稳定性与李雅普诺夫方法.pptx

3、现代控制理论判稳方法：俄李雅普诺夫稳定性理论是稳定性判定的通用方法，适用于各种系统。4、本章内容：李氏第二法及其应用。李氏第二法：直接判稳。思路：构造一个李氏函数V(x)，根据V(x)的性质判稳。对任何复杂系统都适用。李氏第一法：先求解系统微分方程，根据解的性质判稳间接法4.1 基本定义一、系统二、平衡状态意义：当系统运动到xe点时，系统状态各分量将维持平衡，不再随时间变化，即平衡点：由系统状态在状态空间中所确定的点 求法：1、线性定常系统唯一一个平衡状态，坐标原点是唯一平衡点2、非线性系统三、范数：衡量（度量）状态空间距离的大小向量x的长度称为向量x的范数四、稳定性的定义若若 的稳定性（渐近稳定）不依赖于的稳定性（渐近稳定）不依赖于 ，则称其为，则称其为一致稳定（渐近稳定）。一致稳定（渐近稳定）。图图（a a）、）、(b)(b)、(c)(c)分别表示平衡状态为稳定、分别表示平衡状态为稳定、渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。4.2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法又称间接法。他的基本思路是通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性。一、线性系统的稳定性判据线性系统在平衡状态 渐进稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。即：对于状态渐进稳定对于输出稳定的极点全部位于s平面的左半平面。例：已知试分析系统的状态稳定性与输出稳定性。解：（1）由状态传递函数其传递函数的极点为：有极点在s平面的左半平面，所以系统的状态不是渐进稳定的。（2）由输出传递函数其传递函数的极点为：没有极点在s平面的左半平面。所以系统的输出是稳定的。二、非线性系统的稳定性设系统的状态空间表达式为 为其平衡点。将非线性矢量函数 在 的邻域内展成泰勒级数，得：称为雅克比矩阵。若令 ，忽略高阶项，可得系统的线性化方程：可以采用线性系统判断稳定性的方法来判断系统的状态稳定性与输出稳定性。某系统的状态方程为试分析系统在平衡状态处的稳定性。解：系统有两个平衡状态（1）在 处将其线性化，得其特征值为 ，可见原分线性系统在 处是不稳定的。（2）在 处将其线性化，得其特征值为 ，实部为零，因而不能由线性化方程得出原系统在 处稳定性的结论。这种情况要应用下面的李雅普诺夫第二法进行判定。4.3 李雅普诺夫第二法如果一个系统被激励后，其存储的能量随着时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达到最小值，那么这个平衡状态是渐进稳定的。反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的。如果系统的储能既不增加，也不减少，那么这个平衡状态就是李雅普诺夫意义下的稳定。如果我们可以找到这个能量函数（正定的标量函数 ），显然可以根据该函数的导数 来确定能量随着时间的推移是减小的，还是增加的，或者是保持不变的。一、预备知识1.标量函数的性质（1），则称 为正定的。（2），则称 为半正定（或非负定）的。（3），则称 为负定的。例如：（4），则称 为半负定（或非正定）的。（5）或 ，则称 为不定的。例例 1 1）正定的正定的 2 2）半正定的半正定的 3 3）负定的负定的 4 4）半负定的半负定的 5 5）不定的不定的2.二次型标量函数如果 ，则称 为实对称阵。矩阵 的符号性质如下：（1）若 为正定，则 为正定；（2）若 为负定，则 为负定；（3）若 为半正定，则 为半正定；（4）若 为半负定，则 为半负定；可见，矩阵 的性质与其所决定的二次函数 的符号性质完全一致。因此，要判别 的符号，只要判别 即可。二、稳定性判据1.若 为半负定，那么平衡状态 为在李雅普诺夫意义下的稳定。此称稳定判据。2.若 为负定，或者虽然 为半负定，但对任意的初始状态 来说，除去平衡点外，其余处 均不为零，那么原点平衡状态是渐近稳定的。如果还有 ，则系统是大范围渐近稳定的。此称渐近稳定判据。3.若 为正定，那么平衡状态 是不稳定的。此称不稳定判据。应当指出，上述判据仅仅是一个判断稳定性的充分条件，二不是充要条件。也就是说，对于给定的系统，如果找到了满足稳定性判据的李雅普诺夫能量函数，可以肯定系统是稳定大，但却不能因为没有找到这样的函数就做出不稳定的判据。例：已知系统状态方程试分析平衡状态的稳定性。解：坐标原点 是系统唯一的平衡状态。设正定标量函数为得可见 是负定的，且 所以，系统在坐标原点处为大范围渐近稳定。4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用考虑如下线性定常自治系统则平衡状态 为大范围渐近稳定的充要条件是：对于任意给定的正定实对称矩阵Q，必存在正定的实对称矩阵P，满足李雅普诺夫方程且 是李雅普诺夫能量函数。实际应用中，通常选一个最简单的正定实对称矩阵 ，按李雅普诺夫方程，求出实对称矩阵P，只要P正定，即可得出系统渐近稳定的结论。证明：设则：将状态方程代入得欲使系统在平衡点稳定，要求 必须为负定。从而可知 必须为正定。因此，不妨取也就是说满足 的正定矩阵构成的 一定就是我们要找的李雅普诺夫能量函数。例：设二阶线性定常系统的状态方程如下，分析平衡点的稳定性。解：设 代入李雅普诺夫方程，得得故矩阵P是正定的，所以系统在平衡点处大范围渐近稳定。从而得可见是负定的，所以系统大范围渐进稳定。例：设系统的状态方程为试确定系统增益K的稳定范围。解：设由得为使P为正定矩阵，其充要条件是即该题也可由系统特征根为负实部（劳斯判据）求得 即对于线性时变系统来说，由于状态方程为因此，其 变为系统稳定的充要条件为：对于任意给定的正定实对称矩阵Q，必存在一个正定的实对称矩阵P满足：因此，可去P=I。4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用系统状态方程为：将系统状态方程在平衡点附近展开得其中：同样可得系统在平衡点渐近稳定的充分条件为对于任意给定的正定实对称矩阵P，使下列矩阵正定。且例：设系统的状态方程为试分析系统在平衡点处的稳定性。解：计算雅克比矩阵得因此，系统在平衡点为大范围渐近稳定。