Sylvester级数展式中例外集的维数.pdf

应用数学MATHEMATICA APPLICATA2024,37(2):373-376Sylvester级数展式中例外集的维数吕美英,薛文(重庆师范大学数学科学学院,重庆 401331)摘要：在2018年,本文第一作者研究了实数的Sylvester级数展式中部分商的相对增长速度问题,并给出以一般函数速度增长的例外集的Hausdorff维数的下界.本文我们将进一步研究该集合,并精确刻画它的Hausdorff维数.同时作为应用,我们给出以多项式和指数速度增长时,相关例外集的维数结果.关键词：Sylvester级数展式;例外集;Hausdorff维数中图分类号：O156.7AMS(2010)主题分类：11K55;28A80文献标识码：A文章编号：1001-9847(2024)02-0373-041.引言给定x (0,1,设d1(x)为满足1d1(x)x的最小正整数,依次做下去,设dn(x)(n 2)为满足1dn(x)0,他证明集合A()=x (0,1:limn1nlog(dn(x)d1(x)dn1(x)=具有满Hausdorff维数.设(n)为满足当n 时(n+1)(n)的正实值函数,令E()=x (0,1:limn1(n)log(dn(x)d1(x)dn1(x)=1.本文第一作者3在2018年给出了该集合Hausdorff维数的下界估计.本文我们将进一步研究该集合,假设(n)满足 limn(n+1)(n)=b 1,我们将给出集合E()Hausdorff维数的精确值.关于Sylvester展式例外集的更多相关结果参见文5.收稿日期：2023-03-21基金项目：重庆市科委面上项目(CSTB2022NSCQ-MSX0445);重庆市教委项目(KJQN202000531)作者简介：吕美英,女,汉族,河北人,教授,研究方向:分形几何与度量数论.374应用数学2024定理1.1设:N R+为正实值函数,且满足条件当n 时(n+1)(n)和 limn(n+1)(n)=b 1,则dimHE()=11+,其中=limsupn(n+1)nj=12nj(j),dimH表示Hausdorff维数作为定理1.1的应用,分别令B(,)=x (0,1:limn1n(logdn(x)d1(x)dn1(x)=,1,0,C(,)=x (0,1:limn1n(logdn(x)d1(x)dn1(x)=,1,0,我们可以得到如下定理定理1.2对任意 1,0,dimHB(,)=1.定理1.3对任意 1,0,dimHC(,)=1,若1 2.2.定理的证明在本节,我们将给出主要结果的证明,首先我们给出Sylvester展式所具有的一些基本算术性质和度量性质,以及维数计算的相关理论.引理2.12设d1,d2,dn N(n 1)为自然数序列,满足d1 2,dj+1 dj(dj 1)+1(j 1),令In(d1,d2,dn)=x (0,1:d1(x)=d1,d2(x)=d2,dn(x)=dn,我们称它为n阶柱集,则|In(d1,d2,dn)|=1dn(dn1),其中|表示集合的直径.引理2.21设集合F可以被nk个直径至多为k的集合覆盖,其中当k 时,k 0,则dimHF liminfnnklogk.引理2.33设:N R+为满足当n 时(n+1)(n)的正实值函数,则dimHE()11+,其中 =limsupn(n+1)nj=12nj(j).由引理2.3可知,本文我们只需证明集合E()维数的上界,我们将根据b的取值分两种情况来讨论.情况1当1 b 2时,此时=0,因此有dimHE()1,从而有dimHE()=1.情况2当b 2时,记n(x)=logdn(x)d1(x)dn1(x).由于 limn(n+1)(n)=b 2,对任意 0,其中满足b(1 )2(1+),则有E()N=1BN(),其中BN()=n=Nx (0,1):(n)(1 )n(x)(n)(1+).第 2 期吕美英等：Sylvester级数展式中例外集的维数375由Hausdorff维数的-稳定性,我们只需要证明对于任意N 1,0,dimHBN()11+.我们仅证明N=1时的情况,类似可证明N 1的情况,由B1()的定义可知,对任意的x B1(),有(n+1)(1 )(n)(1+)n+1(x)n(x)(n+1)(1+)(n)(1 ),n 1.注意到n+1(x)n(x)=logdn+1(x)dn(x)2,且当n 时,(n+1)(n),limn(n+1)(n)=b 2.则对于充分大的n,有(n)(b(1 )2(1+)logdn+1(x)dn(x)2(n)(b(1+)2(1 ).分别令c1()=b(1 )2(1+),c2()=b(1+)2(1 ),则对于任意x B1(),有c1()(n)logdn+1(x)dn(x)2 c2()(n).(2.1)不失一般性,我们假设(2.1)式对于任意n 1都成立,则B1()H:=n=1x (0,1):ec1()(n)dn+1(x)dn(x)2 ec2()(n).对于任意x H和n 1,依次递推,可得dn+1 ec2()(n)d2n ec2()(nk=12nk(k)d2n1,dn+1 ec1()(n)d2n ec1()(nk=12nk(k)d2n1.记S(n l)=ec1()(nk=12nk(k)l2n,T(n l)=ec2()(nk=12nk(k)l2n,Wln=x (0,1):d1(x)=l,S(j l)dj+1(x)T(j l),1 j n 1,则B1()H W:=l=1n=1Wln.再由Hausdorff维数的-稳定性.我们只要证明dimH(n=1Wln)11+.显然Wln=b1,bnI(b1,b2,bn),其中b1,b2,bn满足b1=l,S(j l)bj+1 T(j l),1 j n 1.(2.2)再令M(b1,b2,bn)=S(n l)bn+1T(n l)I(b1,b2,bn+1)和Wln=b1,bnM(b1,b2,bn),其中b1,b2,bn满足(2.2)式,则有n=1Wln=n=1Wln.显然M(b1,b2,bn)构成n=1Wln的一个覆盖,我们将利用该覆盖来给出n=1Wln维数的上界.376应用数学2024下面我们来估计M(b1,b2,bn)的直径和覆盖中M(b1,b2,bn)的个数.由引理2.1,结合(2.2)式,可知|M(b1,b2,bn)|dn+1S(n l)|I(b1,bn,bn+1)|dn+1S(n l)1bn+1(bn+1 1)2S(n l):=Rn.记Nn为覆盖中M(b1,b2,bn)的个数,则Nn:=n1j=1T(j l)S(j l)n1j=1T(j l)n1j=1ec2()(jk=12jk(k)l2j l2nec2()n1j=1(jk=12jk(k).由引理2.2,可得dimH(n=1Wln)liminfnlogNnlogRn liminfn2nlogl+c2()n1j=1(jk=12jk(k)c1()nk=12nk(k)+2nlogl liminfnc2()n1k=12nk(k)n1k=1(k)c1()(n)+n1k=12nk(k)liminfnc2()n1k=12nk(k)c1()(n)+n1k=12nk(k)c2()c1()(1+).由的任意性,可知dimH(n=1Wln)11+.参考文献：1 FALCONER K J.Fractal Geometry:Mathematical Foundations and ApplicationM.Chichester:John Wiley and Sons,2004.2 GALAMBOS J.Reprentations of Real Numbers by Infinite SeriesM.Lecture Notes in Mathematics502.New York:Springer,1976.3 LV Meiying.On the exceptional sets in Sylvester expansionsJ.Lithuanian Mathematical Journal,2018,58:48-53.4 WU Jun.On the distribution of denominators in Sylvester expansionsJ.Bull.London Math.Soc.,2002,34:16-20.5 WU Jun.On the distribution of denominators in Sylvester expansions(II)J.Math.Proc.Camb.Phil.Soc.,2003,153:421-430.The Dimensions of the Exceptional Sets in Sylvester SeriesExpansionsLV Meiying,XUE Wen(School of Mathematical Sciences,Chongqing Normal University,Chongqing 401331,China)Abstract:In 2018,the first author of this paper investigated the relative growth rate of partialquotients in Sylvester series expansions of real numbers and gave the lower bound of Hausdorffdimensionof exceptional sets with general function rate.In this paper,we will further study this,set and accuratelycharacterize its Hausdorffdimension.Meanwhile,as applications we give the dimensions of the exceptionalsets with polynomial or exponential rates.Key words:Sylvester series expansion;Exceptional set;Hausdorffdimension