结构动力计算.pptx

1我们已经研究了结构在静荷载作用下内力和位移的计算问题，已经掌握了结构在静荷载作用下其内力和位移的计算方法和一般原理，也可以说已完成了结构的静力分析。本章将进一步分析和研究承受动力荷载的结构，称为“结构的动力计算”，一般称为“结构动力学”。就结构动力学的内容来说，非常广泛。在此学习的的内容将为以后进一步学习奠定基础。第1页/共188页21、掌握单自由度体系的自由振动、强迫振动、阻尼对振动的影响等；2、掌握求解多自由度体系的自由振动的刚度法；3、掌握多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动；4、了解多自由度体系主振型的正交性和主振型；5、了解无限自由度体系的自由振动；6、熟悉近似法求自振频率；7、了解矩阵位移法求刚架的自振频率。基本要求：第2页/共188页310-1 结构动力计算的特点和动力 计算自由度一、结构动力计算的特点1、几个概念 要研究结构在动力荷载作用下的结构计算问题，首先要了解什么是动力荷载(动荷载)以及与此有关的概念。如：静荷载、动荷载、自由振动、强迫振动、动力反应。第3页/共188页4（1）静荷载：荷载的大小、方向及作用位置都不随时间变化（如自重），或者虽有变化，但变化相当缓慢，它所引起的结构上各质点的加速度可以忽略不计。例如：雪荷载、人群、设备重量、吊车荷载。即是说我们讨论的“移动荷载”一般看作静力荷载。（2）动荷载：荷载的大小、方向和作用位置随时间迅速变化，由此引起的结构质量加速度及惯性力不能忽略不计。第4页/共188页5即：动荷载引起的结构(结构上各质点)的加速度较大，对结构的内力和位移的影响不能忽略。加载后虽然荷载不再变化，但是加载速度却很大，致使结构产生明显的振动，则属于动荷载。（3）荷载周期与结构自振周期一种荷载是否作为动荷载来处理，我们通常用荷载周期TH与结构自振周期TJ的比值来衡量。如荷载的周期TH=1s，而TJ=0.1s，TH/TJ=10，则荷载对结构而言可当作静荷载处理。若结构自振第5页/共188页6周期TJ=10s，有TH/TJ=0.1，则该荷载就应作为动荷载来处理。一般而言，TH/TJ5，该荷载就可作为静荷载处理。自振周期：(广义的解释)是结构经历一个循环的自由振动所需的时间。(4)动力反应：动荷载作用下，结构产生振动，结构的分布质量和集中质量的位移、速度、加速度以及作用在质量上的惯性力都是时间t 的函数，上第6页/共188页7述内力、位移、速度、加速度以及惯性力等统称为结构的动力反应。习惯上称动内力和动位移为结构的动力反应。学习动力学就是要掌握动力反应的计算原理和方法，并确定其随时间的变化规律。结构的动力反应和结构本身的动力特性有关。（5）动力特性：结构的自振频率、自振周期、阻尼特性以及多自由度体系的主振型等则是结构固有的动力特性。第7页/共188页8反映结构动力特性的这些参数对结构的动力分析有着重要的影响，需通过分析结构的自由振动而得到。（6）自由振动：结构在动力荷载下将发生振动，若起振后就再无外力的激振作用，则这种振动称之为自由振动。或者说：动荷载引起结构振动，若在整个振动过程中再无外力作用，则称这种振动为自由振动。第8页/共188页9（7）强迫振动：结构在振动过程中受到动荷载(干扰力)的作用，称为强迫振动。（8）动静法：根据达朗伯原理，若假想把惯性力作用在振动着的质量上，则在任一时刻，结构在动荷载以及惯性力作用下处于平衡状态。这样就把动力计算问题转化为静力平衡问题。但是，这是形式上的平衡，是一种动平衡，是一种引进惯性力条件下的平衡，是瞬间平衡。第9页/共188页10关于风荷载：对一般房屋结构来说，风荷载可看作静力荷载，而对于高耸柔软结构来说则应作为动力荷载处理。英国多伦多电视塔，世界第一高塔，1973年开工、1976年建成。钢筋混凝土结构，用钢量5600吨，混凝土4万余立方米。高553米，主体451米，天线桅杆102米，电视塔桅杆部分用巨型直升机吊装。第10页/共188页11多伦多电视塔夜景第11页/共188页12多伦多电视塔时间间隔特写镜头第12页/共188页13莫斯科电视塔“欧洲第一、世界第二”塔。1967年建成，高540米，钢筋混凝土结构，顶端合理摆幅可达20米。第13页/共188页142000年 8月 27日莫斯科电视塔发生火灾，烟 雾 从 340米高塔段冒出。第14页/共188页15上海“东方明珠”，亚洲第一、世界第三高塔。1994年建成，塔高468米，主体结构350米，天线桅杆118米。第15页/共188页16建筑资料建筑资料【建设地点】：广州市海珠区赤岗塔,珠江新城对岸【开工时间】：2005年11月25日【竣工时间】：预计2009年9月,2008年8月27日，主塔体完成封顶第16页/共188页17【占地面积】：17.546万平方米【建筑面积】：11.4054万平方米【建筑高度】：塔身主体454米，天线桅杆156米。总高度610米【建筑层数】：37层【结构形式】：钢筋混凝土结构【建筑造价】：人民币22亿元【投资单位】：广州电视台,广州建设投资公司【设计单位】：英国ARUPQualifi-cation【建设用途】：电视广播,游乐园,观光【施工单位】：宝钢公司第17页/共188页18【英文名称】：Canton Tower【别称】：广州电视观光塔,广州塔正在全球征集塔名，奖金10万。另外：日本将建634米高塔，超过广州新电视塔24米。第18页/共188页19二、动荷载分类1、周期荷载特点：随时间呈周期性变化。(1)简谐性周期荷载（典型）按简谐规律随时间改变其量值的荷载。如马达质量偏心产生的荷载。t图(a)简谐荷载工程上常用的有下面几种动力荷载。第19页/共188页20FP(t)t的变化规律可用正弦或余弦函数表示。(2)非简谐性周期荷载不是按简谐规律周期性变化的荷载(图b、c)，其中图c表示锻锤产生的周期冲量。图(b)FP(t)t t t tFP(t)t图(c)第20页/共188页21（a)tt（b)核爆炸冲击波荷载曲线急剧增加化爆冲击波荷载曲线急剧减小特点：这类荷载在很短的时间内，荷载值急剧增大或急剧减小。2、冲击荷载第21页/共188页22FP(t)t爆炸冲击荷载荷载急剧增减（c）冲击压力作用时间小于或略大于结构的自振周期第22页/共188页233、随机荷载荷载在将来某一时刻的大小和方向无法事先确定，称为非确定性荷载，或称为随机荷载，例如地震荷载及风荷载就是随机荷载。第23页/共188页244、脉动风压特点：荷载在任一时刻的数值是无法事先确定的。图示是不规则变化的风压。实测表明不规则风压可以分解为稳定风压(平均风压)和脉动风压。在一次大风过程中，当风力最强时，结构某一高度处的风压围绕其平均值变化，这是符合统计规律的。QQ1t脉动风压脉动风压稳定风压稳定风压第24页/共188页25下面是1940年美国塔克玛大桥由风震而破坏的录相。稳定风压Q1：对结构的作用可视为静力荷载。脉动风压：对高耸柔性结构则视为动力荷载。第25页/共188页26从以上分析知：(1)周期荷载和冲击荷载是确定性动力荷载。变化规律可知，即可用确定性函数来描述。(2)地震荷载和脉动风压是非确定性动力荷载。又称随机荷载。不能表示为时间的确定性函数，但受统计规律的制约，需用概率和数理统计的知识分析，得出某些共同的规律，作为设计依据。特别指出：当荷载的周期为结构的自振周期五倍以上时，动力作用较小，此时的动力荷载可视为静力荷载以简化计算。第26页/共188页27三、惯性力 当物体受外界因素的作用发生运动状态改变，即获得加速度时，物体由于惯性产生对外界抵抗的作用力称为惯性力。正是由于惯性力的作用使结构的动力计算具有不同于静力计算的特点。四、弹性体系的动力计算自由度定义：为确定弹性体系在振动过程中任一时刻全部质量的位置所需要的独立几何参数的数目称为弹性体系的动力计算自由度。第27页/共188页28对于杆系结构，通常忽略梁式杆的轴向变形，且体系为线性弹性体。对于集中质量体系，为了约束全部质量的线位移所需要的独立几何参数的数目很容易确定。下图中，n为动力计算自由度数。n=1n=2n=0n=1n=2n=2第28页/共188页29 因为，实际结构的质量都是连续分布的，因此可以说任何一个实际结构都具有无限个自由度。但是如果所有结构都按无限自由度计算，是十分困难的，也是不必要的。这就需要简化结构成有限个自由度的问题。简化方法：集中质量法和广义坐标法。1、集中质量法集中质量法：把连续分布的质量集中为有限个质点，将无限自由度问题简化为有限自由度问题。第29页/共188页30几个实例(1)图（a）示简支梁，跨中有一重物W。当梁本身的质量远小于重物的质量时，可取图b所示的计算简图。此时，体系可看作是具有一个自由度的体系。W(a)质点m(b)第30页/共188页31(2)图a所示的三层平面刚架，在水平力的作用下计算刚架的侧向振动时，只有三个自由度。(a)(b)第31页/共188页32(3)图a所示为一单层厂房排架，考虑水平振动时可简化图b。屋盖与屋架质量较大，可将其集中于直立柱的顶端，柱的部分质量也集中到顶端。当考虑水平振动时，只有一个自由度，即水平位移y(t)。(a)y(b)第32页/共188页33(4)图a所示两层单跨平面刚架，考虑水平振动时通常也将梁、柱和楼板的质量都集中在结点上，使体系成为具有四个质点的体系。体系有两个自由度，y1=y2；y3=y4。(a)(b)y1y2y4y3y1y2(c)第33页/共188页34(5)图a所示为一块形基础，可简化为一刚性质块。当考虑平面内的振动时，共有三个自由度，即水平位移x，竖向位移y，和角位移(图b)。当仅考虑竖直方向的振动时，则只有一个自由度(图c)。所以，体系的自由度与计算的精度有关。（a）(b)xy(c)y第34页/共188页352、广义坐标法(1)具有分布质量的简支梁是一个具有无限自由度的体系。简支梁的挠度曲线可用三角级数来表示：ak称为广义坐标，是一组待定参数。其中：为形状函数，是一组给定的函数；第35页/共188页36当形状函数选定后，梁的挠度曲线y(x)即由无限多个广义坐标a1、a2、an、所确定，因此简支梁具有无限自由度。在简化计算中，通常只取级数的前n项：这时简支梁被简化为具有n个自由度的体系。书中其他实例自学。第36页/共188页373、附加支杆法确定体系的自由度当体系比较复杂时，可以用附加支杆的方法确定其自由度。附加支杆法：在各个质点可发生独立位移的方向上附加刚性支杆，直到全部质点不能再运动，此时所需支杆的最小数目就是体系的自由度数。n=2第37页/共188页38n=44、关于自由度的概念动力计算自由度与几何构造分析中自由度的概念既有共同点又有不同点。共同点：它们都表明体系运动形式的独立坐标数。不同点：几何构造分析中讨论的是刚体体系的运动自由度，动力计算中讨论的是变形体系中质量的运动自由度。第38页/共188页39练习题：指出下列体系的自由度y4y3y1y2y1=y2n=3(a)y1y2(b)n=2y1y2(c)n=3y3y1(d)y2n=2第39页/共188页40EA1EA2(e)n=2n=2(f)(h)n=1EI=y1y3y2n=3(g)由上面的例子可以看出，结构动力计算自由度的数目与集中质量的数目、结构型式以及质量在结构上的分布有关，应具体问题具体分析。第40页/共188页4110-2 单自由度体系的自由振动 进行结构的动力分析，往往是先建立体系的运动微分方程，而微分方程的建立要依据动力学模型。本节讨论单自由度体系的动力学模型。单自由度体系的动力分析简单而重要。其原因：一是很多实际的动力学模型常可以按单自由度体系进行计算（或进行初步的估算）；二是单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力分析的基础。第41页/共188页42自由振动：单自由度体系初始时（t=0）受外界干扰而起振，以后再无外界干扰而进行的振动。外界干扰可以是初位移y0，或初速度v0。一、运动方程（振动微分方程）1、实例(简化)建筑结构作为单自由度体系进行研究的实例。m(W)p(t)y带质块的简支梁带质块的简支梁p(t)y块式基础块式基础支承在弹性地基支承在弹性地基上的块式基础上的块式基础第42页/共188页43p(t)y水塔p(t)门式刚架或排架 铰结或刚结 2、建立运动方程的刚度法（动静法）根据力系平衡建立运动方程的方法称为刚度法。依据：达朗倍尔原理。下面讨论单自由度体系的自由振动。第43页/共188页44 考虑集中质量上力系的平衡，得到：即1kmky(t)若把集中质量取作隔离体，其上作用有惯性力 与加速度 方向相反）及弹性力 （与 方向相反）。第44页/共188页45 根据位移协调建立运动方程的方法称为柔度法。集中质量在任一时刻的位移 y(t)可看作是惯性力 作用下产生的静位移。运动方程为：3、建立运动方程的柔度法my(t)1第45页/共188页46二、方程解答令所以特征方程为和是方程的两个特解。常系数线性齐次方程第46页/共188页47由欧拉公式得：可以证明 和 也是方程的两个特解。所以若初位移和初速度分别为 ，：则由第47页/共188页48得到动位移为令则分析(10-3)式可知：振动是由两部分组成的。(10-3)(10-4)振幅 初始相位角第48页/共188页49(1)单独由初始位移y0(初始速度v0=0)引起的振动，质点按y0cost的规律振动(图a)。2/t=02yTy0-y0tOt=/23/2yTtO(2)单独由初始速度v0(初始位移y0=0)引起的振动，质点按(v0/)sint的规律振动(图b)。第49页/共188页50若按（10-4）式，其振动图形如右图。推导参数a、与参数y0、v0之间的关系：与式(10-3)比较，即得：或(10-5a、b)t+=/23/2yTta-aO()()a aw w+=tatysin展开式(10-4)的右边，有：第50页/共188页51三、自振频率和自振周期1、自振频率单位（1/s）W通常，为表明单位时间内体系的振动次数，引入“频率”的概念。习惯上称为“工程频率”，记为f：1/k=m=W/g第51页/共188页52自振频率(圆频率)的重要性质：(1)只与体系的质量和刚度有关，与外界激发振动的因素无关；(10-7)：表示在2个单位时间内的振动次数，称为圆频率(角频率、固有频率、自振频率)。f：单位时间内的振动次数(1/s)，称为赫兹(Hz)。(10-8)第52页/共188页53上面给出了自振周期T计算公式的几种形式。(2)是结构体系所固有的属性-称为固有频率；(3)刚度k越大(质量m越小)，越高，反之越低。(4)是设计结构的一个重要参数(根据的特性，可期望其达到某一数值，从而达到减振的目的)。2、自振周期自振周期：振动一次所需的时间(单位：秒)。第53页/共188页54解释：沿质点振动方向的结构柔度系数，表示在质点上沿振动方向施加单位荷载时质点沿振动方向所产生的静位移。st：st=W表示在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时，质点沿振动方向所产生的静位移。自振周期T的重要性质：(1)自振周期与结构的质量和结构的刚度有关，而且只与这两者有关，与外界的干扰因素无关。干扰力的大小只能影响振幅a 的大小，而不能影响结构自振第54页/共188页55周期T的大小。(2)自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，则周期越大(频率f越小)；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，则周期越小(频率f越大)。要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。(3)自振周期T是结构动力性能的一个很重要的数量标志。两个外表相似的结构，如果周期相差很大，则动力性能相差很大；反之，两个外表看来并第55页/共188页56不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下其动力性能基本一致。地震中常发现这样的现象。所以自振周期的计算十分重要。自振频率和自振周期是结构的固有特性。通过以上分析，由自振频率和自振周期的计算公式可得如下变化规律（前面性质的图示）：kTkTmTmT第56页/共188页57四、单位制质量kg（千克）重力N（牛顿）长度m（米）时间s（秒）在公式 和 中，若质量m的单位为kg，则刚度k的单位应取N/m，不能取N/cm。第57页/共188页58五、重力对运动方程的影响运动方程为：因为所以又mw第58页/共188页59 可见，重力对动位移y(t)的运动方程无影响。质量围绕静力平衡位置进行振动。aaa alam质量的最大位移为：结构的最大弯矩为：第59页/共188页60六、结构刚度系数或柔度系数的求解1)2)hk/2k/211hkm1m1第60页/共188页613)11m第61页/共188页624)11EIm第62页/共188页63强迫振动：结构在动荷载FP(t)作用下的振动。10-3 单自由度体系的无阻尼强迫振动单自由度体系的振动模型(图a)受力分析：取质量m为隔离体分析(图b)，弹性力-ky，惯性力-m，动荷载FP(t)。ky(t)mm(a)(b)第63页/共188页64运动方程为：令得到下面讨论几种常见的动荷载作用时结构的振动情况。第64页/共188页65一、简谐荷载1、方程解答运动方程为：齐次方程 的通解为：是简谐荷载的圆频率，F是荷载幅值。第65页/共188页66设方程的特解为：代入原方程得：得：第66页/共188页67所以特解为：令:yst 为动荷载幅值F产生的静位移。原方程一般解为：（齐次解+特解）特解为:F第67页/共188页682、待定常数设初始条件为：。由 ，可得 C2=0。于是得到：由 得：第68页/共188页69 由上式可以知，振动分两部分：一部分按荷载频率振动，另一部分按自振频率振动。因实际过程中存在阻尼力，故按自振频率振动的部分会逐渐消失，最后余下按荷载频率振动的部分。所以方程的解为：第69页/共188页70 在平稳阶段，任意时刻的动位移为：3、平稳阶段过渡阶段：振动开始时，体系以两种频率、进行振动的阶段。平稳阶段：只按照荷载频率进行振动的阶段。一般过渡阶段延续的时间较短，因此在实际问题中平稳阶段的振动较为重要。第70页/共188页71上式中，为动力系数，等于动位移振幅y(t)max与动荷载幅值引起的静位移yst的比值。若求得的0，则取绝对值即可：位移振幅第71页/共188页721)，即/1时12432135 的绝对值随/的增大而变小，即y(t)max逐步变小。当远大于时，y(t)maxu若体系初位移和初速度分别为y0及v0，则：杜哈梅(J.M.C.Duhamel)积分的意义：计算初始处于静止状态的单自由度体系在任意动荷载FP(t)作用下的动位移(位移公式)。第77页/共188页78三、一般动荷载t运用杜哈梅积分(y0=0,v0=0)：1、突加荷载设体系原处于静止状态。在t=0时刻，突然加上荷载FP0，且FP0一直作用在结构上。突加荷载的数学表达式为：FP(t)t曲线为阶梯形曲线，在t=0处，曲线有间断点。第78页/共188页79上式中表示在静荷载FP0作用下产生的静位移。第79页/共188页80最大位移即振幅为：最大位移产生的时刻：所以0结论：突加荷载引起的最大位移是静位移2倍。第80页/共188页812、短时突加荷载ut荷载FP0在时刻t=0突然加上，在0tu时段内，荷载数值保持不变，在时刻t=u荷载又突然消失。短时荷载的数学表达式为：此时的动位移计算分为两个阶段。阶段(0tu)：此阶段荷载为突加荷载第81页/共188页82阶段II ：无荷载作用，体系为自由振动。其动位移公式为：其动位移公式为：第82页/共188页83以上公式也可以如此获得:由于此阶段以阶段终了时刻(t=u)的位移y(u)和速度v(u)作为起始位移和起始速度并作自由振动，因此也可利用书中式(10-3)求得将y(u)和v(u)代入式(17-3)，可得:第83页/共188页84下面讨论最大动位移y(t)max，有两种情况。1)当uT/2，即荷载持续时间大于半个结构周期。最大位移产生在第一阶段：第84页/共188页852)当u0.50.0628 0.6181.01.6181.9022.02.0第86页/共188页873、线性渐增荷载在一定时间内(0ttr)，荷载由0增至FP0，然后荷载值保持不变。线性渐增荷载的数学表达式为：第87页/共188页88其动力反应可利用“杜哈梅”公式求，结果如下：对于这种线性渐增荷载，其动力反应与升载时间tr的长短有很大关系。动力系数随升载时间比值tr/T而变化的情形，即动力系数的反应谱曲线(如下图)。第88页/共188页89可看出：动力系数介乎于1和2之间。若升载时间很短，如tr4T则接近于1.0，相当于静荷载。设计时，一般以上图所示外包虚线作为设计依据。第89页/共188页90 例10-3-1 图示体系，已知FP0=5kN，m=800kg，EI=4.5107kN.cm2，=35（1/s），g=9.8m/s2。在平稳阶段，求C截面的最大位移和B截面的最大弯矩。解：1)求柔度系数CEIABEI4m2mC1C1AB12AB2m第90页/共188页912)求自振频率3)求动力系数4)求(MB)max及ymax第91页/共188页9210-4 阻尼对振动的影响前面讨论忽略了阻尼的影响，其结果大体上反映实际结构的振动规律，如：自振频率是结构的固有值；简谐荷载下可能出现共振等。但是，自由振动时振幅永不衰减，共振时振幅趋于无穷等结论，与实际振动情况不尽相符。为进一步了解结构的振动规律，本节研究阻尼力对结构振动的影响。本节讨论两个问题：(1)有阻尼的自由振动；(2)有阻尼的强迫振动。第92页/共188页931、产生阻尼的原因（1）材料的内摩擦；（2）周围介质的阻尼力，如水和其他液体产生的阻尼力；（3）结构的结点及支座处的摩擦力等，因为在结点及支座处并非理想联结及理想约束；（4）地基土的内摩擦及塑性变形。一、概述第93页/共188页942、阻尼力的特点对质点运动起阻碍作用，阻尼力总是与质点的速度方向相反。数值上阻尼力与质点速度有如下关系：(1)阻尼力与质点速度成正比，这种阻尼力比较常用，称作“粘滞阻尼力”。(2)阻尼力与质点速度的平方成正比，固体在流体中运动受到的阻力属于这一类。(3)阻尼力的大小与质点速度无关，摩擦力属于此类。第94页/共188页95工程中常采用所谓粘滞阻尼，即阻尼力的大小与速度成正比，但方向相反。(其它类型的阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力)式中c 为阻尼系数二、有阻尼自由振动运动方程：令ky(t)mm第95页/共188页96方程为特征方程为两个特解为1、当 (低阻尼情况)时（1）微分方程的解第96页/共188页97特解为 所以 也是方程的两个特解。初始条件为：动位移为：第97页/共188页98由因为：由所以：式中振幅 自振圆频率相位角第98页/共188页99（2）yt曲线曲线特点：是一条振幅逐渐衰减的波动曲线。可以看出，在低阻尼体系中阻尼对自振频率和振幅的影响。（3）阻尼的影响tT0y对自振频率的影响：r 称为有阻尼体系的自振频率。r恒小于无阻尼的自振圆频率，在1(过阻尼)时（1）微分方程的解当1时，特征根是两个负实数，此时微分方程的解为：（2）对振动的影响分析因式中不含有简谐振动的因子，所以由于很大阻尼的作用，受干扰后偏离平衡位置的体系不会产生振动。其原因是所积蓄的初始能量在恢复平衡位第107页/共188页108位置的过程中全部消耗于克服阻尼，不足以引起体系的振动。4、综合分析综合以上分析可知：当1时，体系处于过阻尼的无振动状态(非周期运动状态，实际情况中很少遇到)；当=1时，体系处于临界阻尼状态。第108页/共188页109例10-4-1图示门架为一单层建筑的计算简图。设横梁EI=，屋盖系统和横梁重量以及柱子的部分重量可认为集中在横梁处，设总重为W。为了确定水平振动时门架的动力特性，进行以下振动试验：在横梁处加一水平力FP=98kN，门架发生侧移y0=0.5cm；然后突然释放，使结构作自由振动。此时测得周期T测=1.50s，并测得一个周期后横梁摆回的侧移为y1=0.4cm。计算门架的阻尼系数及振动5周后的振幅。第109页/共188页110yFPm=W/g而解：因阻尼对周期影响很小，可取T=T测=1.50s，故有因此有阻尼比：第110页/共188页111阻尼常数：引深：对此题求振幅衰减到y0的5%(即0.025cm)以下所需的时间(以整周期计)。计算振动5周后的振幅y5：因为：所以有：第111页/共188页112对于相隔n个周期的振幅，阻尼比可写为：所以有：即经过14个周期后，振幅可衰减到初始位移的5%以下。第112页/共188页113三、有阻尼强迫振动 由前述有阻尼自由振动的解答可知，若y(0)=0,v(0)=v0，则：若体系在t=0时受冲量S作用，则动位移为：1、有阻尼体系的杜哈梅积分tut第113页/共188页114 若体系在 时刻受微冲量dS=Fp()d 作用，则动位移增量为：所以对于受任意动荷载的有阻尼单自由度体系有：杜哈梅积分的意义：在有阻尼情况下，计算初始处于静止状态的单自由度体系在任意动荷载FP(t)作用下的动位移。第114页/共188页115若体系有初位移y0及初速度v0，则1、突加荷载FP0突加荷载：设体系原处于静止状态。在t=0时，突然加上荷载，且FP0一直作用在结构上。下面利用上式讨论几种动荷载的动力反应。第115页/共188页116动力位移图：利用上式可得突加荷载的动位移图，可与无阻尼体系的动位移图相对应。突加荷载的数学表达式为：即可得出当t 0时，突加荷载下的动位移：第116页/共188页117由图看出，具有阻尼的体系在突加荷载作用下，最初引起的最大位移可能接近静力位移yst的两倍，然后经过衰减振动，最后停留在静力平衡位置。有阻尼时动位移图无阻尼时动位移图第117页/共188页118方程为：（1）运动方程及解答2、简谐荷载令mky(t)m第118页/共188页119齐次方程解答为：非齐次方程的特解设为：代入原方程得：第119页/共188页120比较等式两边可得：解关于A、B的线性方程组，得到：方程通解为：第120页/共188页121其中两个常数C1和C2由初始条件确定。分析：上式右边分为两部分，表明体系的振动由两个具有不同频率(r和)的振动所组成。第一部分：由于阻尼作用，含有振动衰减因子e-t，此项振动逐渐衰减而最后消失。第二部分：频率为，由于受到周期荷载的影响而不衰减，称为平稳振动。平稳振动是讨论的重点。下面对其进行讨论：第121页/共188页122令则（2）讨论平稳阶段的振动式中任一时刻的动位移关于这见书P457第122页/共188页123式表明：动力系数不仅与频率比值/有关，而且与阻尼比有关。对于不同的值，可画出相应的与/之间的曲线。1.02.04.03.02.01.03.05.0曲线（3）讨论 当 ,随着 的增大，越来越小。相应的曲线渐趋平缓。第123页/共188页124 当/=1,称为共振，可得动力放大系数若忽略阻尼的影响，令0，则得出无阻尼体系共振时动力系数趋于无穷大的结论。若考虑阻尼的影响，则不为0，因而得出共振时动力系数总是一个有限值的结论。所以研究结构共振时的动力反应，阻尼的影响是不容忽略的。第124页/共188页125代入 表达式，有令在阻尼体系中，共振时的动力系数并不等于最大的动力系数max，但二者的数值比较接近。求对参数(/)的导数，并令其为零，可求出max为峰值时相应的频率比(/)。即：对于实际结构，有可得：第125页/共188页126通常 远小于1，则有由表达式y(t)=yPsin(t-)，可见有阻尼体系的位移比荷载滞后一个相位角。根据tg 的表达式可进一步讨论如下：当/0，tg 0,则 0。此时，体系振动很慢，惯性力和阻尼力很小，动荷载主要与弹性力平衡。位移y(t)与荷载FP(t)同步。第126页/共188页127 位移y(t)比荷载FP(t)滞后相位角/2。在荷载达到最大值，即t=/2时，y(t)和 接近于0，所以惯性力与弹性力近似等于零，动荷载主要与阻尼力平衡。位移y(t)与荷载FP(t)反向。此时，体系振动很快，惯性力很大，而弹性力和阻尼力较小，动荷载主要与惯性力平衡。当/1，tg ，则/2。当/，则。第127页/共188页12810-5 多自由度体系的自由振动 结构中很多问题不能简化成单自由度体系计算，必须按多自由度体系处理。如“多层房屋的侧向振动”和“不等高排架的振动”等问题。求解方法：刚度法和柔度法。刚度法：通过建立力的平衡方程求解；柔度法：通过建立位移协调方程求解。阻尼对自振频率的影响很小，此时有类似情况。第128页/共188页129一、刚度法1、运动方程根据力系平衡建立运动方程的方法称为刚度法。两个自由度体系：根据质量m1、m2隔离体的平衡可得：y2(t)m2m2m1m1达朗贝尔原理第129页/共188页130恢复力按下式计算：11k21k11k22k121k21k111k22k12下面讨论如何确定弹性力（恢复力）r1及。及 与位移y1(t)及y2(t)均有关，如下图所示。r1、r2是质量m1、m2与结构之间的相互作用力。第130页/共188页131运动方程为：写成矩阵形式：式中的kij是结构的刚度系数。kij的物理意义：kij是使j点产生单位位移(点i位移保持为零)时在点i需要施加的力。第131页/共188页132解：令结构质量m1产生单位水平位移，而质量m2不动。为此，需要在质量m1和m2上分别加水平力k11和k21。例10-5-1 求结构的动力刚度矩阵K。同理，当m1不动而m2产生单位水平位移时，需要在质量m1和m2上分别加水平力k12和k22。见下页图示。如此，上述四个水平力就组成了刚度矩阵K。m1m2i1i1i2i2h2h1第132页/共188页133用剪力分配法求上述四个刚度系数。m2k21m2k22m1m211k22k12m1m2i1i211k21k11i1i2i1i2i1i2第133页/共188页134m1k11k12m100刚度矩阵K 为：第134页/共188页1352、求频率1和2通解为任意两组特解的线性组合，在满足微分方程的前提下，可任意设特解(非零解)。与单自由度体系分析时相同，设两个质点为简谐振动，微分方程的解可设为如下形式：式中，Y1和Y2是位移幅值，只与1、2点位置有关，Y1、Y2、为待定。第135页/共188页136 由上式可以看出，在振动过程中，两个质量具有相同的频率及初相角。在任意时刻两个质量位移的比值保持不变，即 这种结构的振动位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型。质量加速度为：第136页/共188页137于是就得到关于Y1、Y2的线性齐次方程组。将y(t)及 的表达式代入运动方程，得到：为使Y1、Y2取得非零解,必有系数行列式的值等于零。频率方程特征方程Y1=Y2=0，虽为方程的解，但是相应于静止状态。第137页/共188页138展开：上式两边同乘 得：解上列关于的一元二次方程得:第138页/共188页139若m1=m2=m，k11=k22，则得到：可证明1和2都是正的。可知，具有两个自由度的体系有两个自振频率。1称为第一圆频率或基本圆频率，2称为第二圆频率，且，12。第139页/共188页140 在Y11和Y21中，第一下标与质量m的下标相同，第二下标为振型数。第一主振型（基本振型）3、主振型 (两个方程是线性相关)在方程 中，令=1，同时把Y1和Y2分别记作Y11和Y21，则得到：Y21m2m1Y11于是第140页/共188页141 同样令=2，同时把Y1和Y2分别记作Y12和Y22，方程变为 ，得到：第二主振型 下面是三个自由度体系(弯曲型和剪切型结构)的主振型动画。Y22m2m1Y12 Y11、Y21分别表示第一振型中质点1、2的振幅。Y12、Y22分别表示第二振型中质点1、2的振幅。第141页/共188页142第一主振型（弯曲型）第142页/共188页143第二主振型（弯曲型）第143页/共188页144第三主振型（弯曲型）第144页/共188页145第一主振型（剪切型）第145页/共188页146第二主振型（剪切型）第146页/共188页147第三主振型（剪切型）第147页/共188页148 多自由度体系按某个主振型作自由振动时，任一时刻质量m1和m2的位移y1(t)和y2(t)的比值不变。此时，体系如同单自由度体系那样振动，因为只需一个独立的几何参数就可以确定全部质量在平面中的位置。一般情况下，两自由度体系的振动是包含两种频率和两种主振型的组合振动。即方程的全解为：第148页/共188页149小 结（1）对于多自由度体系，主要是确定体系的全部自振频率及相应的主振型。多自由度体系的自振频率和主振型的数目等于体系的动力自由度数。（2）主振型就是多自由度体系如同单自由度体系那样振动时所具有的特定的振动型式。（3）自振频率和主振型是多自由度体系的固有特性，只与结构型式、各杆刚度及质量分布有关。（4）多自由度体系能按某主振型自由振动的条件是：初始位移和初始速度应当与此主振型相对应。第149页/共188页150例10-5-2图所示两层刚架，其横梁为无限刚性。设质量集中在楼层上，第一、二层的质量分别为m1、m2。层间侧移刚度分别为k1、k2。试求刚架水平振动时的自振频率和主振型。k1k2m1m2(a)k11=k1+k2k21=-k21(b)k22=k21k12=-k2解：由图a、b求结构的刚度系数第150页/共188页151将刚度系数代入特征方程得：(a)分两种情况讨论：(1)当m1=m2=m，k1=k2=k时，式(a)变为：由此,可求得两个自振频率1和2第151页/共188页152(a)Y11=1Y21=1.618第一主振型(b)Y22=-0.618Y12=1第二主振型两个主振型为：第152页/共188页153(2)当m1=nm2，k1=nk2时，(a)式变为：由此可求得两个自振频率1和2(b)当n=90时，有：可求两个主振型：注意：一定要保证1为最小。第153页/共188页154两个主振型如图所示。(a)Y11=1Y21=10第一主振型(b)Y22=-9Y12=1第二主振型可见当上部质量和刚度很小时，顶部位移很大。鞭梢效应：建筑结构中，这种因顶部质量和刚度突然变小，在振动中引起巨大反响的现象。地震灾害中，屋顶的小阁楼，女儿墙等破坏严重，就是因为顶部质量和刚度的突变，由鞭梢效应引起的结果。第154页/共188页155 n个自由度的体系，用矩阵形式表示的运动方程为：式中4、n个自由度体系质量矩阵刚度矩阵位移列阵令运动方程振幅列阵第155页/共188页156则为得到Y的非零解,必有系数行列式的值等于零，即上式为频率方程或特征方程，将行列式展开，可得到一个关于频率参数2的n次代数方程可以求体系的n个自振频率。将y及 的表达式代入运动方程，得到：第156页/共188页157求出这个方程的n个根12、22、n2，即可得出体系的n个自振频率1、2、n。把全部自振频率按照从小到大有顺序排列而成的向量叫做频率向量，其中最小的频率叫做基本频率或第一频率。将 代入运动方程，得到：令i=1、2、n，可得出n个向量方程，由此可求出n个主振型向量Y(1)、Y(2)、Y(n)。第157页/共188页158每一个向量方程都代表n个以Y1i、Y2i、Yni为未知数的联立代数方程组。上式可以求体系的主振型。在主振型向量中，通常只能确定各分量的相对值，而不能确定各分量的绝对值。由于这是一组齐次方程，因此如果Y1i、Y2i、Yni是方程组的解，则CY1i、CY2i、CYni也是方程组的解(这里C是任一常数)。也就是说第158页/共188页159可唯一地确定主振型Y(i)的形状，但不能唯一地确定它的振幅。为了使主振型Y(i)的振幅也具有确定值，需要另外补充条件。这样得到的主振型叫做标准化主振型。进行标准化的方法有许多种。一种作法是规定主振型Y(i)中的某个元素为某个给定值。例如规定第一个元素Y1i等于1，或者规定最大元素等于1。第159页/共188页160例10-5-3试求图所示刚架的自振频率和主振型。设横梁的变形略去不计，第一、二、三层的层间刚度系数分别为k、k/3、k/5。