514牛顿迭代法.pptx

湖南商学院15.1.4 牛顿迭代法 利用同解变换将f(x)=0化为同解方程 从而得出的迭代格式(5-3)，往往只是线性收敛。为得出超线性收敛的迭代格式，通常采用近似替代法。设 xk是根 的近似值，则按泰勒公式取前两项来近似代替 (称为f(x)的线性化)，得近似线性方程湖南商学院2设 ，令所得 近似值为xk+1，得 (5-14)这称为牛顿迭代格式牛顿迭代格式。同理，取三项近似替代f(x)，将所得二次方程两个根中靠近xk者记为xk+1，则得或（5-15)湖南商学院3这称为改进牛顿迭代格式或柯西迭代格式。对于例5-1方程，解法二实际上就是牛顿迭代过程；利用改进牛顿迭代格式(5-15),则得迭代序列 x0=2.5,x1=2.088276199,x2=2.094551504,x3=2.094551482=x4 牛顿迭代格式也可由y=f(x)的反函数 导出。实际上，(5-16)湖南商学院4注意在公式(5-16)右边取两项作为xk+1，则得牛顿迭代格式(5-14)；取三项作为xk+1，则得又一种改进牛顿迭代格式改进牛顿迭代格式 （5-17)湖南商学院5 对于例5-1方程，按此式可得迭代序列：x0=2.5,x1=2.113682534，x2=2.094555162,x3=2.094551482=x4 可以证明，时上述3种迭代法均具局部收敛性，且 时牛顿迭代法二阶收敛，两种改进牛顿法三阶收敛。例如牛顿迭代法，因湖南商学院6两式相减并除以 得显然当xk充分靠近 时由式(5-16)也可知湖南商学院7同样可知xk充分靠近 时在几何上，线性化方程的解xk+1，表示过曲线y=f(x)上点(xk,yk)的切线与x轴的交点，如图5-2所示。因此，牛顿迭代法又称切线法。切线法。在图5-3所示情况下，取x0使 ，显然牛顿迭代序列xk必收敛于根 。于是有如下定理。牛顿迭代收敛定理：牛顿迭代收敛定理：设发f(x)在区间a,b上二阶导数存在，且f(a)f(b)0,不变号，初值x0 a,b且湖南商学院8 ，则牛顿迭代序列xk收敛于方程f(x)=0在a,b的唯一根 。定理条件f(a)f(b)0保证了根的存在，保证了函数f(x)的单调性，根的唯一性。加上其他条件，则保证了xk的收敛性。下面只证收敛性。假定 .此时因 ，可知湖南商学院9可知同理可知这表明序列xk单调减而下有界，故必收敛。设收敛于x*，则由式(5-14)知，当 ，故f(x*)=0，说明x*为方程f(x)=0的根，而由根的唯一性湖南商学院10即知 ，证得 。实际问题中导数 有时难以计算，或计算工作量较大。此时牛顿迭代格式(5-14)中 可取为某个固定点的值，比如取为 ，或者取为常数c，迭代格式变为 (5-18)这称为简化牛顿法简化牛顿法。其迭代函数可见简化牛顿法一般线性收敛，但当取收敛仍可能很快。