系统描述.pptx

2.1微分方程的列写 根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据对于电路系统，主要是根据元件特性约束元件特性约束和和网络拓扑网络拓扑约束约束列写系统的微分方程。列写系统的微分方程。元件特性约束元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。网络拓扑约束：网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系，由网络结构决定的电压电流约束关系，KCL，KVL。电感电感电阻电阻电容电容根据根据KCL代入上面元件伏安关系，并化简有代入上面元件伏安关系，并化简有 这是一个代表并联电路系统的二阶微分方程。这是一个代表并联电路系统的二阶微分方程。例：例：求并联电路的端电压求并联电路的端电压 与激励与激励 间的关系。间的关系。解：解：微分方程的列写用用 p 表示微分算子，即有表示微分算子，即有1/p 表示积分算子，即有表示积分算子，即有算子法列写电路的微分方程算子法列写电路的微分方程由此可以得到电阻、电感、电容的算子伏安关系：由此可以得到电阻、电感、电容的算子伏安关系：注注意意：这这里里的的P只只是是代代表表微微分分运运算算的的一一个个算算子子（1/P是是代代表表积积分分运运算算），P并并 不不 是是 变变 量量。算子模型：算子模型：R R：算子模型：算子模型：L：4 4RLC微分算子方程的建立微分算子方程的建立：（1 1）R R、L L、C C元件的算子模型：元件的算子模型：C C：算子模型：算子模型：例例1 1：例例2 2：微分算子方程：微分算子方程：或：或：2 2微分算子的性质（规定）：微分算子的性质（规定）：（1 1）P P的的正幂正幂多项式可以因式分解；多项式可以因式分解；可表示为：可表示为：（2 2）设）设A(P)A(P)、B(P)B(P)为为P P的的正幂正幂多项式；多项式；（3 3）微分算子方程两边的公因子不能随意消去；）微分算子方程两边的公因子不能随意消去；则：则：例：例：，不，不等于等于,不不等于等于例：例：(4)A(P)(4)A(P)、B(P)B(P)、D(P)D(P)为为P P的的正幂正幂多项式多项式：但但例：例：但但2.2 2.2 微分方程微分方程经典求解法经典求解法微分方程的一般形式或者或者一个线性连续一个线性连续LTI系统，可以用下面一般形式的微系统，可以用下面一般形式的微分方程来描述。分方程来描述。一般将激励信号加入的时刻定义为一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应为，响应为 时的方程的解，时的方程的解，初始条件初始条件:齐次解：齐次解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式注意：注意：重根情况处理方法重根情况处理方法特特 解：解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特数的特解函数式解函数式 代入原方程代入原方程，比较系数，比较系数 定出特解。定出特解。经典法全全 解：解：齐次解齐次解+特解，由初始条件定出特解，由初始条件定出齐次解系数齐次解系数齐次微分方程齐次微分方程特征方程特征方程特征根特征根齐次解形式：（和特征根有关）齐次解形式：（和特征根有关）齐次解齐次解特征根特征根齐次解的形式齐次解的形式单根单根k重实根重实根k重复根重复根线性时不变系统经典求解激励函数激励函数e(t)响应函数响应函数 r(t)的特解的特解或或当当 a 是是 k 重特征根时重特征根时当当ajb不是特征根不是特征根当当ajb是特征根是特征根例：例：求微分方程的完全解求微分方程的完全解解解:齐次方程为齐次方程为 特征方程：特征方程：特征根：特征根：该方程的齐次解为：该方程的齐次解为：激励函数中激励函数中a=-1=-1，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：代入原微分方程得代入原微分方程得 求得求得 所以特解为所以特解为 完全解为完全解为代入初始条件代入初始条件求得求得所以有所以有2.3 2.3 零输入响应和零输入响应和零状态响应零状态响应系统响应划分自由响应强迫响应自由响应强迫响应(Natural+forced)零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应(Zero-input+Zero-state)暂态响应暂态响应+稳态响应稳态响应(Transient+Steady-state)也称也称固有响应固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形，由系统本身特性决定，与外加激励形 式无关。对应于式无关。对应于齐次解齐次解。形式取决于形式取决于外加激励外加激励。对应于。对应于特解特解。是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的 有关成分，随着时间有关成分，随着时间t 增加，它将消失。增加，它将消失。由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系 统储能）所产生的响应。统储能）所产生的响应。不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。零），由系统的外加激励信号产生的响应。自由响应：自由响应：暂态响应：暂态响应：稳态响应稳态响应：强迫响应：强迫响应：零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状态响应：各种系统响应定义例：求系统的零输入响应解：解：特征方程特征方程特征根特征根零输入响应零输入响应由起始条件由起始条件得零输入响应为得零输入响应为零输入响应 求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出以引出卷积积分法。卷积积分法。零状态响应 系统的零状态响应系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的激励与系统冲激响应的卷积，即卷积，即解：解：解得解得对系统线性的进一步认识2.4 2.4 冲激响应和冲激响应和阶跃响应阶跃响应二阶系统微分方程：二阶系统微分方程：二阶系统微分算子方程：二阶系统微分算子方程：系统传输算子：系统传输算子：则则 H(P)H(P)称为称为系统的传输算子系统的传输算子。3 3、系统的传输算子：、系统的传输算子：（1）微分算子方程：）微分算子方程：令令 一冲激响应一冲激响应1 1定义定义 系统在单位冲激信号系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为作用下产生的零状态响应，称为单位单位冲激响应冲激响应，简称，简称冲激响应冲激响应，一般用，一般用h(t)表示。表示。说明说明:在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 看响应看响应 ，不同，说明其系统特性不同，不同，说明其系统特性不同，冲激响应冲激响应可以衡量系统的特性。可以衡量系统的特性。响应及其各响应及其各阶导数阶导数(最最高阶为高阶为n次次)2.冲激响应的数学模型冲激响应的数学模型对于线性时不变系统对于线性时不变系统,可以用一可以用一高阶微分方程高阶微分方程表示表示 激励及其各激励及其各阶导数阶导数(最高最高阶为阶为m次次)令令 e(t)=(t)则则 r(t)=h(t)2 2 由由H(P)H(P)求求h(t)h(t)即：即：即即：，为常数为常数简单情况简单情况1：，得：，得：上式乘以上式乘以上式两边积分：上式两边积分：即即：简单情况简单情况2 2：则则设设得得上上式积分得：式积分得：推论：推论：，简单情况简单情况3 3：，一般情况：一般情况：由情况由情况1 1，情况，情况2 2得：得：例例：证明证明：求求h(t)h(t)的一般方法的一般方法：第一步：对第一步：对H(P)H(P)进行部分分式展开；进行部分分式展开；第二步：分别求出个分式对应的冲激响应；第二步：分别求出个分式对应的冲激响应；第三步：第三步：h(t)h(t)等于各分式对应等于各分式对应的的冲激响应之和。冲激响应之和。3 3有理分式的部分分式展开有理分式的部分分式展开H(P)H(P)为有理真分式为有理真分式（1 1）H(P)H(P)的极点为单极点：的极点为单极点：(先用长除法将先用长除法将H(p)先化为真分式先化为真分式)（2 2）H(P)H(P)的的极点为重极点极点为重极点：（3 3）H(P)H(P)的的极点为单极点和重极点极点为单极点和重极点:例：例：例例1 1:，求，解：解：解：解：，例例2 2:，求2.5 2.5 卷积卷积一利用卷积求系统的零状态响应一利用卷积求系统的零状态响应任意信号任意信号任意信号任意信号 e e(t t)可表示为冲激序列之和可表示为冲激序列之和可表示为冲激序列之和可表示为冲激序列之和这就是系统的这就是系统的零状态响应。零状态响应。若把它作用于冲激响应为若把它作用于冲激响应为h(t)的的LTIS，则响应为，则响应为二卷积定义（二卷积定义（Convolution）主要利用卷积来求解系统的零状态响应。主要利用卷积来求解系统的零状态响应。设有两个设有两个 函数函数 ，积分，积分称为称为 的的卷积积分卷积积分，简称，简称卷积卷积，记为，记为二卷积定义（二卷积定义（Convolution）常见函数的卷积：常见函数的卷积：三卷积的计算三卷积的计算卷积积分中积分限的确定是非常关键的。卷积积分中积分限的确定是非常关键的。借助于阶跃函数借助于阶跃函数 u(t)确定积分限确定积分限利用图解说明确定积分限利用图解说明确定积分限 用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积分限尤为方用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积分限尤为方便准确，用解析式作容易出错，最好将两种方法结合起来。便准确，用解析式作容易出错，最好将两种方法结合起来。积分变量改为积分变量改为时延3.相乘相乘4.乘积的积分乘积的积分2.1.对对延时延时t，(-t)=t-积分结果为积分结果为t t 的函数的函数 卷积积分卷积积分例例1：f(t)=e t,（-t)，h(t)=(6e-2t 1)(t)，求求yf(t)。解解：yf(t)=f(t)*h(t)当当t t时，时，(t-)=0二、卷积的图解法二、卷积的图解法卷积过程可分解为卷积过程可分解为四步四步：（1）换元换元：t换为换为得得 f1()，f2()（2）反转平移反转平移：由：由f2()反转反转 f2()右移右移t f2(t-)（3）乘积乘积：f1()f2(t-)（4）积分积分：从从 到到对乘积项积分。对乘积项积分。注意：注意：t为参变量。为参变量。下面举例说明。下面举例说明。演示演示例2 f(t),h(t)如图所示，求yf(t)=h(t)*f(t)。解 采用图解法求卷积。f(t-)f()反折反折f(-)平移平移t t 0时时,f(t-)向左移向左移f(t-)h()=0，故故 yf(t)=0 0t 1 时时,f(t-)向右移向右移 1t 2时时 3t 时时f(t-)h()=0，故故 yf(t)=0h(t)函数形式复杂函数形式复杂 换元为换元为h()。f(t)换元换元 f()2t 3 时时0图解法图解法一般比较繁琐，但一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。还是比较方便的。确定积确定积分的上下限是关键。分的上下限是关键。例例3：f1(t)、f2(t)如图所示，已如图所示，已知知f(t)=f2(t)*f1(t)，求，求f(2)=？f1(-)f1(2-)解解：（1）换元）换元（2）f1()得得f1()（3）f1()右移右移2得得f1(2)（4）f1(2)乘乘f2()（5）积分，得）积分，得f(2)=0（面积为（面积为0）(1)卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)建立了响应建立了响应r(t)与激励与激励e(t)之间的关系。之间的关系。(2)卷积是数学方法，也可运用于其他学科卷积是数学方法，也可运用于其他学科。信号无起因时：信号无起因时：一般数学表示：一般数学表示：(3)积分限由积分限由 存在的区间决定，即由存在的区间决定，即由 的范围决定。的范围决定。四对卷积积分的几点认识四对卷积积分的几点认识总总 结结求解响应的方法：求解响应的方法：时域经典法：时域经典法：双零法：双零法：零输入响应：零输入响应：零状态响应零状态响应：完全解完全解=齐次解齐次解+特解特解解齐次方程，用初（起）始条件求系数；解齐次方程，用初（起）始条件求系数；2.8 卷积的性质一代数性质1交换律交换律2分配律分配律3结合律结合律系统并联运算系统并联运算系统级联运算系统级联运算系统并联系统并联，框图表示：系统并联，框图表示：结论：结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于子系统并联时，总系统的冲激响应等于各各子系统冲激响应之子系统冲激响应之和和。系统级联系统级联，框图表示：系统级联，框图表示：结论：结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于 子系统冲激响应的卷积。子系统冲激响应的卷积。二时移性质设设则则A BC D A+C B+D一般规律：一般规律：上限上限下限下限三微分积分性质g(t)的积分的积分积分性质积分性质微分性质：微分性质：推广：推广：三微分积分性质微分性质积分性质联合使用微分性质积分性质联合使用对于卷积很方便，特别是下面这个公式。对于卷积很方便，特别是下面这个公式。微分微分 n 次，次，积分积分 m 次次m=n,微分次数积分次数微分次数积分次数 四.与冲激函数或阶跃函数的卷积推广：推广：常见的卷积公式常见的卷积公式求卷积是本章的重点与难点。求卷积是本章的重点与难点。求解求解卷积的方法卷积的方法可归纳为：可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质利用性质。比较灵活。比较灵活。三者常常结合起来使用。三者常常结合起来使用。例4 求下列函数的卷积积分。（1 1）解法I(定义)：解法II(图解)：解法IV(常用公式)：解法III(性质)：(2)(2)解解: