理学高等数学二0.pptx

高等数学l第二章第二章 导数与微分导数与微分 导数(Derivative)是反映函数相对于自变量的变化快慢程度,微分(Differential)指明了当自变量有微小变化时引起函数变化的大小,它们是微分学(Differential calculus)的重要概念,在理论研究和生产实践中有着非常广泛的应用.在这一章里我们主要介绍导数和微分的概念和它们的计算方法.第二章函数的导数与微分第二章函数的导数与微分绪绪n第一节 导数的概念n第二节 函数的微分法n第三节 高阶导数n第四节 隐函数和参数方程求导n第五节 函数的微分n第二章小结第第二二章章函函数数的的导导数数与与微微分分目目 录录n学习要点：学习要点：n1.函数在一点的导数和导函数的定义；n2.左、右导数；n3.导数的几何与物理意义。n绪绪n导数的概念是函数变化率概念的一个精确描述,是变量的变n化速度在数学上的抽象,是研究函数各种性态的有效工具.n1817年捷克数学家波尔察诺在他发表的论文纯粹分析证n明中第一个把函数的导数定义为当自变量增量趋于零时,n函数增量与自变量增量比值的极限,并引入了左右导数的概n念。第一节第一节 导数的概念导数的概念第第二二章章函函数数的的导导数数与与微微分分一、引例一、引例 导数是客观世界中许多自然现象在数量关系上抽象出来的概念.它源于对切线、极值和运动速度等问题的处理，如物体运动的瞬时速度,曲线的切线斜率,非恒稳的电流强度等都是导数的问题.实例实例1 1 变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度.设某质点沿直线作变速运动设某质点沿直线作变速运动,其运动方程为其运动方程为s=f(t),s=f(t),求质点在质点在t0时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度.设质点于时刻设质点于时刻t t在数轴上的位置的坐标为在数轴上的位置的坐标为s,s,取从取从时刻时刻t t0 0到到t t0 0+t+t这样一个时间间隔，在这段时间内这样一个时间间隔，在这段时间内质点的平均速度为质点的平均速度为于是质点在时刻于是质点在时刻t t0 0的瞬时速度为的瞬时速度为实例实例2 2 曲线的切线斜率曲线的切线斜率设曲线的方程为设曲线的方程为y=f(x),在点在点M(x0,y0)处的附近取处的附近取一点一点N(x0+x,y0+y)，那么，那么割线割线MN的斜率为的斜率为当点当点N沿曲线趋向沿曲线趋向M时，割线时，割线 在在M点处的切线，此时的切线点处的切线，此时的切线MN的极限位置的极限位置MT就就曲线上曲线上斜率为斜率为二、导数定义 1.定义1:设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量在x0处取得增量x(x0+x)点仍在该邻域）时，相应地函数取得增量y=f(x0+x)-f(x0),若极限存在，则称函数f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数在点x0 处的导数(derivative),记为即变速直线运动的瞬时速度:曲线的切线斜率:2.定义1的等价形式：3.左、右导数:函数在点x0处的导数是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，记 这两个极限分别称为函数f(x)在点x0处的左导数(leftderivative)和右导数(progressive derivative)，函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是f(x)在点x0处左导数和右导数都存在且相等。4.导函数的定义:如果函数y=f(x)在区间I内每一点x都可导，则称函数y=f(x)在区间I内可导。此时，对任何点xI都对应一个导数值这一对应关系确定了一个新的函数称为函数y=f(x)的导函数 简称导数 记作5.求导数的步骤：(1)求增量(2)算比值(3)求极限例1解例2.求函数解:对一般幂函数(为常数)例3解特别地例4解特别地例5解类似可证得例例6 6解三、导数的几何意义与物理意义1.几何意义切线方程为法线方程为例例7 求曲线在点（1，1）处的切线和法线方程。解所以切线方程为所以法线方程为例8解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为*练习：练习：问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:令得对应则在点(1,1),(1,1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线2.2.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.交流电路:电量对时间的导数为电流强度.非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.四、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点 x 处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点 x 连续.注意:函数在点x连续未必可导.反例:在x=0处连续,但不可导.即内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;n学习要点：学习要点：n1.四则运算求导法则；n2.复合函数求导法则；n3.导数基本公式。n绪绪n求导数的方法称为微分法。用定义只能求出一些较简单的n函数的导数（常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函n数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。本n节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这n些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数初等函n数的导数，从而是初等函数的求导问题系统化，简单化。第二节第二节 函数的微分法函数的微分法第第二二章章函函数数的的导导数数与与微微分分一、四则运算求导法则 定理定理1:1:的和、差、积、商(除分母为 0的点外)都在点 x 可导,且则推论:(C为常数)解 例1 例2 yex(sin xcos x)求y 2excos x 解 y(ex)(sin xcos x)e x(sin xcos x)e x(sin xcos x)e x(cos x sin x)例3 ysec x 求y 例3解二、反函数的求导法则 定理2：y 的某邻域内单调可导,证:在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此则 例5 求(arctan x)及(arccot x)解 因为因为yarctan x是是xtan y的反函数的反函数 所以所以 例4 求求(arcsin x)及及(arccos x)解 因为因为yarcsin x是xsin y的反函数的反函数 所以所以在点 x 可导,三、复合函数求导法则定理3：在点可导.复合函数且在点 x 可导,证:在点 u 可导,故（当 时 )故有则 例6 例7.求下列导数:解:(1)(2)解 函数函数212sinxxy是由是由ysin u 212xxu复合而成的复合而成的 因此因此dxdududydxdy 例8 例9 解 解 四、基本求导法则与导数公式 1.常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数2.2.导数的四则运算法则导数的四则运算法则(C为常数为常数)4.4.复合函数求导法则复合函数求导法则3.3.反函数求导法则反函数求导法则 例10.求求解:由于由于例11.设设解:求求例12.求求解:例13.若若存在存在 ,求求的导数的导数.这两个记号含义不同这两个记号含义不同例14解本节小结注意:分段函数求导时分段函数求导时,分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.反函数的求导法则反函数的求导法则（注意成立条件）（注意成立条件）;复合函数的求导法则复合函数的求导法则（注意函数的复合过程（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链合理分解正确使用链导法）导法）;已能求导的函数已能求导的函数:可分解成基本初等函数可分解成基本初等函数,或常或常数与基本初等函数的和、差、积、商数与基本初等函数的和、差、积、商.关键关键:正确分解初等函数的复合结构正确分解初等函数的复合结构.n学习要点：学习要点：n1.高阶导数的定义；n2.高阶导数数的求法；n3.特殊函数的n阶导数。第三节第三节 高阶导数高阶导数第第二二章章函函数数的的导导数数与与微微分分一、高阶导数的概念速度速度即即加速度加速度即即引例：变速直线运动变速直线运动定义定义.若函数若函数的导数的导数可导可导,或或即即或类似地类似地 ,二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为阶导数的导数称为 n 阶导数阶导数,或或的二阶导数的二阶导数,记作记作的导数为的导数为依次类推依次类推 ,分别记作分别记作则称则称所以所以y 3y10 证明 例1 证明证明 函数函数22xxy满足关系式满足关系式013 yy 设设求求解解:依次类推依次类推 ,例2.思考思考:设设问问可得可得例3.设设求求解:特别有特别有:解:规定规定 0!=1例4.设设求求例5.设设解:一般地一般地 ,类似可证类似可证:二、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数,则(C为常数)莱布尼兹(Leibniz)公式及设函数例6.求解:设则代入莱布尼兹公式,得(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法 利用已知的高阶导数公式(4)利用莱布尼兹公式高阶导数的求法如,例例7.如何求下列函数的如何求下列函数的 n 阶导数阶导数?解:解:(3)解:n学习要点：学习要点：n1.隐函数求导方法；n2.取对数求导法；n3.参数方程所确定的函数求导法。第四节第四节 隐函数和参数方程求导隐函数和参数方程求导第第二二章章函函数数的的导导数数与与微微分分一、隐函数的导数显函数与隐函数显函数与隐函数 形如形如y f(x)的函数称为显函数的函数称为显函数 例如例如 y sin x y ln x ex 都是显函数都是显函数 由方程由方程F(x y)0所确的函数称为隐函数所确的函数称为隐函数 把一个隐函数化成显函数把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化叫做隐函数的显化 例如例如 方程方程x y3 1 0确定的隐函数为确定的隐函数为 隐函数的求导法隐函数的求导法 把方程两边分别对把方程两边分别对x x求导数求导数 然后从所得的新的方然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出程中把隐函数的导数解出.例1 求由方程求由方程ey xy e 0所确定的隐函数所确定的隐函数y的导数的导数 (ey)(xy)(e)(0)即即 eyyy+xy0 方程中每一项对方程中每一项对x求导得求导得 解 例2 求由方程求由方程y52yx3x70所确定的隐函数所确定的隐函数yf(x)在在 x0处的导数处的导数y|x0 因为当因为当x 0时时 从原方程得从原方程得y 0 所以所以 5y4y2y121x60方程两边分别对方程两边分别对x求导数得求导数得 解 例3.求椭圆求椭圆在点在点处的切线方程处的切线方程.解:椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导故切线方程为故切线方程为即即 解 上式两边再对上式两边再对x x求导求导 得得 的二阶导数的二阶导数 例4 方程两边对方程两边对x求导求导 得 求由方程求由方程0sin21yyx所确定的隐函数所确定的隐函数y 于是于是 ydxdycos22 y f(x)ln f(x)对数求导法适用于求幂指函数对数求导法适用于求幂指函数y u(x)v(x)的导数及的导数及多因子之积和商的导数多因子之积和商的导数 此方法是先在此方法是先在y f(x)的两边取对数的两边取对数 然后用隐函数然后用隐函数求导法求出求导法求出y的导数的导数 设设y f(x)两边取对数两边取对数 得得ln y ln f(x)两边对两边对x 求导求导 得得对数求导法 例5 求求y x sin x(x0)的导数的导数 解法二解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求这种幂指函数的导数也可按下面的方法求.解法一解法一 上式两边对上式两边对x 求导求导 得得 两边取对数两边取对数 得得 ln ysin xln x yx sin xe sin xln x 于是于是)1sinln(cosxxxxyy 上式两边对上式两边对x x求导求导 得得 说明 严格来说严格来说 本题应分本题应分x 4 x 1 2 x 3三种情三种情况讨论况讨论 但结果都是一样的但结果都是一样的 例6 先在两边取对数先在两边取对数 得得 解 求函数求函数)4)(3()2)(1(xxxxy的导数的导数 于是于是)41312111(2xxxxyy 设设x j(t)具有反函数具有反函数t j-1(x)且且t j-1(x)与与y y(t)构构成复合函数成复合函数y yj-1(x)若若x j(t)和和y y(t)都可导都可导 则则二、由参数方程所确定的函数的导数 设设 y 与与 x 的函数关系的函数关系是是由由参数方程参数方程)()(tytxyj确定确定的的 即即 )()(ttdxdyjy或或dtdxdtdydxdy 解 例例7 7求椭圆求椭圆tbytaxsincos在相应于在相应于4 pt点处点处的切线方程的切线方程 所求所求切线的斜率为切线的斜率为abdxdyt4p 切点的坐标为切点的坐标为224 cos0aaxp 切线方程为切线方程为)22(22axabby 即即 bxay2ab 0 容易漏掉的函数的函数y f(x)的二阶导数的二阶导数 解 (t2np n为整数为整数)例例8 计算由摆线的参数方程计算由摆线的参数方程)cos1()sin(tayttax所确定所确定 三、相关变化率为两可导函数为两可导函数之间有联系之间有联系之间也有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对 t 求导求导得相关变化率之间的关系式得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率例9解4000m水面上升之速率水面上升之速率例10.一气球从离开观察员一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升处离地面铅直上升,其速率为其速率为当气球高度为当气球高度为 500 m 时时,观察员观察员视线的仰角增加率是多少视线的仰角增加率是多少?解:设气球上升设气球上升 t 分后其高度为分后其高度为h,仰角为仰角为 ,则则两边对两边对 t 求导求导已知已知 h=500m 时,本节小结隐函数求导法则隐函数求导法则:直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法:对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求按隐函数的求 导法则求导导法则求导;参数方程求导参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率变化率;解法解法:通过建立两者之间的关系通过建立两者之间的关系,用链用链 式求导法求解式求导法求解.n学习要点：学习要点：n1.函数的微分定义；n2.微分基本公式；n3.微分运算法则；n4.微分在近似计算中的应用。第第二二章章函函数数的的导导数数与与微微分分第五节第五节 函数的微分函数的微分一、微分的概念 引例引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为设薄片边长为x,面积为面积为A,则则面积的增量为面积的增量为关于关于x 的的线性主部线性主部高阶无穷小高阶无穷小时为时为故故称为函数在称为函数在 的微分的微分当当x在在取取得增量得增量时时,变到变到其其的微分的微分,定义定义:若函数若函数在点在点 的增量可表示为的增量可表示为(A 为不依赖于为不依赖于x 的常数的常数)则称函数则称函数而而 称为称为记作记作即即定理定理:函数函数在点 可微的充要条件充要条件是即即在点在点可微,例例1 1 求函数求函数y x2在在x 1和和x 3处的微分处的微分 dy(x2)|x1Dx2Dx 函数函数y x2在在x 3处的微分为处的微分为 dy(x2)|x3Dx6Dx 例例2 2 求函数求函数 yx3当当x2 Dx 002时的微分时的微分 解 函数函数y x2在在x 1处的微分为处的微分为 解 先求函数在任意点先求函数在任意点x 的微分的微分 dy(x3)Dx3x2Dx 再求函数当再求函数当x 2 Dx 0 02时的微分时的微分 dy|x=2,Dx=0.02=3220.02=0.24=3x2|x=2,Dx=0.02 当|Dx|很小时|Dydy|比|Dx|小得多 因此 在点M的邻近 我们可以用切线段来近似代替曲线段 Dy是曲线上点的纵坐标的增量;dy是过点(x0 f(x0)的切线上点的纵坐标的增量.当x从x0变到x0+Dx时二、微分的几何意义则有从而导数也叫作微商自变量的微分,记作记MT）P Nd(xm)m xm1dx d(sin x)cos xdx d(cos x)sin xdx d(tan x)sec2xdx d(cot x)csc2xdx d(sec x)sec x tan xdx d(csc x)csc x cot xdx d(a x)ax ln adx d(e x)exdx(xm)m xm1(sin x)cos x(cos x)sin x(tan x)sec2 x(cot x)csc2x(sec x)sec x tan x(csc x)csc x cot x(a x)ax ln a(e x)ex微分公式微分公式:导数公式导数公式:1.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式三、微分的基本公式和运算法则微分公式微分公式:导数公式导数公式:2 2、微分的四则运算法则微分的四则运算法则设设 u(x),v(x)均可微均可微,则则(C 为常数为常数)分别可微分别可微 ,的微分为的微分为微分形式不变3.3.复合函数的微分复合函数的微分则复合函数则复合函数 在求复合函数的导数时 可以不写出中间变量 例例3 3 ysin(2x1)求求dy 2cos(2x1)dx cos(2x1)2dxcos(2x1)d(2x1)dyd(sin u)cos udu 解 把把2x1看成中间变量看成中间变量u 则则 例例4 4 解 例例5.5.设设求求 解:利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性 ,有有例例6.6.在下列括号中填入适当的函数使等式成立在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意:数学中的反问题往往出现多值性数学中的反问题往往出现多值性.四、微分在近似计算中的应用1.1.函数的近似计算函数的近似计算 当当很小时很小时,使用原则:得近似等式得近似等式:特别当特别当很小时很小时,常用近似公式常用近似公式:很小)证明:令令得得的近似值的近似值 .解:设设取取则例例7.7.求求解:例例8.8.计算计算例例9.9.有一批半径为有一批半径为1cm 1cm 的球的球 ,为了提高球面的光洁度为了提高球面的光洁度,解:已知球体体积为已知球体体积为镀铜体积为镀铜体积为 V 在在时体积的增量时体积的增量因此每只球需用铜约为因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克用铜多少克.估计一下估计一下,每只球需每只球需要镀上一层铜要镀上一层铜 ,厚度定为厚度定为 0.01cm0.01cm,2.2.误差估计误差估计 某量的精确值为某量的精确值为 A,其近似值为其近似值为 a,称为称为a a 的绝对误差的绝对误差称为称为a a 的相对误差的相对误差若若称为测量称为测量 A A 的绝对误差限的绝对误差限称为测量称为测量 A A 的相对误差限的相对误差限误差传递公式误差传递公式 :已知测量误差限为已知测量误差限为按公式按公式计算计算 y 值时的误差值时的误差故故 y 的绝对误差限约为的绝对误差限约为相对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得若直接测量某量得 x,例10.设测得圆钢截面的直径设测得圆钢截面的直径 测量测量D 的的 绝对误差限绝对误差限欲利用公式欲利用公式圆钢截面积圆钢截面积,解:计算计算 A A 的绝对误差限约为的绝对误差限约为 A 的相对误差限约为的相对误差限约为试估计面积的误差试估计面积的误差.计算计算(mm)本节小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题导数的概念导数的概念函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:导数与微分的区别导数与微分的区别:近似计算的基本公式近似计算的基本公式导导 数数基本公式基本公式求求 导导 法法 则则高阶导数高阶导数微微 分分关关 系系高阶微分高阶微分第二章第二章 小小 结结1 1、导数的定义、导数的定义单侧导数单侧导数左导数，右导数，可导的充要条件左导数，右导数，可导的充要条件2 2、基本导数公式、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）常数和基本初等函数的导数公式）常、反、对、幂、指、三、双曲常、反、对、幂、指、三、双曲1818个公式个公式3 3、求导法则、求导法则(1)(1)函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2)(2)反函数的求导法则反函数的求导法则(3)(3)复合函数的求导法则复合函数的求导法则注意不要漏层注意不要漏层(4)(4)对数求导法对数求导法注意适用范围注意适用范围(5)(5)隐函数求导法则隐函数求导法则注意注意y y的函数的求导的函数的求导(6)(6)参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则注意不要漏乘注意不要漏乘4 4、高阶导数、高阶导数(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)方法：方法：逐阶求导逐阶求导5 5、微分的定义微分的定义微分的实质微分的实质6 6、导数与微分的关系、导数与微分的关系7 7、微分的求法微分的求法基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式8 8、微分的基本法则微分的基本法则 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则 微分形式的不变性微分形式的不变性复合函数的微分法则复合函数的微分法则此法则可推广到任意有限项的情形.证证:设,则故结论成立.例如,返回证证:设则有故结论成立.推论推论:(C为常数)返回定理定理:函数函数证:“必要性”已知在点在点 可微可微,则则故故在点在点 的可导的可导,且且在点在点 可微的充要条件是可微的充要条件是在点在点 处可导处可导,且且即即定理定理 :函数函数在点在点 可微的充要条件是可微的充要条件是在点在点 处可导处可导,且且即即“充分性”已知已知即在点在点 的可导的可导,则则区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.证 因为所以取则当 时,有记则定理则定理2获得证明获得证明.定理定理2（函数极限的局部函数极限的局部有界性有界性）如果）如果 则则存常数存常数M 0和和0,使得当使得当 时时,有有|f(x)|M.返回定理3（函数极限的局部保号性）如果 而且A 0(或A0,使得当 时,有f(x)0(或f(x)0.)证:就A0的情形证明.所以取则则当 时,有有 推论 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)且 f(x)A(xx0)那么A0(或A0)返回证证:(1)因(其中为无穷小)于是由定理 1 可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知结论(1)成立.由定理 2 可知和是无穷小,再由定理 1 可知是无穷小,从而结论(2)成立.返回（3）证）证由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得有界，有界，证证 如果数列xn、yn及zn满足下列条件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 )准则 I (2)aynnlim aznnlim 那么数列xn 的极限存在 且axnnlim 上两式同时成立上两式同时成立,max21NNN 取取当时注注返回证明证明类似地类似地,定理定理3.连续函数的复合函数是连续的.证证:设函数于是故复合函数且即牛顿简介牛顿简介牛顿Isaac newton(1643年1月4日1727年3月20日)是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。牛顿在科学上最卓越的贡献是创建了微积分和经典力学。