超静定结构的解法.pptx

第九章第九章 超静定结构的解法超静定结构的解法 Methods of Analysis of Statically Indeterminate StructuresMethods of Analysis of Statically Indeterminate Structures9-1 9-1 求解超静定问题的一般方法求解超静定问题的一般方法9-2 9-2 力法力法 9-3 9-3 力法计算的简化力法计算的简化9-4 9-4 位移法位移法9-5 9-5 混合法混合法和和弯矩分配法弯矩分配法9-6 9-6 超静定结构特性超静定结构特性9-7 9-7 结论与讨论结论与讨论遵循材料力学中遵循材料力学中同时考虑同时考虑“变形、本构、平衡变形、本构、平衡”分析分析超静定问题的思想超静定问题的思想，可有不同的出发点：，可有不同的出发点：以以力力作作为为基基本本未未知知量量，在在自自动动满满足足平平衡衡条条件件的的基基础础上上进进行行分分析析，这这时时主主要要应应解解决决变变形形协协调调问问题题，这这种种分析方法称为分析方法称为力法力法（force methodforce method）。）。以以位位移移作作为为基基本本未未知知量量，在在自自动动满满足足变变形形协协调调条条件件的的基基础础上上来来分分析析，当当然然这这时时主主要要需需解解决决平平衡衡问问题题，这种分析方法称为这种分析方法称为位移法位移法（displacement methoddisplacement method）。）。如如果果一一个个问问题题中中既既有有力力的的未未知知量量，也也有有位位移移的的未未知知量量，力力的的部部分分考考虑虑位位移移协协调调，位位移移的的部部分分考考虑虑力力的的平平衡衡，这这样样一一种种分分析析方方案案称称为为混混合合法法（mixture mixture methodmethod）。）。在本章中将主要介绍力法和位移法在本章中将主要介绍力法和位移法在本章中将主要介绍力法和位移法在本章中将主要介绍力法和位移法(含弯矩分配法含弯矩分配法含弯矩分配法含弯矩分配法)。1.力法的基本原理力法的基本原理(Fundamentals of the Force Method)有一个多于约束有一个多于约束的超静定结构，的超静定结构，有四个反力，只有四个反力，只有三个方程。有三个方程。只要满足只要满足为任意值，均平衡。为任意值，均平衡。因此必须设法补充方程因此必须设法补充方程力法的基本思路力法的基本思路超静定计算简图超静定计算简图解除约束转解除约束转化成静定的化成静定的基本结构承受荷基本结构承受荷载和多余未知力载和多余未知力基本体系受力、变形解法已知基本体系受力、变形解法已知基本体系受力、变形解法已知基本体系受力、变形解法已知力法的基本思路力法的基本思路用已掌握的方法，分析单个基本未用已掌握的方法，分析单个基本未知力作用下的受力和变形知力作用下的受力和变形同样方法分析同样方法分析“荷载荷载”下的下的受力、变形受力、变形位移包含基本未知力位移包含基本未知力位移包含基本未知力位移包含基本未知力X Xi i为消除基本结构与原结构差别，建立位移协调条件为消除基本结构与原结构差别，建立位移协调条件为消除基本结构与原结构差别，建立位移协调条件为消除基本结构与原结构差别，建立位移协调条件由此可解得基本未知力，从由此可解得基本未知力，从而解决受力变形分析问题而解决受力变形分析问题基本原理举例基本原理举例例例1.求解图示单跨梁求解图示单跨梁原结构原结构待解的未知问题待解的未知问题AB基本结构基本结构已掌握受力、变形已掌握受力、变形primary structure or fundamental structure基本体系基本体系fundamental system or primary system转化转化变形协调条件变形协调条件 力法典型方程力法典型方程(The Compatibility Equation of Force Method)未知力的位移未知力的位移“荷载荷载”的位移的位移总位移等于已知位移总位移等于已知位移以掌握的问题以掌握的问题消除两者差别消除两者差别叠加作弯矩图叠加作弯矩图或或系数求法系数求法单位弯矩图单位弯矩图荷载弯矩图荷载弯矩图 位移系数位移系数自自乘乘系数和未知力等于多少？系数和未知力等于多少？广义荷载位移广义荷载位移互乘互乘例例 2.求解图示结构求解图示结构原原结结构构FP基基本本体体系系 一一FP解法解法1:有两个多于约束有两个多于约束解除约束代以未知力解除约束代以未知力基基本本未未知知力力PFP或或基本未知力引起的位移基本未知力引起的位移荷载引起的位移荷载引起的位移变形协调条件变形协调条件 力法典型方程力法典型方程FPFPa作单位和荷载弯矩图作单位和荷载弯矩图求系数、建立力法方程并求解求系数、建立力法方程并求解仅与刚仅与刚度相对度相对值有关值有关FPFPaFP（Fpa）由叠加原理求得由叠加原理求得力法基本思路小结力法基本思路小结 根据结构组成分析，正确判断多于约束个根据结构组成分析，正确判断多于约束个数数超静定次数超静定次数。解除多余约束，转化为静定的解除多余约束，转化为静定的基本结构基本结构。多余约束代以多余未知力多余约束代以多余未知力基本未知力基本未知力。分析基本结构在单位基本未知力和外界因分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立素作用下的位移，建立位移协调条件位移协调条件力力法典型方程法典型方程。从典型方程解得基本未知力，由从典型方程解得基本未知力，由叠加原理叠加原理获得结构内力。获得结构内力。超静定结构分析通过转化为超静定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。静定结构获得了解决。将未知问题转化为将未知问题转化为已知问题，通过消除已已知问题，通过消除已知问题和原问题的差别，知问题和原问题的差别，使未知问题得以解决。使未知问题得以解决。这是科学研究的这是科学研究的基本方法之一。基本方法之一。由于从超静定转化为静定，将什么由于从超静定转化为静定，将什么约束看成多余约束不是唯一的，因此约束看成多余约束不是唯一的，因此力法求解的基本结构也不是唯一的。力法求解的基本结构也不是唯一的。解法 2：原原原原结结结结构构构构基基基基本本本本体体体体系系系系FPFP解法3：原原原原结结结结构构构构基基基基本本本本体体体体系系系系FPFP原原结结构构FP基基本本体体系系FPM1图图M2图图FPaFPMP图图单位和荷载弯矩图单位和荷载弯矩图M1图图M2图图FPaFPMP图图由单位和荷载弯矩图可勾画出基本体系变形图由单位和荷载弯矩图可勾画出基本体系变形图FPM1图图M2图图FPaFPMP图图由单位和荷载由单位和荷载 M 图可求得位移系数、建立方程图可求得位移系数、建立方程FP（Fpa）原原结结构构FP基基本本体体系系FP图图图图FPaFP图图单位和荷载弯矩图单位和荷载弯矩图能否取基本体系为能否取基本体系为FP小结：小结：力法的解题步骤力法的解题步骤问题：问题：超静定次数超静定次数=基本未知力的个数基本未知力的个数 =多余约束数多余约束数 =变成基本结构所需解除的约束数变成基本结构所需解除的约束数()(1)确定结构的超静定次数和基本结构确定结构的超静定次数和基本结构(体系体系)（3 次）或（14 次）或或(1 次）(6 次)(4 次)(b)一个超静定结构可能有多种形式的基本一个超静定结构可能有多种形式的基本结构，不同基本结构带来不同的计算工作量。结构，不同基本结构带来不同的计算工作量。因此，要选取工作量较少的基本结构。因此，要选取工作量较少的基本结构。确定超静定次数时应注意：确定超静定次数时应注意：(c)可变体系不能作为基本结构可变体系不能作为基本结构(a)切断弯曲杆次数切断弯曲杆次数3、链杆、链杆1，刚结变单铰，刚结变单铰1，拆开单铰，拆开单铰2。总次数也可由。总次数也可由计算自由度计算自由度得到。得到。(2)(2)建立力法典型方程建立力法典型方程或写作矩阵方程或写作矩阵方程(3)(3)作基本结构在单位未知力和荷载（如果作基本结构在单位未知力和荷载（如果 有）作用下的弯矩（内力）图有）作用下的弯矩（内力）图 (4)求基本结构的位移系数求基本结构的位移系数 (5)(5)求求基本结构的基本结构的广广义荷载义荷载位移位移 注意：注意：用图乘法求用图乘法求 和和 时应注意图乘条件时应注意图乘条件(6)解方程求未知力解方程求未知力图乘来求图乘来求(7)(7)根据叠加原理作超静定结构根据叠加原理作超静定结构的的内力图内力图(8)(8)任任取取一基本结构，求超静定结构一基本结构，求超静定结构的位移的位移例如求例如求 K截面竖向截面竖向位移：位移：FP（Fpa）KFP（Fpa）K（9）对计算结果进行校核）对计算结果进行校核对结构上的任一部分，其对结构上的任一部分，其力的平衡条件均能满足。力的平衡条件均能满足。如：如：问题：使结构上的任一部分都处于平问题：使结构上的任一部分都处于平 衡衡 的解答是否就是问题的正确解？的解答是否就是问题的正确解？FP（Fpa）原原结结构构FP基基本本体体系系FP假如：假如：由由可证：平衡条件均能满足。可证：平衡条件均能满足。可证：平衡条件均能满足。可证：平衡条件均能满足。求得：求得：()但：但：但：但：FPFPaM 图图结论：结论：对计算结果除需进行力的校核外，对计算结果除需进行力的校核外，还必需进行位移的校核。还必需进行位移的校核。FP（Fpa）2.2.力法解超静定力法解超静定结构结构举例举例例例 1.求解图示两端固支梁。求解图示两端固支梁。解：取简支梁为基本体系解：取简支梁为基本体系力法典型方程为：力法典型方程为：FP基基本本体体系系FP单位和荷载弯矩图单位和荷载弯矩图 为：为：EI由于由于所以所以又由于又由于于是有于是有图图FP两端固支梁在竖向荷载作用下没有水平反力两端固支梁在竖向荷载作用下没有水平反力典型方程改写为典型方程改写为图乘求得位移系数为图乘求得位移系数为代代入入并并求求解解可可得得FPablFPa2bl2FPab2l2其中：其中：解得：解得：（拉）（拉）解：解：基基本本体体系系FPFP力法典型方程为：力法典型方程为：例例 2.求超静定桁架的内力。求超静定桁架的内力。FPFP=PEA为常数为常数各杆最后内力由各杆最后内力由叠加法得到：叠加法得到：由计算知，由计算知，由计算知，由计算知，在在在在荷载作用下，超静定桁架的内力与杆荷载作用下，超静定桁架的内力与杆荷载作用下，超静定桁架的内力与杆荷载作用下，超静定桁架的内力与杆件的绝对刚度件的绝对刚度件的绝对刚度件的绝对刚度EAEAEAEA无关，只与各杆刚度比值有关。无关，只与各杆刚度比值有关。无关，只与各杆刚度比值有关。无关，只与各杆刚度比值有关。基基本本体体系系FPFP问题：问题：若若用拆除用拆除上上弦弦杆的静定结构作杆的静定结构作为基本结构，为基本结构，本题本题应如何考虑？应如何考虑？FP=PFP解：解：力法方程力法方程的实质的实质为为：“3 3、4 4两结点的两结点的相对位移相对位移 等于所拆除杆的拉（压）等于所拆除杆的拉（压）变形变形 ”FPFP FP=PFPFNP 图图自乘求自乘求1111互乘求互乘求1P1P或互乘求或互乘求1111X X1 1令：令：有：有：（拉）（拉）基基本本体体系系解：解：典型方程：典型方程：最终解得：最终解得：例例 3.求作图示连续梁的弯矩图。求作图示连续梁的弯矩图。M图由图由 作出：作出：(c)当当当当取基本体系，取基本体系，？EI解：取基本体系如图解：取基本体系如图(b)典型方程：典型方程：如图示：如图示：例例 4.求解图示加劲梁。求解图示加劲梁。横梁横梁55当当内力内力有无下部链杆时梁内有无下部链杆时梁内最大弯矩之比：最大弯矩之比：梁的受力与两跨梁的受力与两跨连续梁相同。连续梁相同。（同例（同例3 3中中 ）当当梁受力有利梁受力有利令梁内正、负弯矩令梁内正、负弯矩值相等可得：值相等可得：46.82-46.8252.3552.351.66m13.713.7如何求如何求 A？方程的物理意义是否明确？方程的物理意义是否明确？例例 5.求解图示刚架由求解图示刚架由于支座移动所产生的于支座移动所产生的内力。内力。解：取图示基本结构解：取图示基本结构力法典型方程为：力法典型方程为：其中其中 为由于支座移动所产生的位移为由于支座移动所产生的位移,即即EI常常数数最后内力（最后内力（M图）：图）：这时结构中的位移以及位移条件的校核公式如何？这时结构中的位移以及位移条件的校核公式如何？支座移动引起的内力与各杆的绝对刚度支座移动引起的内力与各杆的绝对刚度支座移动引起的内力与各杆的绝对刚度支座移动引起的内力与各杆的绝对刚度 EIEI 有关有关有关有关 吗？吗？吗？吗？单位基本未知力引起的弯矩图和反力单位基本未知力引起的弯矩图和反力1、2、3等于多少？等于多少？问题：问题：如何建立如下基本结构的典型方程？如何建立如下基本结构的典型方程？基本体系基本体系2基本体系基本体系3基本体系基本体系2基本体系基本体系3ba用几用几何法何法与公与公式法式法相对相对比。比。FPABEI 试求图示两端固定单跨梁在下属情况试求图示两端固定单跨梁在下属情况下的下的M图。图。(a)A端逆时针转动单位转角。端逆时针转动单位转角。(b)A端竖向向上移动了单位位移。端竖向向上移动了单位位移。(c)A、B两端均逆时针转动单位转角。两端均逆时针转动单位转角。(d)A、B两端相对转动单位转角。两端相对转动单位转角。(e)A端竖向向上、端竖向向上、B端竖向向下移动了端竖向向下移动了单位位移。单位位移。解：选取基本体系解：选取基本体系建立典型方程建立典型方程基本体系二基本体系二例例 6.求作弯矩图求作弯矩图(同例同例3)。EI常数常数(c)(下侧下侧 受拉受拉)弯矩图为：弯矩图为：进一步求进一步求D点竖向位移点竖向位移解：取基本体系如图解：取基本体系如图(b)典型方程为：典型方程为：例例 7.求图示刚架由于温度变求图示刚架由于温度变化引起的内力与化引起的内力与K点的点的 。温度变化引起的结构位移与内力的计算公式温度变化引起的结构位移与内力的计算公式为：为：(a)外侧外侧t1内侧内侧t2EI常常数数t1=250Ct2=350C设刚架杆件截面对称于形心轴，其高设刚架杆件截面对称于形心轴，其高温度改变引起的内力与各杆的绝对刚度温度改变引起的内力与各杆的绝对刚度 EI 有关。有关。则则M 图图温度低的一侧受拉，此结论温度低的一侧受拉，此结论同样同样适用于温度适用于温度引起的超静定单跨梁。引起的超静定单跨梁。下侧正弯矩为下侧正弯矩为设基本未知力为设基本未知力为 X，则则跨中支座负弯矩为跨中支座负弯矩为根据题意正弯矩等于负弯矩，可得根据题意正弯矩等于负弯矩，可得有了基本未知力，由典型方程可得有了基本未知力，由典型方程可得3.力法计算的简化力法计算的简化无弯矩状态的判别无弯矩状态的判别无弯矩状态的判别无弯矩状态的判别刚结点变成铰结点后，体系仍然几何不变的情况刚结点变成铰结点后，体系仍然几何不变的情况前提条件：前提条件：前提条件：前提条件：结点荷载；结点荷载；不计轴向变形。不计轴向变形。刚结点变成铰结点后，体系几何可变。但是，添刚结点变成铰结点后，体系几何可变。但是，添链杆的不变体系在给定荷载下无内力的情况链杆的不变体系在给定荷载下无内力的情况 利用上述结论，结合对称结构的对称性，可使利用上述结论，结合对称结构的对称性，可使利用上述结论，结合对称结构的对称性，可使利用上述结论，结合对称结构的对称性，可使手算分析得到简化。手算分析得到简化。手算分析得到简化。手算分析得到简化。一、一、对称性对称性(Symmetry)的利用的利用 对称结构对称结构非对称结构非对称结构注注意意：结结构构的的几几何何形形状状、支支承承情情况况以以及及杆杆件件的的刚刚度度三三者者之之一一有有任任何何一一个个不不满满足足对对称称条条件件时时，就就不不能称超静定结构是对称结构。能称超静定结构是对称结构。支承不对称支承不对称刚度不对称刚度不对称几何对称几何对称支承对称支承对称刚度对称刚度对称对称结构的求解：对称结构的求解：力法典型方程为：力法典型方程为：（1）选取对称的基本结构）选取对称的基本结构典型方程简化为：典型方程简化为：正对称部分正对称部分反对称部分反对称部分正对称与反正对称与反对称荷载：对称荷载：如果作用于结构的荷载是对称的，如如果作用于结构的荷载是对称的，如:如果作用于结构的荷载是反对称的，如如果作用于结构的荷载是反对称的，如:结论：对称结构在正对称荷载作用下，其内力结论：对称结构在正对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的；在反对称荷载作用下，和位移都是正对称的；在反对称荷载作用下，其内力和位移都是反对称的。其内力和位移都是反对称的。例，求图示结构的弯矩图。例，求图示结构的弯矩图。EI=常数。常数。解：根据以上分析，力法方程为：解：根据以上分析，力法方程为：由于由于，问题无法化简，问题无法化简例：例：（2）未知力分组和荷载分组）未知力分组和荷载分组力法典型方程成为：力法典型方程成为：对称结构承受一般非对称荷载时，可将荷载分组，如：对称结构承受一般非对称荷载时，可将荷载分组，如：（3）取半结构计算：）取半结构计算：对称轴对称轴问题：偶数跨对称刚架如何处理？问题：偶数跨对称刚架如何处理？（d）（c）例例1：求作图示圆环的弯矩图。：求作图示圆环的弯矩图。EI=常数。常数。解：解：取结构的取结构的1/4分析分析单位弯矩（图）和荷载弯矩（图）为：单位弯矩（图）和荷载弯矩（图）为：(b)（a)若只考虑弯矩对位移的影响，有：若只考虑弯矩对位移的影响，有：弯矩为：弯矩为：例例 2.试用对称性对结构进行简化。试用对称性对结构进行简化。EI为常数。为常数。FP/2FP/2FP/2FP/2I/2I/2FP/2FP/2I/2方法方法 1FPFP/2FP/2FPFP/2FP/2FP/2FP/2I/2FP/4FP/4FP/4I/2FP/4FP/4FP/4I/2FP/4FP/4无弯矩，无弯矩，不需求解不需求解FP/4FP/4FP/4I/2FP/4FP/4FP/4I/2FP/4FP/4I/2方法方法 2无弯矩，无弯矩，不需求解不需求解FPFP/2FP/2FP/4FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/4I/2FP/4FP/4FP/4FP/4I/2FP/4FP/4I/2FP/4FP/4FP/4FP/4FP/4FP/4FP/2FP/2二、二、使单位弯矩图限于局部使单位弯矩图限于局部 三、三、合理地安排铰的位置合理地安排铰的位置对称结构按跨数可分为对称结构按跨数可分为对称结构按跨数可分为对称结构按跨数可分为