梁弯曲时的位移051.pptx

在工程中，对某些受弯构件，除要在工程中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保过大，即要求构件有足够的刚度，以保证正常工作。证正常工作。5-1 梁的位移梁的位移挠度及转角挠度及转角 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。桥式起重机的横梁变形过大桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行则会使小车行走困难，出现爬坡现象。走困难，出现爬坡现象。车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。缓解车辆受到的冲击和振动作用。但在另外一些情况下，有时却要求构件具有但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。挠度挠度w：横截面形心处的铅垂位移。横截面形心处的铅垂位移。转角转角 ：横截面绕中性轴转过的角度。横截面绕中性轴转过的角度。x xy y挠曲线挠曲线挠曲线挠曲线挠曲线挠曲线(deflection curve):变形后的轴线。变形后的轴线。(弹性曲线弹性曲线)规定：规定：向下的挠度为正向下的挠度为正顺时针的转角为正顺时针的转角为正工程实例工程实例控制截面的挠度、控制截面的挠度、控制桥墩的水平位移控制桥墩的水平位移工程中测量挠度的方法、仪器工程中测量挠度的方法、仪器精密水准仪、全站仪、精密水准仪、全站仪、GPS、机电百分表、机电百分表、光电方法等光电方法等1、挠曲线方程、挠曲线方程(deflection equation)梁纯弯曲时中性层的曲率：梁纯弯曲时中性层的曲率：曲线曲线 w=f(x)的曲率为的曲率为5-2 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程考虑上式中的正负号问题。考虑上式中的正负号问题。梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程M 0MMOyxM 0w 0MMOyx式中式中式中式中C C,D D 由梁支座处的已知位移条件由梁支座处的已知位移条件由梁支座处的已知位移条件由梁支座处的已知位移条件 即即即即位移边界条件位移边界条件位移边界条件位移边界条件确定。确定。确定。确定。2、积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形弯矩方程分弯矩方程分弯矩方程分弯矩方程分n n段段段段时，积分常数个数为时，积分常数个数为时，积分常数个数为时，积分常数个数为 2 2n n 个个个个由边界条件确定的方程需要由边界条件确定的方程需要由边界条件确定的方程需要由边界条件确定的方程需要2 2n n个个个个方法的局限性：方法的局限性：方法的局限性：方法的局限性：外力复杂或多跨静定梁时计算量过大外力复杂或多跨静定梁时计算量过大外力复杂或多跨静定梁时计算量过大外力复杂或多跨静定梁时计算量过大AFB边界条件：边界条件：wA=0A=0wA=0wB=0边界条件：边界条件：AF光滑连续条件：光滑连续条件：PC例例1:一悬臂梁在自由端受集中力一悬臂梁在自由端受集中力一悬臂梁在自由端受集中力一悬臂梁在自由端受集中力 F F 作用，求梁的转角作用，求梁的转角作用，求梁的转角作用，求梁的转角方程和挠度方程。并求最大转角和最大挠度。设梁的弯方程和挠度方程。并求最大转角和最大挠度。设梁的弯方程和挠度方程。并求最大转角和最大挠度。设梁的弯方程和挠度方程。并求最大转角和最大挠度。设梁的弯曲刚度为曲刚度为曲刚度为曲刚度为EIEI。解：解：x x边界条件边界条件:积分：积分：FABlxywmaxmax例例2：一简支梁受均布荷载作用，求梁的转角方程和挠一简支梁受均布荷载作用，求梁的转角方程和挠一简支梁受均布荷载作用，求梁的转角方程和挠一简支梁受均布荷载作用，求梁的转角方程和挠度方程，并确定最大挠度和度方程，并确定最大挠度和度方程，并确定最大挠度和度方程，并确定最大挠度和A A、B B截面的转角。设梁的弯截面的转角。设梁的弯截面的转角。设梁的弯截面的转角。设梁的弯曲刚度为曲刚度为曲刚度为曲刚度为EIEI。xylABqwmax解解:1 10 0 x x边界条件边界条件得得:AB例例例例3 3：已知已知已知已知F F、EIEI，求梁的转角方程和挠度方程及，求梁的转角方程和挠度方程及，求梁的转角方程和挠度方程及，求梁的转角方程和挠度方程及w wmaxmax 。xyABFlxabC D解解:2分段求弯矩方程及分段求弯矩方程及分段求弯矩方程及分段求弯矩方程及w w、w w。ADAD段：段：段：段：11DBDB段：段：段：段：x xwA=0 ;边界条件：边界条件：wB=0连续条件：连续条件：x=a，w1=w2 w1=w2 x xADAD段：段：段：段：DBDB段：段：段：段：xyABFlxabC D受任意荷载的简支梁，受任意荷载的简支梁，只只要挠曲线上没有拐点要挠曲线上没有拐点，均均可近似地将梁中点的挠度可近似地将梁中点的挠度作为最大挠度。作为最大挠度。xyABFlxabC D例例4：已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EIEI。试求图示简支梁的。试求图示简支梁的。试求图示简支梁的。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定转角方程、挠曲线方程，并确定转角方程、挠曲线方程，并确定转角方程、挠曲线方程，并确定 maxmax和和和和w wmaxmax。解：解：由对称性，只考虑半跨梁由对称性，只考虑半跨梁ACD由连续条件由连续条件由连续条件由连续条件：由边界条件由边界条件由边界条件由边界条件：由对称条件：由对称条件：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：例例5：图示变截面梁悬臂梁，试用积图示变截面梁悬臂梁，试用积分法求分法求A端的挠度端的挠度解：解：A AB BP2IIC CAC段段xCB段段由边界条件：由边界条件：由连续条件由连续条件：得：得：AC段挠度方程为：段挠度方程为：令令得得 （）在材料服从虎克定律、且变形很小的前提下在材料服从虎克定律、且变形很小的前提下,载载荷与它所引起的变形成线性关系。荷与它所引起的变形成线性关系。当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。梁在变形是各自独立的，互不影响。梁在多个载荷作用多个载荷作用多个载荷作用多个载荷作用下的变形（挠度和转角）等于下的变形（挠度和转角）等于各个载荷单独作用各个载荷单独作用各个载荷单独作用各个载荷单独作用所所产生的变形的总和。产生的变形的总和。5-3 用叠加法计算梁的变形用叠加法计算梁的变形例例6：用叠加法求用叠加法求qPmA AB BC Cl/2l/2解：解：将梁上的各载荷分别引起的位移叠加将梁上的各载荷分别引起的位移叠加 （）（）（）mmA BA B C Cq qP Pl l/2 /2 l l/2/2A BA B C Cq ql l/2 /2 l l/2/2A BA B C CP Pl l/2 /2 l l/2/2A BA B C Cmml l/2 /2 l l/2/2解解:mqABCl/2l/2l/2l/2例例7：简支梁所受荷载如图示。用叠加法求梁中点简支梁所受荷载如图示。用叠加法求梁中点简支梁所受荷载如图示。用叠加法求梁中点简支梁所受荷载如图示。用叠加法求梁中点 挠度和左端截面的转角。设梁抗弯刚度为挠度和左端截面的转角。设梁抗弯刚度为挠度和左端截面的转角。设梁抗弯刚度为挠度和左端截面的转角。设梁抗弯刚度为EIEIEIEI。qABCl/2l/2l/2l/2mABCl/2l/2l/2l/2逐段刚化法：逐段刚化法：变形后：变形后：ABAB BC BCC点的位移为：点的位移为：wc c变形后变形后AB部部分为曲线，分为曲线，但但BC部分仍部分仍为直线。为直线。解：解：CxqABF=qaaaay（a a）wCFABFC（b b）BFCF例例8：已知已知已知已知F F、q q、EIEI。求。求。求。求 c c和和和和WWc c。ABqaC（e）qa2/2CqAB（c）CqB（d）例例9：求外伸梁求外伸梁C点的位移。点的位移。l la aC CA AB BP P解：解：将梁各部分分别将梁各部分分别将梁各部分分别将梁各部分分别引起的位移叠加引起的位移叠加引起的位移叠加引起的位移叠加A AB BC CP P刚化刚化刚化刚化EI=EI=P PC Cf fc1c11、BC部分引起的位移部分引起的位移fc1、c1c1c12、AB部分引起的位移部分引起的位移 fc2、c2C CA AB BP P刚化刚化刚化刚化EI=EI=f fc2c2B2B2P PPaPaB B2例例10：欲使欲使AD梁梁C点挠度为零，求点挠度为零，求P 与与 q 的关系。的关系。q qPA AC CB BD Da aa aa a解：解：q qP PA A C B D C B D q qA A C B D C B D P PA A C B D C B D P PP P A A C B D C B D 例例11：若图示梁若图示梁B端的转角端的转角B=0，则力偶矩则力偶矩 m 等于多少？等于多少？PmA AC CB Ba aa a解：解：P PmmA C BA C B P PA C BA C B mmA C BA C B 例例12：求图示梁求图示梁B、D两处的挠度两处的挠度 fB、fD2 2a a a a a aq q2q2qa aA CA C B D B D解：解：qa:B:B处约束力处约束力处约束力处约束力q qA AB Bq q 2q2q C CB BD D2 2 q q2q2q A CA C B D B D例例13：用叠加法求图示变截面梁用叠加法求图示变截面梁B、C截面截面的挠度的挠度 fB、fC。PEIEI2EI2EIa aa aA AB BC C解：解：EIEIC C2EI2EIA AB B P PC CEIEIB BP PEIEIP P2EI2EIA AB BP PP P 例例14：求图示梁求图示梁 C、D两处的挠度两处的挠度。ABCDaa2aqq解：解：ABCDaa2aqqABCDaa2aqq例例15：求图示梁求图示梁C处的挠度，处的挠度，B处的转角。处的转角。ABCa/2qa/2解：解：a/2a/2ABCqABq/2ABq/2q/2例例16：用叠加法求图示梁跨中的挠度用叠加法求图示梁跨中的挠度fC和和B点的转角点的转角B（k为弹簧系数）。为弹簧系数）。q qA AB BC CEIEIk kl l /2/2l l/2/2解：解：弹簧缩短量弹簧缩短量k kq qEIEIl l/2/2l l /2/2A AB BC Cq qk kA AB BC Cq/q/2 2A AB BC Cq/q/2 2q/q/2 2A AB BC C例例17：图示梁图示梁处为弹性支座，弹簧刚处为弹性支座，弹簧刚 度度 求求C端挠度端挠度fC。q qEIEIk ka a2 2a aA AB BC C解：解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为点挠度为(2)弹簧不变形，仅梁变形引起的弹簧不变形，仅梁变形引起的C点挠度为点挠度为(3)C点总挠度为点总挠度为q qk ka a2 2a aA AB BC Cq qk ka a2 2a aA AB BC Cq qk ka a2 2a aA AB BC CEIEI例例18：图示平面折杆图示平面折杆AB与与BC垂直，垂直，在自由端在自由端C受集中力受集中力P作用。已知该杆作用。已知该杆各段的横截面面积均为各段的横截面面积均为A，抗弯刚度，抗弯刚度均为均为EI。试按叠加原理求截面。试按叠加原理求截面C的水的水平位移和铅垂位移。平位移和铅垂位移。A AC CB BPaa解：解：A AB BaPM=PM=Pa aB BC CPaA AB BaPM=PM=Pa a()()()()()()B BC CPa()()水平位移：水平位移：()()铅垂位移：铅垂位移：()()例例19：由梁和刚架组成的结构，试求梁由梁和刚架组成的结构，试求梁由梁和刚架组成的结构，试求梁由梁和刚架组成的结构，试求梁ABAB中点中点中点中点E E的挠度的挠度的挠度的挠度。lABl/2EFlEIEAEIEICDl/2解：解：E点的挠度与下列点的挠度与下列各部分的变形有关：各部分的变形有关：1.AB梁自身的变形；梁自身的变形；2.刚架横梁刚架横梁BC的变形；的变形；3.立柱立柱CD的压缩变形和弯曲变形；的压缩变形和弯曲变形；为求上述三种变形对为求上述三种变形对E处挠度的贡献，采用逐处挠度的贡献，采用逐段刚化法。段刚化法。第一，将第一，将AB在在B处的支承刚化为铰支座，处的支承刚化为铰支座，FABE查表得查表得E点的挠度为：点的挠度为：第二，将梁第二，将梁AB和立柱刚化为刚体，计和立柱刚化为刚体，计算横梁算横梁BC对对E点处挠度的贡献，点处挠度的贡献，F/2CBwB1第三，将梁第三，将梁AB和横梁和横梁BC刚化为刚体，计刚化为刚体，计算立柱算立柱CD变形对变形对E点处挠度的贡献，点处挠度的贡献，（立柱压缩引起（立柱压缩引起B处的挠度）处的挠度）（立柱顶端（立柱顶端C处转角处转角 C引起的引起的B处的挠度）处的挠度）F/2DwB2wB3CFl/2于是有：于是有：由叠加法得由叠加法得E处的总挠度为：处的总挠度为：AlBq5-4 静不定梁的解法静不定梁的解法 用用“多余多余”反力反力代替代替“多余多余”约约束，就得到一个束，就得到一个形式上的静定梁，形式上的静定梁，该梁称为原静不该梁称为原静不定梁的相当系统定梁的相当系统,亦称亦称基本静定系基本静定系。基本静定系基本静定系 可不止一个可不止一个l l q qA AB Bq qA AB BR RB Bq qB BA AMMA A例例20：求图示静不定梁的支反力。求图示静不定梁的支反力。qA AB Bl l 解法一：解法一：将支座将支座B看成多余约束，变形看成多余约束，变形协调条件为：协调条件为：A AB Bq ql l A AB Bq qR RB B 解法二解法二：将支座：将支座A对对截面转动的约束看成多截面转动的约束看成多余约束，变形协调条件余约束，变形协调条件为：为：A AB Bq ql l q qB BA AMMA A例例21：为了提高悬臂梁为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，的强度和刚度，用短梁用短梁CD加固。设二梁加固。设二梁EI相同，试求相同，试求 (1)二梁接触处的压力；二梁接触处的压力；(2)加固前后加固前后AB梁最大弯矩的比值；梁最大弯矩的比值；(3)加固前后加固前后B点挠度的比值。点挠度的比值。P PA AB BC CD Da aa a解：解：(1)变形协调条件为：变形协调条件为：(2)(3)自行完成！自行完成！PBACDRDD如何得到？如何得到？例例22：梁梁ABC由由AB、BC两段组成，两两段组成，两段梁的段梁的EI相同。试绘制剪力图与弯矩图。相同。试绘制剪力图与弯矩图。q qA AB BC Ca aa a解：解：变形协调条件为：变形协调条件为：其余自行完成！其余自行完成！q qA AB BB BC CR RB B例例23：图示结构图示结构AB梁的抗弯刚度为梁的抗弯刚度为EI，CD杆的抗拉刚度为杆的抗拉刚度为EA。求。求CD杆所杆所受的拉力。受的拉力。PA AB BC CD Da解：解：变形协调条件为：变形协调条件为：D DaC CPA AB BC C其中其中wmax 梁的最大挠度，梁的最大挠度，max 一般是支座处的截面转角。一般是支座处的截面转角。w、规定的容许挠度和转角。规定的容许挠度和转角。梁的刚度计算包括：梁的刚度计算包括：梁的刚度计算包括：梁的刚度计算包括：校核刚度校核刚度校核刚度校核刚度截面设计截面设计截面设计截面设计求容许荷载求容许荷载求容许荷载求容许荷载梁的刚度条件为：梁的刚度条件为：max wmax w,5-5 梁的刚度校核梁的刚度校核一、刚度条件一、刚度条件例例24：图示工字钢梁，图示工字钢梁，图示工字钢梁，图示工字钢梁，l l=8m=8m，I Iz z=2370cm=2370cm4 4,WWz z=237cm=237cm3 3，w w=l l500500，E E=200GPa=200GPa，=100MPa=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷载荷载荷载荷 PP，并校核强度。，并校核强度。，并校核强度。，并校核强度。PABl/2l/2zI 20a解：解：由刚度条件由刚度条件 例例25：一简支梁受力如图。已知一简支梁受力如图。已知一简支梁受力如图。已知一简支梁受力如图。已知F F1 1=120KN=120KN，F F2 2=30KN=30KN，F F3 3=40KN,=40KN,，F F4 4=12KN=12KN。梁横截面由两个。梁横截面由两个。梁横截面由两个。梁横截面由两个槽钢组成。槽钢组成。槽钢组成。槽钢组成。=170MPa=170MPa，=100MPa=100MPa，w w=l l/400/400，E=2.110E=2.1105 5MPaMPa。试由强度条件和刚度条件选择。试由强度条件和刚度条件选择。试由强度条件和刚度条件选择。试由强度条件和刚度条件选择槽钢型号。槽钢型号。槽钢型号。槽钢型号。解：解：1求支座反力求支座反力2画剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图13818125264Fs（kN）（b）M（kNm）55.262.45438.4（c）2.40F10.4ABF2F3F40.40.70.30.6FAyFBy（a）tzdbh/2h/2（d）3由正应力强度条件选择槽钢型号由正应力强度条件选择槽钢型号查表，选两个查表，选两个查表，选两个查表，选两个2020a a号槽钢号槽钢号槽钢号槽钢WWz z=1782=356cm=1782=356cm3 3满足正应力强度条件。满足正应力强度条件。4校核切应力强度校核切应力强度 20 20a a号槽钢：号槽钢：号槽钢：号槽钢：I Iz z=1780.4cm=1780.4cm4 4，h=200mmh=200mm，b=73mmb=73mm，d=7mmd=7mm，t=11mmt=11mm。=57.4 MPa满足切应力强度条件要求满足切应力强度条件要求满足切应力强度条件要求满足切应力强度条件要求55校核刚度校核刚度校核刚度校核刚度 w=2.4/400=610-3m=6 mm 选选选选20a20a号槽钢也能满足刚度要求。号槽钢也能满足刚度要求。号槽钢也能满足刚度要求。号槽钢也能满足刚度要求。例例26：某船厂用某船厂用45a号工字钢制成吊车大梁，号工字钢制成吊车大梁，材料的许用应力材料的许用应力 ，弹性模量，弹性模量E=200GPa，跨度，跨度L=10m，荷载，荷载P=50kN，梁，梁的挠度许用值的挠度许用值 。考虑自重，试。考虑自重，试校核梁的强度和刚度。校核梁的强度和刚度。PC CB BA A解：解：考虑自重，相当于考虑自重，相当于考虑自重，相当于考虑自重，相当于梁上加一均布荷载梁上加一均布荷载梁上加一均布荷载梁上加一均布荷载q q查表查表查表查表q qPC CB BA A梁跨中点梁跨中点C挠度最大挠度最大()梁满足强度和刚度要求梁满足强度和刚度要求q q二、二、提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。述各种因素入手。增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度EI；减小跨度或增加支承；减小跨度或增加支承；改变加载方式和支座位置。改变加载方式和支座位置。纯弯曲时纯弯曲时5-6 梁的弯曲应变能梁的弯曲应变能1 1、多跨静定梁的用二次积分法求变形时，正多跨静定梁的用二次积分法求变形时，正多跨静定梁的用二次积分法求变形时，正多跨静定梁的用二次积分法求变形时，正确的为确的为确的为确的为()()()()。、弯矩方程和挠曲线方程可只分二段弯矩方程和挠曲线方程可只分二段弯矩方程和挠曲线方程可只分二段弯矩方程和挠曲线方程可只分二段 、C C处连续条件为：挠度和转角连续。处连续条件为：挠度和转角连续。处连续条件为：挠度和转角连续。处连续条件为：挠度和转角连续。、A A处边界条件为：挠度为零，转角不为零处边界条件为：挠度为零，转角不为零处边界条件为：挠度为零，转角不为零处边界条件为：挠度为零，转角不为零、弯矩方程和挠曲线方程必须分三段弯矩方程和挠曲线方程必须分三段弯矩方程和挠曲线方程必须分三段弯矩方程和挠曲线方程必须分三段请您思考：请您思考：2、不计自重的圆截面梁，外力作用于自由端，不计自重的圆截面梁，外力作用于自由端，如只有梁的长度增加一倍，外力作用于自由端，如只有梁的长度增加一倍，外力作用于自由端，则自由端的挠度为原来的（则自由端的挠度为原来的（）。）。AB、2 2倍倍倍倍、4 4倍倍倍倍、8 8倍倍倍倍、1616倍倍倍倍分析：分析：ABC3、弯曲刚度为弯曲刚度为EI梁，正确说法为（梁，正确说法为（）。）。、A、B、C处转角相等处转角相等、B、C处转角不相等处转角不相等、B处挠度为处挠度为C处的二倍处的二倍、B处和处和C处转角相同处转角相同4、一等截面悬臂梁，在均匀自重作用下，一等截面悬臂梁，在均匀自重作用下，自由自由端的挠度与（端的挠度与（）。）。、梁的长度成正比梁的长度成正比、梁的长度的平方成正比梁的长度的平方成正比、梁的长度的立方成正比梁的长度的立方成正比、梁的长度的四次方成正比梁的长度的四次方成正比分析：分析：5、简支梁，一为钢梁，另一为铝梁。两者长度，简支梁，一为钢梁，另一为铝梁。两者长度，刚度都相同，不计自重下，刚度都相同，不计自重下，跨中在相同的外力跨中在相同的外力作用下，二者的（作用下，二者的（）不同。）不同。、最大挠度最大挠度、最大转角最大转角、约束反力约束反力、最大正应力最大正应力 分析：分析：6、一水平梁的挠曲线方程为一水平梁的挠曲线方程为 则则（）。）。、梁的弯矩图为圆弧部分梁的弯矩图为圆弧部分、梁的弯矩图为抛物线部分梁的弯矩图为抛物线部分、梁的弯矩图为斜直线梁的弯矩图为斜直线、以上均不对以上均不对