热力学与物理统计03讲述.pptx

第六章第六章 近独立粒子的最概然分近独立粒子的最概然分布布第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布一、粒子运动状态的经典描述一、粒子运动状态的经典描述统计物理学认为宏观物质系统是由大量的微观粒子统计物理学认为宏观物质系统是由大量的微观粒子组成的，物质的宏观特性是大量微观粒子行为的集组成的，物质的宏观特性是大量微观粒子行为的集体表现，宏观物理量是相应微观物理量的统计平均体表现，宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。值。我们首先讲述一下如何描述系统的微观状态我们首先讲述一下如何描述系统的微观状态对粒子微观状态的描述主要是从两个不同的角度描对粒子微观状态的描述主要是从两个不同的角度描述：第一、经典描述；第二、量子描述述：第一、经典描述；第二、量子描述第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布1 1、经典描述、经典描述如果粒子遵守经典力学的运动规律，那么对粒子状如果粒子遵守经典力学的运动规律，那么对粒子状态的描述就称为经典描述态的描述就称为经典描述遵守经典力学的粒子，只需要知道粒子的位置和速遵守经典力学的粒子，只需要知道粒子的位置和速度，就可以完全描述这个粒子度，就可以完全描述这个粒子假设粒子的自由度为假设粒子的自由度为r r，那么粒子在某一时刻的力，那么粒子在某一时刻的力学运动状态就可以用粒子的学运动状态就可以用粒子的r r个广义坐标个广义坐标q q1 1，q q2,2,.，q qr r和与之共轭的和与之共轭的r r个广义动量个广义动量p p1 1,p,p2 2,.,p,.,pr r在该时在该时刻的数值来确定。刻的数值来确定。粒子的能量可以表达为这粒子的能量可以表达为这2r2r个量的函数个量的函数第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布通常情况下，为了形象的描述粒子的运动状态，用通常情况下，为了形象的描述粒子的运动状态，用这这2r2r个变量为直角坐标，建立一个个变量为直角坐标，建立一个2r2r维空间，我们维空间，我们成为成为空间。粒子在某一时刻的运动状态与空间。粒子在某一时刻的运动状态与空间空间中的一个点相对应。当粒子的运动状态随时间变化中的一个点相对应。当粒子的运动状态随时间变化时，粒子在时，粒子在空间的代表点发生相应的移动，描画空间的代表点发生相应的移动，描画出一条轨迹。出一条轨迹。第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布自由粒子的经典描述及其自由粒子的经典描述及其 空间空间做三维运动的自由粒子做三维运动的自由粒子：自由度为：自由度为3粒子位置：粒子位置：x(t)，y(t)，z(t)粒子动量：粒子动量：常量常量常量常量常量常量自由粒子就是不受力所用而作自由运动的粒子自由粒子就是不受力所用而作自由运动的粒子粒子能量：粒子能量：第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布一维自由粒子的运动状态在一维自由粒子的运动状态在空间的表示空间的表示设设一一维维容容器器的的长长度度为为L L，则则x x可可取取的的范范围围为为0 0到到L L间间的的任任何何值值，p px x原原则则上上可可以以取取-到到之之间间的所有值的所有值粒粒子子的的运运动动轨轨迹迹在在空空间间为为一一条直线条直线第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布自由粒子的量子描述自由粒子的量子描述波粒二象性波粒二象性 微观粒子既具有粒子性质：微观粒子既具有粒子性质：又具有波动性质：又具有波动性质：德布罗意关系德布罗意关系 能量为能量为，动量为，动量为p的自由粒子联系着圆频率为的自由粒子联系着圆频率为，波矢为，波矢为k的平面波，并且存在的平面波，并且存在 第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布不确定关系不确定关系如果粒子坐标如果粒子坐标q的不确定值为的不确定值为q，相应的动量的，相应的动量的不确定值为不确定值为p，那么在量子力学中，最精确的，那么在量子力学中，最精确的描述中，存在关系描述中，存在关系量子描述的粒子不可能同时具有确定的动量和坐标量子描述的粒子不可能同时具有确定的动量和坐标如果粒子坐标完全确定如果粒子坐标完全确定那么粒子动量将完全不确定那么粒子动量将完全不确定如果粒子动量完全确定如果粒子动量完全确定那么粒子坐标将完全不确定那么粒子坐标将完全不确定微观粒子的运动不是轨道运动。微观粒子的运动不是轨道运动。第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布经典力学中，粒子同时具有确定的动量和坐标，因经典力学中，粒子同时具有确定的动量和坐标，因此可以用某一时刻粒子的动量和坐标描述粒子的运此可以用某一时刻粒子的动量和坐标描述粒子的运动状态。动状态。量子力学中，粒子不可能同时具有确定的动量和坐量子力学中，粒子不可能同时具有确定的动量和坐标，那么，该如何描述粒子的运动状态？标，那么，该如何描述粒子的运动状态？在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。量子态是用一组量子数表征，且这组量子数的数目量子态是用一组量子数表征，且这组量子数的数目等于粒子的自由度数。等于粒子的自由度数。第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布自由粒子的量子描述自由粒子的量子描述首先讨论一维自由粒子，设粒子处于长度为首先讨论一维自由粒子，设粒子处于长度为L的一维的一维容器中，那么粒子可能的运动状态为容器中，那么粒子可能的运动状态为粒子运动应该满足周期性边界条件，粒子的德布罗意粒子运动应该满足周期性边界条件，粒子的德布罗意波波长满足波波长满足那么，波矢满足那么，波矢满足动量为动量为第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布能量为能量为nx就是表征一维自由粒子的运动状态的量子数就是表征一维自由粒子的运动状态的量子数考虑三维自由粒子，设粒子处在边长为考虑三维自由粒子，设粒子处在边长为L的容器内的容器内第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布粒子的能量为粒子的能量为nx，ny，nz表征三维自由粒子的运动状态的量子数表征三维自由粒子的运动状态的量子数粒子的能量不在是连续的，而是一些分立的能级。粒子的能量不在是连续的，而是一些分立的能级。宏观尺度的运动，能级间距很小宏观尺度的运动，能级间距很小微观尺度的运动，能级间距才是显著的微观尺度的运动，能级间距才是显著的简并度：处于一个能级的量子状态的数目简并度：处于一个能级的量子状态的数目能级的简并度能级的简并度第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布能级对应着能级对应着6个量子态，简并度为个量子态，简并度为6第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布考虑在体积考虑在体积V=L3内，在内，在px到到px+dpx，py到到py+dpy，pz到到pz+dpz的动量范围内自由粒子的量子态数的动量范围内自由粒子的量子态数在在px到到px+dpx可能的可能的px有有dnx个个在在py到到py+dpy可能的可能的py有有dny个个在在pz到到pz+dpz可能的可能的pz有有dnz个个第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布体积体积V=L3内，在内，在px到到px+dpx，py到到py+dpy，pz到到pz+dpz的动量范围内自由粒子的量子态数的动量范围内自由粒子的量子态数由于由于不确定关系不确定关系，。即在体积元即在体积元 h 内的各运动状态，内的各运动状态，它们的差别都在测量误差之内，它们的差别都在测量误差之内，即被认为是即被认为是相同的相同的！一维体系，一个量子态对应相空间一个一维体系，一个量子态对应相空间一个 h 大小的体积元大小的体积元第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布则相空间体积则相空间体积 中量子态数为中量子态数为三维自由粒子一个量子态对应粒子相空间体积元三维自由粒子一个量子态对应粒子相空间体积元 。采用动量空间的球极坐标表示采用动量空间的球极坐标表示第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布体积体积V=L3内，在内，在p到到p+dp，到到+d，到到+d的动的动量范围内自由粒子的量子态数量范围内自由粒子的量子态数考虑到球极坐标中，动量空间的体积元为考虑到球极坐标中，动量空间的体积元为体积体积V=L3内，在内，在p到到p+dp动量范围内自由粒子的量动量范围内自由粒子的量子态数子态数第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布体积体积V=L3内，在内，在到到+d能量范围内自由粒子的量子能量范围内自由粒子的量子态数态数D()单位能量间隔内可能的状态数，称为态密度单位能量间隔内可能的状态数，称为态密度第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布一维线性谐振子的经典描述及其一维线性谐振子的经典描述及其 空间空间质量为质量为m m的粒子在弹性力的粒子在弹性力F=-AxF=-Ax的作用下，将沿的作用下，将沿x x轴轴在原点附近做简谐振动，称为线性谐振子。振动在原点附近做简谐振动，称为线性谐振子。振动的圆频率为的圆频率为粒子运动状态有坐标粒子运动状态有坐标x x和与之共轭的动量和与之共轭的动量p p来描述来描述粒子的能量为粒子的能量为第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布对于一确定的能量，粒子在对于一确定的能量，粒子在空间的轨迹为空间的轨迹为椭圆面积椭圆面积半长轴半长轴半短轴半短轴在经典力学范围内，振子能量原则上可以取任何在经典力学范围内，振子能量原则上可以取任何正值正值第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布一维线性谐振子的量子描述一维线性谐振子的量子描述圆频率为圆频率为的线性谐振子，能量的可能值为的线性谐振子，能量的可能值为n n是表征振子的运动状态和能量的量子数是表征振子的运动状态和能量的量子数粒子的能量值是分立的，分立的能量称为能级粒子的能量值是分立的，分立的能量称为能级线性谐振子的能级是等间距的，相邻两能级的能线性谐振子的能级是等间距的，相邻两能级的能量差为量差为，其大小取决于振子的圆频率，其大小取决于振子的圆频率第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布三维转子的经典描述及其三维转子的经典描述及其 空间空间质量为质量为m m的质点的质点A A被具有一定长度的轻被具有一定长度的轻杆系于原点杆系于原点O O所做的运动所做的运动质点的能量就是其动能：质点的能量就是其动能：直角坐标系，坐标直角坐标系，坐标x,y,zx,y,z，与之共轭的，与之共轭的动量为动量为px,py,pzpx,py,pz在球坐标系中，粒子坐标在球坐标系中，粒子坐标r,第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布轻杆，轻杆，OA距离不变，因此距离不变，因此r不变不变第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布粒子位置用粒子位置用,表示，称为广义坐标表示，称为广义坐标与与,相对应的动量，称为广义动量相对应的动量，称为广义动量引入转动惯量引入转动惯量I=mrI=mr2 2经典力学中，经典力学中，的取值范围为的取值范围为0,的取值范的取值范围为围为0,2）考虑转子所受外力矩为零的情况，考虑转子所受外力矩为零的情况，转子的角动量守恒，转子的角动量守恒，常矢量常矢量此时，转子此时，转子(质点质点)做二维平面内的做二维平面内的“惯性转动惯性转动”，转子为转子为“二维转子二维转子”，则有：，则有：/2，p 0 转子能量：转子能量：第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布三维转子的经典描述及其三维转子的经典描述及其 空间空间第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布转子的能量为转子的能量为I为转动惯量，为转动惯量，M为角动量。经典力学中为角动量。经典力学中M可以取可以取任意值，量子力学中任意值，量子力学中对于一定的对于一定的l，角动量在其本征方向（，角动量在其本征方向（z轴）的投影轴）的投影Mz自由度为自由度为2的转子，其运动状态有的转子，其运动状态有l,m两个量子数表两个量子数表征征第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布转子的能量为转子的能量为量子数为量子数为l的转子，能量为的转子，能量为l，将简并度为，将简并度为2l+1第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布粒子的自旋粒子的自旋自旋是粒子的内禀属性，用自旋角动量自旋是粒子的内禀属性，用自旋角动量S表述表述其中其中s称为自旋量子数，可以是整数或半整数。称为自旋量子数，可以是整数或半整数。例如电子的自旋量子数为例如电子的自旋量子数为1/2对自旋状态的描述还需要知道自旋角动量在其对自旋状态的描述还需要知道自旋角动量在其本征方向（本征方向（z轴）上的投影轴）上的投影Sz。共共2s+1个可能的值。对于电子，有个可能的值。对于电子，有2个可能值。个可能值。第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 质量为质量为 m，电荷为，电荷为-e 的电子，的电子，其自旋磁矩其自旋磁矩 与自旋角动量与自旋角动量 S 大小的比值为：大小的比值为：自旋角动量与自旋磁矩自旋角动量与自旋磁矩当存在外磁场时，自旋角动量的本征方向沿外当存在外磁场时，自旋角动量的本征方向沿外磁场方向。以磁场方向。以z表示外磁场方向，表示外磁场方向，B为磁感应强为磁感应强度。电子自旋角动量在度。电子自旋角动量在z投影为投影为第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布自旋磁矩在自旋磁矩在z投影为投影为电子在外磁场中能量为电子在外磁场中能量为第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布三、系统微观运动状态的描述三、系统微观运动状态的描述系统的微观运动状态就是指它的力学运动状态。这系统的微观运动状态就是指它的力学运动状态。这里讨论由里讨论由全同全同和和近独立粒子近独立粒子组成的系统组成的系统全同粒子：具有完全相同的内禀属性（相同的质量、全同粒子：具有完全相同的内禀属性（相同的质量、电荷自旋等等）电荷自旋等等）近独立粒子：指系统中粒子之间的相互作用很弱，近独立粒子：指系统中粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于粒子的平均能量，因而相互作用的平均能量远小于粒子的平均能量，因而可以忽略粒子间的相互作用。因此整个系统的能量可以忽略粒子间的相互作用。因此整个系统的能量可以表示为单个粒子的能量之和可以表示为单个粒子的能量之和第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布i是第是第i i个粒子的能量，个粒子的能量，N N是系统的粒子总数。且是系统的粒子总数。且i只只是第是第i i个粒子的坐标和动量以及外场参量的函数，与个粒子的坐标和动量以及外场参量的函数，与其它粒子的坐标和动量无关。其它粒子的坐标和动量无关。近独立粒子之间相互作用很弱，但仍然有相互作用近独立粒子之间相互作用很弱，但仍然有相互作用对于服从经典力学的全同和近独立系统，粒子的自对于服从经典力学的全同和近独立系统，粒子的自由度为由度为r r，该如何描述它的微观运动状态？，该如何描述它的微观运动状态？第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布第第i i个粒子的运动状态可以用个粒子的运动状态可以用r r个广义坐标和与之个广义坐标和与之共轭的共轭的r r个广义动量来完全描述个广义动量来完全描述当当N N个粒子在某一时刻的力学状态完全确定时，整个粒子在某一时刻的力学状态完全确定时，整个系统在该时刻的微观运动状态也就完全确定了。个系统在该时刻的微观运动状态也就完全确定了。确定系统的运动状态需要确定系统的运动状态需要2Nr2Nr个变量。个变量。一个粒子在某一时刻的运动状态可以用一个粒子在某一时刻的运动状态可以用空间中空间中的一个点表示。那么由的一个点表示。那么由N N个全同粒子组成的系统在个全同粒子组成的系统在某一时刻的微观运动状态可以用某一时刻的微观运动状态可以用空间的空间的N N个点来个点来表示表示第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布经典物理中，全同例子是可以分辨的经典物理中，全同例子是可以分辨的经典物理中，粒子的运动是轨道运动，原则上是经典物理中，粒子的运动是轨道运动，原则上是可以被跟踪的。只要确定每一个粒子的初始时刻可以被跟踪的。只要确定每一个粒子的初始时刻的位置，原子上就可以确定每一粒子在以后任一的位置，原子上就可以确定每一粒子在以后任一时刻的位置。尽管全同粒子的属性完全相同。原时刻的位置。尽管全同粒子的属性完全相同。原则上仍然可以辨认。则上仍然可以辨认。既然可以辨认，那么既然可以辨认，那么交换两交换两粒子的运动状态，系统的运粒子的运动状态，系统的运动状态是不同的动状态是不同的第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布对于服从量子力学的全同和近独立系统，该如何描对于服从量子力学的全同和近独立系统，该如何描述它的微观运动状态？述它的微观运动状态？微观粒子全同性原理：全同粒子是不可以分辨的，微观粒子全同性原理：全同粒子是不可以分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将任何两个全同在含有多个全同粒子的系统中，将任何两个全同粒子加以对换，不改变整个系统的微观运动状态。粒子加以对换，不改变整个系统的微观运动状态。这与经典粒子的情况是完全不同的，原因是这与经典粒子的情况是完全不同的，原因是经典粒子的运动是轨道运动，原则上可以跟踪经经典粒子的运动是轨道运动，原则上可以跟踪经典粒子的运动而加以辨认。典粒子的运动而加以辨认。微观粒子具有波粒二象性，它的运动不是轨道运微观粒子具有波粒二象性，它的运动不是轨道运动，原则上不可以跟踪量子粒子的运动动，原则上不可以跟踪量子粒子的运动第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布假设在假设在t=0t=0时，确知两个粒子的位置，由于与这两时，确知两个粒子的位置，由于与这两个粒子相联系的波动迅速扩散而相互重叠，在个粒子相联系的波动迅速扩散而相互重叠，在t0t0时在某一地点发现粒子时，已经不能辨认到底是时在某一地点发现粒子时，已经不能辨认到底是第一个还是第二个粒子第一个还是第二个粒子第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布既然全同粒子不可分辨，那么该如何描述由全同近既然全同粒子不可分辨，那么该如何描述由全同近独立粒子组成的系统的微观状态呢？独立粒子组成的系统的微观状态呢？确定在每一个个体量子态上的粒子数确定在每一个个体量子态上的粒子数对于三维自由粒子，只需要确定由每一组量子数对于三维自由粒子，只需要确定由每一组量子数n nx x，n ny y，n nz z所表征的个体量子态上各有多少个微观所表征的个体量子态上各有多少个微观粒子就可以了粒子就可以了根据自旋量子数可将微观粒子分为：根据自旋量子数可将微观粒子分为：费米子：自旋量子数为半整数，例如电子、质子、费米子：自旋量子数为半整数，例如电子、质子、中子自旋量子数都是中子自旋量子数都是1/21/2玻色子：自旋量子数为整数，如光子的自旋量子玻色子：自旋量子数为整数，如光子的自旋量子数为数为1 1，第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布在原子核、原子和分子等复合粒子中，凡是有玻在原子核、原子和分子等复合粒子中，凡是有玻色子构成的复合粒子时玻色子。由偶数个费米子色子构成的复合粒子时玻色子。由偶数个费米子构成的复合粒子为玻色子，由奇数个费米子构成构成的复合粒子为玻色子，由奇数个费米子构成的复合粒子为费米子。的复合粒子为费米子。1 1H H原子，原子，2 2H H核，核，4 4HeHe核，核，4 4HeHe原子等式玻色子原子等式玻色子2 2H H原子，原子，3 3H H核等是费米子核等是费米子费米系统：由费米子组成的系统，遵从泡利不相费米系统：由费米子组成的系统，遵从泡利不相容原理容原理玻色系统：由玻色子组成的系统玻色系统：由玻色子组成的系统第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布泡利不相容原理：由多个全同近独立的费米子的系泡利不相容原理：由多个全同近独立的费米子的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。玻尔兹曼系统：由可分辨的全同近独立粒子组成，玻尔兹曼系统：由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不收限制的系统。且处在一个个体量子态上的粒子数不收限制的系统。举例说明三个系统的区别举例说明三个系统的区别系统含有两个粒子，粒子的个体量子态有系统含有两个粒子，粒子的个体量子态有3 3个。个。第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布玻尔兹曼系统：粒子可以分辨，每一个量子态能够玻尔兹曼系统：粒子可以分辨，每一个量子态能够容纳的粒子数不受限制。容纳的粒子数不受限制。因为可以分辨，粒子记为因为可以分辨，粒子记为A A，B B9=39=32 2个不个不同状态同状态第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布波色系统：粒子不可分辨，每一个量子态能够容纳波色系统：粒子不可分辨，每一个量子态能够容纳的粒子数不受限制。的粒子数不受限制。因为不可分辨，粒子记为因为不可分辨，粒子记为A A，A A6 6个状态个状态费米系统：粒子不可分辨，每一个量子态只能够容费米系统：粒子不可分辨，每一个量子态只能够容纳一个粒子纳一个粒子因为不可分辨，粒子记为因为不可分辨，粒子记为A A，A A第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布3 3个不同的微观状态个不同的微观状态第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布四、等概率原理四、等概率原理宏观系统是用一些宏观物理量描述，如对于孤立系宏观系统是用一些宏观物理量描述，如对于孤立系统，用粒子数统，用粒子数N N，体积，体积V V和能量和能量E E就可以完全表征系就可以完全表征系统的平衡态，其余的热力学函数可以表示为这些物统的平衡态，其余的热力学函数可以表示为这些物理量的函数。理量的函数。对于具有确定粒子数对于具有确定粒子数N N，体积，体积V V和能量和能量E E的体系，系的体系，系统可能的微观状态数是大量的统可能的微观状态数是大量的例如：例如：系统含有两个粒子，粒子的个体量子态有系统含有两个粒子，粒子的个体量子态有3 3个，如个，如果它们的能量相等，对于玻尔兹曼系统，可能的微果它们的能量相等，对于玻尔兹曼系统，可能的微观状态数是观状态数是3 32 2=9=9。如果是。如果是10102323个粒子呢？并且系统个粒子呢？并且系统的个体量子态也远远不止的个体量子态也远远不止3 3个个第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布对于一确定的宏观状态，可能的微观状态是大量的对于一确定的宏观状态，可能的微观状态是大量的宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值，我们宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值，我们还需要知道还需要知道各个微观状态出现的概率各个微观状态出现的概率等概率原理：对于处在平衡状态的孤立系统，系统等概率原理：对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的各个可能的微观状态出现的概率是相等的等概率原理是统计物理中的一个基本假设，它的正等概率原理是统计物理中的一个基本假设，它的正确性是由它的种种推论都与客观实际相符而得到肯确性是由它的种种推论都与客观实际相符而得到肯定。它是平衡态统计物理的基础定。它是平衡态统计物理的基础既然这些微观状态同样的满足给定的宏观条件，没既然这些微观状态同样的满足给定的宏观条件，没有理由认为哪个状态出现的概率应当更大一些有理由认为哪个状态出现的概率应当更大一些第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布五、分布和微观状态五、分布和微观状态具具有有确确定定粒粒子子数数N N，能能量量E E和和体体积积V V的的系系统统，用用l l（l=1,2l=1,2，.）表表示示粒粒子子的的能能级级，l l表表示示l l的的简简并并度度，在在能能级级l l有有a al l个个粒粒子子，那那么么，系系统统的的微微观观状状态数有多少态数有多少用用aal l 表示数列表示数列a a1 1,a,a2 2,.,a,.,al l,.,.，称为一个分布，称为一个分布第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布分布分布aal l 必须满足必须满足对对于于一一给给定定的的分分布布aal l，可可能能的的微微观观状状态态数数仍仍然然是是大大量量的的，因因为为分分布布只只给给出出了了在在能能级级l l的的占占据据数数为为a al l，l l有有l l个个简简并并能能级级，a al l个个粒粒子子在在l l上上的的不不同同占占据将会给出不同的微观状态。据将会给出不同的微观状态。第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布对对于于玻玻尔尔兹兹曼曼系系统统，粒粒子子可可以以分分辨辨，每每个个状状态态上上的的占据数不受限制。占据数不受限制。考虑在考虑在l l个状态上占据个状态上占据a al l个粒子，可能的占据方式。个粒子，可能的占据方式。第第一一个个粒粒子子有有l l种种不不同同的的占占据据方方式式，第第二二个个粒粒子子不不受受第第一一个个粒粒子子的的影影响响，仍仍然然有有l l种种占占据据方方式式，因因此此，l l个状态上占据个状态上占据a al l个粒子的可能占据方式的数目为个粒子的可能占据方式的数目为a a1 1,a,a2 2,.,.个粒子分别占据个粒子分别占据1 1,2 2,.,.能级的方式能级的方式第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布粒粒子子可可以以分分辨辨，交交换换不不同同能能级级的的粒粒子子，将将得得到到系系统统的不同状态的不同状态将将N N个个粒粒子子加加以以交交换换，交交换换数数是是N N！。由由于于每每个个能能级级上上的的交交换换数数a al l！已已经经考考虑虑过过了了，因因此此，与与分分布布aal l 相相对应的微观状态数为对应的微观状态数为第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布玻玻色色系系统统，粒粒子子不不可可分分辨辨，但但每每个个个个体体量量子子态态能能够够容纳的粒子数不收限制。容纳的粒子数不收限制。考虑在考虑在l l个状态上占据个状态上占据a al l个粒子，可能的占据方式。个粒子，可能的占据方式。l l+a+al l-1-1的排列，共有的排列，共有(l l+a+al l-1)!-1)!种方式种方式粒粒子子不不可可分分辨辨，应应除除去去粒粒子子之之间间的的交交换换数数a al l！和和量量子子态之间的交换数态之间的交换数(l l-1)!-1)!可能的微观状态数为可能的微观状态数为第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布费费米米系系统统，粒粒子子不不可可分分辨辨，但但每每个个个个体体量量子子态态只只能能容纳一个粒子。容纳一个粒子。考虑在考虑在l l个状态上占据个状态上占据a al l个粒子，可能的占据方式。个粒子，可能的占据方式。这这相相当当于于从从l l个个量量子子态态取取出出a al l个个量量子子态态为为粒粒子子所所占占据据可能的微观状态数为可能的微观状态数为第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布三种系统微观状态数的关系三种系统微观状态数的关系当当任任一一能能级级l l上上的的粒粒子子数数均均远远小小于于该该能能级级的的简简并并度度l l时时第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布对于玻色系统对于玻色系统对于费米系统对于费米系统第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布当当系系统统满满足足“任任一一能能级级l l上上的的粒粒子子数数均均远远小小于于该该能能级的简并度级的简并度l l时时”，波色系统和费米系统都趋向于，波色系统和费米系统都趋向于“任任一一能能级级l l上上的的粒粒子子数数均均远远小小于于该该能能级级的的简简并并度度l l”就称为经典极限条件，也称为非简并性条件。就称为经典极限条件，也称为非简并性条件。玻玻色色和和费费米米系系统统，a al l个个粒粒子子占占据据能能级级l l上上的的l l个个量量子子态态是是存存在在相相互互影影响响的的（这这里里称称为为关关联联），但但在在经经典典极极限限条条件件满满足足的的情情况况下下，由由于于每每个个量量子子态态上上的的平平均粒子数均远小于均粒子数均远小于1 1，因此粒子间的关联可以忽略，因此粒子间的关联可以忽略第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布此此时时玻玻色色系系统统和和费费米米系系统统与与玻玻尔尔兹兹曼曼系系统统的的区区别别仅仅仅表现在仅表现在N N！上。这是粒子全同性原理的影响造成的。！上。这是粒子全同性原理的影响造成的。第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布经典统计中的分布和微观状态数。经典统计中的分布和微观状态数。经经典典系系统统采采用用N N个个粒粒子子的的广广义义坐坐标标和和广广义义动动量量来来描描述述微观运动状态，相应于微观运动状态，相应于空间的空间的N N个代表点。个代表点。粒子和系统的微观运动状态在原则上不可数的。粒子和系统的微观运动状态在原则上不可数的。为为了了计计算算微微观观状状态态数数，我我们们将将q qi i和和p pi i分分成成大大小小相相等等的的小间隔，使得小间隔，使得具有具有r r个自由度的粒子，个自由度的粒子，相应于相应于空间的一个相格空间的一个相格第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布我我们们认认为为在在同同一一个个相相格格中中的的点点，代代表表同同一一个个运运动动状状态态。很很明明显显h h0 0越越小小，对对微微观观运运动动状状态态的的描描述述就就越越精精确确。量量子子力力学学中中h h0 0的的最最小小值值为为普普朗朗克克常常量量h h，经经典典力力学学中中h h0 0原原则则上上可可取取任任意意小小的的数数值值。那那么么h h0 0的的不不同同取取值值将将会会对系统带来什么影响呢？对系统带来什么影响呢？将将空空间间划划分分为为许许多多体体积积元元l l(l=1,2,.)(l=1,2,.)。认认为为这这些些体体积积元元中中的的运运动动状状态态具具有有相相同同的的能能量量l l。那那么么在在体体积积元元l l中中具具有有微微观观状状态态l l/h/h0 0,相相当当于于量量子子力力学学中中的的简简并并度度。那那么么N N个个粒粒子子的的分分布布就就可可以以描描述述为为第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布在在同同一一个个相相格格内内的的经经典典粒粒子子没没有有限限制制，且且粒粒子子可可以以分辨，因此，与分布分辨，因此，与分布aal l 对应的微观状态数为对应的微观状态数为第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布六、玻尔兹曼分布六、玻尔兹曼分布分分布布aal l 的的微微观观状状态态数数是是大大量量的的，根根据据等等概概率率原原理理，对对于于处处在在平平衡衡状状态态的的孤孤立立系系统统，每每一一个个可可能能的的微微观观状状态态出出现现的的概概率率是是相相等等的的。因因此此，微微观观状状态态最最多多的的分布，出现的概率最大，称为最概然分布。分布，出现的概率最大，称为最概然分布。玻玻尔尔兹兹曼曼系系统统粒粒子子的的最最概概然然分分布布就就称称为为麦麦克克斯斯韦韦-玻玻尔兹曼分布，简称为玻尔兹曼分布尔兹曼分布，简称为玻尔兹曼分布当当m m极大时，存在极大时，存在第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布玻尔兹曼系统与分布玻尔兹曼系统与分布aal l 对应的微观状态数为对应的微观状态数为最最概概然然分分布布是是使使上上式式取取极极大大值值时时的的分分布布。两两边边取取对对数，可得数，可得假设假设a al l很大很大第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布如如果果a al l有有aal l的的变变化化，那那么么lnln将将有有lnln的的变变化化，lnln取极大的分布取极大的分布aal l 必使必使lnln=0=0考虑到考虑到则则其中其中，可取任意值可取任意值第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布由于由于aal l 满足满足确定确定，上上式式给给出出了了系系统统处处于于最最概概然然分分布布时时，能能级级l l上上的的粒粒子数子数第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布能能级级l l有有l l个个量量子子态态，处处在在其其中中任任何何一一个个量量子子态态的的平平均均粒粒子子数数应应该该是是相相同同的的。因因此此处处在在能能量量l l的的量量子子态态s s上的平均粒子数上的平均粒子数f fs s为为其中求和是对所有的量子态求和其中求和是对所有的量子态求和第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布讨论讨论1.1.极大值极大值lnln的二阶微分小于零的二阶微分小于零2.2.平衡状态下，可近似认为粒子处在玻尔兹曼分布平衡状态下，可近似认为粒子处在玻尔兹曼分布给定的给定的N,E,VN,E,V条件下，凡是满足条件下，凡是满足的的分分布布原原则则上上都都是是有有可可能能存存在在的的。但但是是与与最最概概然然分分布布相相比，它们的微观状态数几乎可以忽略比，它们的微观状态数几乎可以忽略第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布对玻尔兹曼分布有对玻尔兹曼分布有aal l偏离时，系统的微观状态数为偏离时，系统的微观状态数为假如对玻尔兹曼分布的相对偏离为假如对玻尔兹曼分布的相对偏离为对对玻玻尔尔兹兹曼曼分分布布哪哪怕怕产产生生非非常常小小的的偏偏离离，它它的的微微观观状状态态数与最概然分布的微观状态数相比也近乎为零数与最概然分布的微观状态数相比也近乎为零第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布3.3.推推导导中中假假如如a al l都都很很大大，这这在在实实际际上上往往往往并并不不满满足足。但但推推导导的的玻玻尔尔兹兹曼曼分分布布是是正正确确的的，可可以以通通过过系系综综理理论严格推导出来。论严格推导出来。4.4.前前面面推推导导中中考考虑虑的的只只是是一一种种粒粒子子，即即单单元元系系。对对于多个组元的系统，同样适用。于多个组元的系统，同样适用。对于经典系统对于经典系统第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布七、玻色分布和费米分布七、玻色分布和费米分布处处于于平平衡衡态态的的孤孤立立系系统统，具具有有确确定定的的粒粒子子数数N N，体体积积V V和和能能量量E E。粒粒子子的的能能级级为为l l，其其简简并并度度为为l l，a al l表表示示l l上的粒子数，那么上的粒子数，那么对于波色系统，系统可能的微观状态数为对于波色系统，系统可能的微观状态数为使使取极大的分布，即系统的最概然分布取极大的分布，即系统的最概然分布假设假设第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布上式中取对数上式中取对数则则存在存在则有则有lnln取极值的条件为取极值的条件为第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布由于由于则则采用拉格朗日乘子法，可得采用拉格朗日乘子法，可得因此因此第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布玻色分布，玻色爱因斯坦分布玻色分布，玻色爱因斯坦分布第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布对对费费米米系系统统采采用用类类似似的的方方法法，可可以以得得到到费费米米系系统统中中粒粒子子的的最最概概然然分分布布，即即费费米米狄狄拉拉克克分分布布，简简称称费费米米分布分布第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布能能级级l l有有l l个个量量子子态态，处处在在其其中中任任何何一一个个量量子子态态的的平平均均粒粒子子数数应应该该是是相相同同的的。因因此此处处在在能能量量l l的的量量子子态态s s上的平均粒子数上的平均粒子数f fs s为为玻玻色色分分布布和和费费米米分分布布分分别别给给出出了了玻玻色色系系统统和和费费米米系系统在最概然分布下处在能级统在最概然分布下处