华东师范大学数学分析.pptx

8.1 不定积分概念与 基本积分公式一、原函数 不定积分是求导运算的逆运算.四、基本积分表三、不定积分的几何意义二、不定积分返回返回返回返回微分运算的逆运算是由已知函数微分运算的逆运算是由已知函数 f(x),求函数求函数F(x),一、原函数例如例如定义定义1例例1数数:从从(iii)(iv)可以看出可以看出,尽管象尽管象研究原函数有两个重要的问题研究原函数有两个重要的问题:1.满足何种条件的函数必定存在原函数满足何种条件的函数必定存在原函数?如果存如果存2.若已知某个函数的原函数存在若已知某个函数的原函数存在,如何把它求出如何把它求出这种形式简单的函数这种形式简单的函数,要求出它们的原函数也不是要求出它们的原函数也不是一件容易的事一件容易的事.在原函数在原函数,它是否惟一它是否惟一?来来?第一个问题由以下定理回答第一个问题由以下定理回答.定理定理8.1 (原函数存在性定理原函数存在性定理)在第九章中将证明此定理在第九章中将证明此定理.数数 F,即即定理定理8.2 (原函数族的结构性定理原函数族的结构性定理)(ii)f(x)在在 I 上的任意两个原函数之间上的任意两个原函数之间,只可能相差只可能相差 一个常数一个常数.证证(ii)设设 F(x)和和 G(x)是是 f(x)在在 I 上的任意两个原上的任意两个原由第六章拉格朗日中值定理的推论由第六章拉格朗日中值定理的推论,即知即知 函数函数,则则 二、不定积分定义定义2在在 I 上的上的不定积分不定积分,为方便起见为方便起见,我们记我们记由此由此,从例从例 1(ii)(iii)(iv)可得可得:若若F(x)是是 f(x)的一个原函数的一个原函数,则称则称 y=F(x)的图的图所有的积分曲线所有的积分曲线都是都是 三、不定积分的几何意义像是像是 f(x)的一条的一条积分曲线积分曲线.到的到的.沿纵轴沿纵轴方向平移而得方向平移而得由其中一条由其中一条积分曲线积分曲线例如例如,质点以匀速质点以匀速 v0 运动时运动时,其路程函数其路程函数若若 t0 时刻质点在时刻质点在 s0 处处,且速度为且速度为 v0,则有则有的原函数正是在积分曲线中的原函数正是在积分曲线中通过点通过点的那一条积分曲线的那一条积分曲线.由基本求导公式可得以下基本积分公式由基本求导公式可得以下基本积分公式:四、基本积分表由导数线性运算法则可得到不定积分的线性运算由导数线性运算法则可得到不定积分的线性运算定理定理 8.3 (不定积分的线性运算法则不定积分的线性运算法则)上都存在原函数上都存在原函数,k1,k2为为任意常数任意常数,则则例例1则则法则法则.例例2例例3例例48.2 换元积分法与分部积分法一、第一换元积分法二、第二换元积分法三、分部积分法 不定积分是求导运算的逆运算,相应 部积分法.求导公式,不定积分有换元积分法和分于复合函数求导数的链式法则和乘法 返回返回返回返回定理定理8.4 (第一换元积分法第一换元积分法)则则证证一、第一换元积分法所以所以(1)式成立式成立.第一换元积分法亦称为凑微分法第一换元积分法亦称为凑微分法,即即常见的凑微分形式有常见的凑微分形式有例例1解解例例2解解例例3解解解解例例5解解例例4(解法二解法二)解解(解法一解法一)例例6定理定理8.5 (第二换元积分法第二换元积分法)上可导上可导,证证二、第二换元积分法等类型的不定积分上等类型的不定积分上,对此可分别设对此可分别设于是于是第二类换元积分法常用在第二类换元积分法常用在所以所以(2)式成立式成立.例例7解解求求例例8解解这里可借助辅助直角三这里可借助辅助直角三角形角形,求出求出 sec t,tan t.例例9解解其中其中 sec t 和和 tan t 可借助辅助直角三角形求出可借助辅助直角三角形求出.例例10解解三、分部积分法定理定理8.6(分部积分法分部积分法)若若u(x)与与v(x)可导可导,不定积分不定积分证证或或两边积分两边积分,得得1.降幂法等类型函数的不定积等类型函数的不定积例例11解解分时分时,可用分部积分法使可用分部积分法使 xn 逐次降幂逐次降幂.定积分时定积分时,需要使用升幂法需要使用升幂法.例例12解解注注 通过对通过对 xn 的升幂和的升幂和 ln x 的求导的求导,化解了难点化解了难点.2.升幂法等类型函数的不等类型函数的不类型的函数的不定积分时类型的函数的不定积分时,用分用分3.循环法例例13解解(3)解出方程加上常数解出方程加上常数C 即可得不定积分即可得不定积分.部积分法两次部积分法两次,循环得到含未知不定积分的方程循环得到含未知不定积分的方程,(4)式代入式代入(3)式式,得得(4)整理后得到整理后得到同理同理4.递推法例例14 解解由此解出由此解出8.3 有理函数和可化为一、有理函数的部分分式分解 本节给出了求有理函数等有关类型的四、某些无理函数的不定积分三、三角函数有理式的不定积分二、有理真分式的递推公式有理函数的不定积分不定积分的方法与步骤.返回返回返回返回有理函数是由两个多项式函数的商所表示的函数有理函数是由两个多项式函数的商所表示的函数,一、有理函数的部分分式分解m n 时时称为真分式称为真分式,m n 时称为假分式时称为假分式.假分式可化为一个多项式和一个真分式之和假分式可化为一个多项式和一个真分式之和.其一般形式为其一般形式为:1.对分母对分母 Q(x)在实数系内作标准分解在实数系内作标准分解:2.根据分母各个因式分别写出与之相应的部分分根据分母各个因式分别写出与之相应的部分分分解步骤称为部分分式分解分解步骤称为部分分式分解.具体步骤简述如下具体步骤简述如下:真分式又可化为真分式又可化为与与之和之和,其其式式.对应于对应于的部分分式是的部分分式是把所有部分分式加起来把所有部分分式加起来,使之等于使之等于 Q(x),由此确定由此确定对应于对应于的部分分式是的部分分式是上述部分分式中的待定系数上述部分分式中的待定系数 Ai ,Bi,Ci .3.确定待定系数的方法确定待定系数的方法 把所有分式通分相加把所有分式通分相加,所得分式的分子与原分子所得分式的分子与原分子分式分解分式分解.组组,由此解出待定系数由此解出待定系数.必定相等的原则必定相等的原则,得到待定系数所满足的线性方程得到待定系数所满足的线性方程 P(x)应该相等应该相等.根据两个多项式相等时同次项系数根据两个多项式相等时同次项系数 例例1作部分作部分比较同次项系数比较同次项系数,得到线性方程组得到线性方程组解得解得于是完成了于是完成了R(x)的部分分式分解的部分分式分解:任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形二、有理真分式的递推公式下面解这两类积分下面解这两类积分.式的不定积分之和：式的不定积分之和：解得解得解解 由例由例1,例例2其中其中于是于是例例3解解 由于由于而而由递推公式由递推公式于是于是sin x,cos x 及常数经过有限次四则运算得到的函及常数经过有限次四则运算得到的函三、三角函数有理式的不定积分有理函数的不定积分有理函数的不定积分.把把数数 R(sin x,cos x)称为三角函数有理式称为三角函数有理式.代入原积分式，得到代入原积分式，得到例例4解解对三角函数有理式的不定积分对三角函数有理式的不定积分,在某些条件下还可在某些条件下还可选用如下三种变换选用如下三种变换,使不定积分简化使不定积分简化.例例5解解例例6解解四、某些无理函数的不定积分例例7解解 由于由于例例8解解型不定积分型不定积分时也可直接化为有理函数的不定积分时也可直接化为有理函数的不定积分.可用多种方法化为三角函数有理式的不定积分可用多种方法化为三角函数有理式的不定积分,有有把它们转化为三角函数有理式的不定积分把它们转化为三角函数有理式的不定积分.方法方法2(欧拉变换欧拉变换)例例9解解 用方法用方法 1:因此因此例例10解解注注1 对于本题来说对于本题来说,方法方法 2 显然比方法显然比方法 1 简捷简捷.但实质上只相差某一常数而已但实质上只相差某一常数而已.注注2 由以上两种方法所得的结果由以上两种方法所得的结果,形式虽不相同形式虽不相同从而有从而有注注 虽然初等函数都是连续函数虽然初等函数都是连续函数,从而它们都存在从而它们都存在都不是初等函数都不是初等函数,因此都不可能用我们介绍的方因此都不可能用我们介绍的方例如例如原函数原函数,但并非初等函数的原函数都是初等函数但并非初等函数的原函数都是初等函数.法把它们的原函数求出来法把它们的原函数求出来.