理论力学第十一章冯维明主编.pptx

第十一章第十一章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理返回总目录Theoretical M echanics 第二篇第二篇 动动 力力 学学制作与设计制作与设计 山东大学山东大学 工程力学系工程力学系Theoretical Mechanics 引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯性力，并应用静力学方法研究动力学问题表示为惯性力，并应用静力学方法研究动力学问题 达朗贝尔原理。达朗贝尔原理。达朗贝尔原理将达朗贝尔原理将非自由质点系的动力学方程用静非自由质点系的动力学方程用静力学平衡方程的形式写出来。这种处理动力学问题力学平衡方程的形式写出来。这种处理动力学问题的方法，在工程中获得了广泛的应用的方法，在工程中获得了广泛的应用。达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束力；另一方面又应用于弹性杆件求解动应力。动约束力；另一方面又应用于弹性杆件求解动应力。引引引引 言言言言 返回首页 第十一章第十一章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 Theoretical Mechanics 11.1 惯性力惯性力质点的达朗贝尔原质点的达朗贝尔原理理 返回首页 第十一章第十一章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理Theoretical Mechanics11.1 惯性力惯性力质点的达朗贝尔原质点的达朗贝尔原理理F FN NFRF Fa ax xz zy yO OmA非自由质点非自由质点非自由质点非自由质点 A Am m 质量；质量；质量；质量；s sS 运动轨迹；运动轨迹；F FN N 约束力；约束力；约束力；约束力；F F 主动力；主动力；主动力；主动力；返回首页Theoretical MechanicsF FI I根据牛顿定律根据牛顿定律根据牛顿定律根据牛顿定律m a m a F F+F FN NF F+F FN N m a m a 0 0F F+F FN N F FI I 0 0非自由质点的达朗贝尔原理非自由质点的达朗贝尔原理非自由质点的达朗贝尔原理非自由质点的达朗贝尔原理 返回首页F FN NFRF Fa ax xz zy yO OmAs sF FI I m am a惯性力惯性力惯性力惯性力11.1 惯性力惯性力质点的达朗贝尔原质点的达朗贝尔原理理Theoretical Mechanics 惯性力惯性力惯性力惯性力FI=ma：质点在作非惯性运动的任意瞬时，对于施力于它的物体作用一个惯性力，这个力的方向与其加速度的方向相反，大小等于其质量与加速度的乘积。质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理 FFNFI=0：在质点运动的任意瞬时，如果在其质点上假想地加上一惯性力FI，则此惯性力与主动力、约束力在形式上组成一平衡力系。讨讨讨讨 论论论论 返回首页11.1 惯性力惯性力质点的达朗贝尔原质点的达朗贝尔原理理Theoretical Mechanics 对于质点本身，惯性力是假想的。但确有大小等对于质点本身，惯性力是假想的。但确有大小等对于质点本身，惯性力是假想的。但确有大小等对于质点本身，惯性力是假想的。但确有大小等于于于于ma的力的力的力的力-ma存在，它作用在使质点运动状态发生存在，它作用在使质点运动状态发生存在，它作用在使质点运动状态发生存在，它作用在使质点运动状态发生改变的物体上。改变的物体上。改变的物体上。改变的物体上。例如，人推车前进，这例如，人推车前进，这个力向后作用在人手上。个力向后作用在人手上。正是通过这个力，我们感正是通过这个力，我们感到了物体运动的惯性，称到了物体运动的惯性，称这个力为惯性力。这个力为惯性力。惯性力惯性力惯性力惯性力 返回首页11.1 惯性力惯性力质点的达朗贝尔原质点的达朗贝尔原理理Theoretical MechanicsF F+F FN N F FI I 0 0应用达朗贝尔原理求解非应用达朗贝尔原理求解非应用达朗贝尔原理求解非应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法自由质点动约束力的方法自由质点动约束力的方法自由质点动约束力的方法动静法动静法1.分析质点所受的主动力和约束力。分析质点所受的主动力和约束力。2.分析质点的运动，确定加速度。分析质点的运动，确定加速度。3.在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理 返回首页11.1 惯性力惯性力质点的达朗贝尔原质点的达朗贝尔原理理Theoretical Mechanics非自由质点达朗贝尔原理的投影形式非自由质点达朗贝尔原理的投影形式非自由质点达朗贝尔原理的投影形式非自由质点达朗贝尔原理的投影形式 返回首页11.1 惯性力惯性力质点的达朗贝尔原质点的达朗贝尔原理理 Theoretical Mechanics 11.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理 返回首页 第十一章第十一章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理Theoretical Mechanicsa a2 2a a1 1a ai iF F1 1F F2 2F Fi iF FN1N1F FN2N2F FN Ni iF FI1I1F FI2I2F FI Ii im m1 1m mi im m2 2质点系的主动力系质点系的主动力系质点系的主动力系质点系的主动力系质点系的约束力系质点系的约束力系质点系的约束力系质点系的约束力系质点系的惯性力系质点系的惯性力系质点系的惯性力系质点系的惯性力系 返回首页11.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理Theoretical Mechanics 在质点系中。取质量为mi的质点研究。a a2 2a a1 1a ai iF F1 1F F2 2F Fi iF FN1N1F FN2N2F FN Ni iF FI1I1F FI2I2F FI Ii im m1 1m mi im m2 2 由质点的达朗贝尔原理可知，FIi、Fi、FNi将组成一平衡力系。返回首页 在任意瞬时，该质点在主动力Fi、约束力FN i作用下，加速度为ai。在此质点上假想地加上一惯性力 FI imiai 11.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理Theoretical Mechanicsa a2 2a a1 1a ai iF F1 1F F2 2F Fi iF FN1N1F FN2N2F FN Ni iF FI1I1F FI2I2F FI Ii im m1 1m mi im m2 2 对于整个质点系来说，在运动的任意瞬时，虚加于质点系上各质点的惯性力与作用于该系上的主动力、约束力将组成一平衡力系，即 返回首页11.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理Theoretical Mechanics 质点系的达朗贝尔原理：在运动的任意瞬时，虚加于质点系上各质点的惯性力与作用于该系上的外力将组成一平衡力系。对质点系应用达朗贝尔原理，由动静法得到对质点系应用达朗贝尔原理，由动静法得到对质点系应用达朗贝尔原理，由动静法得到对质点系应用达朗贝尔原理，由动静法得到另一种表示另一种表示另一种表示另一种表示 返回首页11.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理Theoretical Mechanics例例 题题例 球磨机的滚筒以匀角速度 绕水平轴O转动，内装钢球和需要粉碎的物料。钢球被筒壁带到一定高度的A处脱离筒壁，然后沿抛物线轨迹自由落下，从而击碎物料。设滚筒内壁半径为r，试求脱离处半径OA与铅直线的夹角1（脱离角）。解：以随着筒壁一起转动、尚未脱离筒壁的某个钢球为研究对象，它所受到的力有重力P、筒壁的法向约束力FN和切向摩擦力F及惯性力FI，如图所示。返回首页11.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理Theoretical Mechanics 钢球随着筒壁作匀速圆周运动，只有法向惯性力I，大小 ，方向背离中心 O。列出沿法线方向的平衡方程：脱离角当 时，10，钢球始终不脱离筒壁，球磨机不工作。钢球不脱离筒壁的角速度 为了保证钢球在适当的角度脱离筒壁，故要求 返回首页例例 题题11.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理Theoretical Mechanics例 质量为m的均质杆AB用球铰链A和绳子BC与铅垂轴OD相连，绳子在C点与重量可略去的小环相连，小环可沿轴滑动，如图所示。设ACBCl，CDOAl/2，该系统以角速度匀速转动，求绳子的张力、铰链A的约束力及轴承O、D的附加动约束力。解：研究AB杆，画受力图其作用点在距A点 AB处首先将AB杆上三角形分布的惯性力简化 返回首页例例 题题11.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理Theoretical Mechanics由达朗贝尔原理 返回首页例例 题题11.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理研究整体，画受力图，解得 FOymg 附加动约束力为Theoretical Mechanics 返回首页例例 题题由达朗贝尔原理 11.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理Theoretical Mechanics例 图中飞轮的质量为 m，平均半径为R，以匀角速度 绕其中心轴转动。设轮缘较薄，质量均匀分布，轮辐的质量忽略不计。若不考虑重力的影响，求轮缘各横截面的张力。解 截取半个飞轮研究，由对称条件，两截面处内力相同，即F1T=F2T=FT。飞轮作匀角速度 转动，半圆环的惯性力分布如图示，对应于微小单元体积的惯性力dFI为 返回首页例例 题题11.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理Theoretical Mechanics式中 ，为单位弧长的质量。由动静法，这半圆环两端的拉力F1T、F2T与分布的惯性力系dFI组成平衡力系。由平衡方程 飞轮匀速转动时，轮缘各截面的张力相等，张力的大小与转动角速度的平方成正比，与其平均半径成正比。返回首页例例 题题11.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理 Theoretical Mechanics 11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 返回首页 第十一章第十一章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理Theoretical Mechanics11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的刚体惯性力系的刚体惯性力系的刚体惯性力系的特点特点特点特点 刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及刚体刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及刚体刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及刚体刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及刚体上各点的绝对加速度有关。上各点的绝对加速度有关。上各点的绝对加速度有关。上各点的绝对加速度有关。FIi-miai 对于平面问题，刚体的惯性力为面积力，组成对于平面问题，刚体的惯性力为面积力，组成对于平面问题，刚体的惯性力为面积力，组成对于平面问题，刚体的惯性力为面积力，组成平面力系。平面力系。平面力系。平面力系。对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，组成对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，组成对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，组成对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，组成空间一般力系。空间一般力系。空间一般力系。空间一般力系。在用达朗伯原理研究刚体的运动时，必须研究在用达朗伯原理研究刚体的运动时，必须研究在用达朗伯原理研究刚体的运动时，必须研究在用达朗伯原理研究刚体的运动时，必须研究其简化问题。其简化问题。其简化问题。其简化问题。以刚体质心为简化中心。以刚体质心为简化中心。以刚体质心为简化中心。以刚体质心为简化中心。返回首页Theoretical Mechanics刚体惯性力系的主矢与刚体运动形式无关刚体惯性力系的主矢与刚体运动形式无关刚体惯性力系的主矢与刚体运动形式无关刚体惯性力系的主矢与刚体运动形式无关惯性力系的主矢惯性力系的主矢惯性力系的主矢惯性力系的主矢 惯性力系的主矢等于刚体的质量与刚体质心惯性力系的主矢等于刚体的质量与刚体质心惯性力系的主矢等于刚体的质量与刚体质心惯性力系的主矢等于刚体的质量与刚体质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。这一简化结果与运动形式无关。这一简化结果与运动形式无关。这一简化结果与运动形式无关。这一简化结果与运动形式无关。把刚体质心坐标公式 对时间取二阶导数得：得：得：得：返回首页11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化Theoretical Mechanics惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关惯性力系的主矩惯性力系的主矩惯性力系的主矩惯性力系的主矩过过C作平动坐标系，将刚体运动分解为平动及转动作平动坐标系，将刚体运动分解为平动及转动LC为刚体相对质心的动量矩 返回首页11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化Theoretical Mechanics1.1.平移平移平移平移刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。力。力。力。其方向与平移加速度的方向相反，大小等于其方向与平移加速度的方向相反，大小等于其方向与平移加速度的方向相反，大小等于其方向与平移加速度的方向相反，大小等于刚体质量与加速度的乘积刚体质量与加速度的乘积刚体质量与加速度的乘积刚体质量与加速度的乘积。以刚体质心为简化中心以刚体质心为简化中心以刚体质心为简化中心以刚体质心为简化中心 返回首页11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化Theoretical Mechanics2.2.定轴转动定轴转动定轴转动定轴转动以刚体质心为简化中心以刚体质心为简化中心以刚体质心为简化中心以刚体质心为简化中心 结论：当刚体绕定轴转动时，惯性力系向质心简化得结论：当刚体绕定轴转动时，惯性力系向质心简化得结论：当刚体绕定轴转动时，惯性力系向质心简化得结论：当刚体绕定轴转动时，惯性力系向质心简化得一个一个一个一个力和一个力偶力和一个力偶力和一个力偶力和一个力偶。这个力等于刚体的质量与质心加速度的乘积，。这个力等于刚体的质量与质心加速度的乘积，。这个力等于刚体的质量与质心加速度的乘积，。这个力等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反；这个力偶的矩矢等于刚体相对方向与质心加速度方向相反；这个力偶的矩矢等于刚体相对方向与质心加速度方向相反；这个力偶的矩矢等于刚体相对方向与质心加速度方向相反；这个力偶的矩矢等于刚体相对质心的动量矩对时间的一阶导数。质心的动量矩对时间的一阶导数。质心的动量矩对时间的一阶导数。质心的动量矩对时间的一阶导数。力偶矩矢的大小、方向。力偶矩矢的大小、方向。力偶矩矢的大小、方向。力偶矩矢的大小、方向。返回首页11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化Theoretical Mechanics向转轴上任一点O简化 主矢主矢主矢主矢主矩：主矩：主矩：主矩：以简化中心O为坐标原点。设刚体的角速度为，角加速度为，刚体内任一质点的质量为mi，到转轴的垂直距离为ri，质点的坐标为xi、yi、zi。质点的惯性力分解为切向惯性力 法向惯性力 返回首页11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化Theoretical Mechanics惯性力系对x轴的矩惯惯惯惯性性性性积积积积惯性力系对于y轴的矩 返回首页11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化Theoretical Mechanics惯性力系对于z轴的矩转动转动惯量惯量 结论：当刚体绕定轴转动时，惯性力系向转轴上任一点简化得结论：当刚体绕定轴转动时，惯性力系向转轴上任一点简化得一个力和一个力偶一个力和一个力偶。这个力等于刚体的质量与质心加速度的乘。这个力等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反；这个力偶的矩矢在直角坐标积，方向与质心加速度方向相反；这个力偶的矩矢在直角坐标轴上的投影，分别等于惯性力系对于三个轴的矩。轴上的投影，分别等于惯性力系对于三个轴的矩。返回首页11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化Theoretical Mechanics 如果刚体有对称平面S，并且该平面与转轴z垂直，则惯性力系简化为在对称面内的平面力系。向转轴上点O简化 主矢主矢主矢主矢主矩：主矩：主矩：主矩：对称平面的刚体绕垂直于该平面的轴转动时，惯性力系简化为在平面内的一个力和一个力偶。返回首页11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化Theoretical Mechanics 具有对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动时，惯具有对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动时，惯具有对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动时，惯具有对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动时，惯性力系向固定轴简化的结果，得到一个合力和一个合力偶。性力系向固定轴简化的结果，得到一个合力和一个合力偶。性力系向固定轴简化的结果，得到一个合力和一个合力偶。性力系向固定轴简化的结果，得到一个合力和一个合力偶。合力的矢量即为惯性力系的主矢，其大小等于刚体质量与质合力的矢量即为惯性力系的主矢，其大小等于刚体质量与质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度方向相反。心加速度大小的乘积，方向与质心加速度方向相反。合力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩，其大小等于刚体对转合力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩，其大小等于刚体对转动轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度方向相反。动轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度方向相反。如果刚体有对称面如果刚体有对称面 S，它与转轴垂直，交点，它与转轴垂直，交点O 恰好是刚体恰好是刚体的质心，则的质心，则 ，惯性力系简化为一个力偶，力，惯性力系简化为一个力偶，力偶的作用平面为对称面。偶的作用平面为对称面。返回首页11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化Theoretical Mechanics3.3.平面运动平面运动平面运动平面运动 具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对称平面互相平行。对于这种情形，先平面与质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质量对称平面内简化，得将刚体的空间惯性力系向质量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力系，然后再对平面惯性到这一平面内的平面惯性力系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。力系作进一步简化。返回首页11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化Theoretical Mechanics以刚体质心为简化中心以刚体质心为简化中心以刚体质心为简化中心以刚体质心为简化中心主矢：主矢：主矢：主矢：主矩：主矩：主矩：主矩：MI=IC 具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对称平面互相平行。这种情形下，惯性平面与质量对称平面互相平行。这种情形下，惯性力系向质心简化的结果得到一个合力和一个合力偶，力系向质心简化的结果得到一个合力和一个合力偶，二者都位于质量对称平面内。二者都位于质量对称平面内。返回首页11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化Theoretical Mechanics 合力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩，其大小合力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩，其大小等于刚体对通过质心的转动轴的转动惯量与角加等于刚体对通过质心的转动轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度方向相反。速度的乘积，方向与角加速度方向相反。合力的矢量即为惯性力系的主矢，其大小等于合力的矢量即为惯性力系的主矢，其大小等于刚体质量与质心加速度大小的乘积，方向与质心刚体质量与质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度方向相反。加速度方向相反。MI=IC 返回首页11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化Theoretical Mechanics 刚体惯性力系的简化结果刚体惯性力系的简化结果 刚体惯性力系的主矢与刚体运动形式无关刚体惯性力系的主矢与刚体运动形式无关刚体惯性力系的主矢与刚体运动形式无关刚体惯性力系的主矢与刚体运动形式无关1.1.平移平移平移平移2.2.定轴转动定轴转动定轴转动定轴转动3.3.平面运动平面运动平面运动平面运动 返回首页11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化Theoretical Mechanics 惯性力系的主矩惯性力系的主矩惯性力系的主矩惯性力系的主矩 惯性力系的主矩与刚体的惯性力系的主矩与刚体的惯性力系的主矩与刚体的惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。运动形式有关。运动形式有关。运动形式有关。1.1.平移平移平移平移2.2.定轴转动定轴转动定轴转动定轴转动3.3.平面运动平面运动平面运动平面运动 刚体惯性力系的简化结果刚体惯性力系的简化结果 返回首页11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化Theoretical Mechanics例例 题题例 长度为 、质量为m的均质杆AB静置于半径为r的光滑圆槽内。当圆槽以匀加速度a在水平面上运动时，AB杆的平衡位置用角表示。如果要求AB杆在30时保持平衡，试求此时圆槽的加速度a应该多大？作用在AB杆上的约束力FAR、FBR分别是多少？不计摩擦。解：这是刚体的平行移动问题，研究杆AB，画受力图，其中惯性力为 返回首页11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化Theoretical Mechanics杆AB惯性力为由达朗贝尔原理由达朗贝尔原理 FARFBR；解得：a2.625 m/s2；0.732mg 返回首页例例 题题11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化Theoretical Mechanics例 图示圆轮的质量m2 kg，半径r150 mm，质心离几何中心O的距离e50 mm，轮对质心的回转半径75mm。当轮滚而不滑时，它的角速度是变化的。在图示C、O位于同一高度之瞬时，12rad/s。求此时轮的角加速度。解：这是刚体的平面运动问题，研究圆轮。设角加速度和受力分析如图所示，其中 返回首页例例 题题11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化Theoretical Mechanics由达朗贝尔原理由运动学关系 返回首页例例 题题11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化Theoretical Mechanics得得负号表示方向与图示方向相反。返回首页例例 题题11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化Theoretical Mechanics例 图中均质杆AB的长度为l，质量为m，可绕O轴在铅直面内转动，OA=，用细线静止悬挂在图示水平位置。若将细线突然剪断，求AB杆运动到与水平线成角时，转轴O的约束力。解：设 AB杆转至 角位置时，角速度、角加速度为、。质心 C 至转轴 O 的距离OC=，因此质心的加速度、杆对转轴的转动惯量分别为 返回首页例例 题题11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化Theoretical Mechanics虚加于转轴O处的惯性力主矢、主矩，大小为 它们与重力mg，轴承约束力FOx、FOy在形式上组成一平衡力系。返回首页例例 题题11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化Theoretical Mechanics分离变量、积分，即 返回首页例例 题题由达朗贝尔原理11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化Theoretical Mechanics解得AB杆转动至角位置时的轴承约束力 由此可以看出，运用达朗贝尔原理，可用平衡方程的形式建立动力学方程式，为了求解角速度，仍需进行积分计算。也可先用动能定理解出，再用达朗贝尔原理解出FOx、FOy。这种做法具有一定的普遍意义。返回首页例例 题题11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 Theoretical Mechanics 11.4 绕定轴转动刚体的轴承动反力绕定轴转动刚体的轴承动反力 返回首页 第十一章第十一章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理Theoretical Mechanics11.4 绕定轴转动刚体的轴承动反力绕定轴转动刚体的轴承动反力在工程实际中，通常将转动机械的转动部件称为转子。如果忽略其本身的变形，转子是定轴转动的刚体。转子运转时，由于偏心和偏角误差将产生惯性力。动压力：转子处于运行状态作用于轴承上的力。静压力：转子处于静止状态作用于轴承上的力。附加动压力：动压力与静压力之差。以上是转子对轴承的作用，如果考虑轴承对转子的作用，则分别称为静约束力、动约束力和附加动约束力。返回首页Theoretical Mechanics附加动约束力的计算方法 在一般情况下，刚体在主动力F1，F2，Fn作用下绕定轴AB转动。设 Ax1y1z1 为定坐标系，Axyz为与刚体固连的动坐标系。在图示位置，动坐标系与定坐标系重合。质心 C和转动惯量、惯性积分别为C(xC、yC、zC)、Iz、Ixz、Iyz，A与 B 的距离为l。轴承动约束力分别为FAx、FAy、FAz、FBx、FBy。在图示瞬时，设动坐标系的角位移、角速度、角加速度分别为 =k，=k，=k。A 返回首页11.4 绕定轴转动刚体的轴承动反力绕定轴转动刚体的轴承动反力ATheoretical Mechanics刚体上的惯性力系向A点简化的主矢和主矩为 根据达朗贝尔原理，它们与主动力F1，F2，Fn，约束力 FAx、FAy、FAz、FBx、Fby 在形式上组成一空间的平衡力系。返回首页11.4 绕定轴转动刚体的轴承动反力绕定轴转动刚体的轴承动反力Theoretical Mechanics平衡方程：A 此方程组的最后一个方程式不包含轴承约束力，这表明：惯性力主矩只作用在促使该刚体加速（或减速）转动的物体上。返回首页11.4 绕定轴转动刚体的轴承动反力绕定轴转动刚体的轴承动反力Theoretical Mechanics求出此瞬时轴承的动约束力：返回首页11.4 绕定轴转动刚体的轴承动反力绕定轴转动刚体的轴承动反力Theoretical Mechanics 满足以下条件时，才能消除附加动约束力xCyC0 IxzIyz0 即：为了消除轴承的附加动约束力，刚体绕定轴转动时，刚体的转轴必须是中心惯性主轴。返回首页 轴承动约束力由两部分组成：一是由主动力引起的，与运动无关，为静约束力；二是由惯性力主矢、主矩引起的，为附加动约束力。11.4 绕定轴转动刚体的轴承动反力绕定轴转动刚体的轴承动反力Theoretical Mechanics例例 题题例 一电动机水平放置，转子质量m300 kg，对其转轴z的回转半径0.2 m。质心偏离转轴e2 mm。已知该电动机在起动过程中的起动力矩M150 kNm，当转子转至图示的瞬时位置，转速n2400r/min。试求此瞬时转子的角加速度和轴承的动约束力。不计轴承的摩擦。解：首先，运用方程组中的最后一个方程式，计算图示瞬时的角加速度，即 返回首页11.4 绕定轴转动刚体的轴承动反力绕定轴转动刚体的轴承动反力Theoretical Mechanics而此瞬时的角速度为由此可得质心C的加速度：惯性力系向O点简化的主矢、主矩为方向如图 返回首页例例 题题11.4 绕定轴转动刚体的轴承动反力绕定轴转动刚体的轴承动反力Theoretical Mechanics 根据空间力系的平衡条件，列平衡方程并计算轴承约束力为 返回首页例例 题题11.4 绕定轴转动刚体的轴承动反力绕定轴转动刚体的轴承动反力Theoretical Mechanics在y向的静约束力和附加动约束力分别为 返回首页例例 题题11.4 绕定轴转动刚体的轴承动反力绕定轴转动刚体的轴承动反力Theoretical Mechanics附加动约束力与静约束力之比为 由此可见，仅仅由于质心偏离转轴2mm，轴承的附加动约束力竟高达静约束力的12.89倍。这说明，在制造安装转速比较高的转子时，必须尽量减小质心偏离转轴的距离e。返回首页例例 题题11.4 绕定轴转动刚体的轴承动反力绕定轴转动刚体的轴承动反力