习课堂练习3.不定积分的几何意义不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的原函数的图形称为的的积分曲线积分曲线.的所有积分曲线组成的所有积分曲线组成的平行曲线族的平行曲线族.(，常数，常数).).性质性质2 2 不定积分的运算性质不定积分的运算性质ESC 课堂练习课堂练习ESC 课堂练习课堂练习1.单项选择题单项选择题(1)设设 的一个原函数为的一个原函数为 ，则，则 （）（2）设函数）设函数 的导数是的导数是 ，则，则 的全体的全体原函数是（原函数是（）课堂练习课堂练习ESC2.求下列曲线方程求下列曲线方程（1）已知曲线在任意一点）已知曲线在任意一点 处的切线斜率为处的切线斜率为 ，并且曲线过点，并且曲线过点 。（2）已知曲线在一点）已知曲线在一点 处切线斜率与处切线斜率与 成正比，成正比，且曲线过点且曲线过点 。2.题答案（题答案（1）（2）布置作业布置作业 ESCP74 习题习题4.1 5、6、7、8.