林军层次分析法.pptx

层次分析法Analytic Hierarchy ProcessAHP层次分析法建模层次分析法建模一一 问题的提出问题的提出 例例1 1 购物购物 买钢笔，一般要依据买钢笔，一般要依据质量质量、颜色颜色、实用性实用性、价格价格、外形外形等方面的因素选择某一支钢笔。等方面的因素选择某一支钢笔。例例2 2 旅游旅游 假期旅游，是去风光秀丽的假期旅游，是去风光秀丽的苏州苏州，还是去迷人的，还是去迷人的北北戴河戴河，或者是去山水甲天下的，或者是去山水甲天下的桂林桂林，一般会依据，一般会依据景色景色、费用费用、食宿条件食宿条件、旅途旅途等因素选择去哪个地方。等因素选择去哪个地方。例例3 3 择业择业 面临毕业，可能有面临毕业，可能有高校高校、科研单位科研单位、企业企业等单位可以去等单位可以去选择，一般依据选择，一般依据工作环境工作环境、工资待遇工资待遇、发展前途发展前途、住房条住房条件件等因素择业。等因素择业。例例4 4 科研课题的选择科研课题的选择 由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的据课题的可行性可行性、应用价值应用价值、理论价值理论价值、培养人才培养人才等因素等因素进行选题。进行选题。面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策作出决策。这个过程。这个过程主观因素主观因素占有相当的比重给用数学方法占有相当的比重给用数学方法解决问题带来不便。解决问题带来不便。层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process,AHP)Analytic Hierarchy Process,AHP)这是这是一种一种定性和定量定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。相结合的、系统化的、层次化的分析方法。层次分析法的基本思路：层次分析法的基本思路：与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。选择钢笔选择钢笔质量、颜色、价格、外形、实用质量、颜色、价格、外形、实用钢笔钢笔1 1、钢笔、钢笔2 2、钢笔、钢笔3 3、钢笔、钢笔4 4将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序经经综合分析综合分析决定买哪支钢笔决定买哪支钢笔二二 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤买钢笔质量颜色价格外形实用可供选择的笔1 1 建立层次结构模型建立层次结构模型 一般分为三层，最上面为一般分为三层，最上面为目标层目标层，最下面为，最下面为方案层方案层，中，中间是间是准则层或指标层准则层或指标层。例例1 1 的层次结构模型的层次结构模型 准则层准则层 方案层方案层 目标层目标层选择旅游地景色费用居住饮食旅途苏州、杭州、桂林例例2 2 层次结构模型层次结构模型 准则层准则层A A 方案层方案层B B 目标层目标层Z Z若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所有因素影响，称为有因素影响，称为完全层次结构完全层次结构，否则称为，否则称为不完全层次结构不完全层次结构。设某层有个因素，设某层有个因素，2 构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把个因素对上在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把个因素对上层某一目标的影响程度排序）层某一目标的影响程度排序）用用 表示第个因素相对于第表示第个因素相对于第 个因素的比较结果，则个因素的比较结果，则则称为则称为成对比较矩阵成对比较矩阵。上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取取1919尺度尺度。尺度尺度第第 个因素与第个因素与第 个因素的影响个因素的影响相同相同第第 个因素比第个因素比第 个因素的影响个因素的影响稍强稍强 第第 个因素比第个因素比第 个因素的影响个因素的影响强强 第第 个因素比第个因素比第 个因素的影响个因素的影响明强明强第第 个因素比第个因素比第 个因素的影响个因素的影响绝对地强绝对地强 含义含义比较尺度比较尺度：（：（1919尺度的含义）尺度的含义）2,4,6,82,4,6,8表示第个因素相对于第个因素的影响介于上述表示第个因素相对于第个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义，两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义，根据。根据。由上述定义知，成对比较矩阵由上述定义知，成对比较矩阵则称为则称为正互反阵正互反阵。比如，例比如，例2 2的旅游问题中，第二层的旅游问题中，第二层A A的各因素对目标层的各因素对目标层Z Z的影响两两比较结果如下：的影响两两比较结果如下：满足一下满足一下性质性质Z ZA A1 1A A2 2A A3 3A A4 4A A5 5A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4A A5 511/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311分别表示分别表示景色、费用、景色、费用、居住、饮食、居住、饮食、旅途。旅途。由上表，可得成对比较矩阵由上表，可得成对比较矩阵旅游问题的成对比较矩阵共有旅游问题的成对比较矩阵共有6 6个（一个个（一个5 5阶，阶，5 5个个3 3阶）。阶）。问题：问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上层某因素的影响程度的排序结果呢？层某因素的影响程度的排序结果呢？3 层次单排序及一致性检验层次单排序及一致性检验层次单排序：层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。用用权值权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。例如例如 一块石头重量记为一块石头重量记为1 1，打碎分成，打碎分成 各小块，各块的重量各小块，各块的重量分别记为：分别记为：则可得成对比较矩阵则可得成对比较矩阵由右面矩阵可以看出，由右面矩阵可以看出，即，即，但在例但在例2的成对比较矩阵中，的成对比较矩阵中，在正互反矩阵在正互反矩阵 中中，若若 ,则称则称 为一致阵。为一致阵。一致阵的性质：一致阵的性质：5.的任一列(行)都是对应于特征根 的特征向量。若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最大特征根大特征根 的归一化特征向量的归一化特征向量 ，且，且定理：定理：阶互反阵阶互反阵 的最大特征根的最大特征根 ，当且仅，当且仅 当当 时，时，为一致阵。为一致阵。表示下层第表示下层第 个因素对上层某因素影响程度的权值。个因素对上层某因素影响程度的权值。若成对比较矩阵不是一致阵，若成对比较矩阵不是一致阵，SaatySaaty等人建议用其等人建议用其最大最大特征根特征根对应的对应的归一化特征向量归一化特征向量作为权向量作为权向量 ，则，则这样确定权向量的方法称为这样确定权向量的方法称为特征根法特征根法.由于由于 连续的依赖于连续的依赖于 ，则，则 比比 大的越多，大的越多，的不的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用引起的判断误差越大。因而可以用 数值的大小来衡量数值的大小来衡量 的不一致程度。的不一致程度。定义一致性指标定义一致性指标其中其中 为为 的对角线元素之和，也为的对角线元素之和，也为 的特征根之和。的特征根之和。则可得一致性指标则可得一致性指标 定义随机一致性指标定义随机一致性指标随机构造随机构造500500个成对比较矩阵个成对比较矩阵随机一致性指标随机一致性指标 RI RI 的数值：的数值：n n1 12 23 34 45 56 67 78 89 910101111RIRI0 00 00.580.58 0.900.90 1.121.12 1.241.24 1.321.32 1.411.41 1.451.45 1.491.49 1.511.51一致性检验：一致性检验：利用一致性指标和随机一致性指标比率利用一致性指标和随机一致性指标比率0.10.1及随机一致性指标的数值表，对及随机一致性指标的数值表，对 进行检验的过程。进行检验的过程。一般，当一致性比率一般，当一致性比率 的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对 加加以调整。以调整。时，认为时，认为4 4 层次总排序及其一致性检验层次总排序及其一致性检验 确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，称为称为层次总排序层次总排序 从最高层到最低层逐层进行。设：从最高层到最低层逐层进行。设：对总目标对总目标Z Z的排序为的排序为的层次单排序为的层次单排序为即即 层第层第 个因素对个因素对总目标的权值为：总目标的权值为：层的层次总排序为：层的层次总排序为：B B层的层次层的层次总排序总排序AB层次总排序的一致性检验层次总排序的一致性检验设设 层层 对上层对上层(层层)中因素中因素 的层次单排序一致性指标为的层次单排序一致性指标为 ，随机一致性指为，随机一致性指为 ，则层次总排序的一致性比率为：则层次总排序的一致性比率为：当当 时，认为层次总排序通过一致性检验。到时，认为层次总排序通过一致性检验。到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。1.1.建立层次结构模型建立层次结构模型 该结构图包括目标层，准则层，方案层。该结构图包括目标层，准则层，方案层。层次分析法的基本步骤归纳如下层次分析法的基本步骤归纳如下3.计算单排序权向量并做一致性检验计算单排序权向量并做一致性检验2.构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵从第二层开始用成对比较矩阵和从第二层开始用成对比较矩阵和19尺度。尺度。对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。计算最下层对最上层总排序的权向量。计算最下层对最上层总排序的权向量。4.4.计算总排序权向量并做一致性检验计算总排序权向量并做一致性检验进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率率 较大的成对比较矩阵。较大的成对比较矩阵。利用总排序一致性比率利用总排序一致性比率三 层次分析法建模举例1 1旅游问题旅游问题(1)(1)建模建模分别分别表示分别分别表示景色景色、费用费用、居住居住、饮食饮食、旅途旅途。分别表示分别表示苏杭苏杭、北戴河北戴河、桂林桂林。（2 2）构造成对比较矩阵）构造成对比较矩阵(3)(3)计算层次单排序的权向量和一致性检验计算层次单排序的权向量和一致性检验成对比较矩阵成对比较矩阵 的最大特征值的最大特征值表明表明 通过了一致性验证。通过了一致性验证。故故则则该特征值对应的归一化特征向量该特征值对应的归一化特征向量 对成对比较矩阵对成对比较矩阵 可以求层次可以求层次总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：计算计算 可知可知 通过一致性检验。通过一致性检验。对总目标的权值为：对总目标的权值为：（4 4）计算层次总排序权值和一致性检验）计算层次总排序权值和一致性检验又又决策层对总目标的权向量为：决策层对总目标的权向量为：同理得，同理得，对总目标的权值分别为：对总目标的权值分别为：故，层次总排序通过一致性检验。故，层次总排序通过一致性检验。可作为最后的决策依据。可作为最后的决策依据。故最后的决策应为去故最后的决策应为去桂林。桂林。又又 分别表示苏杭、北戴河、桂林，分别表示苏杭、北戴河、桂林，即各方案的权重排序为即各方案的权重排序为四四 层次分析法的优点和局限性层次分析法的优点和局限性1 系统性系统性 层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。分析之后发展起来的系统分析的重要工具。2 实用性实用性 层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。3 3 简洁性简洁性 具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。以上三点体现了层次分析法的优点，该法的局限以上三点体现了层次分析法的优点，该法的局限性主要表现在以下几个方面：性主要表现在以下几个方面：第一第一 只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案。好的新方案。第二第二 该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙 的，不适用于精度较高的问题。的，不适用于精度较高的问题。第三第三 从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观 因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让 所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法 是克服这个缺点的一种途径。是克服这个缺点的一种途径。思考：思考：多名专家的综合决策问题多名专家的综合决策问题五五 正互反阵最大特征值和特征向量实用算法正互反阵最大特征值和特征向量实用算法用定义计算矩阵的用定义计算矩阵的特征值和特征向量相当困特征值和特征向量相当困难难，特别是阶数较高时；，特别是阶数较高时；成对比较矩阵是通过定性比较得到的比较粗成对比较矩阵是通过定性比较得到的比较粗糙的结果，对它的精确计算是没有必要的。糙的结果，对它的精确计算是没有必要的。寻找简便的近似方法寻找简便的近似方法。定理定理对于正矩阵对于正矩阵 A（A的所有元素为正）的所有元素为正）1）A 的最大特征根为正单根的最大特征根为正单根 ；2）对应正特征向量对应正特征向量 w（w的所有分量为正）；的所有分量为正）；3）其中其中是对应是对应 的归一化特征向量。的归一化特征向量。1 幂法幂法 步骤如下步骤如下a)任取任取 n 维归一化初始向量维归一化初始向量b)计算计算c)归一化归一化，即令即令d)对于预先给定的精度对于预先给定的精度 ，当下式成立时，当下式成立时即为所求的特征向量；否则返回即为所求的特征向量；否则返回b；e)计算最大特征值计算最大特征值这是求特征根对应特征向量的这是求特征根对应特征向量的迭代方法迭代方法，其收，其收敛性由定理的敛性由定理的3）保证。）保证。2 和法和法 步骤如下步骤如下a)将将A的每一列向量归一化得的每一列向量归一化得b)对对c)归一化归一化按行求和得按行求和得d)计算计算3 根法根法步骤与和法基本相同，只是将步骤步骤与和法基本相同，只是将步骤 b 改为对改为对按行求积并开按行求积并开n次方，即次方，即三方法中，三方法中，和法和法最为简便。最为简便。e)计算计算，最大特征值的近似值。最大特征值的近似值。列向量归一化求和归一化精确计算，得