应力强因子的计算.pptx

1Shanghai University断裂力学Fracture Mechanics断裂力学第四讲郭战胜郭战胜办公地点：延长校区力学所办公地点：延长校区力学所317室室平时答疑：每周一：平时答疑：每周一：5-6节节晚修答疑晚修答疑:每周一：每周一：18：00-20：30地点：地点：HE108或或HE104b2应力强度因子计算应力强度因子计算 预备知识预备知识:映射与广泛柯西积分公式映射与广泛柯西积分公式1.由已知解析函数经实轴或圆弧由已知解析函数经实轴或圆弧映射（反射）映射（反射）而得新的解析函数而得新的解析函数1.实轴映射实轴映射解析，求也解析定义 设定义 用用，的柯西柯西黎曼条件，易证 也解析解析柯西黎曼条件柯西黎曼条件32.单位圆上的映射单位圆上的映射若，可导出：，解析解析41.内内 内映射内映射 2.外外 内映射内映射 例例53.外外 外映射外映射 4.内内 外映射外映射 6 在 内不为零，上，本身可以是奇异的，本身可以是奇异的，它对应它对应 平面上的角点平面上的角点 待定(1950,Darwin)5.76.7.8二二.柯西积分公式与广泛柯西积分公式柯西积分公式与广泛柯西积分公式F(t)F(z)闭曲线，方向逆时针内有限域，无限域1.内域柯西公式内域柯西公式 在内解析，在上连续92.外域柯西公式外域柯西公式在 内解析，(包括 )3.含极点的广泛内域柯西公式含极点的广泛内域柯西公式 在 内 处为 ，有n阶极点，除此以外，在 内解析则 时，则104.外域广泛柯西积分公式外域广泛柯西积分公式 在 内解析，处，则在 处展成级数有则 1112Muskhelisvili穆什海里什维利数学弹性力学的几个基本问题Nikoloz(Niko)MuskhelishviliNikoloz(Niko)Muskhelishvili(Georgian格鲁吉亚:February 16 1891-July 16,1976)was a notable Georgian and Soviet mathematician,one of the founders and first President(1941-1972)of the Georgian SSR Academy of Sciences(now Georgian Academy of Sciences)(then),Doctor of Physical and Mathematical Sciences(1934),Professor(1922).He is often referred by the Russian version of his name,Nikolai Ivanovich Nikolai Ivanovich Muskhelisvili.Muskhelisvili.是搞数学弹性理论的人必读的书。中文版是依据1953年出版的俄文第四版翻译的。1977年，Springer出版社根据当时最新的俄文修订版，推出了英文本：Muskhelishvili:Some Problems of the Mathematical Theory of Elasticity。中文本自五十年代出版后，再没有修订过 13In 1914 he graduated from the St.Petersburg University(Russia).In 1917-1920 Muskhelishvili was Assistant Professor of this University,in 1920-1922-Associate Professor of the Tbilisi State University(TSU),in 1922-1976-a Professor of TSU,in 1941-1972-first President of the Georgian SSR Academy of Sciences,in 1972-1976-Honorary President of GAS.In 1939 Muskhelishvili was elected as Academician(Full Member)of the Academy of Sciences of the USSR(now the Russian Academy of Science.Muskhelishvili was author of outstanding scientific works in the fields of singular integral equations,mathematical physics,theory of elasticity,etc.Muskhelisvili14由应力强度因子表达的脆性断裂准则为进行断裂安全分析时 1）需要计算构件的 值由构件的尺寸、形状和所受的载荷形式决定；2）测定材料的 。用实验测定材料的 时，必须首先确定试件的标定式。因此，计算各种构件的应力强度因子应力强度因子，是线弹性断裂力学的一项重要任务。15计算 值的几种方法 1.解析法:复变函数法、积分变换；2.数值解法：边界配置法、有限元法；3.实验标定法：柔度标定法；4.实验应力分析法：光弹性法.解析法只能计算简单问题，大多数问题需要采用数值解法。工程中广泛采用有限元法，而且随着计算机技术的发展，能够计算越来越复杂的问题。其它求应力强度因子的方法，及工程估算和实验方法可查阅有关文献。o对于一般一般的二维裂纹问题，可以用KolosovMuakhelishvili的方法程序性地程序性地求解应力和位移场以及应力强度因子，但这种方法求解过程需要数学的技巧。o对于某些特殊情况特殊情况，可以采用Westergaard函数,即由需要求解两个复变解析函数 和 简化为确定一个复变函数 ，从而使问题简化。当然，Westergaard函数方法也是在少数情况下才能得出解析解。解析法16记：，则KolosovMuakhelishvili应力函数法17应力函数 是实函数。积分之：待定函数两两共轭。KolosovMuakhelishvili应力函数法18这就是著名的古萨应力函数，其中，为解析函数。所以求解双调和函数 的问题，归结为求解解析函数 ，的问题，称之为复应力函数复应力函数。KolosovMuakhelishvili应力函数法19应力的复变函数表示应力的复变函数表示取应力组合：注意到 ，作第二个应力组合：KolosovMuakhelishvili应力函数法20位移的复变函数表示位移的复变函数表示KolosovMuakhelishvili应力函数法其他详见教材其他详见教材58-60页页21I-II复合型裂纹复合型裂纹KolosovMuakhelishvili应力函数法要确定应力强度因子，就需要确定一个解析函数。对于复杂结要确定应力强度因子，就需要确定一个解析函数。对于复杂结构或载荷条件，通常使用复变函数的保角映射原理。将构或载荷条件，通常使用复变函数的保角映射原理。将 平平面内的几何图形，通过面内的几何图形，通过 映射到平面映射到平面 中，简单的中，简单的几何图形，从而使求解过程大为简化。几何图形，从而使求解过程大为简化。则根据应力场计算公式，可以求得则根据应力场计算公式，可以求得K的表达式的表达式22范例1教材教材58-6023例：无限大板内长2a的穿透裂纹，集中力 作用在右上表面 ，求应力强度因子解：取映射函数24解析法求解解析法求解I-III-II复合型裂纹的应力强度因子复合型裂纹的应力强度因子复变数：取复变解析函数：取应力函数 或 满足双调和方程 24范例125分析第一应力不变量 对于.型复合裂纹型：型：2526、型复合裂纹在裂纹前端处的不变量 取复数形式的应力强度因子 又 2627若采用 选择 满足具体问题的应力边界条件-复变解析函数表达的双调和函数的普遍形式复变解析函数表达的双调和函数的普遍形式 或复变应力函数为普遍形式或复变应力函数为普遍形式 利用这个方法可以求解很多”无限大”平板中的穿透裂纹问题.2728三种基本裂纹应力强度因子的计算三种基本裂纹应力强度因子的计算一一.无限大板无限大板型裂纹应力强度因子的计算型裂纹应力强度因子的计算 计算 的基本公式 1.在“无限大”平板中具有长度为 的穿透板厚的裂纹表面上,距离 处各作用一对集中力P P 选取复变解析函数：29边界条件：边界条件：除去 处裂纹自由 表面上 如切出 坐标系内的第一象限的薄平板，在 轴所在截面上内力总和为P P 以新坐标表示 302.在无限大平板中,具有长度为 的穿透板厚的裂纹表面上,在距离 的范围内受均布载荷q作用 利用叠加原理 集中力 令 31当整个表面受均布载荷时 3.受二向均布拉力作用的无限大平板,在 轴上有一系列长度为 ,间距为 的裂纹 单个裂纹时 32边界条件边界条件是周期的:33采用新坐标:当 时，34取-修正系数修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对 的影响 若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多（）可不考虑相互作用,按单个裂纹计算.35二二.无限大平板无限大平板、型裂纹问题应力强度因子的计算型裂纹问题应力强度因子的计算1.型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):2.无限大平板中的周期性的裂纹,且在无限远的边界上处于平板面内的纯剪切力作用.363.型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):4.型周期性裂纹:积分变换法积分变换法37取应力函数取应力函数满足双调和方程满足双调和方程：富里埃变换的（富里埃变换的（n n）阶导数：）阶导数：二维双调和方程的Fourier Transforms38将双调和方程（将双调和方程（7-2）作傅立叶变换）作傅立叶变换其中其中方程（方程（7-4）的一般解）的一般解二维双调和方程的Fourier 变换39应用反演公式：应用反演公式：及应力变换：及应力变换：二维双调和方程的Fourier 变换40得得：由反演公式，得：由反演公式，得：二维双调和方程的Fourier Transforms41现讨论平面应变情形下位移的解现讨论平面应变情形下位移的解作反演得：作反演得：若求得若求得 ，可得，可得 ，。二维双调和方程的Fourier 变换42半无限弹性平面的位移解现讨论受分布压力现讨论受分布压力 的半无限弹性平面问的半无限弹性平面问题题边界条件为：边界条件为：43双调和方程的应力函数的傅立叶变换的一般解为：双调和方程的应力函数的傅立叶变换的一般解为：由边界条件（由边界条件（2）可知：）可知：，所以，所以由边界条件（由边界条件（1），确定），确定A、B：半无限弹性平面的位移解44半无限弹性平面的位移解代入（代入（7-6）式应力函数的傅立叶变换）式应力函数的傅立叶变换得到应力解：得到应力解：45半无限弹性平面的位移解对于平面应变问题对于平面应变问题将应力函数代入（将应力函数代入（7-10）、（）、（7-11）得到位移表达）得到位移表达式式46裂纹问题的对偶积分方程现讨论裂纹边界受分布压力现讨论裂纹边界受分布压力 问题问题边界条件为：边界条件为：47裂纹问题的对偶积分方程如果压力如果压力 分布对分布对 轴是对称的，则轴是对称的，则由边界条件由边界条件 得：得：由边界条件由边界条件 得：得：o引入代换：引入代换：o式中式中 是贝塞尔函数是贝塞尔函数48裂纹问题的对偶积分方程利用上述代换，边界条件利用上述代换，边界条件(7-22)、(7-23)写为：写为：上式为对偶积分方程，由这一对方程决定函数上式为对偶积分方程，由这一对方程决定函数 ，于是便可求得，于是便可求得 。在求出。在求出 后，便可以后，便可以得到应力场和位移场的全部解。得到应力场和位移场的全部解。49裂纹问题的对偶积分方程对偶积分方程对偶积分方程(7-24)的解为：的解为：作用在裂纹表面的压力由下列级数给出：作用在裂纹表面的压力由下列级数给出：则则于是有于是有50裂纹问题的对偶积分方程若当若当 ，且，且 时有时有 ，则，则可得位移：可得位移：在均布压力作用下，裂纹会扩大张开成椭圆形状。在均布压力作用下，裂纹会扩大张开成椭圆形状。利用这种方法可解许多种裂纹尖端的应力位移场。利用这种方法可解许多种裂纹尖端的应力位移场。51三维裂纹问题的求解三维裂纹问题的求解52受均匀拉伸的椭圆盘状裂纹，Green-Sneddon解边界条件：椭圆盘状裂纹椭圆盘状裂纹53寻找调和函数 解实际上在流体力学中已经早就找到了，即在无穷远处处于静止的不不可压缩的无限流体中，椭圆盘状的物体以匀速可压缩的无限流体中，椭圆盘状的物体以匀速 垂直于垂直于 平面平面运动运动，问题与上述裂纹问题在数学上相似，而它的解是已知的。54根据流体力学比拟得到本问题的解为待定系数边界条件，定出常数应力场其中其中55应力强度因子还原为第二类完全椭圆积分，圆盘状裂纹5657权函数法计算应力强度因子权函数法计算应力强度因子 权函数方法权函数方法简述简述o利用前面的复变函数方法，对于每一种载荷情况，需要分别利用相应的边界条件确定对应的KolosovMuakhelishvili函数 和 或Westergaard函数 ，而这常常是困难的。而且，对于有限边界有限边界的裂纹问题以及含体积力的问题，上述方法大都难以实现。o事实上，如果我们知道了一种载荷情况下的解（包括应力、应变场、位移和SIF），则可以采用权函数权函数方法求解相同相同构形构形但载荷情况不同载荷情况不同的应力强度因子和位移场。o权函数方法最早是由Bueckner（1970）提出的，后来Rice等人发展了这种方法（即证明了权函数的唯一性），吴学仁和Carlsson（1991）用此方法得到了大量的结果。Wu,X.R.,Carlsson,A.J.,Weight functions and stress intensity factor solutions,Pergamon Press,Oxford 1991.58HANS F.BUECKNERH.F.BUECKNER,A novel principle for the computation of stress intensity factors.Z.angew.Math.Mech.50,.529-546(1970)H.F.BUECKNER,Weight Functions for the Notched BarWeight Functions for the Notched BarZAMM-Journal of Applied Mathematics and Mechanics/Zeitschrift fr Angewandte Mathematik und MechanikVolume 51,Issue 2,pages 97109,1971H.F.Bueckner.Weight functions and fundamental fields for the pennyshaped and the half-plane crack in three-space.International Journal of Solids and Structures,23(1):5793,1987.HANS FHANS F.BUECKNERBUECKNER.General Electric Company.Schenectady,.General Electric Company.Schenectady,New York.New York.59SOME REMARKS ON ELASTIC CRACK-TIP STRESS FIELDSInt.J.Solids SlruclIIres.1972.Vol.8,pp.751 to 758.60权函数法权函数法应力强度因子与裂纹几何裂纹几何和载荷配置有关。权函数法给出了解偶研究这两类影响的途径。针对任一裂纹几何，均可求出适用于该几何的权函数，该裂纹几何在任意载荷下的应力强度因子（乃至该裂纹几何在任意载荷下的应力强度因子（乃至位移场）都可由该载荷经权函数加权积分获得位移场）都可由该载荷经权函数加权积分获得。Bettis theoremModeI61展开权函数法权函数法62已知量，未知量，称为权函数法权函数法权函数法63例：权函数法权函数法64o假设知道第1组载荷下的解，即 ，均为已知，则有：o求出了 和 ，则可以求出任意载荷组合下的应力强度因子。o对于一个特定的裂纹构形，只要知道该构形的任意一个解 和 （或，），则可以得到一个权函数：o从而可以计算其它任何面力载荷 和 下的应力强度因子：和和 分别是面力分别是面力 和体力和体力 对应力的权函数对应力的权函数 权函数法权函数法65权函数方法权函数方法例子例子oRice（1972）已证明，由不同的基本解（和 ）得出的权函数是相同的，即权权函数是唯一的函数是唯一的（对于所求的同一组载荷情况）。o考虑一含中心穿透裂纹的无限大板。基本解取为在无穷远处承受均匀拉应力（垂直于裂纹面的）作用的解，SIF和裂纹张开位移分别为：o得权函数为：o如果裂纹面上承受任意的分布载荷 作用，裂纹右端应力强度因子为：o在裂纹上下表面的 范围内承受均布压力 作用的SIF为：66o在裂纹中心作用一对集中力 时，SIF为：o只要知道了应力强度因子，则根据权函数唯一的条件，可以得到该载荷下的位移场。权函数方法权函数方法例子例子67应力集中系数法计算应力强度因子应力集中系数法计算应力强度因子Stress ConcentrationPetersons Stress Concentration Factors 3rdPetersons Stress Concentration Factors 3rd Stress ConcentrationPhotoelastic fringe photographFinite element methodspecimenStress ConcentrationFor stepped,circular shafts in torsion Stress ConcentrationRectangular Bar Stress ConcentrationRectangular Bar Stress ConcentrationRectangular Bar Stress ConcentrationRectangular Bar Stress ConcentrationRectangular Bar Stress ConcentrationRound shaftStress ConcentrationRound shaft Stress ConcentrationRound shaft Stress ConcentrationRound shaft Stress ConcentrationRound shaft Stress ConcentrationGrooved round bar Stress ConcentrationGrooved round bar Stress ConcentrationGrooved round bar Stress ConcentrationPlate Stress ConcentrationTube Stress Concentration88应力集中系数法应力集中系数法Consider a plate having a through-the-thickness notch and subjected Consider a plate having a through-the-thickness notch and subjected to a uniform tensile stress away from the notch.to a uniform tensile stress away from the notch.We can imagine the applied external force being transmitted from one end of the plate to the other by means of lines of forceby means of lines of force(similar to the well-known magnetic lines of force).At the ends of the plate,which is being At the ends of the plate,which is being uniformly stretched,the spacing between the lines is uniformuniformly stretched,the spacing between the lines is uniform.The lines of force in the central region of the plate are severely distorted by the presence of the notch(i.e.,the stress field is the stress field is perturbedperturbed).The lines of force,acting as elastic strings,The lines of force,acting as elastic strings,tend to minimize their lengths and thus group tend to minimize their lengths and thus group together near the ends of the elliptic hole.together near the ends of the elliptic hole.This grouping together of lines causes a This grouping together of lines causes a decrease in the line spacing locally and,decrease in the line spacing locally and,consequently,an increase in the local stress consequently,an increase in the local stress(a stress concentration),there being more(a stress concentration),there being more lines of force in the same area.lines of force in the same area.89应力集中系数法应力集中系数法We note that as becomes very small,becomes very large,and in the limit,as0,.We define the We define the term as the stress concentration factor term as the stress concentration factor K Kt t (i.e.,(i.e.,).).K Kt t simply describes the geometric effect of the crack simply describes the geometric effect of the crack on the local stress(i.e.,at the tip of the crack).on the local stress(i.e.,at the tip of the crack).Note that Kt depends more on the form of the cavity than on its size.A number of texts and handbooks give a A number of texts and handbooks give a compilation of stress concentration factors compilation of stress concentration factors Kt Kt for for components containing cracks or notches of various components containing cracks or notches of various configurations.configurations.use of square windows in the COMET commercial jet aircraft.Fatigue cracks,initiated at the corners of the windows,caused catastrophic failures of several of these aircraft.90应力集中系数法应力集中系数法The maximum stress occurs at the ends The maximum stress occurs at the ends of the major axis of the cavity and of the major axis of the cavity and is given by Ingliss formulais given by Ingliss formulaIn the case of an extremely flat ellipse or a very narrow crack of length 2a and having a radius of curvature91应力集中系数法应力集中系数法(a)Stress distribution in a large plate containing a circular hole.Figure b shows the stress concentration for a circular hole in a plate of finite lateral dimensions.When D,the lateral dimension,decreases,or the radius of the hole increases,the stress concentration Kt drops from 3 to 2.2.(b)Stress concentration factor Kt as a function of the radius of a circular hole in a large plate in tension.92应力集中系数法应力集中系数法Two flat plates are being pulled in tension.The flow stress of the materials is 150 MPa.(a)Calculate the maximum stresses in the plate.(b)Will the material flow plastically?(c)For which configuration is the stress higher?93应力集中系数法应力集中系数法94应力集中系数法应力集中系数法In the case of an extremely flat ellipse or a very narrow crack of length 2a and having a radius of curvature95课外作业1.1.无限大板中具有长度为无限大板中具有长度为2a2a的穿透板厚的裂纹表面上，距离裂纹的穿透板厚的裂纹表面上，距离裂纹中心中心b b处各作用一对集中力，求其应力强度因子。处各作用一对集中力，求其应力强度因子。2.2.无限大板中具有长度为无限大板中具有长度为2a2a的穿透板厚的裂纹表面上，距离裂纹的穿透板厚的裂纹表面上，距离裂纹中心中心b b处范围内受均布载荷处范围内受均布载荷q q作用，试确定其应力强度因子。作用，试确定其应力强度因子。3.3.受二向均匀拉应力作用的无限大平板，在受二向均匀拉应力作用的无限大平板，在x x轴上有一系列长为轴上有一系列长为2a2a，间距为，间距为2b2b的裂纹，试确定其应力强度因子。的裂纹，试确定其应力强度因子。4.4.计算应力强度因子的方法有哪些？计算应力强度因子的方法有哪些？5.5.工程上如何处理并列裂纹？工程上如何处理并列裂纹？