大学物理震动与波.pptx

第二章 振动与波2.1 简谐振动简谐振动 任一物理量在某一定值附近往复变化均称为任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动振动.机械振动机械振动 物体围绕一固定位置往复运动物体围绕一固定位置往复运动.其运动形式有直其运动形式有直线、平面和空间振动线、平面和空间振动.周期和非周期振动周期和非周期振动 例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等振动等.描述振动的运动微分方程是线性微分方程的称为描述振动的运动微分方程是线性微分方程的称为线性振动线性振动。简谐运动简谐运动 最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动.简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动合成合成分解分解一、简谐振动一、简谐振动 物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，这种运动就叫函数（或正弦函数）的规律随时间变化，这种运动就叫简谐振动简谐振动.(1)一 简谐振动简谐振动(8-49)第二章 振动与波1、简谐振动的描述、简谐振动的描述简谐振动可以用一个弹簧振子来演示。简谐振动可以用一个弹簧振子来演示。第二章 振动与波2、简谐振动的动力学方程、简谐振动的动力学方程 由胡克定律，弹簧振子中的质点沿由胡克定律，弹簧振子中的质点沿 方向运动时受到的弹性方向运动时受到的弹性回复力为回复力为:代入牛顿第二定律代入牛顿第二定律或：或：令：令：代入上式可列得：代入上式可列得：（2-3）上式为一个常系数二阶线性齐次微分方程，称为简谐振动的上式为一个常系数二阶线性齐次微分方程，称为简谐振动的特征微分方程特征微分方程。可解得：。可解得：这个结果正好是（这个结果正好是（1）的形式，所以说弹簧振子的运动就是）的形式，所以说弹簧振子的运动就是典型的简谐振动的例子。典型的简谐振动的例子。称为倔强系数称为倔强系数可得：可得：(2-1)(2-4)第二章 振动与波 根据周期函数的定义，如果找出一个根据周期函数的定义，如果找出一个T值，使得值，使得则将则将T称为函数称为函数 的周期。下面按此找出简谐振动的周期。的周期。下面按此找出简谐振动的周期。令：令：则有：则有：又由于余弦函数的周期为又由于余弦函数的周期为 ，故可列成：，故可列成：比较上述两式，可得：比较上述两式，可得：由此得由此得简谐振动的周期简谐振动的周期为：为：如以如以 表示表示振动的频率振动的频率（即单位时间振动的次数），则它与（即单位时间振动的次数），则它与周期存在互为倒数关系：周期存在互为倒数关系：故有：故有：(2-8)第二章 振动与波在式在式 中，中，与与 成正比，故称之为成正比，故称之为圆频率圆频率。在国际单位制中在国际单位制中,T的单位是的单位是s（秒），（秒），f的单位是的单位是 （赫兹），（赫兹），的单位为的单位为 （弧度秒）（弧度秒）在（在（2-4）式）式 中的系数中的系数A为物体可能离为物体可能离开原点的最大距离，称之为振动的开原点的最大距离，称之为振动的振幅振幅。在（在（24）式中的角度值）式中的角度值 称为称为相位相位。当。当t=0时，时，故称常数故称常数 为振动的为振动的初相位（初相位（简称简称初相）初相）。这三个量称为描述这三个量称为描述简谐振动的特征量简谐振动的特征量。由物体的振动方程（由物体的振动方程（24）可求出物体振动的速度和加速度）可求出物体振动的速度和加速度的表达式：的表达式：比较（比较（24）式上式可得：）式上式可得：可得简谐振动的加速度和位移成正比而反向。可得简谐振动的加速度和位移成正比而反向。(1)(2)第二章 振动与波由上面定义的由上面定义的 ，可得出这一简谐振动的圆频率为：，可得出这一简谐振动的圆频率为：可见，圆频率由振动系统本身的性质（包括力的性质和物体可见，圆频率由振动系统本身的性质（包括力的性质和物体的质量）所决定。所以，它又可称为振动系统的固有频率，其周的质量）所决定。所以，它又可称为振动系统的固有频率，其周期就叫做固有周期，为：期就叫做固有周期，为：在简谐振动的三个特征量在简谐振动的三个特征量A、中，中，由上式确定。由上式确定。A和和 则由初始条件确定，即令则由初始条件确定，即令t=0，代入（，代入（24)式式 和前面的速度公式，可得初始的位移和速度值为和前面的速度公式，可得初始的位移和速度值为:将以上两式两边平方，并做代换可得将以上两式两边平方，并做代换可得:(1)（28.1）第二章 振动与波将式（将式（1）中的两式）中的两式 ,相除可得相除可得:在用上式确定在用上式确定 时，一般说来，在时，一般说来，在 到到 之间有两个值，可之间有两个值，可将此两个角度值代入式将此两个角度值代入式 ,中判定取舍。中判定取舍。利用利用 式，可以得出振幅的平方为：式，可以得出振幅的平方为：再将式再将式 代入上式可得：代入上式可得：在上式中在上式中 为弹簧振子的初始弹性势能，为弹簧振子的初始弹性势能，为振子的为振子的初始动能，故两者之和表示了振子的初机械能初始动能，故两者之和表示了振子的初机械能 。将上式两边开方可得：将上式两边开方可得：（2-8.2）第二章 振动与波图图图图图图取取第二章 振动与波oy5cmab例例1已知两个相同的弹簧振子已知两个相同的弹簧振子a和和b，周期为，周期为T=2s，将两物从平衡位置，将两物从平衡位置上向右拉开上向右拉开5cm，然后先放，然后先放a，经，经过过0.4s后再放后再放b。如以。如以b释放时为时释放时为时间起点。求两振子位移与时间的关间起点。求两振子位移与时间的关系。系。解：选取如图的坐标，则两个振解：选取如图的坐标，则两个振子的振动方程可相应列得：子的振动方程可相应列得：由于两振子的周期由于两振子的周期T=2s，故圆频率为：，故圆频率为：由初始条件，对振子由初始条件，对振子b初始位置：初始位置：由于是从静止开始释放，故有：由于是从静止开始释放，故有：（1)（2）将以上两值代入（将以上两值代入（2-8.1）、）、(2-8.2)式得：式得：再将以上两值代入（再将以上两值代入（2）式，可得）式，可得b振子的位移与时间的关系为：振子的位移与时间的关系为：（3)第八章 振动与波 对于对于a振子来说，振子来说，b振子在振子在t=0时它已振动了时它已振动了0.4s。由于。由于a、b两两振子完全相同，故振子完全相同，故t=0时时a振子的位移和速度就是振子的位移和速度就是t=0.4s时时b振子的振子的位移和速度。再由（位移和速度。再由（3）、（）、（4）式可列得：）式可列得：将以上所得的将以上所得的 ，,值代入速度公式可得值代入速度公式可得b振子的速度振子的速度表达式：表达式：（4）将以上的值代入（将以上的值代入（2-8.1）、（）、（2-8.2）式可得）式可得:将以上两值代入（将以上两值代入（1）式，可得）式，可得a振子的振动位移与时间的关系为振子的振动位移与时间的关系为:可见，可见，a振子的振动位相比振子的振动位相比b振子超前了振子超前了 。第二章 振动与波例例2已知如图所示的单摆系统，求单摆的振动周期。已知如图所示的单摆系统，求单摆的振动周期。解：当摆线与竖直方向成解：当摆线与竖直方向成 角时，摆球所角时，摆球所受的合力受的合力 （即绳子的拉力与摆球的重力（即绳子的拉力与摆球的重力的合力）沿圆弧的切线方向。其大小等于的合力）沿圆弧的切线方向。其大小等于重力在这一方向的分力重力在这一方向的分力 。如取逆。如取逆时针方向为角位移时针方向为角位移 的正方向，则此力的正方向，则此力应相应列成：应相应列成：当角位移当角位移 很小时，有很小时，有 ，代入上，代入上式得：式得：由于摆球的切向加速度：由于摆球的切向加速度：代入牛顿第二定律表达式代入牛顿第二定律表达式 可列得：可列得：第二章 振动与波或：或：这一方程与这一方程与 这个简谐振动的特征微分方程具这个简谐振动的特征微分方程具有相同的形式，故可断定：在角位移很小的情况下，单摆的振有相同的形式，故可断定：在角位移很小的情况下，单摆的振动是简谐振动。故这一振动的圆频率的平方等于以上微分方程动是简谐振动。故这一振动的圆频率的平方等于以上微分方程中中 一次项前的系数，即：一次项前的系数，即：故单摆的圆频率为：故单摆的圆频率为：而单摆的周期为：而单摆的周期为：可见可见,单摆的振动周期与振幅无关单摆的振动周期与振幅无关,仅与摆的固有性质所决定。仅与摆的固有性质所决定。以上微分方程的解为以上微分方程的解为:第二章 振动与波3、简谐振动的能量、简谐振动的能量 由（由（2-4）和速度公式，可列得简谐振动的势能和动能分别）和速度公式，可列得简谐振动的势能和动能分别为：为：（2-12）（2-13）故弹簧振子的总能量（即机械能）为故弹簧振子的总能量（即机械能）为:对于弹簧振子，由前知对于弹簧振子，由前知 ，可列得，可列得代入上式：代入上式：由此可得：由此可得：（2-14）或：或：第二章 振动与波将前面推的公式将前面推的公式 和（和（2-14）式）式 比较得：比较得：这说明简谐振动的机械能是守恒的，其值与振幅的平方成正这说明简谐振动的机械能是守恒的，其值与振幅的平方成正比，不随时间而改变。比，不随时间而改变。平均动能与平均势能是指动能与势能对时间的平均值。根据平均动能与平均势能是指动能与势能对时间的平均值。根据在数学上求平均值的定义式，可相应列得：在数学上求平均值的定义式，可相应列得：即弹簧振子的平均动能与平均势能的值相等，且等于总机械即弹簧振子的平均动能与平均势能的值相等，且等于总机械能的一半。这一结论也适用于其它的简谐振动。能的一半。这一结论也适用于其它的简谐振动。第二章 振动与波二、阻尼振动二、阻尼振动 在上一节所讲的简谐振动是一种等振幅的振动，它是忽略在上一节所讲的简谐振动是一种等振幅的振动，它是忽略阻力作用的理想情况。事实上，阻力是不可避免的，克服阻力阻力作用的理想情况。事实上，阻力是不可避免的，克服阻力作功的结果使得振动系统的能量逐渐减少。因此，实际发生的作功的结果使得振动系统的能量逐渐减少。因此，实际发生的一切自由振动，振幅总是逐渐减小直至为零的。这种一切自由振动，振幅总是逐渐减小直至为零的。这种在回复力在回复力和阻力作用下的振动就称为阻尼振动和阻力作用下的振动就称为阻尼振动。实验指出，当运动物体的速度不大时，介质以运动物体的实验指出，当运动物体的速度不大时，介质以运动物体的阻力与速度成正比，用式子表示为：阻力与速度成正比，用式子表示为：式中的比例系数式中的比例系数 称为阻力系数。它的大小由物体的形称为阻力系数。它的大小由物体的形状、大小、表面状况以及从介质的性质决定。式中的负号表状、大小、表面状况以及从介质的性质决定。式中的负号表示阻力的方向总与速度方向相反。示阻力的方向总与速度方向相反。第二章 振动与波 设质量为的振动物体，在弹性力设质量为的振动物体，在弹性力 和上述的阻力和上述的阻力 作用下运动，则由牛顿第二定律可列得其运动方程为：作用下运动，则由牛顿第二定律可列得其运动方程为：在阻尼作用较小（即在阻尼作用较小（即 时），此方程的解为：时），此方程的解为：这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，称为阻尼振动的这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，称为阻尼振动的微分方程。微分方程。令：令：式中的式中的 为振动系统的固有圆频率（即做简谐振动时的圆为振动系统的固有圆频率（即做简谐振动时的圆频率），频率），称为称为阻尼系数阻尼系数，将上式代入前式，并移项可得：，将上式代入前式，并移项可得：（215）(2-17)第二章 振动与波（828）阻尼振动位移时间曲线阻尼振动位移时间曲线其中：其中：上式为阻尼振动的表达式。上式为阻尼振动的表达式。如图如图1为其的函数图象。为其的函数图象。00 式中的式中的 和和 是由初始条是由初始条件决定的积分常数。件决定的积分常数。阻尼振动的周期阻尼振动的周期：（当（当 时）时）图1三种阻尼的比较三种阻尼的比较 b b）过阻尼）过阻尼 a a）欠阻尼）欠阻尼 c c）临界阻尼）临界阻尼 0=0图2第二章 振动与波三、受迫振动、共振三、受迫振动、共振 在周期性外力策动下发生的振动称为在周期性外力策动下发生的振动称为受迫振动。受迫振动。为简单起见，设策动外力是随时间按为简单起见，设策动外力是随时间按余弦规律变化的简谐力余弦规律变化的简谐力 。除此之。除此之外，振动物体原还受到弹性力和阻力的作外，振动物体原还受到弹性力和阻力的作用，故物体受迫振动的运动方程为：用，故物体受迫振动的运动方程为：令：令：代入上式可改写成：代入上式可改写成：此为一个二阶非齐次线性微分方程，称为此为一个二阶非齐次线性微分方程，称为受迫振动的微分方程受迫振动的微分方程.第二章 振动与波微分方程的解为：微分方程的解为：可见，受迫振动可以看成两个振动的合成。一个振动是由可见，受迫振动可以看成两个振动的合成。一个振动是由上式第一项表示的阻尼振动（因形式与阻尼振动的解相同）。上式第一项表示的阻尼振动（因形式与阻尼振动的解相同）。经过一段时间后，这一部分振动就减弱到可以忽略不计。另一经过一段时间后，这一部分振动就减弱到可以忽略不计。另一个振动是由上式第二项表示的是与简谐振动同形的等振幅振动个振动是由上式第二项表示的是与简谐振动同形的等振幅振动（因形式与（因形式与（24）式相同）。由此，受迫振动的稳定状态为）式相同）。由此，受迫振动的稳定状态为:可见此等幅振动的圆频率就是策动力的圆频率可见此等幅振动的圆频率就是策动力的圆频率 ，可以证，可以证明，其振幅为：明，其振幅为：稳态受迫振动的初相位：稳态受迫振动的初相位：第二章 振动与波 在式在式 中，中，为为 的函数，的函数，将该式两边求导，通过求极值的方法可得到使振幅达到极大值的将该式两边求导，通过求极值的方法可得到使振幅达到极大值的策动力的圆频率策动力的圆频率 为：为：相应的最大振幅为相应的最大振幅为:共振频率共振频率大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼阻尼阻尼（2)在弱阻尼即在弱阻尼即 的情况下，由的情况下，由（1）式得）式得 ，即，即策动力频策动力频率率 等于振动系统的固有频率等于振动系统的固有频率 时，受迫振动的振幅达到最大值。时，受迫振动的振幅达到最大值。我们把这种振幅达到最大值的现我们把这种振幅达到最大值的现象称为共振象称为共振。(1)第二章 振动与波共振演示实验共振演示实验236145 共振现象在实际中的应用共振现象在实际中的应用乐器、收音机乐器、收音机 单摆单摆1作垂直于纸面作垂直于纸面的简谐运动时，单摆的简谐运动时，单摆5将将作相同周期的简谐运动，作相同周期的简谐运动，其它单摆基本不动其它单摆基本不动.第二章 振动与波 共振现象的危害共振现象的危害1940 年年7月月1日美国日美国 Tocama 悬索桥因共振而坍塌悬索桥因共振而坍塌第二章 振动与波2.2 简谐振动的合成简谐振动的合成在实际问题中，常遇到两个或更多个简谐振动的合成情况。在实际问题中，常遇到两个或更多个简谐振动的合成情况。设一质点在一直线上同时进行两个独立的同频率（亦即圆设一质点在一直线上同时进行两个独立的同频率（亦即圆频率频率 相同）的简谐振动。如果取这一直线为相同）的简谐振动。如果取这一直线为X轴，质点的平衡轴，质点的平衡位置为原点。按简谐振动的数学表达式（位置为原点。按简谐振动的数学表达式（24），可相应列得：），可相应列得：式中的式中的 和和 表示在同一直线方向上距同一平衡位置的位表示在同一直线方向上距同一平衡位置的位移，所以合位移移，所以合位移 为上述两个位移的代数和。为上述两个位移的代数和。将以上两式代入，并用三角恒等式进行合并，可化成：将以上两式代入，并用三角恒等式进行合并，可化成：一、一维振动的合成一、一维振动的合成第二章 振动与波式中合振幅式中合振幅 和初相和初相 的值分别为：的值分别为：（2-22）两个两个同同方向方向同同频频率简谐运动率简谐运动合成合成后仍为后仍为简谐简谐运动运动 以上结果，也可用如图所示的简以上结果，也可用如图所示的简谐振动矢量迭加的方法得到。谐振动矢量迭加的方法得到。上式表明合振动的振幅不仅与两上式表明合振动的振幅不仅与两个分振动的振幅有关，还与它们的初个分振动的振幅有关，还与它们的初相差相差 有关。有关。(2-21)第二章 振动与波下面讨论两个特例下面讨论两个特例：（1）两分振动的相位差）两分振动的相位差 ，为零或任意整数，为零或任意整数，即即 。这时。这时 ，代入（，代入（2-22）式）式可得：可得：第二章 振动与波（2）两分振动的）两分振动的相位差相位差 这时这时 ，代入（，代入（2-22）式可得：）式可得：3 3）一般情况一般情况2 2）相位差相位差1 1）相位差相位差相互加强相互加强相互削弱相互削弱第二章 振动与波第二章 振动与波二、二维振动合成二、二维振动合成 当一质点同时参与两个不同方向的振动时，这时质点的位移当一质点同时参与两个不同方向的振动时，这时质点的位移是这两个振动的位移的矢量和。在一般情形下，质点将在平面上是这两个振动的位移的矢量和。在一般情形下，质点将在平面上作曲线运动。质点的轨道可有各种形状。轨道的形状由两个振动作曲线运动。质点的轨道可有各种形状。轨道的形状由两个振动的周期、振幅和相位差来决定。的周期、振幅和相位差来决定。下面先讨论两个下面先讨论两个相互垂直的相互垂直的、同周期（圆频率相同）同周期（圆频率相同）的简谐的简谐振动的合成。设两个简谐振动分别在振动的合成。设两个简谐振动分别在x轴和轴和y轴上进行，其位移方轴上进行，其位移方程：程：将以上两式作替换消去参变量将以上两式作替换消去参变量t，可得质点的轨道方程为：，可得质点的轨道方程为：一般来说，这个方程为椭圆方程。一般来说，这个方程为椭圆方程。第二章 振动与波下面通过几个特例来说明其意义。下面通过几个特例来说明其意义。1 1）或或 讨论讨论代入（代入（822）式得）式得:S即此时质点轨迹是一条直线。这一通即此时质点轨迹是一条直线。这一通过坐标原点的直线斜率为过坐标原点的直线斜率为 ，在，在任一时刻，质点离开平衡位置的位移任一时刻，质点离开平衡位置的位移:由上式可见，合振动仍为简谐振动，频率与分振动相同，由上式可见，合振动仍为简谐振动，频率与分振动相同，振幅等于振幅等于 。第二章 振动与波2 2）质点的轨迹仍为一直线。质点的轨迹仍为一直线。3 3）此时，质点运动的轨迹是一个以坐此时，质点运动的轨迹是一个以坐标轴为主轴的椭圆。相位差取标轴为主轴的椭圆。相位差取 时，时，质点沿椭圆运动的方向为顺时针方向。质点沿椭圆运动的方向为顺时针方向。相位差取相位差取 时，方向为逆时针方向时，方向为逆时针方向.(822)第二章 振动与波简简谐谐运运动动的的合合成成图图两两相相互互垂垂直直同同频频率率不不同同相相位位差差 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成两相互垂直不同频率的简谐运动的合成测量振动频率测量振动频率和相位的方法和相位的方法李李 萨萨 如如 图图第二章 振动与波作业：作业：波动是振动的传播过程波动是振动的传播过程.振动是激发波动的波源振动是激发波动的波源.机械波机械波电磁波电磁波波动波动机械振动在机械振动在弹性弹性介质中的传播介质中的传播.交变电磁场在空间的传播交变电磁场在空间的传播.两两类类波波的的不不同同之之处处v机械波的传播需有机械波的传播需有传播振动的介质传播振动的介质;v电磁波的传播可电磁波的传播可不需介质不需介质.2能量传播能量传播2反射反射2折射折射2干涉干涉2衍射衍射两两类类波波的的共共同同特特征征第二章 振动与波2.3 简谐波简谐波第一章 连续体力学一、一、物体的弹性变形物体的弹性变形弹性：指变形固体当外力去掉后能恢复原来形状和尺弹性：指变形固体当外力去掉后能恢复原来形状和尺寸的性质。寸的性质。弹性变形：指变形体上的外力去掉后可消失的变形。弹性变形：指变形体上的外力去掉后可消失的变形。塑性变形：在变形体上的外力去掉后，变形不能全部塑性变形：在变形体上的外力去掉后，变形不能全部消失而留有残余，此残余部分就称为塑性变形。消失而留有残余，此残余部分就称为塑性变形。第二章 振动与波第一章 连续体力学应力和应变应力和应变 物体内部各部分之间的相互作用力称为内力。为了研究物体内部各部分之间的相互作用力称为内力。为了研究物体内某处的内力，可取一假想的截面把物体截开。物体内某处的内力，可取一假想的截面把物体截开。如图所示，在截面上取一微小面积如图所示，在截面上取一微小面积s，设作用在这微，设作用在这微小面积上的内力为小面积上的内力为 ，则在截面上的应力定义为：，则在截面上的应力定义为：s当外力当外力F为沿轴线方向的常力时可列得：为沿轴线方向的常力时可列得：s应力的单位：帕斯卡（应力的单位：帕斯卡（Pa)。=F/S第二章 振动与波第一章 连续体力学 通常将通常将 分解为法向分量分解为法向分量 （称为正应力）（称为正应力）和切向分量和切向分量 （称为剪应力）。（称为剪应力）。第二章 振动与波第一章 连续体力学1、弹性体的拉伸和压缩与线变、弹性体的拉伸和压缩与线变LL0LL0拉伸压缩b0bb0b设有一直杆两端受与杆平设有一直杆两端受与杆平行的力行的力 拉伸或压缩时，拉伸或压缩时，杆的长度由杆的长度由 变为变为 ，杆，杆的长度变化为的长度变化为 长度的相对变化称为长度的相对变化称为长应长应变（或线应变变（或线应变),用用 表示。表示。即：即：在弹性范围内正应力与线应变成正比，即：在弹性范围内正应力与线应变成正比，即：式中的比例系数称为式中的比例系数称为杨氏弹性模量杨氏弹性模量。上式称为弹性体在。上式称为弹性体在拉伸或压缩发生变形时的拉伸或压缩发生变形时的胡克定律胡克定律。第二章 振动与波第一章 连续体力学 直杆在发生纵向变形的同时，总伴随有横向变形。直杆在发生纵向变形的同时，总伴随有横向变形。设直杆的横向线度原为设直杆的横向线度原为b0，改变量，改变量b=b-b0，则，则横向应横向应变变为：为：长应变与横向应变的绝对值之比称为长应变与横向应变的绝对值之比称为泊松比泊松比，用，用表示，即：表示，即：第二章 振动与波第一章 连续体力学2、弹性体的剪切形变、弹性体的剪切形变da 如图，在杆的横向加上两个如图，在杆的横向加上两个方向相反、作用线间隔一小段距方向相反、作用线间隔一小段距离的力离的力 ，杆的截面将移动一个，杆的截面将移动一个距离距离b。这种变形称为剪切形变。这种变形称为剪切形变。相应的相应的剪切应变剪切应变为为b/a，这个比，这个比值可用剪切角值可用剪切角来表示，即：来表示，即：在弹性范围内，剪切应力的大小与在弹性范围内，剪切应力的大小与剪切应变成正比。即：剪切应变成正比。即：（824）式中的比例系数式中的比例系数G称为切变模量，上式称为称为切变模量，上式称为剪切形变的胡克定律剪切形变的胡克定律。第二章 振动与波第二章 振动与波波源波源介质介质+弹性作用弹性作用机机械械波波产生条件：产生条件：1）波源；）波源；2）弹性介质）弹性介质.机械波：机械振动在弹性介质中的传播机械波：机械振动在弹性介质中的传播.一、平面简谐波的描述一、平面简谐波的描述 波是运动状态的传播，介质的波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播质点并不随波传播.注意注意 如果所传播的简谐振动，即媒质中各质元均作简谐振动，如果所传播的简谐振动，即媒质中各质元均作简谐振动，则相应的波称为则相应的波称为简谐波简谐波，又称余弦波或正弦波。，又称余弦波或正弦波。1、机械波的形成机械波的形成第二章 振动与波横波：质点振动方向与波的传播方向相横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直垂直的波的波.（仅在固体中传播（仅在固体中传播）2、横波与纵波、横波与纵波 特征：具有交替出现的波峰和波谷特征：具有交替出现的波峰和波谷.第二章 振动与波纵波：质点振动方向与波的传播方向互相纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行平行的波的波.（可在固体、液体和气体中传播）（可在固体、液体和气体中传播）特征：具有交替出现的密部和疏部特征：具有交替出现的密部和疏部.第二章 振动与波3、波线、波线 波面波面 波前波前*球球 面面 波波平平 面面 波波波前波前波面波面波线波线（波阵面）（波阵面）（球面波与柱面波的动画演示）（球面波与柱面波的动画演示）第二章 振动与波二、描述波动的基本物理量二、描述波动的基本物理量波长波长 波的周期和频率波的周期和频率 波速波速2 波长波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相：沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为位差为 的振动质点之间的距离，即一个完整的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度波形的长度.OyAA-第二章 振动与波2 周期周期 ：波前进一个波长的距离所需要：波前进一个波长的距离所需要的时间的时间.注意注意周期或频率只决定于波源的振动周期或频率只决定于波源的振动周期或频率只决定于波源的振动周期或频率只决定于波源的振动!波速只决定于媒质的性质！波速只决定于媒质的性质！波速只决定于媒质的性质！波速只决定于媒质的性质！2 波速波速 ：波动过程中，某一振动状态（即：波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）.（2-25）2 频率频率 ：周期的倒数，即单位时间内波动：周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目所传播的完整波的数目.显然，波的周期和频率也就是它所传播的振动的周期和频率显然，波的周期和频率也就是它所传播的振动的周期和频率.第二章 振动与波 波速的大小决定于媒质的性质，不同媒质中的波速不同。如波速的大小决定于媒质的性质，不同媒质中的波速不同。如在拉紧的绳索或细线中，横波的波速在拉紧的绳索或细线中，横波的波速 由下式给出：由下式给出：式中式中 为绳索或细线中的张力，为绳索或细线中的张力，为其质量线密度。为其质量线密度。在固体中传播的纵波的波速在固体中传播的纵波的波速 由下式给出：由下式给出：（2-25.2）式中式中 为媒质的扬氏模量（纵变弹性模量），为媒质的扬氏模量（纵变弹性模量），为其密度为其密度.在各向同性均匀固体媒质中，横波的波速在各向同性均匀固体媒质中，横波的波速 由下式给出：由下式给出：式中式中 为媒质的切变弹性模量，为媒质的切变弹性模量，为其密度。由于同种材料为其密度。由于同种材料的的 ，故在同种媒质中，横波的波速要比纵波的波速小些，故在同种媒质中，横波的波速要比纵波的波速小些.（2-25.3）(2-25.1)第二章 振动与波液体和气体中的纵波波速由下式给出：液体和气体中的纵波波速由下式给出：式中式中 为媒质的体变弹性模量，为媒质的体变弹性模量，为其质量密度。为其质量密度。声音的传播速度声音的传播速度空气，常温空气，常温左右，左右，混凝土混凝土对于理想气体，由上式可导出声波的波速为：对于理想气体，由上式可导出声波的波速为：式中式中M是气体的摩尔质量，是气体的摩尔质量，为比热容比，为比热容比，P为气为气体的压强，体的压强，T为气体的热力学温度，为气体的热力学温度，为气体在相应状态下的为气体在相应状态下的质量密度，质量密度，R为普适气体常数。为普适气体常数。(2-25.4)(2-25.5)例例1 在室温下，已知空气中的声速在室温下，已知空气中的声速 为为340 m/s，水中的声速水中的声速 为为1450 m/s ，求频率为，求频率为200 Hz和和2000 Hz 的声波在空气中和水中的波长各为多少？的声波在空气中和水中的波长各为多少？在水中的波长在水中的波长解解由由 ，频率为，频率为200 Hz和和2000 Hz 的声波在的声波在空气中的波长空气中的波长第二章 振动与波各质点相对平衡各质点相对平衡位置的位置的位移位移波线上各质点波线上各质点平衡平衡位置位置 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动时，在介质中所形成的波简谐运动时，在介质中所形成的波.三、平面简谐波的表达式三、平面简谐波的表达式 平面简谐波：波面为平面的简谐波平面简谐波：波面为平面的简谐波.介质中任一质点（坐标为介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的）相对其平衡位置的位移（坐标为位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即）随时间的变化关系，即 称称为波函数为波函数.第二章 振动与波 以速度以速度u 沿沿 x 轴正向传播的平轴正向传播的平面简谐波面简谐波.令原令原点点O 的初相为零，的初相为零，其振动方程其振动方程 t 时刻点时刻点 P 的运动的运动t-(x/u)时刻点时刻点O 的运动的运动点点P 振动方程振动方程点点O 的振动状态的振动状态点点 P时间推时间推迟方法迟方法第二章 振动与波第二章 振动与波 由于在上式中的由于在上式中的x值是任意的，所代表的就是离值是任意的，所代表的就是离O点距离为点距离为x的任意观测点的振动状态，故足标的任意观测点的振动状态，故足标p可省去，由此可列得可省去，由此可列得平面平面简谐波的表达式简谐波的表达式：（2-26）因因 ，此式还可写成下列，此式还可写成下列两种形式两种形式：（2-27）波线上各点的简谐运动图波线上各点的简谐运动图第二章 振动与波O若若y为一定值为一定值，均变化，即均变化，即 则此则此时的波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）时的波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）.时刻时刻时刻时刻第二章 振动与波代入（代入（2-27）式得：）式得：第二章 振动与波点点 O 振动方程振动方程 O 如果原点的如果原点的初相位初相位不不为零为零 沿沿 轴轴负负向向 波波函函数数 沿沿 轴轴正正向向 (2-26.2)第二章 振动与波 质点的振动速度，加速度质点的振动速度，加速度波波函函数数 沿沿 轴轴正正向向 第二章 振动与波例例2A已知频率为已知频率为 的平面余弦纵波沿金属棒传播，棒的平面余弦纵波沿金属棒传播，棒的扬氏弹性模量的扬氏弹性模量 ，棒的体密度，棒的体密度 。已。已知波源的振幅为知波源的振幅为 。试求（试求（1）波源的振动方程）波源的振动方程。解：由（解：由（2-25.2）式，可得棒中的波速：）式，可得棒中的波速：波长：波长：周期：周期：圆频率：圆频率：故波源的振动方程可写成：故波源的振动方程可写成：第二章 振动与波求（求（2）波动方程）波动方程将以上求得的各值代入（将以上求得的各值代入（829）式，可列得波动方程）式，可列得波动方程求（求（3）离波源）离波源10cm=0.1m处质点的振动方程处质点的振动方程将将x=0.1m代入以上的波动方程，可列得：代入以上的波动方程，可列得：求（求（4）离波源）离波源20cm和和30cm两点处质点振动的相差两点处质点振动的相差由于由于由前知：由前知：故得：故得：由于相距为一个波长由于相距为一个波长 的两点的相差为的两点的相差为 ，故相距，故相距 波波长的两个质点振动的相差为：长的两个质点振动的相差为：第二章 振动与波求（求（5）在波源振动）在波源振动0.0021s时的波形。时的波形。将将t=0.0021s代入前面（代入前面（2）求出的波动方程，可得其波形为：）求出的波动方程，可得其波形为：第二章 振动与波四四 波动能量波动能量 当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在其平衡位置附当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在其平衡位置附近振动，因而具有振动动能近振动，因而具有振动动能.同时，介质发生弹性形变，因而具有同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能弹性势能.1、媒质元的能量、媒质元的能量 以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.在棒中取体积为在棒中取体积为 ，质量为，质量为 的体积元，其中心的的体积元，其中心的平衡位置坐标为平衡位置坐标为x。当平面简谐波。当平面简谐波 在其中传播时，此体积元在在其中传播时，此体积元在t时刻的振动速度为：时刻的振动速度为：故它在此时刻故它在此时刻的振动动能为的振动动能为:（2-28）第二章 振动与波xOxO下面计算体积元的弹性势能下面计算体积元的弹性势能 由图，体积元左端的位移为由图，体积元左端的位移为 ，右端的位移为，右端的位移为 ，故体，故体积元的长度变化为积元的长度变化为 ，由于体积元的原长度为，由于体积元的原长度为 ，由第一章知，由第一章知，其长应变为其长应变为 ，由前面所得公式其正应力为，由前面所得公式其正应力为 式式中的中的 为扬氏弹性模量。设棒的横截面积为为扬氏弹性模量。设棒的横截面积为S，则所受的弹性力，则所受的弹性力为为 ，式中的，式中的 为倔强系数为倔强系数.由此，可列得体积元的弹性势能为：由此，可列得体积元的弹性势能为：纵波在棒中的传播纵波在棒中的传播第二章 振动与波对波动方程求偏导数可得：对波动方程求偏导数可得：将上式和将上式和 ，及，及 或或 ，代入以上的，代入以上的势能公式，可列得：势能公式，可列得：或：或：（229）将上式与前面的（将上式与前面的（228）式比较得）式比较得 ，即在行，即在行波传播的过程中，体积元的动能和势能总是大小相等，相位相波传播的过程中，体积元的动能和势能总是大小相等，相位相同。同。将上式和（将上式和（228）式相加，可得体积元的总机械能为：）式相加，可得体积元的总机械能为：可见，体积元的能量随时间作周期变化，这是能量在传播的表现可见，体积元的能量随时间作周期变化，这是能量在传播的表现.第二章 振动与波二、能流密度二、能流密度 波传播时，媒质单位体积内的能量叫波的能量密度。如以波传播时，媒质单位体积内的能量叫波的能量密度。如以 表示能量密度，则媒质中表示能量密度，则媒质中x处在处在t时刻的能量密度，由前式可列时刻的能量密度，由前式可列得：得：（2-31）上式表明，平均能量密度和媒质的密度、振幅的平方以上式表明，平均能量密度和媒质的密度、振幅的平方以及频率的平方成正比。及频率的平方成正比。这一公式虽然是由平面简谐波导出的，这一公式虽然是由平面简谐波导出的，但它对于各种弹性波均适用。但它对于各种弹性波均适用。在一周期内能量密度的平均值叫平均能量密度，用在一周期内能量密度的平均值叫平均能量密度，用 表示。表示。由于正弦平方在一周期内的平均值为由于正弦平方在一周期内的平均值为 ，所以有：，所以有：（2-32）第二章 振动与波 能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量.设在媒质中垂直于波速的方向上取一面积设在媒质中垂直于波速的方向上取一面积 ，则在，则在dt时间内时间内通过通过 面的能量就等于该面所流过的体积面的能量就等于该面所流过的体积 中所具有的能量，中所具有的能量，这一能量等于这一能量等于 。如以。如以P表示通过此面积的能流，则可列表示通过此面积的能流，则可列得：得：udt可见，可见，P与与 一样，是随时间周期性地一样，是随时间周期性地变化的。取其平均值，则通过变化的。取其平均值，则通过 面的面的平均能流为：平均能流为：平均平均能流密度能流密度(波的强度波的强度):通过通过垂直于波传播方向的单位面积的平均能流垂直于波传播方向的单位面积的平均能流.再将（再将（842）式代入上式，可列得）式代入上式，可列得:（2-33）(2.32.1)第二章 振动与波三、波的吸收三、波的吸收 设有一平面行波以波速设有一平面行波以波速u在均匀媒质传播，在垂直于传播方在均匀媒质传播，在垂直于传播方向上取两个平面，面积都等于向上取两个平面，面积都等于S。和和 分别表示平面波在这两分别表示平面波在这两平面处的振幅，由式（平面处的振幅，由式（2-32）和（）和（2-32.1）知，通过这两个平面）知，通过这两个平面的平均能流分别为：的平均能流分别为：如果如果 ，那，那 么么 ，即通过这两个平面的平面波的平均，即通过这两个平面的平面波的平均能流相等时，振幅才会不变。显然，要实现这一情况的条件是能流相等时，振幅才会不变。显然，要实现这一情况的条件是波在媒质中传播时不吸收能量。波在媒质中传播时不吸收能量。实际上，平面行波在均匀媒质中传播时，媒质总要吸收实际上，平面行波在均匀媒质中传播时，媒质总要吸收波的一部分能量，因此，波的