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镇江市网络同步助学平台镇江市网络同步助学平台专家系列讲座专家系列讲座九年级数学九年级数学 同学们同学们,当老师提问或请同当老师提问或请同学们练习时，你可以按播放器上学们练习时，你可以按播放器上的暂停键思考或练习，然后再点的暂停键思考或练习，然后再点击播放键击播放键.圆的进一步认识圆的进一步认识 单单 位：镇江市第十中学位：镇江市第十中学主主 讲：姚讲：姚 凌凌 云云课题 审审 稿：镇江市京口区教研室稿：镇江市京口区教研室 邬一文邬一文 学习目标学习目标知识回顾知识回顾典型例题和及时反馈典型例题和及时反馈本节目录学习目标 1、理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心 角、圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征角、圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征2、了解圆的对称性，会用垂径定理进行简单、了解圆的对称性，会用垂径定理进行简单的计算和证明的计算和证明3、了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置、了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系关系4、了解三角形的内心和外心、了解三角形的内心和外心5、了解切线的概念，会利用切线的性质和判、了解切线的概念，会利用切线的性质和判定解决问题，会过圆上一点画圆的切线。定解决问题，会过圆上一点画圆的切线。6、会计算弧长和扇形的面积以及圆锥的侧面、会计算弧长和扇形的面积以及圆锥的侧面 积和全面积积和全面积一、圆的定义知识回顾1（2）从集合观点定义在同一平面内，在同一平面内，线段线段OP绕它固定的一个端点绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点旋转一周，另一端点P运动所形成的图形叫做圆。运动所形成的图形叫做圆。定点定点O叫做圆心。线段叫做圆心。线段OP叫做圆的半径。叫做圆的半径。（1）描述性定义圆可以看作是平面内到定点距离等于定长的点的集合，定点为圆心，定长为半径。圆是中心对称图形，圆是中心对称图形，二、圆的对称性中心对称性旋转不变性弧、弦、圆心角这三组量之间的对应关系轴对称性垂径定理旋转旋转折叠折叠1、圆有旋转不变性、圆有旋转不变性（即圆绕圆心旋转任何角度后，仍能与原来的圆重合），2、圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它、圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。的对称轴。每条直径都是每条直径都是圆的对称轴？圆的对称轴？图形的对称轴是直线，而直径是线段。图形的对称轴是直线，而直径是线段。每条直径所在的直每条直径所在的直线都是圆的对称轴线都是圆的对称轴圆心是对称中心圆心是对称中心。知识回顾2（一）圆心角、弦、弧之间的关系（一）圆心角、弦、弧之间的关系，如果两个圆心角、两条弧、如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的在同圆或等圆中在同圆或等圆中其余各组量分别相等。其余各组量分别相等。能去掉能去掉“在同圆或等圆中在同圆或等圆中”这个前提条件吗？这个前提条件吗？如图，AOB=COD，但它们所对的弧和弦并不相等。特别提示：特别提示：1、不能忽略、不能忽略“在同圆或等圆中在同圆或等圆中”这个前提条件，否这个前提条件，否则虽然圆心角相等，但其所对的弧、弦不一定相等。则虽然圆心角相等，但其所对的弧、弦不一定相等。2、运用上述定理解决问题时，可根据需要将弧与弦、运用上述定理解决问题时，可根据需要将弧与弦、圆心角相互转化。圆心角相互转化。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧并且平分弦所对的弧平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。（二）垂径定理（二）垂径定理MN注意：注意：（1）这里的垂径可以是直径、半径、）这里的垂径可以是直径、半径、过圆心的直线或线段。过圆心的直线或线段。（2）条件中的）条件中的“弦弦”可以为直径，可以为直径，结论中的结论中的“平分弧平分弧”既意味着平分弦所既意味着平分弦所对的劣弧，又意味着平分弦所对的优弧。对的劣弧，又意味着平分弦所对的优弧。下列说法正确吗？如图，若弦为直径如图，若弦为直径MN，两条直径本身就互，两条直径本身就互相平分，但不一定垂直。相平分，但不一定垂直。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。弦所对的弧。这个命题这样改是正确的：三、圆周角的性质三、圆周角的性质 在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。都等于该弧所对的圆心角的一半。直径（或半圆）所对的圆周角是直角，直径（或半圆）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。的圆周角所对的弦是直径。知识回顾31、2、圆周角等于圆心角的一半。相等的圆周角所对的弧相等。辨一辨辨一辨特别提示：特别提示：不能忽略不能忽略“同圆或等圆中的同弧或等弧同圆或等圆中的同弧或等弧”这个基这个基本前提，不能简单表述成本前提，不能简单表述成“圆周角等于圆心角的圆周角等于圆心角的一半一半”。特别提示：特别提示：将性质将性质1中的中的“同弧或等弧同弧或等弧”改为改为“同弦或等弦同弦或等弦”，则结论不一定成立。，则结论不一定成立。在同圆或等圆中在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角同弦或等弦所对的圆周角相等或互补相等或互补。3、同弦或等弦所对的圆周角相等。同一条弦所对的圆周角有两种，如图同一条弦所对的圆周角有两种，如图ACB和ADB都是弦AB所对的圆周角，但并不相等，且ACBADB=180 辨一辨辨一辨1、点与圆的位置关系点与圆的点与圆的位置关系位置关系点到圆心的距离点到圆心的距离d d与与圆的半径圆的半径r r之间关系之间关系点在圆外点在圆外点在圆上点在圆上点在圆内点在圆内ABCOdrdrdrd=rd=rdrdr知识回顾4四、与圆有关的位置关系四、与圆有关的位置关系2、直线和圆的位置关系直线与直线与圆的位圆的位置关系置关系圆心与直圆心与直线的距离线的距离d与圆的半与圆的半径径r的关系的关系直线名直线名称称直线与直线与圆的交圆的交点个数点个数相离相离相切相切相交相交ldrd r0d=r切线切线1d r割线割线23、切线的判定与性质1.1.定义法：和圆有唯一的一个公共点定义法：和圆有唯一的一个公共点2.2.距离法：距离法：d=rd=r3.3.判定定理：过半径的外端且垂直于半径判定定理：过半径的外端且垂直于半径（2 2）切线的性质：）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径圆的切线垂直于过切点的半径切线长的性质：从圆外一点引圆的两条切线，切线长的性质：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这点与圆心的连线平分两他们的切线长相等，这点与圆心的连线平分两切线的夹角切线的夹角（1）切线的判定一般有三种方法：）切线的判定一般有三种方法：外离外离外切外切相交相交内切内切内含内含01210dR+rd=R+rR-rdR+rd=R-rdR-r公共点公共点圆心距和半径的关系圆心距和半径的关系两圆位置两圆位置一圆在另一圆的外部一圆在另一圆的外部一圆在另一圆的外部一圆在另一圆的外部两圆相交两圆相交一圆在另一圆的内部一圆在另一圆的内部一圆在另一圆的内部一圆在另一圆的内部名称名称4、圆与圆的位置关系、圆与圆的位置关系内含内含内含内含相交相交相交相交外离外离外离外离R Rr r外切外切外切外切R Rr r内切内切内切内切0 0五、三角形的内切圆与外接圆ABCO1、经过三角形各个顶点经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，的圆叫做三角形的外接圆，外接圆外接圆的圆心叫做三的圆心叫做三角形的外心，这个三角形角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。叫做圆的内接三角形。如图，如图，O是是ABC的外接的外接圆，圆，ABC是是 O的内接三的内接三角形，点角形，点O是是ABC的外心的外心三角形的外心是 的交点 三角形三边中垂线三角形三边中垂线知识回顾52、与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切三角形的内切圆圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角外切三角形形。如图，O是是ABC的内切圆，的内切圆，ABC是是 O的外切三角形，点的外切三角形，点O是是ABC的内心。的内心。三角形的内心是 的交点 三角形三条角平分线三角形三条角平分线弧长的计算公式为：弧长的计算公式为：=2r=扇形的面积公式为：扇形的面积公式为：S=S=因此扇形面积的计算公式为因此扇形面积的计算公式为S=或或 S=r弧知识回顾6圆锥的侧面积和全面积S S圆锥侧圆锥侧=S=S扇形扇形=2 2r l=rl圆锥的侧面扇形展开母线半径底面周长弧长 S圆锥全圆锥全=S圆锥侧圆锥侧S圆锥底面圆锥底面 =r l r 2 llh圆锥的侧面圆锥的侧面扇形扇形展开展开母线母线半径半径底面周长底面周长弧长弧长知识回顾7例1、如图，AB为O的直径，弦CDAB，E为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=。分析：有直径，要想半径。连接分析：有直径，要想半径。连接 OC，AB=9，AO=BO=AB=4.5，OE=OB-BE=3.5，在RtOEC中，CE=OC2-OE2 =2 。又由垂径定理可知CE=DE=CD，CD=2CE=4点拨点拨:求弦长可求弦长可先求弦的一半先求弦的一半的长的长典型例题一：有关弦、半径、圆心到弦的有关弦、半径、圆心到弦的距离之间的计算距离之间的计算 变式变式:如图，AB为O的直径，弦CDAB，E为垂足，若CD=6，BE=1，则AB=。注意：连接 OC后无法利用勾股定理直接求出半径那该怎么办呢？设半径设半径OC=x，则，则OE=x-1，利用勾股定理列出方程即可利用勾股定理列出方程即可求解求解分析：求直径，先求半径。连接分析：求直径，先求半径。连接 OC，解：连接 OC，OBCD于点E CE=DE=CD=3，设半径OC=x，则OE=x-1，在RtOEC中根据勾股定理得OE2+CE2=OC2，（x-1）2+32 =x2 解得x=5，AB=2OC=10一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深米，最深处水深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（米，则此输水管道的直径是（）A0.4米米B0.5米米C0.8米米D1米米OABCDD分析：有水部分水面宽就是弦有水部分水面宽就是弦AB的长，的长，过点O作AB的垂线，垂足为点D，CD长就是最深处水深，将此实际问题转化为数学问题，就是已知弦长AB和弓高CD，求半径。试一试吧！2、过圆心作弦的垂线段（弦心距），利用垂径定理可得该垂线也平分弦，从而半径、弦的一半和弦心距构成一个直角三角形，这是我们解决圆中求弦长（半径、弦心距）的常用方法。1、垂径定理的应用常与勾股定理相联系。及时反馈 1 1、高速公路的隧道和桥梁最多图7是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径=（）A5 B7 C DOCBADD4.4.在半径为在半径为2 2的的O O中，弦中，弦ABAB的长为的长为 ,则弦则弦ABAB所对的圆心角所对的圆心角AOBAOB的度数是的度数是_._.90典型例题三:运用垂径定理、圆周角定理等证明例2、如图，BC为O的直径，ADBC于D，A是BP的中点，连结PB交AD于点E求证：AEEB(思路分析1：欲求AEEB，只需说明ABE=BAE，其中 ABE是AP所对的圆周角，而由条件可知，AB=AP，因此只需找出AB所对的圆周角是否与ABE相等即可，(而构造AB所对的圆周角，需连接AC，此时恰好构造了直径BC所对的圆周角ACB(解法1：连接BC，AB是直径 ACB=90 即ABC+ACB=90 CDAB ABD+BAD=90 ACB=BAD点A是BP的中点，AB=AP ABE=ACB ABE=BAE(“见直径，构造直径所对的圆周角”是常用的且重要的辅助线H思路分析2：欲求AEEB，只需说明ABE=BAE，其中 ABE对着AP，只需找出BAE所对的弧与AP是否相等即可。(延长AD交圆于H，利用圆的对称性可得AB=BH，从而得到BH=AP,则问题得解。(H解法2：延长AD交圆于H AB是直径，CDAB AB=HB点A是BP的中点，AB=AP BH=AP ABE=BAE(（1）有关圆的题目，圆周角与它所对的弧常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化为证“圆周角所对的弧相等”的问题来解决；弧相等的条件可转化为它们所对的圆周角相等的结论。这是一种重要的解题思路。（2）在已知条件下，若有与半径或直径垂直的线段，常延长此线段与圆相交，这样可利用“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧”的性质得线段相等、弧相等。及时反馈21、如图，AB为O的直径，弦CDAB，E为上一点，若CEA=25，则ABD=。2、如图，BC为O的直径，ADBC于D，E是AD上一点，且AEEB，延长BE交圆于点P求证：AB=AP（25类型三：切线的性质和判定典型例题四:切线的性质和判定例3、已知：如图，AB是O的直径，点P在BA的延长线上，PD切O于点C，BDPD，垂足为D，连接BC.求证：(1)BC平分PBD；(2)BC2=ABBD分析（1）连接OC，有切线性质得OCPD，则有OCBD，证明OBC=OCB=CBD即可。（2）将等积式化成比例式 ，证明ACBCDB即可。BC ABBD BC=连接AC，解（1）连接OC，PD切O于点C OCPD BDPD OCBD OCB=CBDOC=OBOBC=OCB OBC=CBD 即BC平分PBD（2）连接AC AB是O的直径 CBD=90 CDPD D=90 ABC=CBD ACBCDBBC ABBD BC=BC2=ABBD1、遇到有关圆的切线问题，往往连接过切点的半径，这是常见的添加辅助线方法。2、由于“同圆中半径相等”，因此在圆中作圆的半径，构造等腰三角形，把圆的问题转化为三角形问题。3、证明等积式，往往化成比例式，寻找或构造相似三角形变式：如图，已知AB是O的直径，AC平分DAB交O于点C，ADDC (1)求证：CD是O 的切线；(2)若AD2，AC4，求AB的长分析（1）连接OC，只需证OCCD即可，通过证明OAC=OCA=CAD则有OCAD即可。解（1）连接OC，OA=OCOAC=OCA AC平分DAB DAC=BAC DAC=OCAOCAD ADCD OCDC CD是O 的切线（2）连接BC AB是O的直径 ACB=90 ADCD ADC=90 DAC=CAB ACDABCAD ACAC AB=AC2=ABAD AD2，AC4 AB=8及时反馈32、如图，PAQ是直角，O 与AP相切于点T，与AQ交于B、C两点.(1)BT是否平分OBA？说明你的理由；(2)若已知AT4，弦BC6，试求O 的半径R.1、如图，AB是O的直径，O交BC的中点于D，DEAC.(1)求证：BADCED；(2)求证：DE是O的切线.（1）AB是O的直径 ADB=90 点D是BC的中点 AD是BC的垂直平分线 AB=AC B=C DEAC DEC=90 ADB=DEC ADBDEC1、解、解：（2）连接OD，OD=OBODB=OBD DEAC C+CDE=90 B=C ODB+CDE=90 ODDE DE是O 的切线2、解、解：OE=AT=4在RtOEB中，OB2=OE2+BE2=25 OB=5（1）BT平分OBA。连接OT。O 与AP相切于点T OTA=90 PAQ=90 OTAQ OTB=ABT OT=OB OTB=OBT OBT=ABT 即BT平分OBAE（2）过点O作OEBC 于点E，BE=CE=BC=3 OEBC OTA=90 PAQ=90 四边形OTAE为矩形例4、如图，如图，ABC中，中，AB=AC，O是是BC的中点，以的中点，以O为圆心的圆与为圆心的圆与AB相切于点相切于点D，求证：求证：AC是是O的切线的切线E分析：从结论出发：由于未明确AC与圆的公共点，所以要证AC是O的切线，只要证点O到AC的距离等于半径，即过点O作OEAC，证OE=OD。从条件出发：有切线，连半径，连接OD，则有ODAB。这由角平分线的性质可得。看到等腰三角形，要联想等腰三角形“三线合一”，则易得AO是BAC的角平分线证明：连接OD，过点O作OE AC，垂足为E AB=AC，点O是BC的中点 AO是BAC的角平分线 AB切O于点D ODAB又 OE AC，垂足为E OE=OD（角平分线上的点到脚的两边距离相等）AC是O的切线（到圆心距离等于半径的直线是圆的切线）1、如果直线和圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线段，然后证明这条垂线段等于圆的半径，简单的可称为“作垂直，证半径”。2、分析问题时，可以从条件出发，看由条件能得出哪些更多的结论，再从结论出发，想想要说明此结论需有哪些条件，这样易于把条件和结论联系起来，找到解决问题的途径。如图，在直角梯形ABCD中，A=B=90，ADBC，E为AB上一点，DE平分ADC，CE平分BCD，则以AB为直径的圆与边CD相切吗？为什么？ABCDEF分析：要判断以分析：要判断以AB为直径的圆与边为直径的圆与边CD相切，只需相切，只需探索探索AB中点到线段中点到线段CD的距离与的距离与AB的一半相等。的一半相等。而看到角平分线，要联想其性质：角平分线上的而看到角平分线，要联想其性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，过点点到角两边的距离相等，过点E作作EF CD，易得，易得AE=EF=BE，即可得，即可得 E与与CD相切。相切。1、有关切线的题目，添加辅助线的常用方法有：知切线，连过切点的半径；2、证明是切线的有：a.连半径，证垂直；b.作垂直，证半径。典型例题五：圆锥和它的侧面展开典型例题五：圆锥和它的侧面展开图图 例5、（1）若圆锥的底面半径是2，母线长为6，则圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 。分析：圆锥的侧面展开图的弧长是底面周长，设展开图的圆心角的度数为n ，则有1806n=22求得n=120,所以应填120 120 n（2）如图，一个圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆，圆锥的全面积是 。分析：欲求圆锥的全面积，需求出侧面积和底面积，关键是求出母线l和底面半径r，虽然无法直接求出，但利用底面圆周长=展开图半圆的弧长，可求出l与r的关系，即l=2r。22l=2rSA S全全=r l r 2=100在Rt SOA中，l2=r2+102,r=，l=。32033103100(1)有关圆锥的题目，解题关键是紧紧抓住圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。(2)母线、高和底面半径构成直角三角形及时反馈1已知扇形的圆心角为已知扇形的圆心角为120，半径为，半径为3cm，则扇形，则扇形的弧长是的弧长是_cm，扇形的面积是，扇形的面积是_cm22若圆锥的母线长为若圆锥的母线长为6cm，侧面展开图是圆心角为，侧面展开图是圆心角为300的扇形，则圆锥底面半径的扇形，则圆锥底面半径_cm。3已知已知Rt ABC，斜边，斜边AB=13 cm，以直线，以直线BC为轴为轴旋转一周，得到一个侧面积为旋转一周，得到一个侧面积为65 cm2的圆锥，则这的圆锥，则这个圆锥的高等于个圆锥的高等于_.23512cm小结掌握的思想方法：掌握的思想方法：1.1.数形结合数形结合2.2.方程思想方程思想3.3.分类思想分类思想4.4.化归思想化归思想