河海大学岩石动力学应力波理论.pptx

岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University岩 石 动 力 学刘 军 ()二OO八年三月岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University第3章 固体中的应力波理论主主 要要 内内 容容 应力波的基本概念应力波的基本概念无限介质中的弹性应力波方程无限介质中的弹性应力波方程一维长杆中的应力波一维长杆中的应力波一维杆中应力波方程的特征线求解一维杆中应力波方程的特征线求解一维弹性应力波的反射与透射一维弹性应力波的反射与透射一维弹性波斜入射时的反射与透射一维弹性波斜入射时的反射与透射应力波反射引起的破坏应力波反射引起的破坏岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University第节 应力波的基本概念p应力波的产生应力波的产生当外载荷作用于可变形固体的局部表面时，一开始只有那些直接受到外载荷当外载荷作用于可变形固体的局部表面时，一开始只有那些直接受到外载荷作用的表面部份的介质质点因变形离开了初始平衡位置。由于这部份介质质作用的表面部份的介质质点因变形离开了初始平衡位置。由于这部份介质质点与相邻介质质点发生了相对运动，必然将受到相邻介质质点所给予的作用点与相邻介质质点发生了相对运动，必然将受到相邻介质质点所给予的作用力（应力），同时也给相邻介质质点予反作用力，因而使它们离开平衡位置力（应力），同时也给相邻介质质点予反作用力，因而使它们离开平衡位置而运动起来。由于介质质点的惯性，相邻介质质点的运动将滞后于表面介质而运动起来。由于介质质点的惯性，相邻介质质点的运动将滞后于表面介质质点的运动。依此类推，外载荷在表面上引起的扰动将在介质中逐渐由近及质点的运动。依此类推，外载荷在表面上引起的扰动将在介质中逐渐由近及远传播出去。远传播出去。基本概念基本概念 岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University第节 应力波的基本概念p应力波、波阵面、波速、动载荷的概念应力波、波阵面、波速、动载荷的概念 基本概念基本概念 这种扰动在介质中由近及远的传播即是这种扰动在介质中由近及远的传播即是应力波应力波。其中的扰动。其中的扰动与与未未扰扰动动的的分分界界面面称称为为波波阵阵面面，而而扰扰动动的的传传播播速速度度称称为为波波速速。实实际际上上，引引起起应应力力波波的的外外载载荷荷都都是是动动态态载载荷荷。所所谓谓动动态态载载荷荷（也称（也称动载荷动载荷）指的是其大小随时间而变的载荷。）指的是其大小随时间而变的载荷。岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University第节 应力波的基本概念p加载率、应变率的概念加载率、应变率的概念 基本概念基本概念 载荷随时间的变化率即为载荷随时间的变化率即为加载率加载率，用下式表示，用下式表示或或应变随时间的变化率即为应变随时间的变化率即为应变率应变率，用下式表示，用下式表示或或岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University第节 应力波的基本概念p不同加载率下的载荷状态不同加载率下的载荷状态 基本概念基本概念 加载率（加载率（s s-1-1）1010-5-51010-5-51010-1-11010-1-110101 110101 110103 310104 4载荷状态载荷状态蠕蠕 变变静静 态态准动态准动态动动 态态超动态超动态加载手段加载手段蠕变蠕变试验机试验机普通液压或普通液压或刚性伺服刚性伺服试验机试验机气动快速气动快速加载机加载机霍布金森霍布金森压杆或其压杆或其改型装置改型装置轻气炮或轻气炮或平面波发平面波发生器生器动静明显区动静明显区别别惯性力可忽略惯性力可忽略惯性力不可忽略惯性力不可忽略岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University第节 应力波的基本概念p按物理实质分类按物理实质分类 应力波的分类应力波的分类 纵纵波波P P（胀胀缩缩波波）和和横横波波S S（畸畸变变波波）。它它们们的的速速度度分分别别为为VpVp和和VsVs。P P波波的的振振动动方方向向与与传传播播方方向向平平行行，横横波波的的振振动动方方向则与传播方向垂直。向则与传播方向垂直。p按与界面的相互作用分类按与界面的相互作用分类 在在与与界界面面相相互互作作用用时时，纵纵波波P P保保持持原原来来的的意意义义。为为了了研研究究方便，把横波方便，把横波S S分为两个分量或两种类型分为两个分量或两种类型SHSH波波和和SVSV波波。岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University第节 应力波的基本概念p按与界面相互作用形成的面波分类按与界面相互作用形成的面波分类 应力波的分类应力波的分类 u表面波表面波与与自自由由表表面面有有关关，常常见见的的有有：RayleighRayleigh波波，出出现现在在弹弹性性半半空空间间或或弹弹性性分分层层半半空空间间的的表表面面附附近近；LoveLove波波，系系由由弹弹性性分分层层半半空间中的空间中的SHSH波叠加所形成。波叠加所形成。u界面波界面波沿两介质的分界面传播，通常称为沿两介质的分界面传播，通常称为StonelyStonely波波。岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University第节 应力波的基本概念p按与介质不均匀性及复杂界面相联系的波分类按与介质不均匀性及复杂界面相联系的波分类 应力波的分类应力波的分类 u衍射波衍射波弹弹性性波波遇遇到到一一定定形形状状的的物物体体时时，要要发发生生绕绕射射现现象象，并并形形成成绕绕射波，或称为射波，或称为衍射波衍射波。u散射波散射波弹弹性性波波遇遇到到粗粗糙糙界界面面或或介介质质内内不不规规则则的的非非均均匀匀结结构构时时，可可能能出现散射，并形成出现散射，并形成散射波散射波。岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University第节 应力波的基本概念p按弥散关系分类按弥散关系分类 应力波的分类应力波的分类 u简单波简单波即非弥散非耗散波。即非弥散非耗散波。u弥散波弥散波弥弥散散波波又又分分为为物物理理弥弥散散和和几几何何弥弥散散。前前者者是是由由于于介介质质特特性性引引起的，后者是由于几何效应引起的。起的，后者是由于几何效应引起的。岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University第节 应力波的基本概念p按应力波中的应力大小分类按应力波中的应力大小分类 应力波的分类应力波的分类 如果应力波中的应力小于介质的弹性极限，则介质中传播如果应力波中的应力小于介质的弹性极限，则介质中传播弹弹性波性波，否则将传播，否则将传播弹塑性波弹塑性波；若介质为粘性介质，视应力是；若介质为粘性介质，视应力是否大于介质的弹性极限，将传播否大于介质的弹性极限，将传播粘弹性波粘弹性波或或粘弹塑性波粘弹塑性波。弹。弹性波传过后，介质的变形能够完全恢复，弹塑性波则将引起性波传过后，介质的变形能够完全恢复，弹塑性波则将引起介质的残余变形，粘弹性波和弹塑性波引起的介质变形将有介质的残余变形，粘弹性波和弹塑性波引起的介质变形将有一时间滞后。一时间滞后。岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University第节 应力波的基本概念p按波阵面几何形状进行的波分类按波阵面几何形状进行的波分类 应力波的分类应力波的分类 根据波阵面的几何形状，应力波可分为根据波阵面的几何形状，应力波可分为平面波平面波，柱面波柱面波和和球球面波面波。一般认为，平面波的波源是。一般认为，平面波的波源是平面载荷平面载荷，柱面波的波源，柱面波的波源是是线载荷线载荷，而球面波的波源是，而球面波的波源是点载荷点载荷。p按波动方程自变量个数进行的波分类按波动方程自变量个数进行的波分类 根据描述应力波波动方程的自变量个数，应力波可分为一维根据描述应力波波动方程的自变量个数，应力波可分为一维应力波，二维应力波和三维应力波。应力波，二维应力波和三维应力波。p另另外外，应应力力波波也也可可分分为为入入射射波波、反反射射波波和和透透射射波波，加加载载波波和和卸载波，以及连续性波和间断波等。卸载波，以及连续性波和间断波等。岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University第节 应力波的基本概念p波函数展开法波函数展开法 应力波方程的求解方法应力波方程的求解方法 该方法的思想是将位移场该方法的思想是将位移场u u分解成无旋场和旋转场，实质是一种分离变量分解成无旋场和旋转场，实质是一种分离变量解法。适用于求解均匀各向同性介质中弹性波二维、三维问题和柱体、解法。适用于求解均匀各向同性介质中弹性波二维、三维问题和柱体、球体中的波传播问题。对于各向异性和不均匀介质，则因无法分离变量球体中的波传播问题。对于各向异性和不均匀介质，则因无法分离变量而难于采用此种方法。而难于采用此种方法。p积分方程法积分方程法 如果研究的波动问题涉及扰动源，可用积分方程法求解。积分方程表达如果研究的波动问题涉及扰动源，可用积分方程法求解。积分方程表达式可以通过格林函数方法和变分方法推导而得，求解问题的关键在于格式可以通过格林函数方法和变分方法推导而得，求解问题的关键在于格林函数的确定。该方法对于求解均匀各向异性问题是有效的，对不均匀林函数的确定。该方法对于求解均匀各向异性问题是有效的，对不均匀介质，因格林函数是未知的而不能求解。此方法是近似理论如有限元法介质，因格林函数是未知的而不能求解。此方法是近似理论如有限元法和边界元法的基础。和边界元法的基础。岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University第节 应力波的基本概念p积分变换法积分变换法 应力波方程的求解方法应力波方程的求解方法 该该法法的的思思路路是是把把原原函函数数空空间间中中难难以以求求解解的的问问题题进进行行变变换换，化化为为函函数数空空间间较较简简单单的的问问题题去去求求解解，然然后后进进行行逆逆变变换换最最后后得得到到问问题题的的解解。此此法法难难点点在在于于逆逆变变换换很很难难找找到到精精确确解解。积积分分变变换换类类型型是是多多种种多多样样的的，常常见见的的有有LaplaceLaplace变变换换、FourierFourier变变换换、HankelHankel变变换换，这这一一方方法法常常用用于于求求瞬瞬态态波波动动问题，对于非线性问题则无能为力。问题，对于非线性问题则无能为力。p广义射线法广义射线法 该该法法是是研研究究层层状状介介质质中中弹弹性性瞬瞬态态波波传传播播的的有有效效方方法法。其其优优点点在在于于有有明明显显的的物物理理特特征征：它它是是将将由由波波源源发发出出而而在在某某一一瞬瞬时时到到达达接接收收点点的的波波分分解解为为直直接接到到达达、经经一一次次反反射射到到达达、经经二二次次反反射射到到达达经经N N次次反反射射到到达达的的波波叠叠加加而得，清晰地反映了瞬态波的传播过程。而得，清晰地反映了瞬态波的传播过程。岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University第节 应力波的基本概念p特征线法特征线法 应力波方程的求解方法应力波方程的求解方法 特特征征线线法法实实质质上上是是基基于于沿沿特特征征线线的的数数值值积积分分。该该法法对对研研究究应应力力波波传传播播问问题题有有特特殊殊的的意意义义，因因为为特特征征线线实实际际上上就就是是扰扰动动传传播播或或波波前前进进的的路路线线。找找到到了了特特征征线线，就就有有了了问问题题的的解解，而而且且可可以以给给出出清清晰晰的的图图像像。特特征征线线法法对对线线性性、非非线线性性问问题题都都较较为为有有效效，它它已已成成为为应应力力波波研研究究的的经经典典方方法法。大大体体上上说说，特特征征线线法法有有其其独独特特的的优优点点，理理论论体体系系便便于于应应用用在在二二维维和和三三维维波波传传播问题中，求解起来方便可靠，有较好的数值稳定性。播问题中，求解起来方便可靠，有较好的数值稳定性。p其他方法其他方法 目目前前应应用用较较成成熟熟的的有有T-T-矩矩阵阵法法、谱谱方方法法和和波波慢慢度度法法、反反射射率率法法、有有限限差差分分法法、有有限限元元法法、边边界界元元法法、摄摄动动法法和和小小波波变变换换法法等等等等，它它们们都都在在各各种种具体问题的研究中发挥着作用。具体问题的研究中发挥着作用。岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University第节 应力波的基本概念p应用领域应用领域 应力理论的应用应力理论的应用 武武器器效效应应、航航空空航航天天工工程程、国国防防工工程程、矿矿山山及及交交通通机机械械、爆爆破破工工程程、安安全防护工程、地震监测、石油勘探、水利工程、建筑工程等。全防护工程、地震监测、石油勘探、水利工程、建筑工程等。p应用技术发展应用技术发展 应应力力波波打打桩桩、应应力力波波探探矿矿及及探探伤伤、应应力力波波铆铆接接、缺缺陷陷的的探探测测和和表表征征、超超声声传传感感器器性性能能描描述述、声声学学显显微微镜镜的的研研制制、残残余余应应力力的的超超声声测测定定、声声发发射射等甚至正在发展为专门的技术。等甚至正在发展为专门的技术。p服务其他学科服务其他学科 是是固固体体力力学学中中极极为为活活跃跃的的前前沿沿课课题题，是是现现代代声声学学、地地球球物物理理学学、爆爆炸炸力力学和材料力学性能研究的重要基础。学和材料力学性能研究的重要基础。岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University 第2节 无限介质中的弹性波方程概概 述述 动动载载荷荷作作用用的的物物体体或或处处于于静静载载荷荷作作用用初初始始阶阶段段的的物物体体，内内部部的的应应力力、变变形形、位位移移不不仅仅是是位位置置的的函函数数，而而且且还还将将是是时时间间的的函函数数。在在建建立立平平衡衡方方程程时时，除除考考虑虑应应力力、体体力力外外，还还需需要要考考虑由于加速度而产生的虑由于加速度而产生的惯性力惯性力。岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University 第2节 无限介质中的弹性波方程动态平衡方程动态平衡方程 以以u u、v v、w w表示位移，表示位移，表示密度，则相应的惯性力密度分量表示密度，则相应的惯性力密度分量为为 于是，可以写出动态平衡于是，可以写出动态平衡方程方程（2-12-1）岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University 第2节 无限介质中的弹性波方程波动方程推导过程波动方程推导过程 p利利用用几几何何方方程程和和物物理理方方程程，并并略略去去体体力力，可可将将平平衡衡方方程程（2-12-1）化为按位移法求解动力问题所需的基本微分方程）化为按位移法求解动力问题所需的基本微分方程 其中其中（2-22-2）岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University 第2节 无限介质中的弹性波方程波动方程推导过程波动方程推导过程 p引入位移势函数引入位移势函数平衡方程中的平衡方程中的e e可表示为可表示为取位移势函数取位移势函数由于旋转量由于旋转量则有则有同理同理因此（因此（a a）式表示的位移为无旋位移。相应于这种状态的弹性波称为）式表示的位移为无旋位移。相应于这种状态的弹性波称为无旋波无旋波。（a a）岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University 第2节 无限介质中的弹性波方程波动方程推导过程波动方程推导过程 p把平衡方程中的把平衡方程中的e e用位移势函数表示用位移势函数表示其中其中由于由于将以上各式代入式（将以上各式代入式（2-22-2），经化简即得无旋波的波动方程），经化简即得无旋波的波动方程则有则有（b b）（2-32-3）（2-42-4）岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University 第2节 无限介质中的弹性波方程波动方程推导过程波动方程推导过程 p等容波波动方程等容波波动方程其中其中如果设弹性物体中发生的位移如果设弹性物体中发生的位移u u、v v、w w满足满足则则这这样样的的位位移移为为等等容容位位移移，相相应应于于这这种种状状态态的的弹弹性性波波称称为为等等容容波波。将将上上式代入式式代入式2.22.2，得等容波的波动方程，得等容波的波动方程（2-52-5）（2-62-6）岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University 第2节 无限介质中的弹性波方程波动方程推导过程波动方程推导过程 p波动方程的统一形式波动方程的统一形式无旋波和等容波是弹性波的两种基本形式。它们的波动方程可以统一写无旋波和等容波是弹性波的两种基本形式。它们的波动方程可以统一写为为上上式式中中c c表表示示弹弹性性波波波波速速度度。对对无无旋旋波波，c=c1c=c1；对对等等容容波波c=c2c=c2。并并且且可可以以证证明明：在在弹弹性性体体中中，应应力力、变变形形、位位移移等等都都将将和和位位移移以以相相同同的的方方式式与与速度进行传播。速度进行传播。（2-72-7）岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University 第3节 一维长杆中的应力波描述运动的坐标系描述运动的坐标系 研研究究物物质质的的运运动动，总总是是要要在在一一定定的的坐坐标标系系里里进进行行。对对于于波波动动问问题题，可可供供选选择择的的坐坐标标系系有有两两种种，这这就就是是拉拉格格朗朗日日（LagrangeLagrange）坐坐标标和和欧欧拉拉(Euler)(Euler)坐标坐标。p拉格朗日坐标拉格朗日坐标也也称称物物质质坐坐标标，采采用用介介质质中中固固定定的的质质点点来来观观察察物物质质的的运运动动，所所研研究究的的是是在在给给定定的的质质点点上上各各物物理理量量随随时时间间的的变变化化，以以及及这这些些物物理理量量由由一一质质点点转转到到其它质点时的变化。其它质点时的变化。p欧拉坐标欧拉坐标在在空空间间固固定定点点来来观观察察物物质质的的运运动动，所所研研究究的的是是在在给给定定的的空空间间点点以以不不同同时时刻刻到到达达的的不不同同质质点点的的物物理理量量随随时时间间的的变变化化，以以及及这这些些量量由由一一空空间间点点转转到到其它空间点时的变化。其它空间点时的变化。岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University 第3节 一维长杆中的应力波描述运动的坐标系描述运动的坐标系 拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrange）坐标）坐标和和欧拉欧拉(Euler)(Euler)坐标坐标的等价定义：的等价定义：p拉格朗日坐标拉格朗日坐标拉拉格格朗朗日日法法又又称称随随体体法法：跟跟随随质质点点运运动动，记记录录该该质质点点在在运运动动过过程程中中物物理理量随时间变化规律。量随时间变化规律。p欧拉坐标欧拉坐标欧欧拉拉法法又又称称当当地地法法：将将某某瞬瞬时时占占据据某某空空间间点点的的流流体体质质点点物物理理量量作作为为该该空空间点的物理量，物理量随空间点位置和时间而变化。间点的物理量，物理量随空间点位置和时间而变化。岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University 第3节 一维长杆中的应力波描述运动的坐标系描述运动的坐标系 p拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrange）坐标）坐标和和欧拉欧拉(Euler)(Euler)坐标坐标的举例说明的举例说明比如：城市公共交通部门采用两种方法统计客运量：比如：城市公共交通部门采用两种方法统计客运量：在在每每一一辆辆公公交交车车上上设设安安排排记记录录员员，记记录录每每辆辆车车在在不不同同时时刻刻（站站点点）上上下车人数，此法称为随体法；下车人数，此法称为随体法；在在每每一一站站点点设设记记录录员员，记记录录不不同同时时刻刻经经过过该该站站点点的的车车辆辆上上下下车车人人数数，此法称为当地法。此法称为当地法。岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University 第3节 一维长杆中的应力波描述运动的坐标系描述运动的坐标系 p拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrange）坐标）坐标和和欧拉欧拉(Euler)(Euler)坐标坐标的表示方法的表示方法在在欧欧拉拉坐坐标标中中，介介质质的的运运动动表表现现为为不不同同的的质质点点在在不不同同时时刻刻占占据据不不同同的的空空间点坐标间点坐标x x，于是有，于是有在在拉拉格格朗朗日日坐坐标标中中，质质点点的的位位置置X X（也也可可表表示示质质点点本本身身）是是空空间间点点坐坐标标x x和时间和时间t t的函数，即的函数，即岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University 第3节 一维长杆中的应力波描述运动的坐标系描述运动的坐标系 p拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrange）坐标）坐标中的波速描述中的波速描述（2-82-8）式式表表示示跟跟随随同同一一质质点点观观察察到到的的空空间间位位置置的的变变化化率率，叫叫随随体体微微商商或或物质微商物质微商。在拉格朗日坐标中，特定质点在拉格朗日坐标中，特定质点X X运动的速度写为运动的速度写为（2 28 8）在在拉拉格格朗朗日日坐坐标标中中，假假定定在在时时刻刻t t 波波阵阵面面传传到到质质点点X X，以以X=(t)X=(t)表表示示波波阵面在拉格朗日坐标中的传播规律，则阵面在拉格朗日坐标中的传播规律，则（2 21010）称为称为拉格朗日拉格朗日或或物质波速物质波速。岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University 第3节 一维长杆中的应力波描述运动的坐标系描述运动的坐标系 p欧拉欧拉(Euler)(Euler)坐标坐标中的波速描述中的波速描述如如果果在在欧欧拉拉坐坐标标中中观观察察物物质质的的波波动动，设设时时刻刻t t 波波阵阵面面传传到到空空间间点点x x，以以x=(t)x=(t)表示波阵面在欧拉坐标中的传播规律，则表示波阵面在欧拉坐标中的传播规律，则（2 29 9）称为欧拉波速或空间波速。称为欧拉波速或空间波速。岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University 第3节 一维长杆中的应力波描述运动的坐标系描述运动的坐标系 p两种坐标体系中波速的关系两种坐标体系中波速的关系一般来说，两种波速是不同的，除非波阵面前方的介质静止且无变形。一般来说，两种波速是不同的，除非波阵面前方的介质静止且无变形。（2 21111）在一维运动中，有在一维运动中，有式中式中称为称为名义应变名义应变或或工程应变工程应变。由此可推得平面波传播时的空间。由此可推得平面波传播时的空间波速与物质波速的如下关系波速与物质波速的如下关系（2 21212）岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University 第3节 一维长杆中的应力波一维应力波的基本假定一维应力波的基本假定 研研究究一一维维等等截截面面均均匀匀长长杆杆的的纵纵向向波波动动，通通常常在在拉拉格格朗朗日日中中进进行行。为为使使问问题得到简化，需要作如下两个基本假设题得到简化，需要作如下两个基本假设p第一基本假设第一基本假设杆截面在变形过程中保持为平面，沿轴向只有均布的轴向应力。从而使杆截面在变形过程中保持为平面，沿轴向只有均布的轴向应力。从而使各运动参量都只是各运动参量都只是X X和和t t的函数，问题化为一维问题。的函数，问题化为一维问题。p第二基本假设第二基本假设将材料的本构关系限于应变率无关理论，即认为应力只是应变的单值函将材料的本构关系限于应变率无关理论，即认为应力只是应变的单值函数，不计入应变率对应力的影响，这样材料的本构关系可写为数，不计入应变率对应力的影响，这样材料的本构关系可写为（2 21313）岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University 第3节 一维长杆中的应力波一维杆中纵波的控制方程一维杆中纵波的控制方程取变形前（取变形前（t=0t=0时）一维杆材料质点的空间位置为物质坐标，杆轴为时）一维杆材料质点的空间位置为物质坐标，杆轴为X X轴。轴。图图2-12-1所示。杆变形前的原始截面积为所示。杆变形前的原始截面积为A A0 0，原始密度为，原始密度为0 0，其它材料性，其它材料性能参数均与坐标无关，于是可以得到一维杆波动的基本方程（控制方程）能参数均与坐标无关，于是可以得到一维杆波动的基本方程（控制方程），包括：质量守衡方程或连续方程、动力学方程或动量守衡方程和材料，包括：质量守衡方程或连续方程、动力学方程或动量守衡方程和材料本构方程或物性方程。本构方程或物性方程。图图2-1 2-1 一维杆中的应力波一维杆中的应力波岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University 第3节 一维长杆中的应力波一维杆中纵波的控制方程一维杆中纵波的控制方程质量守衡方程或连续方程质量守衡方程或连续方程动力学方程、动量守衡方程动力学方程、动量守衡方程或运动方程或运动方程材料本构方程或物性方程材料本构方程或物性方程（2 21313）（2 21515）（2 21414）这样便得到了关于变量这样便得到了关于变量、和和v v的封闭控制方程组（的封闭控制方程组（2-132-13）-(2-15)-(2-15)。结合给定的初始条件和边界条件，求解三个未知函数。结合给定的初始条件和边界条件，求解三个未知函数。（2-132-13）-(2-15)-(2-15)经过变换，与二阶微分方程形式的波动方程完全等价经过变换，与二阶微分方程形式的波动方程完全等价（2 21919）岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University 第4节 一维杆中应力波方程的特征线求解特征线的定义特征线的定义特征线方法是求解双曲线型偏微分方程的主要方法之一，在应力波传播特征线方法是求解双曲线型偏微分方程的主要方法之一，在应力波传播的研究中占有重要的地位，特别在一维波的传播研究中得到了广泛的应的研究中占有重要的地位，特别在一维波的传播研究中得到了广泛的应用。实质上，特征线方法是把解两个自变量的二阶拟线性偏微分方程的用。实质上，特征线方法是把解两个自变量的二阶拟线性偏微分方程的问题化为解特征线上的常微分方程的问题。问题化为解特征线上的常微分方程的问题。方程（方程（2-192-19）为双曲线型偏微分方程，有两条实特征线，可用特征线方）为双曲线型偏微分方程，有两条实特征线，可用特征线方法来求解。法来求解。岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University 第4节 一维杆中应力波方程的特征线求解特特征征线线有有多多种种不不同同且且是是相相互互等等价价的的定定义义方方法法。这这里里仅仅介介绍绍方方向向导导数数定定义义法法。在在只只包包含含自自变变量量(X,t)(X,t)的的平平面面上上，如如果果存存在在曲曲线线S(X,t)S(X,t)，使使得得能能够够把把二二阶阶偏偏微微分分方方程程转转化化为为等等价价的的一一阶阶偏偏微微分分方方程程组组的的线线性性组组合合，化化为为其其上的方向导数的形式，则该曲线称为相应偏微分方程的特征线。上的方向导数的形式，则该曲线称为相应偏微分方程的特征线。特征线的定义特征线的定义（2 22424）式式就就是是（2 21919）式式波波动动方方程程的的特特征征线线的的微微分分方方程程（详详细细推推导导过过程程见见讲讲义义），对对其其积积分分便便可可得得特特征征线线方方程程。正正、负负号号分分别别表表示示过过平平面面上的任一点存在右行、左行两族特征线。上的任一点存在右行、左行两族特征线。（2 22424）岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University 第4节 一维杆中应力波方程的特征线求解根据特征线的构造过程，可得到根据特征线的构造过程，可得到特征线上的相容关系特征线上的相容关系式式（2-252-25）即即是是特特征征线线上上质质点点速速度度v v和和必必须须满满足足的的制制约约关关系系，称称为为特特征征线线上上的的相相容容关关系系。式式（2-252-25）也也称称为为平平面面上上的的特特征征线线。这这样样，就就把把解解偏偏微微分分方方程程（2-192-19）化化为为求求解解特特征征线线方方程程（2-242-24）及及相相应应的的相相容容关关系系（2-252-25）的常微分方程问题。）的常微分方程问题。（2 22525）岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University 第4节 一维杆中应力波方程的特征线求解许许多多时时候候，我我们们需需要要知知道道波波阵阵面面上上的的守守恒恒关关系系。由由于于右右行行波波的的波波阵阵面面总总是是穿穿过过左左行行波波的的特特征征线线，因因此此在在右右行行波波的的波波阵阵面面上上，质质点点速速度度v v和和应应变变之之间间有有下下式式第第一一式式的的守守恒恒关关系系。同同理理，在在左左行行波波的的波波阵阵面面上上，有有以以下下式式第二式的守恒关系第二式的守恒关系波阵面上的守恒关系波阵面上的守恒关系（2 22626）岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University 第4节 一维杆中应力波方程的特征线求解根根据据前前面面的的推推导导，方方程程（2-192-19）表表示示的的杆杆中中波波动动在在平平面面（X X，t t）上上存存在在右右行行、左左行行两两族族特特征征线线。这这些些特特征征先先在在平平面面（X X，t t）上上形形成成十十字字交交叉叉网网格格，按按照照精精度度要要求求，选选取取合合适适的的间间隔隔距距离离，并并把把网网格格四四边边的的微微段段看看成成直直线线，如如果果已已知知相相邻邻两两个个点点1 1、2 2的的有有关关参参数数及及波波速速C C，则则可可以以求求出出过过1 1点点右右行行特特征征线线与与过过2 2点点左左行行特特征征线线交点交点3 3的参数，如图的参数，如图2-22-2所示。所示。半无限长杆中一维弹性应力波的特征线解半无限长杆中一维弹性应力波的特征线解图图2-2 2-2（a a）平平面面(X,t)(X,t)上上的的特特征征线线；（b b）平平面面(v,(v,)上的特征线上的特征线岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University 第4节 一维杆中应力波方程的特征线求解(2-27)(2-27)中四个代数方程求解四个未知数中四个代数方程求解四个未知数 ，3 3点的参数是确定的，而点的参数是确定的，而且是唯一的。下面就半无限长杆中的弹性波求解进行详细讨论。且是唯一的。下面就半无限长杆中的弹性波求解进行详细讨论。半无限长杆中指的是半无限长杆中指的是X X在在0 0到到之间取值，因而只有沿之间取值，因而只有沿X X轴正方向的单向波，没有轴正方向的单向波，没有反射波的情况。此外，还作出限制：反射波的情况。此外，还作出限制：或或 ，以简化分析。，以简化分析。半无限长杆中一维弹性应力波的特征线解半无限长杆中一维弹性应力波的特征线解（2 22727）岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University 第4节 一维杆中应力波方程的特征线求解这时，材料的本构关系可用这时，材料的本构关系可用HookeHooke定律表达，即式（定律表达，即式（2-132-13）具体化为）具体化为 半无限长杆中一维弹性应力波的特征线解半无限长杆中一维弹性应力波的特征线解线弹性波线弹性波（2 22828）式中式中E E为为YoungYoung模量。进而，由式模量。进而，由式2.162.16得弹性应力波速度得弹性应力波速度于是波动方程（于是波动方程（2-192-19）变为）变为岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock DynamicsRock DynamicsHohai UniversityHohai University 第4节 一维杆中应力波方程的特征线求解由于由于C C0 0为常数，对特征线与相容方程（为常数，对特征线与相容方程（2-242-24）与（）与（2-252-25）积分，并引入积分常）积分，并引入积分常数数1 1、2 2与与R R1 1、R R2 2，得，得 半无限长杆中一维弹性应力波的特征线解半无限长杆中一维弹性应力波的特征线解线弹性波线弹性波有时称有时称R R1 1和和R R2 2为为RiemannRiemann不变量。不变量。（右行波）（右行波）（2-292-29）（左行波）（左行波）（2-29a2-29a）岩石动力学课件岩石动力学课件 Rock Dy